2026年高考数学模拟预测卷3（全国二卷）

2026年高考数学模拟预测卷3（全国二卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若，为实数，且，则（   ） A．7 B．5 C． D． 3．已知直线，平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知公比的等比数列，且，，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 5．将6个相同的布娃娃、3个相同的陀螺、4只不同的风筝分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，陀螺不能全给同一位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝，其中甲风筝必须给周周小朋友，则不同的分配方案有（   ） A．420种 B．840种 C．960种 D．1280种 6．已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于A，B两点，且，若，椭圆C的离心率为，则（   ） A． B． C．2 D．3 8．已知函数的图象上存在四个点能够构成一个以坐标原点为对称中心的平行四边形，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某企业有员工600人，其中男员工400人，女员工200人．该企业按性别用比例分配的分层随机抽样方法抽取60人参加专业技术技能测试，在测试后统计成绩的结果如下：男员工的平均成绩为87分，方差为148，女员工的平均成绩为93分，所有参加专业技术技能测试的60人成绩的方差为196，则下列结论正确的有（    ） A．参加专业技术技能测试的60人中有女员工30人 B．所有参加专业技术技能测试的60人成绩的均值为89分 C．400名男员工中能被抽到参加测试的概率为 D．所有参加专业技术技能测试的60人中女员工成绩的标准差为 10．如图，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的正方形，侧面为正三角形，是的中点，点满足，其中，则（    ） A．与所成角的余弦值为 B．不存在点使得 C．若四棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 D．若，过点的平面与线段交于点，则 11．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数有三个零点 B． C．曲线上不同的两点，处的切线分别为，，若，则 D．若方程有三个不同的实数根，，，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某校计划将12个完全相同的社会实践名额分配给高三年级的3个班级，要求一班至少分配1个名额，二班至少分配2个名额，三班至少分配3个名额，则不同的分配方案数为______． 13．已知数列满足，，则数列的前5项的和为______． 14．已知是椭圆和抛物线的公共焦点，是的另一个焦点，是与的交点，若是等腰直角三角形，则的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，，对任意的，都有. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求满足的最大正整数. 16．（15分）如图，直角梯形ABCD中，，，，E为AB的中点，以DE为折痕把折起，使点A到点P的位置，且．    (1)设平面PBC与平面PDE的交线为l，证明：. (2)证明：平面； (3)求二面角的正切值． 17．（15分）已知双曲线的渐近线方程为，过点且与轴不重合的动直线交于、两点，当与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)在轴上是否存在一定点，使为定值，若存在，求出的坐标及的值；若不存在，说明理由． 18．（17分）某市为了丰富市民的娱乐文化生活，举办了“2026年元宵观灯和猜谜语文化节”.文化节期间，甲、乙两位好友进行猜谜语比赛游戏，游戏规则如下：每人有3次猜谜语的机会，若猜中即结束猜谜语，若猜不中则猜下一个谜语.记第次猜中得（）分（），若三次均未猜中则得分为0分.已知甲每次猜中的概率为，乙每次猜中的概率为，每次猜中与否互不影响，记甲猜谜语的次数的均值为. (1)求乙猜2次的概率； (2)记乙猜谜语的次数的均值为，若，求的取值范围； (3)已知，且甲最终的得分为，若，则认定甲是猜谜语高手.请问是否有理由认定甲是猜谜语高手？ 19．（17分）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若函数有两个零点，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟预测卷3（全国二卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ． 2．若，为实数，且，则（   ） A．7 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】首先根据条件转化为，再利用复数相等求参数. 【详解】由条件可知，即， 得且，解得，，所以. 3．已知直线，平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间线线、线面、面面的位置关系结合面面平行判定定理和线面平行性质定理逐项判断. 【详解】选项A：若，，则或，故A错误； 选项B：面面平行的判定定理：内两条相交直线，，则， 由于直线不一定相交，故命题不一定成立，故B错误； 选项C：若，，则，或，故C错误； 选项D：若，则垂直于平面内所有直线； 又，由线面平行性质定理可知：存在直线，使得， 又，所以，D正确. 4．已知公比的等比数列，且，，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【详解】已知数列是等比数列，公比为， 则由得，因为，，所以， 又因为，则，，故A正确． 5．将6个相同的布娃娃、3个相同的陀螺、4只不同的风筝分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，陀螺不能全给同一位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝，其中甲风筝必须给周周小朋友，则不同的分配方案有（   ） A．420种 B．840种 C．960种 D．1280种 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数，结合隔板法及排列组合综合问题列式求解. 【详解】不同的分配方案需要3步： 将6个相同的布娃娃分给3位小朋友，每一位小朋友至少有一个布娃娃，有种方法； 将3个相同的陀螺分给3位小朋友，且不能全给同一位小朋友，有种； 将4只不同的风筝分给3位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝， 其中甲风筝必须给周周小朋友，有种， 所以不同的分配方案有（种）. 6．已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正余弦定理和三角恒等变换公式可得，结合正切两角和差公式可得，换元令，利用基本不等式可得最值. 【详解】由及，可得， 化简可得，由正弦定理边角互化可得， 则有，即， 所以，，， 令，， 由均值不等式，当且仅当，即时取等号，此时. 所以的最大值为.故选：D. 7．已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于A，B两点，且，若，椭圆C的离心率为，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】由椭圆定义结合勾股定理求解. 【详解】由，可知，即， ，，因为，所以，， 设，则，由椭圆定义可得，， 在中，，所以， 即，化简得，即， 所以，， 在中，，可得， 即，解得. 8．已知函数的图象上存在四个点能够构成一个以坐标原点为对称中心的平行四边形，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合中心对称的坐标性质，将平行四边形存在性问题转化为方程根的个数问题，再通过构造函数利用导数分析单调性与值域，求解参数的取值范围. 【详解】∵ 平行四边形以原点为对称中心， ∴ 若点在的图像上，则其关于原点的对称点也在的图像上，设四个顶点分别为，其中. 当时，，对应对称点为，该点位于的图像上，故满足， 即问题等价于方程在上有两个不同的正实根. 将方程变形得，设，当时，，故在上单调递增. 当时，，，故，，方程无解. 当时，，，结合的单调性，等价于，即. 设，求导得. ∵ 当时，，故，单调递增； 当时，，故，单调递减. ∴ 的最大值为. 又当时，；当时，， 故要使有两个不同的解，需，即. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某企业有员工600人，其中男员工400人，女员工200人．该企业按性别用比例分配的分层随机抽样方法抽取60人参加专业技术技能测试，在测试后统计成绩的结果如下：男员工的平均成绩为87分，方差为148，女员工的平均成绩为93分，所有参加专业技术技能测试的60人成绩的方差为196，则下列结论正确的有（    ） A．参加专业技术技能测试的60人中有女员工30人 B．所有参加专业技术技能测试的60人成绩的均值为89分 C．400名男员工中能被抽到参加测试的概率为 D．所有参加专业技术技能测试的60人中女员工成绩的标准差为 【答案】BD 【分析】由分层抽样可判断A；利用抽样比可求得抽取的男、女员工人数，进而可得到男员工被抽到的概率，判断C，再结合分层抽样的均值、方差公式可判断B、D. 【详解】设参加专业技术技能测试的60人中，女员工有人，则，解得，故A错误．设60人中男员工的平均成绩为，方差为，女员工的平均成绩为，方差为，所有参加测试的60人的平均成绩为，方差为，则 所有参加专业技术技能测试的60人成绩的均值，故B正确． 名男员工中被抽到参加测试的人数为,则名男员工中能被抽到参加测试的概率为，故C错误． ，解得 所有参加专业技术技能测试的60人中女员工成绩的标准差为，故D正确． 10．如图，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的正方形，侧面为正三角形，是的中点，点满足，其中，则（    ） A．与所成角的余弦值为 B．不存在点使得 C．若四棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 D．若，过点的平面与线段交于点，则 【答案】ACD 【分析】取中点中点，可证直线两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，对于A，求出直线方向向量的夹角的余弦值后可判断其正误，对于B，根据向量垂直的坐标形式可判断存在，故可判断其正误，对于C，求出球心坐标后再求半径后可判断其正误，对于D，设，则由四点共面得坐标关系后求出，故可判断其正误. 【详解】取中点中点，连接，则. 又平面平面，平面平面平面， 所以平面.因为平面，所以， 所以直线两两垂直， 故以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则, ，， 故，A正确； 因为， 故）， 若，则， 即， 解得或，所以存在点，使得B错误； 设交于点，则球心在过且垂直于平面的直线上， 则可设球心为，又， 所以，解得， 所以外接球半径，外接球表面积为，C正确； 设，则 . 因为共面，则共面， 故存在唯一实数对，使得， 即 ，所以， 解得，D正确. 故选：ACD. 11．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数有三个零点 B． C．曲线上不同的两点，处的切线分别为，，若，则 D．若方程有三个不同的实数根，，，则 【答案】BCD 【分析】求导，根据导数得函数单调性，根据零点的存在性定理判断A；根据对称性质及单调性计算判断B；根据导数的几何意义解方程判断C；根据题意化简计算判断D. 【详解】由，得， 令，得，令，得或， 所以在区间单调递减，在区间，单调递增. 对于A，因为，，， 所以在区间内存在1个零点，故在上有2个零点，故A错误； 对于B，因为， 所以的图象关于点中心对称， 令，得， 又，所以，故B正确； 对于C，依题意，即， 所以，因为，所以.故C正确； 对于D，设， 所以，所以为定值，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某校计划将12个完全相同的社会实践名额分配给高三年级的3个班级，要求一班至少分配1个名额，二班至少分配2个名额，三班至少分配3个名额，则不同的分配方案数为____________． 【答案】 【详解】先安排1个名额给二班，安排2个名额给三班， 再将剩余9个名额利用隔板法分为三个部分，这三个部分对应到三个班级即可， 用2个隔板将剩余9个名额分为三个部分均有名额的分法有种. 前面一组分到一班，第二个部分分到二班，第三个部分分到三班. 所以不同的分配方案数为 13．已知数列满足，，则数列的前5项的和为______． 【答案】 【分析】通过累加法得出数列的通项即可得数列通项，再利用裂项相消可得答案. 【详解】已知数列满足，， 所以， 累加可得， 即，所以，当时，，符合通项公式， 所以，所以的前5项的和为. 14．已知是椭圆和抛物线的公共焦点，是的另一个焦点，是与的交点，若是等腰直角三角形，则的离心率为__________． 【答案】 【分析】过作准线的垂线，设垂足为，通过是等腰直角三角形，结合抛物线和椭圆定义即可求解. 【详解】如图，因为是的公共焦点，是的另一个焦点，所以的准线经过点． 根据对称性，不妨令在第一象限．因为是等腰直角三角形，所以． 过作准线的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形， 则．又，所以，即． 设，则，则的离心率为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，，对任意的，都有. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求满足的最大正整数. 【答案】(1)， (2)8 【分析】（1）先求出，再得出，再利用条件得出数列的首项和公差即可； （2）利用错位相减法求出，再结合解不等式求出答案. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，两项相除得， 当时，，所以，满足式， 综上所述，，所以，， 设数列的公差为，则，解得或， 因为，所以，所以； （2）由（1）知，所以单调递增， 因为①， ②， ①－②得，所以， 因为，，所以， 故满足的最大正整数为8. 16．（15分）如图，直角梯形ABCD中，，，，E为AB的中点，以DE为折痕把折起，使点A到点P的位置，且．    (1)设平面PBC与平面PDE的交线为l，证明：. (2)证明：平面； (3)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析； (3) 【分析】（1）作出辅助线，得到线面平行，进而得到线线平行； （2）由勾股定理逆定理得线线垂直，进而得到线面垂直； （3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而得到二面角的余弦值和正切值 【详解】（1）因为，E为AB的中点，所以， 因为，所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 又平面与平面的交线为l，平面，所以 （2）因为，E为AB的中点，所以， 因为，，所以平行四边形为正方形，⊥， 故， 又，故，由勾股定理逆定理可得， 折叠过程中，⊥，又，平面，所以平面； （3）由（2）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，故，设平面的一个法向量为， 则，令，则，故， 则，设二面角的夹角为，由图可知为钝角，故，所以，所以.    17．（15分）已知双曲线的渐近线方程为，过点且与轴不重合的动直线交于、两点，当与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)在轴上是否存在一定点，使为定值，若存在，求出的坐标及的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点，定值为 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出双曲线的方程； （2）根据题意设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，化简的表达式，根据为定值可得出关于的等式，解出的值，即可得出结果. 【详解】（1）由的渐近线方程为，得①， 由，根据双曲线的对称性，不妨设，则②， 由①②得，，所以双曲线的方程为． （2）根据题意设直线的方程为， 将的方程代入双曲线方程，得， 且， 设点、，由韦达定理得，， 假设存在满足题意，则 要使为定值，则上式需与无关，则，解得，此时． 所以存在点使得为定值，定值为． 18．（17分）某市为了丰富市民的娱乐文化生活，举办了“2026年元宵观灯和猜谜语文化节”.文化节期间，甲、乙两位好友进行猜谜语比赛游戏，游戏规则如下：每人有3次猜谜语的机会，若猜中即结束猜谜语，若猜不中则猜下一个谜语.记第次猜中得（）分（），若三次均未猜中则得分为0分.已知甲每次猜中的概率为，乙每次猜中的概率为，每次猜中与否互不影响，记甲猜谜语的次数的均值为. (1)求乙猜2次的概率； (2)记乙猜谜语的次数的均值为，若，求的取值范围； (3)已知，且甲最终的得分为，若，则认定甲是猜谜语高手.请问是否有理由认定甲是猜谜语高手？ 【答案】(1) (2) (3)有理由认定甲是猜谜语高手 【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式计算即可； （2）先分别求出甲，乙两人猜谜语次数的期望，再根据列不等式求解即可； （3）根据求出，再求出甲最终得分的期望，验证是否满足即可判断. 【详解】（1）记“乙猜2次”为事件，则，所以乙猜2次的概率为； （2）甲猜谜语的次数的可能值为1，2，3 ，， 所以， 乙猜谜语的次数的可能值为1，2，3因为乙每次猜中的概率为， 所以，，， ， 因为，所以，解得或， 因为，所以； （3）因为，则由（2）知， 解得或，因为，所以， 甲最终的得分为，则的可能值为0，1，2，3， ，， ，，所以， 所以，所以有理由认定甲是猜谜语高手. 19．（17分）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若函数有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)的极大值为，的极小值为 (2) 【分析】（1）代入已知条件对函数表达式求导，求的根，然后判断函数的单调性并确定极值； （2）将问题转化为直线与曲线令有两个交点，然后构造函数，求导确定单调性，进而确定的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 令，，，或，单调递增， ，，单调递减， 当时，取得极大值，， 当时，取得极小值，， 因此的极大值为，的极小值为. （2）函数，令，即， 因为，所以，即。令， 则函数有两个零点转化为直线与曲线有两个交点. 又，因为恒成立， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则在处取得极小值，也是最小值，. 当，，，， 当，，，， 要使直线与曲线有两个交点，则， 的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考数学模拟预测卷3（全国二卷) (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x∈Nx-4x≤0，B={l1og(x-)<交，则AnB=() A.1,2} B.{2,3} Cc.{1,2,3} D.{2,3,4} 【答案】D 【详解】A={x∈N2-4≤0=xeN0≤x≤4}0,12,3,4}， B={x1log2(x-1)<2}={x0<x-1<4}={x1<x<5},AnB={2,3,4} 2.若a,b为实数，且a=b-i,则a+b=() 2+i A.7 B.5 C.-5 D.-7 【答案】A 【分析】首先根据条件转化为(2+i)(b-i)=a,再利用复数相等求参数 【详解】由条件可知(2+i)(b-i)=a,即(2b+1)+(b-2)i=a, 得b-2=0且2b+1=a,解得a=5,b=2,所以a+b=7. 3.已知直线l,,n,平面，B,则下列说法正确的是() A.若a∥B,m∥a,则m∥B B.若l∥B,∥B,lc,mca,则&∥B C.若⊥a,m⊥n,则n∥a D.若m⊥&，n∥c,则m⊥n 【答案】D 【分析】根据空间线线、线面、面面的位置关系结合面面平行判定定理和线面平行性质定理 逐项判断. 【详解】选项A:若u/1B,m/1o,则mCB或m/IB,故A错误： 选项B:面面平行的判定定理：a内两条相交直线1，m,1∥B,∥B,则&/B, 由于直线l,m不一定相交，故命题不一定成立，故B错误： 选项C:若m⊥oa,m⊥n,则nca,或n/la,故C错误： 选项D:若m⊥o,则m垂直于平面a内所有直线： 又n/1ox,由线面平行性质定理可知：存在直线mca,使得m/n, 又m⊥m,所以m⊥n,D正确 4.已知公比9≠0的等比数列{a},且a4=a4,4+4=4，则9=() A.3 B.2 C.1 D 3 【答案】A 【详解】已知数列{a}是等比数列，公比为9， 则由a43=a4得4q4q=4q，因为4≠0，q≠0，所以a=1, 又因为4+4，=4，则4，=4-4=3，q=g=3,故A正确。 5.将6个相同的布娃娃、3个相同的陀螺、4只不同的风筝分给3位小朋友，要求每一位小 朋友至少有一个布娃娃，陀螺不能全给同一位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝，其中 甲风筝必须给周周小朋友，则不同的分配方案有() A.420种 B.840种 C.960种 D.1280种 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数，结合隔板法及排列组合综合问题列式求解。 【详解】不同的分配方案需要3步： 将6个相同的布娃娃分给3位小朋友，每一位小朋友至少有一个布娃娃，有C种方法： 将3个相同的陀螺分给3位小朋友，且不能全给同一位小朋友，有1+CA种： 将4只不同的风筝分给3位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝， 其中甲风筝必须给周周小朋友，有A+CA种， 所以不同的分配方案有C2(1+CA)(A+CA)=10x7×12=840(种) 6.已知三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b.ca=c+B,则tan(A-B)的最 2 大值为() A.5 B.23 C.35 3 D 【答案】D 【分析】由正余弦定理和三角恒等变换公式可得tamA=3tanB,结合正切两角和差公式可得 tan(A-B)= +3anB'换元令t=tanB,利用基本不等式可得最值 2tan B 【详解】由d-+分及d-6+e2-2冰,可得2+公-方+62-cosA, 化简可得c=4 bcosA,由正弦定理边角互化可得sinC=4 sin BcosA, 则有sin(A+B)=4 sin B cosA,即sin Acos B+cos Asin B=4 sin BcosA, tan A-tan B 2tan B sin AcosB=3sin B cosA,tan A=3tan B,tan(A-B)= 1+tan Atan B 1+3tan2 B' 、令t=:tan B(1>0,f四=1+=，2 +3t’ 由均值不等式}+3≥25，当且仅当}，即=5时取等号，此时a4-B)5,2=5 3 253 所以an(A-B)的最大值为 2故选：D. 3 7.已知乃，乃分别为椭圆C:+之=1(@>b>0)的左、右焦点，过的直线与椭圆交于 A,B两点，且A5=BB,若B丽BA-ABP,椭圆C的离心率为5，则1=（) A B. 3 C.2 D.3 【答案】A 【分析】由椭圆定义结合勾股定理求解 【详解】由BE BA-AB,可知(BA+A)BA=ABP,即BA+A正BA=|ABP, 丽4=0，上4，因为：台要所以c9,e, a 2 设A耳=x,x>0,则B耳=x,由椭圆定义可得A耳=2a-x,B=2a-2x, 在Rt△AEE中，AE+AE=EE,所以(2a-x)+x2=4c2, 即4ad2-4m+2x2=2a2,化简得(x-a)=0,即x=a, 所以AE=a,AB=A+BF=(2+1)x=(2+1)a,BE=(2-)a, 在Rt△AB中，A+AB=|BF,可得d2+(a+1'ad=(2-}ad, 即1+元2+2+1=4-41+22，解得元= 3 -Inx,x0 8.已知函数f(x) me,x0,m0的图象上存在四个点能够构成一个以坐标原点O为对称 中心的平行四边形，则实数m的取值范围为() 1 1 A. 0, B. e 0. 【答案】A 【分析】结合中心对称的坐标性质，将平行四边形存在性问题转化为方程根的个数问题，再 通过构造函数利用导数分析单调性与值域，求解参数的取值范围. 【详解】：平行四边形以原点O为对称中心， ∴若点A(x,)在f(x)的图像上，则其关于原点的对称点A'(-x,-y)也在f(x)的图像上，设 四个顶点分别为A(x1,f(x),B(x,f(x3),A(,f(:),B(x3,f(x3),其中 >0,x2>0,≠52 当x>0时，f(x)=-nx,对应对称点为(x,hx),该点位于x<0的图像上，故满足 f(-x)=mem()=mem=x, 即问题等价于方程mer=lnx在x>0上有两个不同的正实根， 将方程变形得xlnx=x.ex,设h(t)=te,当t>0时，()=e(1+t)>0,故ht在(0，+o) 上单调递增 当0<x≤l时，nx≤0，x>0,故h(hx)=lnx.enr≤0，h(x)=xem>0,方程无解 当x>1时，hx>0,nx>0,结合h的单调性，hn)=h0)等价于nx=x,即m=血x 设g()=x>1,求导得g)=1-nx x2 ,当x∈(1，e)时，1-nx>0,故g'(x)>0,g(x)单调递增： 当x∈(e,+o)时，1-lnx<0,故8'(x)<0,g(x)单调递减. ÷s)的最大值为g(e)=血e- ee 又当x→1时，8(x)→0：当x→+0时，8(x)→0， 故要使m.有两个不同的解，需0<m<,即m∈(0， e 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某企业有员工600人，其中男员工400人，女员工200人.该企业按性别用比例分配的 分层随机抽样方法抽取60人参加专业技术技能测试，在测试后统计成绩的结果如下：男员 工的平均成绩为87分，方差为148，女员工的平均成绩为93分，所有参加专业技术技能测 试的60人成绩的方差为196，则下列结论正确的有() A.参加专业技术技能测试的60人中有女员工30人 B.所有参加专业技术技能测试的60人成绩的均值为89分 C.400名男员工中能被抽到参加测试的概率为0 D.所有参加专业技术技能测试的60人中女员工成绩的标准差为2√67 【答案】BD 【分析】由分层抽样可判断A:利用抽样比可求得抽取的男、女员工人数，进而可得到男员 工被抽到的概率，判断C,再结合分层抽样的均值、方差公式可判断B、D 【详解】设参加专业技术技能测试的60人中，女员工有x人，则60三。 ,解得x=20, 600200 故A错误.设60人中男员工的平均成绩为x,方差为s,女员工的平均成绩为可，方差为 s,所有参加测试的60人的平均成绩为三，方差为52，则x=87,=148,)=93,s2=196, ~所有参加专业技术技能测试的60人成绩的均值三=60-20× 20 60x87+ ×93=89,故B正确. 60 :400名男员工中被抽到参加测试的人数为60-20=40，则400名男员工中能被抽到参加测 试的服率为褐六放口错误。 196-88+-网门器-(03-9]，解得=28 .所有参加专业技术技能测试的60人中女员工成绩的标准差为√268=267，故D正确. 10.如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形， 侧面PAD为正三角形，M是PA的中点，点N满足PN=PC,其中1∈[0,1]，则() A.BM与PC所成角的余弦值为0 B.不存在点N使得DN⊥BN C.若四棱锥P-ABCD的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 3 t D.若2-分过点MNB的平面与线段PD交于点②，则% PD 3 【答案】ACD 【分析】取AD中点O,BC中点Z,可证直线OP,OA,OZ两两垂直，故可建立如图所示的空 间直角坐标系，对于A,求出直线方向向量的夹角的余弦值后可判断其正误，对于B,根据 向量垂直的坐标形式可判断入存在，故可判断其正误，对于C,求出球心坐标后再求半径后 可判断其正误，对于D,设PO=tPD,则由四点共面得坐标关系后求出t,故可判断其正误， 【详解】取AD中点O,BC中点Z,连接OP,OZ,则OZ⊥AD,OP⊥AD 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,OPC平面PAD, 所以PO⊥平面ABCD.因为OZc平面ABCD,所以PO⊥OZ, 所以直线OP,OA,OZ两两垂直， 故以O为原点，OA,OZ,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则4LaoB20)c(←l2o叭.PQa.n-1aoM59 P0,=26).丽-L2同M-专2 2 故cos(Bi,Pc BM·PC 上5-1o BM PC V5×2V24,A正确： 因为DN=DP+Pm=DP+PC=(1-元，22,5-52)BN=BP+Pm, 故BW=BP+1PC=(-1-2,-2+2N5-√51)， 若DN⊥BN,则DN.B=0, 即1-元225-52)(1-元，-2+2元，6-元822102+2=0， 解得2=1或入-子，所以存在点N,使得DN1BN,B错误， 设OZ交BD于点O,则球心在过O且垂直于平面ABCD的直线上， 则可设球心O3为(0,1，)，又O3A=OP, 所以V2+1P+=1+e-V3,解得z= 3 3 所以外接球半径R 外接球表面积为4R=登，c正隔： 设P四=tPD,则BM BO=BP+PO=BP+iPD=(-1-t,-2,3-3t) 因为M,N,B,2共面，则BM,BN,BQ共面， 故存在唯一实数对(m,n),使得BO=mBM+nB, -2=-2m-n 3 35」 1 3 n,-2l-, -+ 2 2 所以-1-t= 2 -VB- 2 2 解得1= 3,D正确 故选：ACD 11.已知函数fw=x-1x2, 则下列说法正确的是() 32 A.函数f(x)有三个零点 B.f0.)+f0.9)<6 1 C.曲线y=f(x)上不同的两点A(s,y),B(x,y)处的切线分别为，2，若川，则 龙+5=1 D,若方程四=有它个不同的实数根x,5,专，则5+水+水号 【答案】BCD 【分析】求导，根据导数得函数f(x)单调性，根据零点的存在性定理判断A:根据对称性 质及单调性计算判断B；根据导数的几何意义解方程判断C；根据题意化简计算判断D. 【详解】由f)=-x2,得f的=-x, 3 2 令f'(x)<0,得0<x<1,令f'(x)>0,得x<0或x>1, 所以f(x)在区间(0,1)单调递减，在区间(-∞，0)，(1，+)单调递增 对于A因为f0-名0J0=0,fQ)号 6 所以f(x)在区间(1,2)内存在1个零点，故f(x)在R上有2个零点，故A错误； 对于B,因为 合店列任任。 (仁中心对称， 所以田的图象关于点212) 令x=04,得f0.)+f0.9)=-石 1 又0)>f09,所以0)+0网<0)+J0列-名枚B正确： 对于C,依题意f'()=∫'(x),即x-=x-x, 所以(：-x2)(:+x3-1)=0,因为x≠2，所以x+x=1.故C正确： 对于D,设)-11--0--》， 所以-++)=分所以+5+与弓为定值，放D正确 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某校计划将12个完全相同的社会实践名额分配给高三年级的3个班级，要求一班至少 分配1个名额，二班至少分配2个名额，三班至少分配3个名额，则不同的分配方案数为 【答案】28 【详解】先安排1个名额给二班，安排2个名额给三班， 再将剩余9个名额利用隔板法分为三个部分，这三个部分对应到三个班级即可， 用2个隔板将剩余9个名额分为三个部分均有名额的分法有C=28种 前面一组分到一班，第二个部分分到二班，第三个部分分到三班 所以不同的分配方案数为28 13.己知数列{a}满足4=2，a+1-a=21+20neN+),则数列 的前5项的和为 【答案】 【分析】通过累加法得出数列{a}的通项即可得数列 通项，再利用裂项相消可得答案， 【详解】已知数列{a}满足4=2，ah-a.=2n+20neN+), 所以4-41=4,43-a3=6,44-43=8,,0n-a-1=2n, 累加可得a-4=4+6+8++21=4+2701-D=6m+201-), 即a-2=m+n-2,所以a4.=(n+1),当n=1时，4=2，符合通项公式， u日的5项的和防81卡 a 2233445566 4已知P是椭圆飞花+1a>6>0)和抛物线码y2x(p>0)的公共焦点，R是 的另一个焦点，M,N是E与E,的交点，若△N是等腰直角三角形，则耳，的离心率为 【答案】√2-1 【分析】过M作E,准线的垂线，设垂足为M,通过△M耳是等腰直角三角形，结合抛 物线和椭圆定义即可求解。 【详解】如图，因为F是E,E2的公共焦点，耳是E的另一个焦点，所以E2的准线经过点耳， 根据对称性，不妨令M在第一象限.因为△FMN是等腰直角三角形，所以∠MRF=45°. 过M作E,准线的垂线，垂足为M,则△M4耳是等腰直角三角形， 则41=M.又MM=MF,所以MF=M,即MF⊥FR. 安到，则-(5-2a则三的心*为后可-1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知数列{an}是等差数列，{b}是正项等比数列，且4>0，b=aa4,b=46, 对任意的neN，都有log,4+log,b++log:b,=- 2 (1)求数列{a}和{b}的通项公式： (2)记数列{ab,n}的前n项和为S,求满足S,<2026的最大正整数n. 【答案】(1)bn=2m-1(n∈N),a=n (2)8 n(n1) 【分析】(1)先求出bb,-b,=2,再得出b.=2-，再利用条件得出数列{a,}的首项和 公差即可： (2)利用错位相减法求出Sn=(-1)2”+1,再结合解不等式求出答案 详解1K1D因为10g,4+1bg,么++1og,.=bg,a46)”2D,所以h6b.=2”, (n-1) 2 当n≥2时，的b=22,两项相除得=2 n(m-1).（m-1001-2 =2-1(*) 当n=1时，log2b=0,所以b=1,满足(*)式， 综上所述，b=2m-1(n∈N),所以b4=23=8,b=24=16, 43 4068，那 4=1 4= 7 设数列{a}的公差为d,则 b=46=4+15d=16 (a1或 31 d= 21 4=1 因为4>0，所以d-1所以a=a+m-Dd=1+n-1=n: (2)由(1)知a,bn=n×2-1>0,所以Sn=ab+b++ab.单调递增， 因为Sn=12°+22+32++1.2m1①， 2Sn=12+2.22++(0n-1)2-1+n-2"②， ①-②得-8=2+2+2++2-21-2n2”=0-02-1,所以8，=a-)2+1, 1-2 因为S=7×23+1=1793,S=8×2+1=4097,所以S<2026<S, 故满足S.<2026的最大正整数n为8. 5分)如图，直角梯形BCD中，AB/1CD,AB L BC,BC=CDAB2 AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到点P的位置，且PC=2√3. E B (1)设平面PBC与平面PDE的交线为1，证明：BC/l. (2)证明：PE⊥平面BCDE: (3)求二面角B-PC-D的正切值. 【答案】(1)证明过程见解析： (2)证明过程见解析： 3)-3 【分析】(1)作出辅助线，得到线面平行，进而得到线线平行： (2)由勾股定理逆定理得线线垂直，进而得到线面垂直： (3)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而得到二面角的余弦值和正切值 详解】(1)因为CD=AB=2,E为AB的中点，所以BE=CD 因为EB/ICD,所以四边形BEDC为平行四边形，故BC//DE, 因为DEC平面PDE,BC丈平面PDE,所以BCII平面PDE, 又平面PBC与平面PDE的交线为l,BCc平面PBC,所以BC/Il (2)因为AB=4,E为AB的中点，所以PE=AE=2, 因为AB⊥BC,BE=BC=2,所以平行四边形BEDC为正方形，DE⊥AB, 故CE=VBC2+BE2=2√2， 又PC=2√3，故PE2+CE2=PC2,由勾股定理逆定理可得PE⊥CE, 折叠过程中，DE⊥PE,又DE OCE=E,DE,CEC平面BCDB,所以PE⊥平面BCDE: (3)由(2)知，BE,DE,PE两两垂直， 以E为坐标原点，BE,DE,PE所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则B(2,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),PD=(0,2,-2),PC=(2,2,-2)PB=2,0,-2), m-PD=(ab,c)(0,2,-2)=2b-2c=0 设平面PcD的一个法向量为m=(a,b,c),则 m.PC=(abc)(2,2,-2)=2a+2b-2c=0 令b=1,则c=1,a=0,故m=(0,1,1),设平面PCB的一个法向量为n=(xy,), mPB=(xy)-(2,0,-2)=2x-2z=0 .P元=(Gy(22,-2习)=2x+2y-2z=0令x=1,则y=0=1,故1=(10,1， 则 则cos(,风=T 可V0+1+1×+0+12,设二面角8-PC-D的夹角为0，由图可知6 n.n (0,1,1)(1,0,1)1 为钝角，故cos6=- 所以0-于，所以m0=-5 H B 17.(15分)已知双曲线C:￡立 2=1a>0,b>0)的渐近线方程为y=±2x,过点2(4,0 且与x轴不重合的动直线l交C于A、B两点，当1与x轴垂直时，AB=6. (1)求双曲线C的方程： (2)在x轴上是否存在一定点M,使MA.MB为定值，若存在，求出M的坐标及MA.MB的 值：若不存在，说明理由。 【答案】)上=1 (2)存在，点M -,0 43 8 定值为-135 64 【分析】(1)根据已知条件可得出关于a、b的方程组，解出2、b2的值，即可得出双曲线 C的方程： (2)根据题意设直线1的方程为x=w+4,设点A(:,乃)、B(x,y),将该直线方程与双 曲线C的方程联立，列出韦达定理，化简MA.MB的表达式，根据MAMB为定值可得出关 于n的等式，解出n的值，即可得出结果 【详解】(1)由C的渐近线方程为y=士x,得-50， a 169 由4到=6，根据双曲线的对称性，不纺设4(4,3)，则疗1@， 由0②得行：4，分=3，所以双曲线C的方程为号苦1 (2)根据题意设直线1的方程为x=y+4, 将1的方程代入双曲线方程号号=1，得（(3m-4y424+36=0: △=(24m-4(3m2-4)×36=144m2+576>0且3m2-4≠0， 24m 36 设点A(,y)、B(,),由韦达定理得片+少=3-4'M3-4 假设存在M(,O)满足题意，则MA·B=(化1-n)2-n)+yy2 =(+4-n)(y2+4-n)+3=(m2+1)y+(4-n)m(4+2)+(4-) =n54-m4+4-网-2no5- 32-4 要使面西为定位，则上式西与加无关。则2,0行解得”号此时 3 ☑.wMB=-135 64 所以存在点M80使得函M远为定值，定值为 11 64 18.(17分)某市为了丰富市民的娱乐文化生活，举办了“2026年元宵观灯和猜谜语文化节”. 文化节期间，甲、乙两位好友进行猜谜语比赛游戏，游戏规则如下：每人有3次猜谜语的机 会，若猜中即结束猜谜语，若猜不中则猜下一个谜语记第1次猜中得(4-i)分(i=1,2,3), 若三次均未猜中则得分为0分.己知甲每次猜中的概率为p(0<卫<1)，乙每次猜中的概率为 每次猜中与否互不影响，记甲猜谜语的次数X的均值为8(). 3 (1)求乙猜2次的概率： (2)记乙猜谜语的次数5的均值为E(),若E()>E(),求P的取值范围： 中=，5，且甲最终的得分为Y,若)>E(),则认定甲是猜谜 2 是否有理由认定甲是猜谜语高手？ 【答案1a号 2 (2)0<p< (3)有理由认定甲是猜谜语高手 【分析】(1)利用相互独立事件乘法公式计算即可： (2)先分别求出甲，乙两人猜谜语次数的期望，再根据E(X)>E()列不等式求解即可： (3)根据B)=3 3 求出P,再求出甲最终得分的期望，验证是否满足B(门>2B()即可 25 判断。 【详解11)记乙猜2次为事件4，则P①=1-引×名名，所以乙猜2次的概率为3 339 (2)甲猜谜语的次数X的可能值为1,2,3 P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)P,P(X=3)=(1-p) 所以E(X)=1×p+21-p)p+31-p)2=p-3p+3, 乙猜谜语的次数5的可能值为1,2,3因为乙每次猜中的概率为 3 所以g0-=习-号P=习村 -339 2 113 @武⑤)1x3+2×+3x产 9 99 因为打>8阳，所以Fp3号解得巴或P子 7 2 因为0<p<1,所以0<p<3 3》因为五W=8,则由2)知p-3p+3 39 25 解P-或p-号，因为0<p<1,所以p- 12 3 甲最终的得分为Y,则Y的可能值为0,1,2,3， w==1-引名w=0-所以0n-0含1品2名 3297 5125 所以积器子所以名强由认定甲足清装的商于 19.(17分)己知函数f(x)=e(x2-2x-a) (1)若a=-1,求函数f(x)的极值： (2)若函数g(x)=f(x)-2x有两个零点，求a的取值范围. 【答案】①)f田)的极大值为4，f()的极小值为0 (2(-1-2+m） e e 【分析】(1)代入己知条件对函数表达式求导，求∫'(x)=0的根，然后判断函数的单调性并 确定极值； (2)将问题转化为直线y=a与曲线令h(x)=x2-2x 2x有两个交点，然后构造函数，求导 确定单调性，进而确定a的取值范围. 【详解】(1)当a=-1时，f(x)=e(x2-2x+),则f"(w)=e(x2-1), 令f'(x)=0,x=士1，f'(x)>0,x>1或x<-1,f(x)单调递增， '(x)<0,-1<x<1,f(x)单调递减， 当x=-1时，f(9取得极大值，f(-1)= e 当x=1时，∫()取得极小值，f)=0, 因此∫：)的极大值为4，才(x)的极小值为0. e (2)函数g(x)=f(x)-2x=e*(x2-2x-a-2.x,令8(x)=0,即e'(x2-2x-)-2x=0, 因为e>0,所以2xa0,即a2x.令)-2x2 e 则函数g(x)有两个零点转化为直线y=a与曲线y=h(x)有两个交点 又0=2x-2-202+子，因为e+>0恒成立。 ex 所以当x<1时，1(x)<0,h(x)在(-o,1)上单调递减， 当x>1时，H(x)>0,h(x)在(1，+o)上单调递增， 则h)在r=1处取得极小值，也是最小值，0=-1- e 当x→-0，x2-2.x→+0， 2x→+0，)→+0， e 当x→*0，-2x→+0，→0，→+0 要使直线y=a与曲线y=()有两个交点，则a>-1-， a的取值范围为(-1-2，+0). e2026年高考数学模拟预测卷3（全国二卷） (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x∈Nx-4x≤0，B={l1og(x-)<交，则AnB=() A.1,2} B.{2,3} C.{1,2,3} D.{2,3,4} 2.若a,b为实数，且2升，=b-i,则a+b=《) A.7 B.5 C.-5 D.-7 3.已知直线l,m,n,平面a,B,则下列说法正确的是（) A.若a∥B,m∥a,则m∥B B.若l∥B,m∥Blca,mCa&,则a∥B C.若m⊥，m⊥n,则n∥ D.若m⊥&，n∥a,则m⊥n 4.已知公比q≠0的等比数列{an},且a4=a4,4+4=4,则9=() A.3 B.2 C.1 n青 5.将6个相同的布娃娃、3个相同的陀螺、4只不同的风筝分给3位小朋友，要求每一位小 朋友至少有一个布娃娃，陀螺不能全给同一位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝，其中 甲风筝必须给周周小朋友，则不同的分配方案有() A.420种 B.840种 C.960种 D.1280种 6.已知三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,d2=c2+b2,则tan4-B)的最 2 大值为() A.5 B.2√3 C.35 D √3 7.已知，乌分别为椭圆C二+片=1a>b>0的左、右焦点，过g的直线与树圆交于 A,B两点，且A丽=B,若B丽BAAB,椭圆C的离心率为5，则元=() 2 2 A·3 B.3 C.2 D.3 -Inx,x0 8.已知函数f(x)= mc,x0,m0的图象上存在四个点能够构成一个以坐标原点O为对称 中心的平行四边形，则实数的取值范围为() A.0, 1 B.0. C. D (e 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.某企业有员工600人，其中男员工400人，女员工200人.该企业按性别用比例分配的 分层随机抽样方法抽取60人参加专业技术技能测试，在测试后统计成绩的结果如下：男员 工的平均成绩为87分，方差为148，女员工的平均成绩为93分，所有参加专业技术技能测 试的60人成绩的方差为196，则下列结论正确的有() A.参加专业技术技能测试的60人中有女员工30人 B.所有参加专业技术技能测试的60人成绩的均值为89分 c.40名男员工中能被抽到参加测试的概率为20 D.所有参加专业技术技能测试的60人中女员工成绩的标准差为2√67 I0.如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,底面ABCD是 边长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，M是PA的中点，点N满足 P=PC,其中元∈[0,1]，则() A.BM与PC所成角的余弦值为Vd B.不存在点N使得DN⊥BN C.若四棱锥P-ABCD的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 2 D.若=片过点MNB的平面与线段PD交T点Q,则侣号 PD 3 1.已知函数f)=-)x,则下列说法正确的是() 3 2 A.函数f(x)有三个零点 B.f0.)+f0.99<- 6 C.曲线y=f(x)上不同的两点A(5,),B(6,y2)处的切线分别为，1，若川，则 +6=1 D.者方程四=有三个不同的实数根y,6,则x+x+无 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某校计划将12个完全相同的社会实践名额分配给高三年级的3个班级，要求一班至少 分配1个名额，二班至少分配2个名额，三班至少分配3个名额，则不同的分配方案数为 13.己知数列{a}满足4=2,4+1-a=2n+2∈N+),则数列 1 的前5项的和为 4,已知F是椭圆g+片a心b>0和揽物线马，y2p四(p>0)的公类焦点，是E的 另一个焦点，M,N是E与E2的交点，若△N是等腰直角三角形，则E的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知数列{a}是等差数列，{b}是正项等比数列，且4>0，b4=a4,b=46, 对任意的neN,都有log,么+1og,4,++log,b.=n0n-) 2 (1)求数列{a}和{b}的通项公式： (2)记数列{ab,n}的前n项和为Sm,求满足S.<2026的最大正整数n. 16.(15分)如图，直角梯形ABCD中，AB/1CD,AB⊥BC,BC=CD=AB=2,E为 AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到点P的位置，且PC=2√3， D E B (1)设平面PBC与平面PDE的交线为，证明：BC/Il. (2)证明：PE⊥平面BCDE; (3)求二面角B-PC-D的正切值. 17.(15分)已知双曲线C:￡立 2京=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=土3x,过点9(4， 且与x轴不重合的动直线l交C于A、B两点，当1与x轴垂直时，AB=6. (1)求双曲线C的方程： (2)在x轴上是否存在一定点M,使MA.MB为定值，若存在，求出M的坐标及MA.MB的 值；若不存在，说明理由. 18.(17分)某市为了丰富市民的娱乐文化生活，举办了“2026年元宵观灯和猜谜语文化节”. 文化节期间，甲、乙两位好友进行猜谜语比赛游戏，游戏规则如下：每人有3次猜谜语的机 会，若猜中即结束猜谜语，若猜不中则猜下一个谜语.记第i次猜中得(4-i)分(i=1,2,3), 若三次均未猜中则得分为0分.已知甲每次猜中的概率为p(0<p<1),乙每次猜中的概率为 每次猜中与否互不影响，记甲猜谜语的次数X的均值为B() 2 (1)求乙猜2次的概率： (2)记乙猜谜语的次数专的均值为E(),若E(X)>E(),求P的取值范围： 3 知B()，且甲最终的得分为X,若B四>8()，则认定甲是猜谜语高摄 是否有理由认定甲是猜谜语高手？ 19.(17分)已知函数f(x)=e(x2-2.x-a (1)若a=-1,求函数f(x)的极值； (2)若函数8(x)=∫(x)-2x有两个零点，求a的取值范围.