题海探秘02 排列与排列数11考点复习指南-2025-2026学年高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册）

2025-2026高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 题海探秘02 排列与排列数11考点复习指南 知识点01：排列 （1）定义：一般地,从个不同元素中取出()个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. （2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.知识点02：排列数与排列数公式 （1）定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示. （2）排列数公式 ①（连乘形式）：，， ②（阶乘形式），， （3）全排列：把个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列,用符号表示. （4）阶乘：正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用符号表示. 考点1 排列的定义 1．（2026高二·全国·课堂例题）排列中“一定顺序”的含义是什么？ 2．（2026高二·全国·课堂例题）“排列”与“排列数”是两个相同的概念吗？如果不是，它们有什么区别？ 3．（2026高二·全国·课堂例题）判断下列问题是不是排列问题： (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ 4．（2026高二·全国·课堂例题）判断下列问题是不是排列问题，并说明理由． (1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B； (2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动； (3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和； (4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商； (5)高二（1）班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上． 5．（2026高二·全国·专题练习）下列问题是不是排列问题： (1)选2个小组去种菜； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)高二（1）班有4个空位，安排从外校转来的3个学生坐到这4个空位中的3个上； (4)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员． 6．（2026高二·江苏·课前预习）判断下列问题是不是排列问题，并说明理由. (1)从1，2，3，，10这10个正整数中任取两个数组成平面直角坐标系内点的坐标，可以得到多少个不同的点的坐标？ (2)从1，2，3，，10这10个正整数中任取两个数组成一个集合，可以得到多少个不同的集合？ 考点2 排列的列举问题 7．（2026高二·上海·课后作业）（1）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有组合； （2）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有排列． 8．（2026高二·江苏·专题练习）写出下列问题的所有排列： (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出. 9．（2026高二·全国·课后作业）某药品研究所研制了5种消炎药，，，，，4种退热药，，，，现从中取2种消炎药和1种退热药同时进行疗效试验，但，两种药或同时用或同时不用，，两种药不能同时使用，试写出所有不同的试验方法. 10．（2026高二·全国·课后作业）从甲、乙、丙三名学生中任意安排2名学生参加数学、外语两个课外小组的活动，共有多少种不同的安排方案？请画出相应的树状图，并解答． 考点3 排列数的计算、化简与证明 11．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）可以表示为（   ）. A． B． C． D． 12．（2026高二·湖北十堰·阶段检测）计算：（    ） A．120 B．90 C．60 D．30 13．（2026高二·四川遂宁·月考）的值是（    ） A．3 B．6 C．15 D．18 14．（2026高二·全国·课后作业）计算：________． 15．（2026高二·甘肃庆阳·期末）已知，则_______. 16．（2026高二·吉林·期末）若，则_________. 17．（2026高二·河北保定·期中）若，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 18．（2026高二·全国·课堂例题）证明： ． 19．【多选】（2026高二·全国·课后作业）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 考点4 全排列问题 20．（2026高二·宁夏中卫·月考）名男生和名女生站成一排拍照，不同的站法有___________种 （用数字作答） 21．（2026高三·福建·月考）用可以组成个无重复数字的六位奇数，则（    ） A．360 B．400 C．420 D．450 22．（2026高三·贵州贵阳·月考）一个数阵有行6列，第一行的六个数互不相同，其余行都由这六个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，则的最大值是（    ） A．119 B．120 C．719 D．720 23．（2026高二·四川南充·期末）用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 考点5 元素（位置）有限制条件的排列问题 24．（2026高二·上海·期中）5人站成一排，其中甲站中间，共有______种排法.(用具体数字作答) 25．（2026高三·上海青浦·期末）现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有__________种（用数字作答）. 26．（2026·辽宁大连·模拟预测）某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 27．（2026高三·全国·专题练习）在下图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，且第1行只选负数，则共有______种选法；在符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最小值是______． －1 2 －3 4 5 －1 2 －3 －4 5 －1 2 3 －4 5 －1 28．（2026高二·全国·专题练习）从A，B，C，D，E这5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案有（    ）种. A．24 B．48 C．72 D．120 29．（2026高二·浙江·期中）从含甲和乙的六人中选四人参加学校接力比赛，已知甲被选中且只跑第一棒或第四棒，若选中乙，则乙不跑第四棒，则不同的参赛方案共有（    ）种 A．72 B．84 C．108 D．120 30．（2026高二·重庆·阶段检测）立体几何，解析几何，导数，数列与概率统计这五道题排序，解析几何不能在第一道解答题，数列必须在第一道或者第二道位置，则不同的题目分配方式有（   ） A．36种 B．42种 C．48种 D．52种 31．（2026·重庆·模拟预测）树人中学选派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，要求甲不跑第一棒，丁不跑第四棒，则不同的接力比赛顺序有（ ） A．8种 B．种 C．种 D．种 考点6 相邻问题 32．（2026高三·全国·专题练习）若有7个人排成一排，其中甲、乙必须相邻，而丙不能站在两端，则不同的排法共有______种. 33．（2026高三·全国·专题练习）某小组的7名成员站成一排，其中甲、乙相邻，且丙、丁相邻，不同的排法共有多少种？ 34．（2026·广东·模拟预测）名男生和名女生排成一排，若女生必须相邻，则有______种不同排法.用数字作答 35．（2026高三·全国·专题练习）一个家庭有5名成员，其中有父、母亲以及3个孩子，现安排他们站成一排照一张全家福，要求父、母亲相邻站队，则不同的站法种数为______． 36．（2026高二·河南商丘·月考）5名学生排成一排，甲、乙、丙3人相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 37．（2026高二·河北保定·期中）有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有________种． 38．（2026高二·广西河池·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”五张知识展板放置在五个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．12 B．24 C．48 D．120 39．（2026高二·江苏南京·月考）有6个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为（   ） A．144 B．72 C．48 D．36 40．（2026高二·四川德阳·月考）某德阳研学团计划参观三星堆博物馆、德阳文庙、绵竹年画村、白马关景区4个景点，要求三星堆博物馆必须排在第一个或最后一个参观，且德阳文庙与白马关景区必须相邻，则不同的参观顺序共有（   ）种 A．4 B．8 C．12 D．24 考点7 不相邻问题 41．（2026高二·全国·课后作业）6个人站成一排，甲、乙不相邻，有多少种不同的站法？ 42．（2026高二·河南商丘·阶段检测）参加数学竞赛的，，，，，这六名同学站成一排合影留念，则，，互不相邻的安排方法有________种.（用数字作答） 43．（2026高二·湖北·月考）袋中装有红色小球1个、黄色小球2个、绿色小球3个，小球除了颜色外完全相同，现从中取出5个小球排成一行，相同颜色的小球不能相邻，则不同的排法种数为（    ） A．8 B．11 C．12 D．15 44．（2026高二·广东·期中）高三毕业来临之际，3名教师，4名女同学和2名男同学排成一排拍照，已知3名教师互不相邻，4名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，2名男同学互不相邻且不在最左边也不在最右边，则不同的排法种数共有（   ） A．1152种 B．384种 C．288种 D．144种 45．（2026高二·河南洛阳·期中）已知共七个人站成一排，要求不站两端，且和不相邻，则不同的排法种数为（） A．2640 B．2160 C．3600 D．2880 46．（2026·湖南·模拟预测）3名男同学和4名女同学排成一队参加学校志愿者公益活动，若要求队头与队尾是男同学，且男同学不相邻，则不同的排法种数为（   ） A．240 B．364 C．432 D．468 47．（2026高二·河南平顶山·期中）已知A，B，C，D四名同学参加诗歌朗诵比赛，已评出名次（第一名至第四名，无并列名次），但未公布，一位评委提供如下信息：A不是第四名，B，D两人名次不相邻，根据上述信息，这4人名次排列情况可能的种数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 考点8 相邻（不相邻）排列综合问题 48．（2026高二·湖北武汉·期中）有五名同学站成一排照相，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻，则所有不同的排法有（   ）种 A． B． C． D． 49．（2026高二·重庆渝北·期中）在渝北中学某次研学活动中，班主任李老师带领甲、乙、丙等5名学生排队出发参观校史馆，李老师只能在排头或排尾：其中甲同学是新生，不能离李老师超过1名学生距离；乙同学和丙同学爱讲话不能相邻，请问这支队伍总共有（    ）种排队方式. A．48 B．56 C．64 D．72 50．（2026高二·天津静海·期中）云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法有_______种. 51．（2026高二·湖北武汉·期中）某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（   ）种不同的放置方式． A．12 B．24 C．36 D．48 52．（2026高三·河北衡水·期末）六艺，是我国周朝教育体系中的六种技能，即：礼､乐､射､御､书､数.在周朝官学中开设这六门课程，从这六门课中选5门，连排5节课，每门排一节，要求每天必须学“礼､乐､数”，并要求“礼”与“乐”相邻排课，但均不与“数”相邻排课，且“御”不能排在第一节，则不同的排课方案种数为（    ） A．24 B．48 C．64 D．128 考点9 定序问题 53．（2026高二·云南昆明·期中）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有_______种. 54．（2026高三·湖北·期末）贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（    ） A． B． C． D． 55．（2026高二·新疆喀什·期中）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为__________.（结果用数字表示） 56．（2026高二·浙江金华·阶段检测）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法? (2)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法? (3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法? 57．（2026高二·全国·课后作业）现有10人排队，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后顺序固定，则共有不同排法______种． 58．（2026高二·上海杨浦·期末）某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名女生的概率为，且女生人数超过1人，现在将10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，则共有______种不同的站队方法. 59．（2026高三·全国·专题练习）古都西安的名胜古迹“兵马俑”的管理者，为了既方便游人与“兵马俑”拍照留念，又防止毁坏文物，特意作了三尊以假乱真的兵马俑，固定在一起排成一排供人留影．现在一个4人旅游团来到这里并且想与这三尊兵马俑合影留念，请问当这4个人与三尊兵马俑排成一排留影时，有多少种不同的站法？（假设每两尊之间有足够的空隙站4人） 考点10 数字排列问题 60．（浙江省精诚联盟2026届高三学期第二次模拟练习数学试题）从数字0，1，2，3，4中任取3个构成的无重复数字的3位数，其中能被3整除的偶数共有（   ） A．13个 B．15个 C．16个 D．18个 61．（2026高二·吉林·期中）由数字组成的无重复数字并且比大的偶数个数为（   ） A． B． C． D． 62．（2026高二·山东烟台·期中）由数字0，1，2，3组成的没有重复数字的四位数中偶数的个数为______（用数字作答）. 63．（2026高二·陕西商洛·期中）用0，1，2，3，4这5个数字组成无重复数字的五位数. (1)可以组成多少个五位数? (2)可以组成多少个能被 2整除的五位数? (3)将组成的五位数按从小到大的顺序排列，第49个数是多少? 64．（2026高二·江苏徐州·期中）用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. (1)求可组成多少个三位数； (2)将（1）中的三位数按从小到大的顺序排成一排，求第55个数. 考点11 排列的综合应用 65．（2026高二·河北石家庄·期中）4名男生和4名女生排成一排.(用数字作答) (1)如果女生全排在一起，有多少种不同的排法? (2)如果女生都不相邻，有多少种不同的排法? (3)这8名学生中有甲、乙两人，若将他们排成一排，其中甲不站左端，且乙不站右端，有多少种排法? 66．（2026高二·广东清远·期中）包含甲乙丙在内的7人站成一排. (1)一共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙两人必须站在两端的不同排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人均不相邻的不同排法有多少种？ (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序是“甲、乙、丙”的不同排法有多少种？ 67．（2026高二·上海·期中）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，现需要制作节目单. (1)若要求3个舞蹈节目相邻，有多少种不同的排法？ (2)若要求2个小品节目不相邻，有多少种不同的排法？ (3)由于特殊原因，需要在定好的节目单上新加两个不同的节目，但不改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的排法？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 题海探秘02 排列与排列数11考点复习指南 知识点01：排列 （1）定义：一般地,从个不同元素中取出()个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. （2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同. 知识点02：排列数与排列数公式 （1）定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示. （2）排列数公式 ①（连乘形式）：，， ②（阶乘形式），， （3）全排列：把个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列,用符号表示. （4）阶乘：正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用符号表示. 考点1 排列的定义 1．（2026高二·全国·课堂例题）排列中“一定顺序”的含义是什么？ 【答案】一定顺序就是指排列中的元素与位置有关，当位置不同时排列也就不同． 【分析】根据题意，结合排列的定义，进行分析，即可求解. 【详解】根据排列的定义，可得按一定顺序是指排列中的元素与位置有关， 所以当元素的位置不同时排列也就不同. 2．（2026高二·全国·课堂例题）“排列”与“排列数”是两个相同的概念吗？如果不是，它们有什么区别？ 【答案】不是，区别见解析 【分析】根据“排列”与“排列数”的概念，再举例说明即可. 【详解】“排列”与“排列数”是两个不同的概念．“排列”是指“按照一定的顺序排成一列”，所谓排成一列，是指与顺序有关，例如排列与排列是不同的，可以把一个排列看成一个类似点坐标的有序数对，它不是一个数，而是完成一件事的方法． “排列数”是指“从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．如三名同学站成一排照相留念的排列有以下6种形式：．这里的每一种形式都是一个排列，而排列数是6． 3．（2026高二·全国·课堂例题）判断下列问题是不是排列问题： (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ 【答案】(1)是排列问题 (2)不是排列问题 (3)是排列问题 【分析】根据排列的定义，逐个分析判断，即可求解. 【详解】（1）解：由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关， 所以这是一个排列问题． （2）解：因为从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序， 所以这不是排列问题． （3）解：因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题． 所以（1）（3）是排列问题，（2）不是排列问题． 4．（2026高二·全国·课堂例题）判断下列问题是不是排列问题，并说明理由． (1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B； (2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动； (3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和； (4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商； (5)高二（1）班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上． 【答案】(1)是排列，理由见解析 (2)不是排列，理由见解析 (3)不是排列，理由见解析 (4)是排列，理由见解析 (5)是排列，理由见解析 【分析】（1）选出两个人参加两个不同的活动与顺序有关，所以是排列； （2）4名同学中选出2名参加一项活动，与顺序无关，所以不是排列； （3）选出两个三位数求和，交换两个结果不变，说明与顺序无关，不是排列； （4）选出两个互质的三位数求其商，交换两个数顺序，商的结果也不同，所以与顺序有关，所以是排列； （5）三名学生坐到4个空位，任意交换两个学生的位置，其结果也不相同，所以是排列. 【详解】（1）是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中． （2）不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分． （3）不是排列，因为选出的两个三位数求其和对顺序没有要求． （4）是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化， 且这些三位数是互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列． （5）是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生． 5．（2026高二·全国·专题练习）下列问题是不是排列问题： (1)选2个小组去种菜； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)高二（1）班有4个空位，安排从外校转来的3个学生坐到这4个空位中的3个上； (4)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员． 【答案】(1)不是排列问题 (2)排列问题 (3)排列问题 (4)排列问题 【分析】（1）（2）（3）（4）根据排列的定义，对4个问题中是否存在排序问题进行逐一分析即可得出结论. 【详解】（1）不存在顺序问题，不是排列问题． （2）植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题． （3）从4个空位中选出3个座位，分别安排给3个学生，存在顺序问题，是排列问题． （4）每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，是排列问题． 6．（2026高二·江苏·课前预习）判断下列问题是不是排列问题，并说明理由. (1)从1，2，3，，10这10个正整数中任取两个数组成平面直角坐标系内点的坐标，可以得到多少个不同的点的坐标？ (2)从1，2，3，，10这10个正整数中任取两个数组成一个集合，可以得到多少个不同的集合？ 【答案】(1)是排列问题，理由见解析 (2)不是排列问题，理由见解析 【分析】（1）由排列的定义判断结论； （2）由组合的定义判断结论. 【详解】（1）取出的两个数组成平面直角坐标系内点的坐标， 这与以哪一个数为横坐标，哪一个数为纵坐标的顺序有关，所以这是排列问题. （2）取出的两个数组成一个集合，由于集合中的元素具有无序性， 即集合不受所选两个数的排列顺序的影响，所以这不是排列问题. 考点2 排列的列举问题 7．（2026高二·上海·课后作业）（1）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有组合； （2）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有排列． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）利用组合的定义即可得出； （2）利用排列的定义即可得出； 【详解】（1）从个元素，，，，中任取两个不同元素的所有组合有： ，，，，，，，，，； （2）从个元素，，，，中任取两个不同元素的所有排列有： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，. 8．（2026高二·江苏·专题练习）写出下列问题的所有排列： (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出. 【答案】(1)12； (2)24个，答案见解析. 【分析】（1）利用列举法列出所有两位数即可作答. （2）利用树状图列出符合要求的四位数，再写出所有四位数作答. 【详解】（1）所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12个不同的两位数. （2）画出树状图，如图： 由树状图知，所有的四位数为：1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431， 3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24个没有重复数字的四位数. 9．（2026高二·全国·课后作业）某药品研究所研制了5种消炎药，，，，，4种退热药，，，，现从中取2种消炎药和1种退热药同时进行疗效试验，但，两种药或同时用或同时不用，，两种药不能同时使用，试写出所有不同的试验方法. 【答案】答案见详解． 【分析】根据题意直接写出所有试验方法即可． 【详解】写出所有不同的试验方法如下： ，，，，，，，，， ，，，，，共14种. 10．（2026高二·全国·课后作业）从甲、乙、丙三名学生中任意安排2名学生参加数学、外语两个课外小组的活动，共有多少种不同的安排方案？请画出相应的树状图，并解答． 【答案】共6种安排方案，树状图见解析 【分析】根据题意画出树状图即可求解 【详解】树状图如图所示 ， 由树状图可知，共有6种不同的安排方案 考点3 排列数的计算、化简与证明 11．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）可以表示为（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，解得， 故. 12．（2026高二·湖北十堰·阶段检测）计算：（    ） A．120 B．90 C．60 D．30 【答案】A 【详解】. 13．（2026高二·四川遂宁·月考）的值是（    ） A．3 B．6 C．15 D．18 【答案】D 【详解】. 14．（2026高二·全国·课后作业）计算：________． 【答案】 【分析】利用排列数公式直接计算化简即可. 【详解】． 故答案为： 15．（2026高二·甘肃庆阳·期末）已知，则_______. 【答案】 【分析】根据排列数计算即可得到答案. 【详解】， 由题意得， 解得. 故答案为：. 16．（2026高二·吉林·期末）若，则_________. 【答案】3 【分析】应用排列公式解排列数方程即可. 【详解】由题设，且，， 则， 所以，则， 所以，可得（非整数解舍）. 故答案为：3 17．（2026高二·河北保定·期中）若，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】由， 则，解得， 又，故的最小值为6. 18．（2026高二·全国·课堂例题）证明： ． 【答案】证明见解析 【分析】根据排列数公式和运算性质，准确化简，即可求解. 【详解】证明 ： ． 为了使上述结论在时也成立，我们规定． 由此可知，排列数公式还可以写成． 19．【多选】（2026高二·全国·课后作业）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】利用排列数公式、组合数公式，逐项计算判断作答. 【详解】对于A，，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，. 故选：ABCD 考点4 全排列问题 20．（2026高二·宁夏中卫·月考）名男生和名女生站成一排拍照，不同的站法有___________种 （用数字作答） 【答案】120 【详解】名男生和名女生站成一排拍照，即为5名学生站成一排拍照， 所以不同的站法有. 21．（2026高三·福建·月考）用可以组成个无重复数字的六位奇数，则（    ） A．360 B．400 C．420 D．450 【答案】A 【分析】根据排列公式计算即可. 【详解】个位数字可以是，可得， 故选：A. 22．（2026高三·贵州贵阳·月考）一个数阵有行6列，第一行的六个数互不相同，其余行都由这六个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，则的最大值是（    ） A．119 B．120 C．719 D．720 【答案】D 【分析】求六个互不相同的数的全排列即可. 【详解】六个互不相同的数的全排列共有个， 为使行中的任意两行都不重复，则需，故的最大值为720. 故选：D. 23．（2026高二·四川南充·期末）用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】根据全排列规则，计算结果即可. 【详解】可知4个数字组成没有重复数字的四位数的个数是， 故选：B. 考点5 元素（位置）有限制条件的排列问题 24．（2026高二·上海·期中）5人站成一排，其中甲站中间，共有______种排法.(用具体数字作答) 【答案】 【详解】甲站中间，其余四人全排列，共有种排法. 25．（2026高三·上海青浦·期末）现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有__________种（用数字作答）. 【答案】72 【分析】由题意先安排学生甲，再对另外四名学生进行全排即得. 【详解】根据题意，可分两步完成：第一步，先在中间三个位置上安排学生甲，有3种方法； 第二步，在留下的四个位置上安排另外4名学生，有种方法. 由分步乘法计数原理，不同站法数为种. 故答案为：72. 26．（2026·辽宁大连·模拟预测）某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】按照甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，结合分类加法计数原理可得解. 【详解】分甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论， ①当甲站在第二位时，余下三人可以全排列，此时共有种情况； ②当甲不站在第二位时，甲有个位置可选，此时乙也有种情况可选，余下两人可以全排列，则此时共有种情况； 综上所述，一共有种情况， 故选：B. 27．（2026高三·全国·专题练习）在下图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，且第1行只选负数，则共有______种选法；在符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最小值是______． －1 2 －3 4 5 －1 2 －3 －4 5 －1 2 3 －4 5 －1 【答案】 【分析】利用树状图来表示所有的选取情况，再从中判断最小值即可. 【详解】因为第1行只能选－1或－3，则按题中要求的选法．如图： 由上可知共有12种选法，且其中选中方格的4个数之和的最小值是－14． 故答案为：， 28．（2026高二·全国·专题练习）从A，B，C，D，E这5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案有（    ）种. A．24 B．48 C．72 D．120 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理和排列组合的应用，对特殊元素分类讨论，分别计算不同的情况种类数目，求出结果. 【详解】解法1（特殊元素优先）：若A参加竞赛，则参赛方案有种； 若A不参加竞赛，则参赛方案有种，因此不同的参赛方案有72种. 解法2（特殊位置优先）：先从除了A以外的4名学生中选择2名参加物理、化学竞赛，有种； 再从余下的3名学生中选择2名参加数学、外语竞赛，有种；因此共有种不同的参赛方案. 故选：C. 29．（2026高二·浙江·期中）从含甲和乙的六人中选四人参加学校接力比赛，已知甲被选中且只跑第一棒或第四棒，若选中乙，则乙不跑第四棒，则不同的参赛方案共有（    ）种 A．72 B．84 C．108 D．120 【答案】C 【详解】若乙未被选中，则甲有2个位置选择，剩余的3个位置从余下的4人选3人排列，方案数为：种； 若乙被选中，且甲跑第一棒，则乙有2个位置可以选择，剩余2个位置从余下的4人选2人排列， 方案数为：种； 若乙被选中，且甲跑第四棒，则乙有3个位置可以选择，剩余2个位置从余下的4人选2人排列， 方案数为：种； 因此所有不同的参赛方案共有种. 30．（2026高二·重庆·阶段检测）立体几何，解析几何，导数，数列与概率统计这五道题排序，解析几何不能在第一道解答题，数列必须在第一道或者第二道位置，则不同的题目分配方式有（   ） A．36种 B．42种 C．48种 D．52种 【答案】B 【详解】数列排在第一道的排序方法有种； 数列排第二道时，第一道有种排法，第三、四、五道有种. 根据分步乘法计数原理，数列排第二道时的排序方法有种. 根据分类加法计数原理，不同的题目分配方式有：种. 31．（2026·重庆·模拟预测）树人中学选派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，要求甲不跑第一棒，丁不跑第四棒，则不同的接力比赛顺序有（ ） A．8种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【详解】4名学生排列总数：， 甲跑第一棒的情况：， 丁跑第四棒的情况：， 甲跑第一棒且丁跑第四棒的情况：， 总顺序数：． 考点6 相邻问题 32．（2026高三·全国·专题练习）若有7个人排成一排，其中甲、乙必须相邻，而丙不能站在两端，则不同的排法共有______种. 【答案】 【分析】利用捆绑法将甲、乙捆绑，解法1分类讨论甲、乙所在位置，再确定丙的位置，最后全排列；解法2先确定丙的位置，再全排列求解即可. 【详解】解法1  将满足题意的排列方式分为三类． ①若甲、乙放在左端，则有种； ②若甲、乙放在右端，则有种； ③若甲、乙不在两端，则有种. 综上可得，（种）， 故不同的排法共有种. 解法2  捆绑甲、乙，先排丙，则有（种）. 故不同的排法共有种. 故答案为：. 33．（2026高三·全国·专题练习）某小组的7名成员站成一排，其中甲、乙相邻，且丙、丁相邻，不同的排法共有多少种？ 【答案】480 【分析】利用捆绑法求解即可. 【详解】可先将甲、乙两元素捆绑看成一个整体，同时丙、丁也看成一个整体，再与其余元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行全排列，如图所示. 由分步计数原理可得，不同的排法共有（种）. 34．（2026·广东·模拟预测）名男生和名女生排成一排，若女生必须相邻，则有______种不同排法.用数字作答 【答案】 【分析】利用捆绑法可求不同的排法总数. 【详解】根据题意，分步进行， 先将名女生排在一起，看成做一个元素，考虑其顺序，有种情况， 再将其与其他名男生全排列，有种情况， 则其不同的排列方法为种， 故答案为：. 35．（2026高三·全国·专题练习）一个家庭有5名成员，其中有父、母亲以及3个孩子，现安排他们站成一排照一张全家福，要求父、母亲相邻站队，则不同的站法种数为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法列式求解. 【详解】将父、母亲视为一个整体与3个孩子排列，则不同的站法种数为. 故答案为：48 36．（2026高二·河南商丘·月考）5名学生排成一排，甲、乙、丙3人相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过捆绑法确定甲、乙、丙3人相邻的排法总数，再由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】5名学生排成一排，共有种排法， 其中甲、乙、丙3人相邻有种， 所以甲、乙、丙3人相邻的概率为， 故选：A 37．（2026高二·河北保定·期中）有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有________种． 【答案】144 【分析】先利用捆绑法将3名女生看成一个整体，再将女生整体和3名男生一起排列. 【详解】先把3名女生捆绑到一起，有种排法， 再把她们与另外3名男生排列，有种排法， 则不同的坐法有种． 故答案为：144. 38．（2026高二·广西河池·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”五张知识展板放置在五个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．12 B．24 C．48 D．120 【答案】C 【分析】由捆绑法即可求解. 【详解】由于立春和春分相邻，先将二者捆绑，二者内部有顺序，排列数为 种； 捆绑后得到1个整体，和剩余3块展板共4个元素，对4个元素全排列，排列数为 ， 分步计数求总数：根据分步乘法计数原理，总放置方式为 . 39．（2026高二·江苏南京·月考）有6个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为（   ） A．144 B．72 C．48 D．36 【答案】B 【详解】由题意，先让3人坐定，有种方法， 然后将相邻的两个空位看作一个座位，再将两个座位插入3人形成的4个空位中，有种方法， 因此，恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为. 40．（2026高二·四川德阳·月考）某德阳研学团计划参观三星堆博物馆、德阳文庙、绵竹年画村、白马关景区4个景点，要求三星堆博物馆必须排在第一个或最后一个参观，且德阳文庙与白马关景区必须相邻，则不同的参观顺序共有（   ）种 A．4 B．8 C．12 D．24 【答案】B 【分析】按 “特殊元素优先处理” 的思路，分三步完成，再根据分步乘法计数原理得到总排列数. 【详解】首先安排三星堆博物馆的位置，要求三星堆必须排在第一个或最后一个，共2种排法； 由于德阳文庙与白马关必须相邻，用捆绑法将二者看作1个整体，二者内部可交换顺序，共种排法； 捆绑后的整体和绵竹年画村共2个元素，排列在剩余的空位中，共种排法. 根据分步乘法计数原理，总排列数为种. 考点7 不相邻问题 41．（2026高二·全国·课后作业）6个人站成一排，甲、乙不相邻，有多少种不同的站法？ 【答案】480 【分析】由插空法即可求解. 【详解】（种）. 42．（2026高二·河南商丘·阶段检测）参加数学竞赛的，，，，，这六名同学站成一排合影留念，则，，互不相邻的安排方法有________种.（用数字作答） 【答案】 【分析】先将进行排列，再利用插空法即可. 【详解】先将进行排列，再将插进形成的个空隙中， 共有种. 故答案为： 43．（2026高二·湖北·月考）袋中装有红色小球1个、黄色小球2个、绿色小球3个，小球除了颜色外完全相同，现从中取出5个小球排成一行，相同颜色的小球不能相邻，则不同的排法种数为（    ） A．8 B．11 C．12 D．15 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合组合计数问题列式求解. 【详解】不取红色小球时，排法种数为1； 剩下一个小球是黄色小球时，排法种数为2； 剩下一个小球是绿色小球时，当红色小球在两个黄色小球之间时，有种排法； 当红色小球不在两个黄色小球之间时，有种排法， 所以不同排法种数是. 故选：D 44．（2026高二·广东·期中）高三毕业来临之际，3名教师，4名女同学和2名男同学排成一排拍照，已知3名教师互不相邻，4名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，2名男同学互不相邻且不在最左边也不在最右边，则不同的排法种数共有（   ） A．1152种 B．384种 C．288种 D．144种 【答案】A 【分析】先将4名女同学捆绑在一起看成一个整体并内部排序，再用插空法安排教师和男同学的位置. 【详解】第一步：先将3名教师全排，共有种排法；第二步：将4名女同学＂捆绑＂在一起，共有种排法；第三步：将＂捆绑＂在一起的4名女同学作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插人，有种排法；第四步：首先将2名男同学之中的一人，插人第三步后相邻的两名教师中间，然后将另一个男同学插入由女同学与教师形成的2个空中的其中1个，共有种排法，所以不同的排法种数有：种． 故选：A 45．（2026高二·河南洛阳·期中）已知共七个人站成一排，要求不站两端，且和不相邻，则不同的排法种数为（） A．2640 B．2160 C．3600 D．2880 【答案】A 【分析】先考虑和不相邻的排法，再考虑和不相邻，且A站两端的情况，相减后得到答案. 【详解】先考虑和不相邻的排法： 先排A,B,C,D,E，有种排法， A,B,C,D,E排好后有6个空隙（含两端），从中选2个插入F和G，排法数：种， 所以，总排法有：种； 再考虑A站两端且F、G不相邻”的排法： 先排A在两端，有种（如A在最左端），再排B,C,D,E共4人，排法数：种， 此时5人（A,B,C,D,E）排好后有5个空隙（A的左边不算空隙）， 从中选2个插入F和G，排法数：种， 所以，总排法：种， 所以要求不站两端，且和不相邻，则不同的排法种数为种. 46．（2026·湖南·模拟预测）3名男同学和4名女同学排成一队参加学校志愿者公益活动，若要求队头与队尾是男同学，且男同学不相邻，则不同的排法种数为（   ） A．240 B．364 C．432 D．468 【答案】C 【详解】先安排队头有种排法，再安排队尾有种排法，然后安排4名女同学有种排法，最后在4名女同学中安排剩下男同学有种排法，根据分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为． 47．（2026高二·河南平顶山·期中）已知A，B，C，D四名同学参加诗歌朗诵比赛，已评出名次（第一名至第四名，无并列名次），但未公布，一位评委提供如下信息：A不是第四名，B，D两人名次不相邻，根据上述信息，这4人名次排列情况可能的种数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】当A是第一名时，C只能是第三名，则有种排列种数； 当A是第二名时，C不能是第一名，则有种排列种数； 当A是第三名时，C不能是第四名，则有种排列种数， 综上可知，这4人名次排列情况可能的种数为. 考点8 相邻（不相邻）排列综合问题 48．（2026高二·湖北武汉·期中）有五名同学站成一排照相，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻，则所有不同的排法有（   ）种 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将丙和丁看作一个整体（捆绑），内部可以交换顺序，有种， ①先排（丙丁）和戊，有种排法，这两个排好后，会产生个空位（包括两端）， ②从个空位中选个来排甲和乙，有种排法， 所以总排法为种． 49．（2026高二·重庆渝北·期中）在渝北中学某次研学活动中，班主任李老师带领甲、乙、丙等5名学生排队出发参观校史馆，李老师只能在排头或排尾：其中甲同学是新生，不能离李老师超过1名学生距离；乙同学和丙同学爱讲话不能相邻，请问这支队伍总共有（    ）种排队方式. A．48 B．56 C．64 D．72 【答案】B 【分析】先按李老师在排头或排尾分两种情况，再按甲的位置细分，用总排列数减去乙丙相邻的排列数得出符合条件的排法，最后利用对称性得到总数. 【详解】分两种情况： （1）李老师在排头（位置1）：此时甲在位置2或3， 当甲在位置2时：剩余位置3、4、5、6排乙丙丁戊，乙丙相邻位置对有共3对，相邻排列数为种，所以不相邻排列有种； 当甲在位置3时：剩余位置2、4、5、6排乙丙丁戊，乙丙相邻位置对有共2对，相邻排列时为种，所以不相邻排列有种； 所以共有种； （2）李老师在排尾（位置6）：排法与排头对称，所以也有28种； 综上，共有种排法. 50．（2026高二·天津静海·期中）云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法有_______种. 【答案】72 【详解】根据题意，分两步进行分析： 指导老师和学员站在两端，有种情况， 中间5人分两种情况讨论： 若、相邻且、相邻，、不相邻，有种安排方法； 若、相邻且、都不与相邻，有种安排方法， 则中间5人有种安排方法， 综上所述，共有种排法. 51．（2026高二·湖北武汉·期中）某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（   ）种不同的放置方式． A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【详解】根据题意将豆包、即梦捆绑为一个整体，则内部排列数为， 将豆包和即梦捆绑为一个整体，先排列该整体与元宝，所以排列数为， 2个元素排完后会产生 个空位， 又因为文心一言和讯飞星火不相邻， 所以从3个空位中选2个放入文心一言、讯飞星火，即排列数为 ， 所以总方法数为：. 52．（2026高三·河北衡水·期末）六艺，是我国周朝教育体系中的六种技能，即：礼､乐､射､御､书､数.在周朝官学中开设这六门课程，从这六门课中选5门，连排5节课，每门排一节，要求每天必须学“礼､乐､数”，并要求“礼”与“乐”相邻排课，但均不与“数”相邻排课，且“御”不能排在第一节，则不同的排课方案种数为（    ） A．24 B．48 C．64 D．128 【答案】C 【分析】本题相邻用捆绑法，不相邻用插空法，然后减去御在第一节的情况. 【详解】情况一：不选“御”，则课程为{礼, 乐, 数, 射, 书}，将(礼,乐)捆绑， 先排“射”､“书”有种，再将(礼,乐)和“数”插入3个空中，有种，(礼,乐)内部有种，共种； 情况二：选择“御”，则另一门从“射”､“书”中选，有种， 以选{礼, 乐, 数, 御, 射}为例，先不考虑“御”的限制，排法同情况一，有24种， 再减去“御”在第一节的情况：固定“御”在第一位，(礼,乐)只能在(2,3)或(4,5)位， 对应“数”和“射”的位置唯一确定，故有种，因此该课程组合有种排法. 综上所述，总共有种； 汇总两种情况，总排课方案为种. 故选：C 考点9 定序问题 53．（2026高二·云南昆明·期中）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有_______种. 【答案】60 【分析】定序问题采用倍缩法进行求解即可. 【详解】甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，共有种排法， 其中甲在乙的左边和乙在甲的左边一样多， 所以甲在乙的左边的不同的站队方式共有. 故答案为：. 54．（2026高三·湖北·期末）贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先计算盏灯笼任意挂有种不同的挂法，再除以左边顺序一定种，右边顺序一定种，即可求解. 【详解】若盏灯笼任意挂，不同的挂法由种， 又因为左右两边盏灯顺序一定，故有种， 故选：D 【点睛】方法点睛：常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”； （4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. （5）多排问题直排法； 55．（2026高二·新疆喀什·期中）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为__________.（结果用数字表示） 【答案】60 【分析】先不考虑收的顺序，有种方法，再考虑中间一列和右边一列在收取时的所有方法数，因挂在一列的只能先收下面的，故方法数为. 【详解】依题意，6串香蕉任意收取共有种方法， 考虑在收取最右边一列时有种取法，收取中间一列时有种取法， 而从下往上收取只是其中的一种，故按照从下往上的收取方法，不同取法数是种. 故答案为：60. 56．（2026高二·浙江金华·阶段检测）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法? (2)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法? (3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先确定两头唱歌节目的排法，再确定中间节目的排法，最后根据分步乘法计数原理计算总排法； （2）可先计算所有节目全排列的情况，再除以舞蹈节目自身的排列数得到舞蹈节目顺序固定的排法； （3）先将唱歌节目和舞蹈节目分别捆绑，再利用插空法安排小品节目，最后根据分步乘法计数原理计算总排法. 【详解】（1）先排两头的唱歌节目，个唱歌节目进行全排列，则排法有种. 再排中间的个节目，这个节目进行全排列，排法有种. 所以唱歌节目排在两头的排法共有种. （2）个节目进行全排列，排法有种. 个舞蹈节目进行全排列，排法有种. 因为三个舞蹈节目出场顺序固定，所以不同的排法共有种. （3）将个唱歌节目看成一个整体，内部全排列，排法有种. 将个舞蹈节目看成一个整体，内部全排列，排法有种. 把这两个整体进行全排列，排法有种. 此时形成个空，将个小品节目插入这个空中，排法有种. 根据分步乘法计数原理，总排法有种. 57．（2026高二·全国·课后作业）现有10人排队，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后顺序固定，则共有不同排法______种． 【答案】30240 【分析】根据定序元素的个数进行计算即所有人的全排列除以定序男生人数的全排列. 【详解】先将10人全排，即为，再将甲、乙、丙、丁、戊五人全排，即为， 故有种排法． 故答案为：30240. 58．（2026高二·上海杨浦·期末）某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名女生的概率为，且女生人数超过1人，现在将10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，则共有______种不同的站队方法. 【答案】25200 【分析】由已知得10名学生中，有女生6人，男生4人，再利用插空法求解即可. 【详解】设10名学生中，有女生人，男生人， 则10名学生中选取3人，恰有1名女生的概率， 整理得：，即 因式分解可得：， 解得：或（舍去）或（舍去） 所以10名学生中，有女生6人，男生4人， 将6名女生排成一排有种方法，再将4名男生插到7个空中有种方法， 因为男生的左右相对顺序固定，而4名男生排成一排有种方法， 所以一共有， 故答案为：25200 59．（2026高三·全国·专题练习）古都西安的名胜古迹“兵马俑”的管理者，为了既方便游人与“兵马俑”拍照留念，又防止毁坏文物，特意作了三尊以假乱真的兵马俑，固定在一起排成一排供人留影．现在一个4人旅游团来到这里并且想与这三尊兵马俑合影留念，请问当这4个人与三尊兵马俑排成一排留影时，有多少种不同的站法？（假设每两尊之间有足够的空隙站4人） 【答案】840 【分析】分析题意可知，此问题属于排列里的定序问题. 解法一：做法属于先不考虑附加条件，计算出排列数，再除去不符合要求的排列数.解法二：解法二：根据题意，设四个人依次为甲、乙、丙、丁，三尊兵马俑排成一排，有4个空位可用，依次安排甲乙丙丁4个人，分析每个人可选空位的数目即可得其站法的数目，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：错解：旅游团中的4人再加上三尊兵马俑，一共是7人，所以他们在排成一排时，可以互换位置，并且每两尊兵马俑之间可以站的人数不会存在限制，因此共有种． 错因分析：虽然在排队的时候人可以互换位置，但是错解中忽略了一个最重要的问题，那就是兵马俑是固定在那里的，它们并不参与排列．由题意知它们之间有空隙，站几个人都是可以的． 正解：解法一:由于每两尊兵马俑之间可以站的人数不会存在限制，所以可以先将兵马俑看成是可以活动的，这样就产生了种站法，但是这之中三尊兵马俑之间就产生了种站法，而它们只能有一种排列方案，因此正确答案应种． 解法二: 根据题意，设四个人依次为甲、乙、丙、丁， 三尊兵马俑排成一排，有4个空位可用，甲在四个空位中选1个，有4种选法， 甲站好后，有5个空位可用，乙在四个空位中选1个，有5种选法， 甲、乙站好后，有6个空位可用，乙在四个空位中选1个，有6种选法， 甲、乙、丙站好后，有7个空位可用，乙在四个空位中选1个，有7种选法， 则这4个人与三尊兵马俑排成一排留影时，有种排法； 故答案为：840. 考点10 数字排列问题 60．（浙江省精诚联盟2026届高三学期第二次模拟练习数学试题）从数字0，1，2，3，4中任取3个构成的无重复数字的3位数，其中能被3整除的偶数共有（   ） A．13个 B．15个 C．16个 D．18个 【答案】A 【详解】满足条件的3位数可由或或或构成， 由构成的偶数有个；由构成的偶数有个； 由构成的偶数有个；由构成的偶数有个. 故共有个. 61．（2026高二·吉林·期中）由数字组成的无重复数字并且比大的偶数个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知数字组成的无重复数字的6位偶数大于， 则首位为或： 当首位为4时，个位为0或2，共2种，中间4位数任意排列，共种； 当首位为5时，个位为，共3种，中间4位数任意排列，共种； 总数为：． 62．（2026高二·山东烟台·期中）由数字0，1，2，3组成的没有重复数字的四位数中偶数的个数为______（用数字作答）. 【答案】10 【详解】个位为，剩余千位、百位、十位从三个数字全排列，共个； 个位为，不能在千位，因此千位只能从中选个，共种选择， 剩余百位、十位从剩下的个数字全排列，共种排列，因此这类共个. 两类相加，总个数为. 63．（2026高二·陕西商洛·期中）用0，1，2，3，4这5个数字组成无重复数字的五位数. (1)可以组成多少个五位数? (2)可以组成多少个能被 2整除的五位数? (3)将组成的五位数按从小到大的顺序排列，第49个数是多少? 【答案】(1)96 (2)60 (3)30124 【分析】（1）先排首位，其他位全排列，即可求解； （2）个位分为0或2或4三种情况，分类求解； （3）首先求出首位为1和2的个数，再判断第49个数. 【详解】（1）先排首位，有（种）排法，再排其它位，有（种）排法， 根据分步乘法计数原理得，可以组成（个）五位数. （2）能被2整除的五位数的个位数是0或2或4，若个位数是0，则有个满足题意的五位数； 若个位数是2或4，则先排首位，0不作为首位，则首位有种排法，其余位置有种排法， 此时有个满足题意的五位数.故共有＋（个）满足题意的五位数. （3）首位数字不能为0，首位数字为1的五位数有（个），首位数字为2的五位数有（个）， 此时共有（个）五位数，故第49个数是30124. 64．（2026高二·江苏徐州·期中）用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. (1)求可组成多少个三位数； (2)将（1）中的三位数按从小到大的顺序排成一排，求第55个数. 【答案】(1)100 (2)342 【分析】（1）先排百位数，再排其余数位； （2）按百位数字分类讨论，逐步缩小范围． 【详解】（1）百位数字可以从中选择，共种选择. 十位数字可以从剩下的个数字选择，共种选择，个位数字可以从剩下个数字选择，共种选择. 可以组成个三位数. （2）按百位分类计数：百位为的三位数：共个（对应第个数）； 百位为的三位数：共个（对应第个数）. 因此第55个数的百位是，且是百位为的数中第个. 再按十位从小到大分类计数（百位固定为）： 十位为：个位可选，共个数（对应百位为3的第个）； 十位为：个位可选，共个数（对应第个）； 十位为：个位可选，共个数（对应第个）. 此时累计到第12个，接下来十位从小到大是， 按顺序排列，第13个：，第14个：，第15个：. 因此第55个数是. 考点11 排列的综合应用 65．（2026高二·河北石家庄·期中）4名男生和4名女生排成一排.(用数字作答) (1)如果女生全排在一起，有多少种不同的排法? (2)如果女生都不相邻，有多少种不同的排法? (3)这8名学生中有甲、乙两人，若将他们排成一排，其中甲不站左端，且乙不站右端，有多少种排法? 【答案】(1)2880 (2)2880 (3)30960 【分析】（1）根据相邻问题捆绑法求解即可； （2）根据不相邻问题插空法求解即可； （3）根据特殊元素法求解即可. 【详解】（1）（捆绑法）由于女生排在一起，可把她们看成一个整体， 这样和4个男生合在一起有5个元素，排成一排有种排法， 而其中每一种排法中，4个女生间又有种排法， 因此共有（种）不同排法． （2）（插空法）先排4个男生，有种排法， 这4个男生之间和两端有5个位置，从中选取4个位置排女生，有种排法， 因此共有（种）不同排法． （3）（特殊元素法）当甲排在最右端时，该情况同时满足“甲不站左端”和“乙不站右端”两个条件，此时其余7人全排列，有种； 当甲不在最右边时，由于甲也不能在最左端，所以甲可从余下6个位置中任选一个，有种， 而乙不能在最右端，也不能在甲已选位置，所以乙有6个位置可选，有种， 其余人全排列，有种，共有种． 由分类加法计数原理，共有（种） 66．（2026高二·广东清远·期中）包含甲乙丙在内的7人站成一排. (1)一共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙两人必须站在两端的不同排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人均不相邻的不同排法有多少种？ (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序是“甲、乙、丙”的不同排法有多少种？ 【答案】(1)5040 (2)240 (3)720 (4)1440 (5)840 【详解】（1）7人站成一排，共有种不同的排法. （2）先排甲、乙两人，共有种不同的排法， 再排其他人，共有种不同的排法， 所以共有种不同的排法. （3）把甲、乙、丙三人看成一个整体，再与其他人一起排队， 所以共有种不同的排法. （4）先排其余4人，再把甲乙丙插入4人形成的5个空位（含两端），保证均不相邻， 所以共有种不同的排法. （5）7人的全排列中，甲乙丙的相对顺序共种，仅1种符合要求， 所以共有种不同的排法. 67．（2026高二·上海·期中）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，现需要制作节目单. (1)若要求3个舞蹈节目相邻，有多少种不同的排法？ (2)若要求2个小品节目不相邻，有多少种不同的排法？ (3)由于特殊原因，需要在定好的节目单上新加两个不同的节目，但不改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的排法？ 【答案】(1)720 (2)3600 (3)72 【分析】（1）将3个舞蹈节目看成一个元素，利用捆绑法求解即可； （2）将2个小品节目在其它5个节目之间留下的6个空位上安排，利用插空法求解即可； （3）将新增的两个节目放入原有7个节目排布产生的空位中，分放入同一个空位和放入两个不同的空位两种情况求解即得. 【详解】（1）依题意，只需将3个舞蹈节目看成一个元素，考虑内部排序，再与另外4个节目共5个元素全排，故共有不同的排法种数为种； （2）依题意，只需将2个小品节目在其它5个非小品节目之间留下的6个空位上进行安排，再考虑这5个节目的全排，故共有不同的排法种数为种； （3）将新增两个节目放入原有7个节目排布产生的8个空位中．若两个节目放入同一个空位，有种排法， 若两个节目不放入同一个空位，有种排法，故共有种排法. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $