第19章 四边形（单元复习课件）数学新教材沪科版八年级下册

单元复习课件 第19章 四边形 沪科版（新教材）·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握基础：熟练掌握多边形内角和 / 外角和公式，平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质及判定定理，能准确进行边、角、对角线的计算与证明。 3.提升能力：提升几何直观、逻辑推理与综合应用能力，能整合三角形中位线、勾股定理等知识解决四边形综合题、动点问题。 2.理解关联：理解平行四边形与特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的从属关系与本质区别，明晰 “一般到特殊” 的几何研究逻辑。 单元学习目标 平行四 边形 　 矩形 　 菱形 　 正方形　 四边形 a b c d e a._________________；b.________________ ； c._________________；d.________________ ； e._________________. 两组对边分别平行 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角 单元知识图谱 四边形及特殊四边形的关系 四边形 梯形 平行四边形 矩形 菱形 正 方 形 单元知识图谱 考点1 多边形内角和与外角和 边形内角和等于 (n - 2)×180° （其中，且为正整数） 1.多边形内角和公式 公式证明方法：将边形从一个顶点出发，可分割成个三角形，每个三角形内角和为，因此边形内角和等于； 多边形的外角和恒等于360° 2.多边形外角和公式 3.多边形对角线条数 从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 考点串讲 易错易混 多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误： ①n边形内角和＝（n－2）×180°（n≥3）. ②从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，n个顶点可以引出n（n-3）条对角线，但是每条对角线计算了两次，因此n边形共有 条对角线. ③n边形的边数＝（内角和÷180°）＋2. ④n边形的外角和是360°. ⑤n边形的外角和加内角和＝n×180°. ⑥在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取一点O，连接O点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n－1）个三角形；连接n边形的任一顶点A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n－2）个三角形． 考点1 多边形内角和与外角和 考点串讲   性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA=OC= AC, BO=DO= BD 对边平行 对边相等 对角相等 对角线互 相平分 1.平行四边形的性质 考点2 平行四边形的性质与判定 考点串讲 考点2 平行四边形的性质与判定 （1）平行四边形的一组对边平行且相等 两条平行线之间的距离处处相等 （2）平行四边形邻角互补 在求角的度数时，不仅考虑对角相等，还结合平行线的同旁内角互补推导。 （3） 平行四边形的一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形 两条对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形 常见应用：利用对角线互相平分，求线段的长度 （4）平行四边形的对称性： 是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 2.平行四边形边的性质常用结论 考点串讲 9 考点2 平行四边形的性质与判定 3.平行四边形的判定 判定方法 文字叙述 应用场景 定义法 边的判定 角的判定 对角线 的判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ①两组对边相等的四边形是平行四边形； ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； B C D A O 已知线段平行关系，直接判定。 已知线段的平行关系和长度关系，优先选用第二种方法，更简洁。 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 已知角的关系，无法直接得到边的平行或相等关系时使用。 对角线互相平分的四边形是平行四边形 已知对角线的交点及线段平分关系，可直接判定为平行四边形。 考点串讲 10 ① “一组对边平行，另一组对边相等”不是平行四边形的判定方法，反例：等腰梯形，等腰梯形的一组对边平行（上底和下底），另一组对边相等（两条腰），但等腰梯形不是平行四边形； 考点2 平行四边形的性质与判定 易错提醒 ② “一组对边相等，一组对角相等”也不是平行四边形的判定方法，可构造反例：作一个等腰三角形，以等腰三角形的一条腰为公共边，作另一个与它全等的三角形，拼接后可得到一个四边形，满足一组对边相等、一组对角相等，但不是平行四边形； ③ 判定时忽略“四边形”前提：例如，仅说“两组对边分别平行”，没有说明是“四边形”，不能判定为平行四边形（三角形没有对边平行）； ④ 用“一组对边平行且相等”判定时，注意“平行”和“相等”必须对应同一组对边，不能混淆两组对边（例如：，，不能判定为平行四边形）。 考点串讲 11 考点3 矩形的性质与判定 边 角 对角线 补充性质 矩形的对边平行且相等 四个角都是直角 矩形的互相平分且相等 ③ 矩形的对角线将矩形分成四个全等的等腰三角形 矩形的对角相等且均为直角 即：对角线的交点将两条对角线分成四条相等的线段 1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质； 2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形， 经常会用到等腰三角形的性质解决问题. 3）利用矩形的性质可以推出： 在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. 4)矩形是中心对称图形（对称中心是对角线交点），也是轴对称图形，有两条对称轴（过对边中点的直线）； 1.矩形的性质 考点串讲 考点3 矩形的性质与判定 易错提醒 ① 忽略矩形的“平行四边形性质”，仅关注专属性质，例如：求矩形的对边长度时，忘记矩形对边相等； ② 直角三角形斜边中线定理的应用误区：仅适用于直角三角形，且是“斜边”的中线，直角边的中线不满足该定理；例如：在中，，若是直角边的中线，则； ③ 计算矩形对角线长度时，混淆“对角线相等”与“对角线互相平分”，例如：已知矩形对角线相交于点，，错误认为对角线，实际。 考点串讲 考点3 矩形的性质与判定 2.矩形的判定   判定定理 符号语言 图示     角 一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形 平行四边形+对角线相等 平行四边形+一个直角 四边形+三个直角 考点串讲 考点3 矩形的性质与判定 1 . 判定矩形的核心是“先判定为平行四边形，再添加特殊条件（一个直角或对角线相等）”，或“直接利用四边形的特殊条件（三个直角）”； 2. 选择判定方法时，优先结合已知条件， （ 1）已知平行四边形，优先用方法一或方法二； （2）已知四边形的角的关系，优先用方法三； （3）已知对角线关系，优先用补充判定方法。 判定思路总结 考点串讲 1. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 性质 符号语言 图示 边 菱形的四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形∴AB=CD=AD=BC 对角线 菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 2. 菱形的性质： 考点4 菱形的性质与判定 考点串讲 1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质； 2）菱形是中心对称图形（对称中心是对角线交点），也是轴对称图形，有两条对称轴（两条对角线所在的直线）； 2）菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形； 3）菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形； 补充性质 3. 菱形的面积公式： 1）菱形的面积=底×高，即. 2）菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半， 即. 考点4 菱形的性质与判定 考点串讲 考点4 菱形的性质与判定 ① 混淆菱形与矩形的对角线性质： 菱形的对角线互相垂直但不一定相等， 矩形的对角线相等但不一定垂直， 常见错误认为“菱形的对角线相等”“矩形的对角线垂直”； ② 菱形面积公式的应用误区：忘记乘以，直接用“对角线乘积”作为面积； ③ 忽略“对角线平分一组对角”的性质，在求角的度数时，无法利用该性质转化角的关系； ④ 计算菱形边长时，忘记对角线互相垂直，直接将两条对角线的长度相加或相减，忽略勾股定理的应用。 易错提醒 考点串讲 考点4 菱形的性质与判定 判定定理 符号语言 图示   边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC， ∴▱ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形 4. 菱形的判定 平行四边形+一组邻边相等 四边形+四条边相等 平行四边形+对角线互相垂直 考点串讲 考点4 菱形的性质与判定 1.与矩形判定思路类似，核心是“先判定为平行四边形，再添加特殊条件（一组邻边相等或对角线垂直）”，或“直接利用四边形的特殊条件（四条边相等）”； 2.选择判定方法时，结合已知条件， （1）已知平行四边形，优先用方法一或方法二； （2）已知四边形的边的长度关系，优先用方法三； (3)已知对角线关系，优先用补充判定方法。 判定思路总结 考点串讲 考点5 正方形的性质与判定 正方形性质（正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形兼具矩形、菱形所有性质） 1.边的性质：兼具矩形和菱形所有的边的性质 ——四边相等，对边平行 推论：正方形的邻边相等且垂直 2.角的性质：兼具矩形和菱形所有的角的性质 ——四个角都是直角； 推论：正方形的任意两个内角互补，对角相等且均为直角，邻角相等且互补 3.对角线的性质：兼具矩形和菱形所有的对角线性质 ——对角线相等、垂直、平分，且每条对角线平分一组对角 正方形的对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形，每个等腰直角三角形的两个锐角均为，斜边是正方形的边长。 考点串讲 考点5 正方形的性质与判定 对边 角 对角线 正方形 平行且四边相等 四个角都是直角 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 补充性质： ① 正方形是中心对称图形（对称中心是对角线交点），也是轴对称图形，有四条对称轴（过对边中点的两条直线、两条对角线所在的直线）； ② 正方形的周长公式：，面积公式：=对角线乘积， ③ 正方形的对角线长度与边长的关系：设正方形边长为，则对角线长度为 考点串讲 性质总结 图形 定义 边 角 对角线 对称性 平行四边形 两组对边分别平行的四边形 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 互相平分 中心对称 矩形 有一个角是直角的平行四边形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分且相等 中心对称 + 轴对称 菱形 有一组邻边相等的平行四边形 对边平行，四边相等 对角相等，邻角互补 互相垂直平分，平分一组对角 中心对称 + 轴对称 正方形 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 四边相等，对边平行 四个角都是直角 互相垂直平分且相等，平分一组对角 中心对称 + 轴对称 考点5 正方形的性质与判定 单元知识图谱 考点5 正方形的性质与判定 四边形 边 角 对角线 平行四边形 矩形   1）平行四边形+一直角 2）四边形+三直角 平行四边形+两条对角线相等 菱形 1）平行四边形+一组邻边相等 2）四边形+四条边都相等   平行四边形+两条对角线互相垂直 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 矩形+对角线互相垂直 菱形+对角线相等 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 判定方法总结 两组对边分别平行 两组对边分别相等 一组对边平行且相等 两组对角分别相等 两条对角线互相平分 单元知识图谱 考点6 三角形中位线与中点四边形 1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 2. 三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 用符号语言表示： ∵ DE 是△ABC 的中位线， ∴ DE∥BC， E A B C D ①三角形有___条中位线. ②三角形的三条中位线把原三角形分成全等的 4 个小三角形.每个小三角形的周长为原三角形周长的____.每个小三角形的面积为原三角形面积的____. 3 考点串讲 题型一 多边形计算 例1．（1）（2024·山东日照·中考真题）一个多边形的内角和是，则这个多边形是 边形． 八 （2）（2023·重庆·模拟预测）过多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角形，这个多边形的内角和等于 ． 多边形的边数是：， 540° （3）（2024·陕西咸阳·三模）如果过某多边形的一个顶点有条对角线，这个多边形是 边形． 考点串讲 例2．（1）（2023·湖南娄底·模拟预测）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，那么原来多边形的边数不可能为 （   ） A．10 B．9 C．8 D．7 （2）（2021·浙江丽水·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是 ． 6或7 解：∵（n-2）×180°=720° ∴n=6， ∴新的多边形为6边形， 解：， 解得：． 题型一 多边形计算 A 考点串讲 题型二 平行四边形性质与判定 例3.（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． C 解：过点D作交的延长线于点F， ∟ F ∵AE⊥BC的垂线交BC于点E， ∴∠AEB=∠DFC=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC,AB∥CD， ∴∠ABE=∠DCF， ∴△ABE≌△DCF(AAS ) ∴AE=DF,BE=CF=x， 由勾股定理可得， ， ∴ ， ∴ ∴ 即，解得， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 题型剖析 例4（2025·江苏盐城·中考真题）如图，点、在的对角线上． 若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 解：添加②为条件， 则四边形是平行四边形． 理由如下，如图，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形． ② ③ 选择①无法得出四边形是平行四边形 添加③为条件， 则四边形是平行四边形． 理由如下，∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 题型二 平行四边形性质与判定 题型剖析 29 题型三 特殊四边形性质与判定综合证明 例5.（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形的面积是90，对角线交于点O，点E是边的三等分点，连接，点P是的中点，，连接，则的值为 ． 解：当时，如图， ∵矩形， ∴点O是的中点， ∵点P是的中点， ∴， ， ∵点E是边的三等分点， ∴， ， ∵矩形的面积是90， ∴， ∴ ， ∴PC+PE=DE=13； 当时，如图， ∵矩形， ∴点O是的中点， ∵点P是的中点， ∴ ， ， ∵点E是边的三等分点， ∴ ， ， ∵矩形的面积是90， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 13或 题型剖析 例6.（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点E，F，O，下列条件中，不能证明的是（   ） A．为矩形两条对角线的交点 B． C． D． D 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC AD∥ BC， ∴∠OBF=∠ODE，∠OFB=∠OED， A、∵O为矩形ABCD两条对角线的交点， ∴OB=OD，∴△BOF≌△DOE(AAS )， 故此选项不符合题意； B、在和中， ∴△BOF≌△DOE(AAS )， 故此选项不符合题意； C、∵AE=CF， ∴BC-CF=AD-AE，即BF=DE， ∴△BOF≌△DOE(ASA )， 故此选项不符合题意； D、∵EF⊥BD， ∴∠BOF=∠DOE=90°， 两三角形中缺少对应边相等 所以不能判定△BOF≌△DOE， 故此选项符合题意； 题型三 特殊四边形性质与判定综合证明 题型剖析 题型三 特殊四边形性质与判定综合证明 例7.（2025·青海·中考真题）如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，试判断四边形的形状，并证明． （1）证明：∵点为的中点 ∴，∵ ∴，， 在和中 ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）当时，四边形是矩形， 理由如下： ∵ ，点是边上的中点， ∴ 即， ∵ 由（1）得四边形是平行四边形， ∴ 四边形是矩形. 题型剖析 例8.（2023·青海西宁·中考真题）如图，在中，点，分别在，的延长线上，且，连接与交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求四边形的周长． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥DC，AB=DC ∴∠AEM=∠CFM ∵BE=DF ∴AB+BE=CD+DF 即AE=CF 在和中 ∴△AEM≌△CFM(AAS ) 题型三 特殊四边形性质与判定综合证明 题型剖析 例8.（2023·青海西宁·中考真题）如图，在中，点，分别在，的延长线上，且，连接与交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求四边形的周长． （2）解：∵AE=CF，AE∥ CF ∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 又∵AC⊥EF ∴▱AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） ∴AE=EC=CF=AF（菱形的四条边都相等） ∴菱形AECF的周长 题型三 特殊四边形性质与判定综合证明 题型剖析 例9.2024·黑龙江牡丹江·中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（    ） A． B． C．D． B 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=10cm， 由折叠可得：， ，， ， ∴四边形AMND是矩形， ∴MN∥ AD，MN=AD=12cm ， ∴∠DAN=∠ANM， ∴∠ANM=∠D' AN， ∴EA=EN， 设EA=EN=xcm ，则EM=(12-x)cm， 在Rt△AME中，根据勾股定理可得： ， 即， 解得：， 即， 题型三 特殊四边形性质与判定综合证明 题型剖析 例10.（24-25九年级上·全国·课后作业）在菱形中，E，F分别是、上的点，是等边三角形，若，则的度数是 ． 解：如图所示： 在菱形中，、分别在、上， 且是等边三角形，， ，， ， 设，则， 故，则， 四边形是菱形 ，， ， ， 解得：，即， ∵， ∴． 题型三 特殊四边形性质与判定综合证明 题型剖析 例11.（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知菱形中，，，为射线和上一点，． (1)如图，若点，分别在边，上，求证：； (2)在图中，若，求四边形的面积． （1）证明：连接， ∵菱形中，， ∴， ， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 题型三 特殊四边形性质与判定综合证明 题型剖析 例11.（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知菱形中，，，为射线和上一点，． (1)如图，若点，分别在边，上，求证：； (2)在图中，若，求四边形的面积． H ∟ （2）解：如图，过C作于H， ，， ∴，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积 ． 题型三 特殊四边形性质与判定综合证明 题型剖析 例12.（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． （1）证明： ∵四边形为正方形， ， 在和中， （2）∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ． ； 题型三 特殊四边形性质与判定综合证明 题型剖析 例12.（2023·湖北黄石·中考真题）如图，正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点． (1)求证：≌； (2)求的大小． （1）证明：四边形是正方形， ，， ， ，即， 在和中， ≌； （2）解：由（1）知≌， ， ， ． 题型三 特殊四边形性质与判定综合证明 题型剖析 例13.（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，分别为的中点，若，四边形的周长是40，则矩形的面积是 ． 解：在和中， ∵ ， ∴， ∴， 同理， 即四边形为菱形． 又∵四边形的周长是40cm， ∴ ． 192 ∵， 设，则． 由勾股定理得， ， 即， ∴， 矩形的面积 ． 题型三 特殊四边形性质与判定综合证明 题型剖析 例14.（2024·内蒙古·中考真题）如图，，平分，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状． （1）证明：∵AB平分∠CAE， ∴∠CAB=∠BAF， ∵AB∥ DF，∴∠EFD=∠BAF， ∴∠CAB=∠EFD， 在△ACB和△FED中， ∴△ACB≌△FED(ASA)， ∴AB=FD， 由∵AB∥ DF， ∴四边形ABDF是平行四边形． 题型三 特殊四边形性质与判定综合证明 题型剖析 例14.（2024·内蒙古·中考真题）如图，，平分，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状． （2）四边形BGED是正方形． 过点B作BG⊥AE于点G， ∴∠BGE=∠DEG=90°， ∵四边形ABDF是平行四边形． ∴BD∥AE，BD=AF， ∴∠GBD+∠BGE=180° ∠DEG+∠EDB=180°， ∴∠GBD=90°，∠EDB=90°， ∟ G 题型三 特殊四边形性质与判定综合证明 由（1）△ACB≌△FED， ∴CB=ED， ∵CB=AF，∴ED=AF， ∴BD=ED， ∴四边形BGED是正方形． 题型剖析 例15. （2024·江苏南京·中考真题）如图．线段与分别为的中位线与中线． (1)求证：与互相平分； (2)当线段与满足怎样的数量关系时，四边形为矩形？请说明理由． （1）证明： 线段与分别为的中位线与中线， 分别是的中点， 线段与也为的中位线． ， 四边形是平行四边形， 与互相平分． （2）解： 当时， 四边形为矩形， 理由如下： 线段为的中位线， ， ， 平行四边形为矩形， 当时， 四边形为矩形． 题型四 中点四边形与中位线应用 题型剖析 例16.（2024·天津·中考真题）如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为 ； （2）若为的中点，则线段的长为 ． 2 （1）四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ； 题型四 中点四边形与中位线应用 题型剖析 例16.（2024·天津·中考真题）如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为 ； （2）若为的中点，则线段的长为 ． 2 （2）延长到点，使，连接由点向作垂线，垂足为 ∟ ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， 在中， ， ， 题型四 中点四边形与中位线应用 在中， ， 为的中位线， ； 题型剖析 例17.（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在平行四边形中，，，，是对角线上的动点，且，，分别是边，边上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在无数个菱形；④存在无数个正方形．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 C 解：如图，连接AC、与BD交于点O，连接ME，MF，NF，EN，MN， ∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD ∵BE=DF∴OE=OF ∵点E、F时BD上的点， ∴只要M，N过点O，那么四边形MENF就是平行四边形 ∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确； 只要MN=EF，MN过点O，则四边形MENF是矩形， ∵点E、F是BD上的动点，∴存在无数个矩形MENF，故②正确； 只要MN⊥EF，MN过点O，则四边形MENF是菱形； ∵点E、F是BD上的动点，∴存在无数个菱形MENF，故③正确； 只要MN=EF，MN⊥EF，MN过点O， 则四边形MENF是正方形， 而符合要求的正方形只有一个，故④错误； 题型五 四边形中动点与存在性问题 题型剖析 例18.（2021·青海·中考真题）如图，正方形的边长为8，M在上，且，N是上一动点，则的最小值为 . 解：连结，，， 正方形是轴对称图形， 点B与点D是以直线为对称轴的对称点， 直线即为的垂直平分线， ， ， 当点N在与的交点P处，取得最小值，最小值为的长， 正方形的边长为8，且， ，，， ， 的最小值为10． P 10 题型五 四边形中动点与存在性问题 题型剖析 例19.（2022·山东烟台·中考真题）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（　　） A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6 C 解： 由题知，第1个正方形的边长， 根据勾股定理得，第2个正方形的边长， 根据勾股定理得，第3个正方形的边长， 根据勾股定理得，第4个正方形的边长， 根据勾股定理得，第5个正方形的边长， 根据勾股定理得，第6个正方形的边长． 题型五 四边形中动点与存在性问题 题型剖析 例20.（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． (1)若平分，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，当，时，求的长． （1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）由（1）知平行四边形为矩形， ∴， 设，则： ，， 在中，由勾股定理，得： ， 解得：， ∴． 题型五 四边形中动点与存在性问题 题型剖析 【教材P111页】 1.填空: (1)一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数是_______； (2)一个多边形的每个外角都等于它相邻的内角，则这个多边形的边数是_____，它的每个外角的度数是_______. 9 4 90° 复习题A组 针对训练 2.四边形的内角可能都是锐角吗?可能都是直角吗?可能都是钝角吗? 解：四边形的内角不可能都是锐角，可能都是直角，不可能都是钝角。 根据四边形内角和定理，四边形的内角和为360°.假设四边形的内角都是锐角，因为锐角是小于90°的角，那么四个锐角的和一定小于90°×4=360°，这与四边形内角和是360°矛盾，所以四边形的内角不可能都是锐角。 若四边形的内角都是直角，直角等于90°，四个直角的和为90°×4 =360°，这与四边形内角和定理相符，所以四边形的内角可能都是直角，比如长方形和正方形。 假设四边形的内角都是钝角，由于钝角是大于90°的角，那么四个钝角的和一定大于90°×4=360°，这与四边形内角和是360°矛盾，所以四边形的内角不可能都是钝角。 针对训练 3.如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去∠BCD后，得到 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 470°.求∠BGD的度数. 解：六边形ABCDEF的内角和: (6－2) × 180° =720° 又∵∠1＋∠2+∠3+∠4+∠5=470°， ∴∠GBC+∠C+∠CDG=720° － 470°=250°. ∵四边形BCDG的内角和为360°， ∴∠BGD=360° －(∠GBC+∠C+∠CDG)=360°－250°=110°. 针对训练 4.已知: 如图，在□ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，AE = CF，点 M，N 是 ED，BF 的中点. 求证: 四边形 MFNE 是平行四边形. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC，∠A=∠C. ∴ △ADE≌△CBF， ∴ ∠AED=∠CFB，DE=BF. ∵ 四边形是平行四边形， ∴ AB∥ DC，∴ ∠CFB=∠ABF， ∴ ∠AED=∠ABF，即ME∥ FN. 又∵ M、N分别是ED、BF的中点，且DE=BF， ∴ ME=FN，∴ 四边形MFNE是平行四边形. 针对训练 5.将一张相邻两边长为 40 cm 和 20 cm 的矩形纸片剪成相邻两边长为 18 cm 和 12 cm 的矩形纸片，最多能剪几个 ? 并画出示意图. 解：∵40÷12=3（个）……4cm 20÷18=1（个）……2cm ∴3×1=3（个） 针对训练 6.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点 D 是AC的中点，连接BD. AE，BE交于点E，且AE∥ BD，BE//AD，试猜想四边形AEBD的形状.并说明理由. ∵AE∥ BD，BE∥ AD， ∴四边形AEBD是平行四边形. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°， 点D是AC的中点， ∴BD= AC=AD. 又∵四边形AEBD是平行四边形， 且一组邻边AD与BD相等， ∴四边形AEBD是菱形. 解：四边形AEBD是菱形.理由如下： 针对训练 7.如图，将两个全等的等腰三角形纸片拼成一个平行四边形，能拼出几种不同的平行四边形?画出示意图.这些平行四边形中有菱形吗?如果有，请说明理由. 解：能拼出2种不同的平行四边形；这些平行四边形中有菱形，理由是: 以等腰三角形的腰为公共边拼接时，得到的平行四边形的四条边都等于等腰三角形的腰长，符合菱形的定义。 针对训练 8.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥ AC，且DE= AC，连接AE，CE. (1)求证:四边形OCED为矩形； (2)若菱形ABCD的面积为2，求△AEC的面积. (1) ∵四边形ABCD是菱形， ∴ CO= AC，∠COD=90°. 又∵ DE∥ AC，且DE= AC，∴DE=CO. ∴四边形 OCED 是平行四边形. 又∵ ∠COD=90°， ∴ 四边形OCED为矩形. 针对训练 8.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥ AC，且DE= AC，连接AE，CE. (1)求证:四边形OCED为矩形； (2)若菱形ABCD的面积为2，求△AEC的面积. (2)∵S菱形ABCD= BD·AC，且BD=2DO， ∴S菱形ABCD = ×2DO×AC=DO×AC=2. ∵四边形OCED为矩形，∴DO=EC，∠ACE=90°. ∵S△AEC = ×EC×AC，将 DO = EC 代入可得 S△AEC = ×DO×AC. 又∵DO×AC=2，∴S△AEC= ×2 = 1. 针对训练 9.某地有四个村庄A，B，C，D，它们正好位于一个正方形的四个顶点. 现在四个村庄计划联合架设一条电话线路，他们设计了 4 种架设方案，如图中的实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线. 解：设正方形的边长为a. 方案(1) :l1=AD+AB+BC=3a. 方案(2) : l2=AB+BD+DC= 方案(3) : l3=AC+BD= 方案(4): l4=AE+DE+EF+BF+BC= 比较l1， l2， l3， l4的大小，可得 l4<l3<l1<l2 . 方案(4)最省电线. 针对训练 10. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且 BE = CF. AE，BF 交于点G. 求∠AGF 的度数. 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB =BC，∠ABE=∠BCF=90°. 又∵BE=CF， ∴△ABE≌△BCF. ∴∠BAE=∠FBC. ∵ ∠FBC+∠ABG=90°， ∴∠BAE+∠ABG=90°. 在△ABG中，∠AGB=180°- (∠BAE+∠ABG)=180°-90°= 90°. 又∵∠AGF与∠AGB互补， ∴∠AGF =90°. 针对训练 解：∵DE∥ AB，DF∥ AC， ∴四边形AFDE是平行四边形. ∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD. 又∵DE∥ AB，∴∠EDA=∠FAD， ∴∠EDA=∠EAD， ∴AE=DE ∴四边形AFDE是菱形. ∵∠BAC=90°， ∴四边形AFDE是正方形. 11.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC 的平分线交 BC 于点D，DE∥ AB交 AC 于点E，DF∥ AC交 AB 于点 F . 若 AD=3 ，求四边形AFDE的面积. ∵四边形AFDE是正方形，AD是其对角线， 且AD = . 设正方形的边长为a，则对角线长= ， ， ∴ S正方形AFDE = 针对训练 1.一个多边形的内角中，最多有几个锐角?为什么? 解：最多有3个锐角. 理由是多边形外角和为360°，外角中最多3个钝角， 而内角与相邻外角互为邻补角， 外角为钝角时内角为锐角，所以内角中最多有3个锐角. 【教材P113页】 复习题B组 针对训练 2.已知:如图，□ABCD的顶点 D 在□AEFG的边FG上，□AEFG 的顶点 E 在□ABCD的边 BC 上. 求证: □ABCD 和□AEFG 的面积相等. 证明: 连接DE， 过D作DM⊥AE于M， 过E作EN⊥AD于N. ∵S△ADE= S□AEFG ， S△ADE= S□ABCD ∴S□ ABCD=S□ AEFG. M N ∟ ∟ 针对训练 3.已知: 点О 是矩形 ABCD 内任一点 . (1)求证: OA2+OC2 = OB2+OD2. (2)如果点О在矩形ABCD的外部，结论还成立吗? 解:(1)当点 O 在矩形ABCD内部时: 过点 O 作 EF⊥BC ， 垂足为 E，交 AD 于点F. ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°， AD∥ BC，则四边形ABEF和四边形CDFE都是矩形. ∴ AF = BE，FD = CE. ∵ OA2 = AF2+OF2，OC2 = CE2+OE2. A B D C O E F ∴OA2+OC2= AF2+OF2+CE2+OE2. 又∵OB2=BE2+OE2，OD2=FD2+OF2 ∴OB2+OD2= BE2+OE2+FD2+OF2 . ∴OA2+OC2=OB2+OD2。 针对训练 解:(2)当点O在矩形ABCD外部时: 过点O作OE⊥BC，垂足为E，交AD的延长线于点F. ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥ BC， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°， ∴四边形ABEF和四边形CDFE都是矩形. ∴AF=BE，FD=CE. 在Rt△AOF中，OA2=AF2+OF2. 在Rt△OEC中，OC2=CE2+OE2. A B D C O E F 3.已知: 点О 是矩形 ABCD 内任一点 . (1)求证: OA2+OC2 = OB2+OD2. (2)如果点О在矩形ABCD的外部，结论还成立吗? ∴OA2+OC2=AF2+OF2+CE2+OE2. 在Rt△BOE中，OB2=BE2+OE2. 在Rt△DOF中，OD2=FD2+OF2 ∴OB2+OD2= BE2+OE2+FD2+OF2. ∴OA2＋OC2=OB2+OD2. 综上，当点O是矩形ABCD内任一点时， OA2＋OC2=OB2＋OD2成立； 当点O在矩形ABCD的外部时，结论也成立. 针对训练 4.如图，在□ABCD中，点 O 是 AD 的中点，连接BO并延长，交 CD 的延长线于点E，连接BD，AE. (1)求证: 四边形 ABDE 是平行四边形； (2)若BD=CD，判断四边形ABDE的形状，并说明理由. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥ CD，∴∠ABO=∠DEO. 又∵点O是AD的中点，∴AO=DO. 又∵∠AOB=∠DOE， ∴△ABO≌△DEO. ∴OB=OE. 即AD 与 BE 互相平分， ∴四边形 ABDE 是平行四边形. （2）四边形ABDE是菱形.理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD. 又∵BD=CD，∴AB=BD. 又∵在(1)已证四边形ABDE是平行四边形， ∴四边形ABDE是菱形. 针对训练 5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE∥ AC，AE∥ BD. 若AB=10，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积. 解： ∵DE∥ AC，AE∥ BD， ∴四边形AODE是平行四边形. 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°. ∴四边形AODE是矩形. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=10，∠BAD=∠BCD=120°. ∴∠BAO= ∠BAD=60°. 在Rt△ABO中，∠AOB=90°， ∠ABO=180°-90°-60°=30°. ∴AO= AB= ×10=5. ∴BO= ∴OD=OB=. ∴S四边形AODE=OA×OD= . 针对训练 6.实践操作: 第一步: 如图(1)，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平. 第二步:如图(2)，将图(1)中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，C'F交DE于点N，再把纸片展平. 问题解决: (1)如图(1)，四边形AEA'D的形状是________； (2)如图(2)，线段MC'与ME是否相等?若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由. 正方形 (2)MC'=ME.证明如下: 连接C'E.∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，∠EAC'=∠B=90°. 由折叠知，B'C'=BC，∠B'=∠B， ∴ AE=B'C'，∠EAC' = ∠B ∴ Rt△EC'A≌Rt△C'EB'. ∴ ∠C'EA=∠EC'B'，∴ MC'=ME. 针对训练 7.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止.点P，Q的速度都是每秒1个单位长度，连接PO，AQ，CP.设点P，Q运动的时间为ts. (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形； (2)当t=6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由 (3)当以PQ为对角线的正方形面积为96时，直接写出此时t的值. 解：(1)在矩形ABCD中， AB=8，BC=16， ∴BC=AD=16，AB=CD=8. 由题意可知，BQ=DP=t， ∴AP=CQ=16-t. 在矩形ABCD中，∠B=90°，AD∥ BC. 当 BQ = AP 时，四边形ABQP为矩形， 即 t = 16-t，∴ t = 8. ∴当t=8时，四边形ABQP是矩形. 针对训练 7.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止.点P，Q的速度都是每秒1个单位长度，连接PO，AQ，CP.设点P，Q运动的时间为ts. (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形； (2)当t=6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由 (3)当以PQ为对角线的正方形面积为96时，直接写出此时t的值. (2)当t=6时，BQ=6，DP=6. ∴CQ=16-6=10，AP=16-6=10. ∵AP=CQ，AP∥CQ， ∴四边形AQCP为平行四边形. 在Rt△ABQ中， AQ= ∴AQ=CQ，∴平行四边形AQCP为菱形。 针对训练 7.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止.点P，Q的速度都是每秒1个单位长度，连接PO，AQ，CP.设点P，Q运动的时间为ts. (3)当以PQ为对角线的正方形面积为96时，直接写出此时t的值. N ∟ M ∟ ∵以PQ为对角线的正方形面积为96 过 作 于 ，则 ， 。 在 中： 解得：   ， 或 。 针对训练 8.如图，点B，C，E在同一直线上，点C，G，D在同一直线上，四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH=BK=CE，连接AK，KF，HF，AH. (1)求证:AK=AH； (2)求证:四边形AKFH是正方形； (3)若四边形AKFH的面积为10，CE=1，求AE的长. 解：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠B=∠ADH=90°. 又∵DH=BK， ∴△ADH≌△ABK. ∴AK=AH. 针对训练 8.如图，点B，C，E在同一直线上，点C，G，D在同一直线上，四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH=BK=CE，连接AK，KF，HF，AH. (1)求证:AK=AH； (2)求证:四边形AKFH是正方形； (3)若四边形AKFH的面积为10，CE=1，求AE的长. (2)∵△ADH≌△ABK， ∴∠HAD=∠BAK. ∵∠BAD=90°， ∴∠BAK+∠DAK=90°，∴∠HAD+∠DAK=90°， 即∠HAK =90°. ∵DH=CE=BK，且HG=DH＋DG， EK=EC+CK，又DG=CK， ∴HG=EK， ∵ AD=AB=BC=CD，EF=CE=CG=GF. ∴△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH. ∴AH=AK =HF=FK. ∴四边形AKFH是正方形. 针对训练 8.如图，点B，C，E在同一直线上，点C，G，D在同一直线上，四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH=BK=CE，连接AK，KF，HF，AH. (1)求证:AK=AH； (2)求证:四边形AKFH是正方形； (3)若四边形AKFH的面积为10，CE=1，求AE的长. (3)∵四边形AKFH是正方形且面积为10， ∴ S = KF2 = 10， ∴KF = . 在Rt△EFK中，EF=CE=1， . ∵AB=BC，KE=BC， ∴AB=KE=3. 又∵BK=EF=1， ∴BE=BK+KE=1＋3 =4. 在Rt△ABE中，AB=3 ， BE=4， ∴ 针对训练 1.设四边形ABCD的每一个顶点到其他三个顶点的距离之和都相等.这个四边形是什么四边形?请说明理由. 解：这个四边形是矩形，理由如下： 由题意得: AB+AC+AD=BA+BD+BC=CA+CD+CB=DA+DB+DC. 由AB+AC+AD=BA+BD+BC可得:AC+AD=BD+BC①； 由AB+AC+AD=CA+CD+CB可得:AB+AD=CD+CB②； 由AB+AC+AD=DA+DB+DC可得:AB+AC=DB+DC③.由①-②可得: AC-AB=BD-CD④； ③+④可得: 2AC=2BD，即AC=BD. 将AC = BD代入①可得: AD = BC； 将AC = BD代入③可得: AB = CD. ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 又 ∵ 平行四边形ABCD中AC=BD(对角线相等)， ∴ 这个四边形是矩形. A B D C 【教材P115页】 复习题C组 针对训练 2. (1)求证:在□ABCD中，AC2+BD2= 2(AB2+BC2)； 证明：过点D作DE⊥AB于点E， 过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥ DC，AB = DC，AD = BC. ∵AB ∥ DC，DE⊥AB，CF⊥AB， ∴DE=CF (平行线间的距离相等）. 在Rt△ADE和Rt△BCF中， ∠AED = ∠BFC = 90°，AD = BC，DE=CF， ∴ Rt△ADE≌Rt△BCF，∴ AE=BF. D C A B E F 针对训练 2. (2)已知△ABC的三边长分别为BC=a，AB=c，AC=b、求BC边上的中线长(用a，b，c的代数式表示). A B C a c b D E 解：设BC边上的中线为AD，延长AD至点E， 使DE=AD，连接BE、CE. ∵BD=DC，AD=DE， ∴四边形ABEC是平行四边形. ∴AE2+BC2=2(AB2+AC2)((1)的结论). 设中线AD=m，则AE=2m， 则(2m)2+a2=2(c2+b2)，即4m2+a2=2c2+2b2， m= . ∴BC边上的中线长为 针对训练 3.在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为 (-1，0)，(2，5)，(3，0). 若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标. 解：设点D的坐标为(x，y)， 根据平行四边形的对角线互相平分， 即对角线的中点坐标相同，分以下三种情况讨论: 当AC为对角线时: AC中点坐标为( )= (1,0)， 此点也为BD中点. 根据中点坐标公式可得 ∴ x = 0，y = - 5. 此时D点坐标为(0，- 5)。 当AB为对角线时: AB中点坐标为( )=( )， 此点也为CD中点.∴ ∴ x=-2，y=5. 此时D点坐标为(-2，5) . 当BC为对角线时: BC中点坐标为( )=( )， 此点也为 AD 中点. ∴ ∴ x=6，y=5. 此时 D 点坐标为(6,5). 综上，点 D 的坐标为 (0，-5) 或 (-2，5) 或 (6，5). 针对训练 4.如图，安全村有一口四边形的池塘，在它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，村委会准备扩建池塘，要想使建成后的池塘面积为原来池塘面积的2倍，但不能移动大树，并要求扩建成平行四边形的形状，请问能否实现这一设想?若能，请你写出方案并画出图形；若不能，请说明理由. 解:连接四边形ABCD的两条对角线AC与BD. 过点A作BD的平行线，过点C作BD的平行线； 过点B作AC的平行线，过点D作AC的平行线. 上述四条平行线两两相交， 分别得到交点E(A点平行线与B点平行线的交点)、 F(B点平行线与C点平行线的交点)、 G(C点平行线与D点平行线的交点)、 H (D点平行线与A点平行线的交点)， 则四边形EFGH为平行四边形. ∵EF∥ AC∥ GH，EH∥ BD∥ FG， ∴四边形AEBO、BFCO、CGDO、DHAO均 为平行四边形. S□AEBO=2S△AOB 同理S□BFCO=2S△BOC. S□CGDO=2S△COD. S□DHAO=2S△DOA. ∴ S四边形ABCD=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△DOA. S□EFGH=S□AEBO+S□BFCO+S□CGDO+ S□DHAO =2(S△AOB+S△BOC+S△COD+S△DOA)=2S四边形ABCD 即面积为原池塘的2倍. E F G H O 针对训练 5.如图，在□ ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM. (1)求证: 四边形CDMN为菱形； (2)过点 C 作CE⊥MN于点E，交DN于点F，若FC=2， ∠MDN=∠NCE，求四边形 CDMN 的面积； (3)若点 Р 在直线 DN 上，AN=4，DN=6，求△PBM周长的最小值. (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥ BC，AD=BC. 又∵M、N分别是AD、BC的中点， ∴MD= AD，NC= BC， 则MD = NC且MD∥ NC， ∴四边形CDMN是平行四边形. ∵∠AND=90°，M是AD中点， 在Rt△AND中，MN为斜边AD的中线， ∴MN=MD= AD. ∴四边形CDMN为菱形. 针对训练 5.如图，在□ ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM. (1)求证: 四边形CDMN为菱形； (2)过点 C 作CE⊥MN于点E，交DN于点F，若FC=2， ∠MDN=∠NCE，求四边形 CDMN 的面积； (3)若点 Р 在直线 DN 上，AN=4，DN=6，求△PBM周长的最小值. (2)设∠MDN=α， ∵四边形CDMN是菱形， ∴MD=MN=CD=CN， MN∥ CD， MD∥ NC ， ∴∠MDN=∠DNM= ∠DNC =α. 由∠MDN=∠NCE=α，CE⊥MN， 可得∠CEN=90°； ∴ ∠DNM=∠DNC =∠NCE = 30°， ∠MNC = 60°. ∴ FN = FC = 2，FO = FC = 1， NO = FN + FO = 3； ∴ ND = 2 NO = 6. 在Rt△FCO中，OC = FO = ， MC = 2 OC = 2. ∴ 菱形CDMN 的面积为 MN×CE= ND× MC = ×6×2 =6 o 针对训练 5.如图，在□ ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM. (1)求证: 四边形CDMN为菱形； (2)过点 C 作CE⊥MN于点E，交DN于点F，若FC=2， ∠MDN=∠NCE，求四边形 CDMN 的面积； (3)若点 Р 在直线 DN 上，AN=4，DN=6，求△PBM周长的最小值. (3)建立平面直角坐标系，设N(0，0)， D(-6，0)，A(0，4)， ∵ M 为 AD 中点，∴ M 的坐标为 (-3，2). 由平行四边形性质及N是BC中点， 可得 B(3，2)，直线DN即为 x 轴. △PBM 的周长为 PB+PM+BM，其中 BM = = 6为定值， ∴需要使 PB+PM 最小 .作 M 关于 x 轴的对称点 M'(-3 , -2)， 则PM = PM'，PB+PM = PB+PM' ≥ BM'. BM' = ， 即 PB+PM 的最小值为. ∴ △PBM 周长的最小值为 . 针对训练 知识脉络 核心关系 从多边形到平行四边形，再到矩形、菱形、正方形， 遵循 “一般→特殊” 逻辑，特殊图形继承一般图形性质，新增专属性质。 平行四边形矩形； 平行四边形菱形； 矩形 + 菱形正方形。 解题关键 证明题：优先用判定定理，结合已知条件选最简路径； 计算题：巧用对角线性质、中位线、直角三角形斜边中线； 综合题：拆解图形，转化为三角形、平行四边形基础问题 课堂总结 感谢聆听! $