专项04 圆的相关证明与计算 8大题型（大题专练）（辽宁专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项04 圆的相关证明与计算 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近年辽宁新中考考情，圆的相关证明与计算为解答题中的必考题型，分值约8分左右． 命题趋势：解答题：圆的相关证明与计算稳定在解答题倒数第三大题（第21题）的位置进行考查，一般分为2个小问，主要围绕着切线的性质与判定、圆内接四边形、垂径定理、圆周角定理、弧长与扇形面积等内容进行命题，并常与相似三角形、锐角三角函数、四边形的性质与判定、最值问题等结合出题。 2026年预测：解答题仍会继续在第21题的位置考查圆的相关内容，考查形式稳定。第1小问主要为证明切线或根据切线的性质进行其他证明，第2小问比较灵活，可能会借助三角形相似、四边形的性质与判定、三角函数等求半径的长、求线段长、求弧长或相关图形的面积等。 备考核心：熟记圆内的相关定理，锻炼题目条件与方法之间的联想做题能力，熟练掌握作辅助线的技巧，计算准确，书写步骤规范。 题型01 切线的性质与判定 析典例·建模型 1．（2026·辽宁阜新·一模）如图，点，，，为上四个点，为直径，，，平分．过点作交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)求的长． 研考点·通技法 此类大题常考查切线的判定证明、切线性质的角度/线段推导、切线长定理综合计算，常结合圆周角、垂径定理、全等/相似三角形、勾股定理、三角函数，是圆板块解答题、证明题的压轴高频必考题型。 1.明辨两大核心方向：①切线判定：证明某条直线是圆的切线②切线性质：已知切线，推导边角、垂直、线段等量关系 2.切线判定2种标准通法：①有交点，连半径，证垂直：直线与圆已有公共点，连接圆心和公共点，证明连线与直线夹角为90°②无交点，作垂直，证半径：不确定公共点，过圆心向直线作垂线段，证明垂线段长度等于圆的半径 3.切线核心性质牢记：①圆的切线垂直于过切点的半径②经过切点垂直于切线的直线，必定经过圆心③从圆外一点引圆的两条切线：切线长相等，圆心与该点的连线平分两条切线的夹角、平分切点弦 4.大题倒角破题技巧：①见切线+切点，第一反应：立刻得到90°直角，快速得到互余角②半径相等→等腰三角形，进行等角转化③搭配圆周角定理、直径所对直角、同弧等角搭建角度桥梁④遇多条切线，优先用切线长定理转化线段相等 破类题·提能力 1．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，在中，半径，点为延长线上一点，点为上一点，连接，且，连接交于点． (1)求证：与相切； (2)如图，连接，若，，求的长． 2．（2026·辽宁大连·一模）如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 3．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，四边形内接于，，过点B作的切线交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)当时，请直接写出的长为________． 4．（2026·辽宁大连·二模）如图，四边形内接于，，过点D作的切线与的延长线相交于点E，连接， (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型02 圆中的角度问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，是的直径，C，D是上两点，过点C的切线交的延长线于点E，，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 研考点·通技法 此类大题常考查圆内角度的推导与证明，核心围绕圆周角定理、圆心角定理、切线性质、圆内接四边形性质、弧弦角关系展开，常结合等腰三角形、直角三角形、相似三角形进行综合推理，是几何证明压轴与中档大题的高频必考题型。 1.定边定弧找基础：先锁定目标角所对的弧、弦，区分圆心角、圆周角、弦切角，明确已知条件对应的基础边角关系。 2.套用圆核心角度定理：①同弧/等弧所对的圆周角相等，且等于对应圆心角的一半②直径所对的圆周角必为90°③直角切线与过切点的半径互相垂直④圆内接四边形对角互补、外角等于内对角⑤同圆中，等弦对等弧、等弧对等角 3.倒角转化搭桥梁：通过公共角、对顶角、互余/互补角、等腰三角形底角相等，把未知角向已知角等量代换、角度传递。 4.结合普通几何辅助：必要时连接半径、直径、弦，构造等腰三角形、直角三角形、全等/相似三角形，补全证明所需图形。 5.理清逻辑严谨推导：书写证明时，每一步角度转化标注几何依据，避免跳步；多结论大题可由第一问结论，直接顺延推导后续角度关系。 6. 逆向验证收尾：推理结束反向核验角度关系，检查特殊位置（切点、直径、弧中点）的隐含条件是否全部用到，规范整理完整证明过程。 大题高频解题破题口诀：①见弧先找圆周角，遇直径想直角标；切线连半径垂直，四点共圆对角消；②倒角优先找等角，相似等腰来搭桥。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁·模拟预测）如图，已知内接于⊙，是⊙的直径，点E在上，过E作⊙的切线，交的延长线于点F，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 2．（2026·辽宁朝阳·一模）如图，中，以为直径的交于点D，是的切线，且，垂足为E，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，求AF的长． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，是的直径，点在线段的延长线上，直线与相切于点，且，连接，，交于点，作线段，使，交于点，连接，交于点，过点作，交于点． (1)记，求的大小； (2)若，，求阴影部分的面积． 4．（2025·辽宁锦州·一模）如图，的直径与弦相交于点，过点的切线垂直于射线，垂足为点，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径． 题型03 圆中的弧长问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为点，连接． (1)求证：是的切线； (2)如图2，分别延长，相交于点，若，，求的长． 研考点·通技法 此类大题常考查圆中某段弧长的计算，常结合圆的性质、旋转、平移、特殊三角形、三角函数综合命题，是中考几何计算高频题型，整体难度不大。 1.设的半径为，圆心角所对弧长为， 弧长公式： （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关） 2.找关键条件：①先确定：圆心角、半径、特殊角度（30°、45°、60°、90°、120°）②遇直径、切线、垂径定理，优先找直角，简化角度与边长 3.规范步骤书写：先写公式，再代入数值，分步计算，最后统一结果（保留π或按要求取近似值），注意单位与作答完整。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点为的中点，且，求的长． 2．（2025·辽宁丹东·二模）已知：如图，四边形是的内接四边形，是的直径，过点作的切线，交延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 3．（2025·辽宁丹东·一模）如图，是的直径，直线与相切于点A，点C是上的一点，连接，，的平分线交与点D，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，是的直径，点C是的中点，于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长度． 题型04 圆中的面积问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，是的外接圆，是的直径，，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段，和围成的阴影部分面积． 研考点·通技法 此类大题常以扇形、三角形、弓形、不规则组合图形为背景，考查阴影部分面积的计算，核心方法是割补法、和差法、等积转化法，常结合圆的性质、旋转、平移、特殊三角形、三角函数综合命题，是中考几何计算高频题型。 1.设的半径为，圆心角所对弧长为， 扇形面积公式： 2.核心解题思路：和差法（最常用）：把不规则阴影面积，转化为规则图形面积的和或差： 3.割补与等积转化：利用旋转、平移、对称，将分散阴影拼成完整扇形或三角形，同底等高三角形面积相等，实现阴影部分位置转移，简化计算 4.找关键条件：①先确定：圆心角、半径、特殊角度（30°、45°、60°、90°、120°）②遇直径、切线、垂径定理，优先找直角，简化角度与边长 5.弓形与组合图形处理：①弓形阴影：直接用扇形−三角形②交叉重叠阴影：用总面积−各空白部分③环形类阴影：大圆－小圆 6规范步骤书写：先写公式，再代入数值，分步计算，最后统一结果（保留π或按要求取近似值），注意单位与作答完整。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，D是中边的中点，于点E，以为直径的经过点D，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，延长交的延长线于点F，连接．若，求扇形的面积． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，连接，过点A作交的延长线于点E，若， (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 3．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）如图，以的边为直径的交边于点D，交的延长线于点E，且．    (1)求证：． (2)若，，求阴影部分的面积． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，点在边上，以为直径作的经过边上的点，连接，平分， (1)求证：是的切线； (2)，，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，交边于点，求图中，，，．围成的阴影部分的面积． 题型05 求圆的半径 析典例·建模型 1．（2026·辽宁鞍山·一模）如图，为的外接圆，为直径，点为半圆上一点，连接，与交于点，点为延长线上一点，连接，且． (1)求证：为切线； (2)若，，，求的半径长． 研考点·通技法 1.遇到弦心距：设弦心距为d，则R² = d² + (半弦长)²。 2.遇到切线：在Rt△中，R² + 切线长² = 圆心到切点的距离²。 3.遇到相似比：用含R的式子表示对应边，通过相似比例相等列方程。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）如图，是的外接圆，且．连接并延长交于点D．过点A作，垂足为点E．点F在的延长线上，连接．使．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 2．（2025·辽宁锦州·二模）如图，内接于是的直径，射线相交于点于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 3．（2026·辽宁锦州·一模）如图，是的直径，弦于点，是下方上的点，且，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点P． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 4．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，已知是的直径，弦与交于点F，延长至点D，连接，，，，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，，求的半径长． 题型06 圆中的线段长度问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，为的直径，C，D是上的点，连接，，． (1)求证：； (2)若是的切线，交的延长线于点E．若，，求的长． 研考点·通技法 1. 标图：将已知长度、等角、垂直等条件标记在图上。 2. 找形：寻找图中的关键几何结构（如：有切线就连半径；有直径就找直角；有弦就考虑垂径）。 3. 转化：利用相似或勾股，将未知边与已知边建立等量关系。 4. 计算：列方程求解，并检验结果是否合理。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，内接于，过点作的切线交的延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，以为直径作，分别交于点D，交于点E，过D作于H，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接交于G，若，，求的值． 3．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，⊙是的外接圆，，点E为⊙外一点，连接并延长，交⊙于点D，交于点M，连接，若，． (1)如图1，求证：是⊙的切线； (2)如图2，若M为的中点，，求的长． 4．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，为直径，点在上，连接．点在的延长线上，点为上不与重合的任意一点，满足． (1)求证：为的切线； (2)若点为的中点，的直径为13，，求的长． 题型07 圆与三角函数综合 析典例·建模型 1．（2026·辽宁锦州·一模）如图①，是的外接圆，点在上，延长至点，使得．    (1)求证：为的切线； (2)若的角平分线交线段于点，交于点，连接，如图②，其中，，求． 研考点·通技法 1. 明确Rt△：三角函数只能在Rt△中直接用，没有直角三角形要先构造。 2. 设k要统一：同题中若多次设比例，k的含义要一致，避免多个未知数。 3. 锐角三角形函数名称：sin、cos、tan必须放在Rt△中对应正确，不要弄混对边、邻边、斜边。 4. 最后化简：结果如果是分式或根式，要化简到最简形式（分母有理化）。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，是的直径，点C在上，D为射线上圆外一点，连接，． (1)求证：为的切线． (2)已知E为上一点，平分，若，，求的面积． 2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在中，，以为直径的⊙O分别交、于点D、E．点F在的延长线上，且． (1)求证：直线是⊙O的切线； (2)若，，求的长． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，连接交于点，以为邻边，为对角线，构造与的延长线相交于点，已知． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，为的直径，点为上一点，连接并延长至点，使连接，过点作的切线交的延长线于点，交与点． (1)求证：⟂； (2)若，，求的长． 题型08 圆中的尺规作图 析典例·建模型 1．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，已知四边形内接于，是直径，平分，平分． (1)尺规作图：过点作于点，并证明是的切线； (2)将绕点顺时针旋转后得到的射线交的延长线于点，若，求的长． 研考点·通技法 1. 掌握基本作图 熟悉作弦的垂直平分线（找圆心）、作切线（连接半径、作垂线）、作等弧（等分圆周）等尺规作图方法。明确作图痕迹与圆中半径、弦、弧的对应关系。 2. 由作图导条件 根据作图结果（如垂直、中点、等角），结合圆的性质（垂径定理、圆心角定理）推出边等、角等或平行关系，用于证明三角形全等或相似。 3. 列方程计算 设未知数（如半径R、弦长一半a），利用作图产生的线段长度或角度关系（如勾股定理、切线长定理）列方程。注意作图可能产生多解（如圆内与圆外），需分类讨论并验证。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，中，，以点为圆心，长为半径作，交于点．点为上一点，连接，，若． (1)求证：是的切线； (2)①用无刻度的直尺和圆规，在线段上求作点，使；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，连接，若，，求的长． 2．（2025·辽宁大连·一模）如图，已知在中，，以A为圆心，的长为半径作圆，是的切线与的延长线交于点E．    (1)请用无刻度的直尺和圆规过点A作的垂线交的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接． ①试判断直线与的位置关系，并说明理由； ②若，的半径为3，求的长． 3．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，已知圆内接四边形中是的直径，且满足． (1)尺规作图：过点作的切线，交的延长线于点； (2)在（1）的条件下，求证：； 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项04 圆的相关证明与计算 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近年辽宁新中考考情，圆的相关证明与计算为解答题中的必考题型，分值约8分左右． 命题趋势：解答题：圆的相关证明与计算稳定在解答题倒数第三大题（第21题）的位置进行考查，一般分为2个小问，主要围绕着切线的性质与判定、圆内接四边形、垂径定理、圆周角定理、弧长与扇形面积等内容进行命题，并常与相似三角形、锐角三角函数、四边形的性质与判定、最值问题等结合出题。 2026年预测：解答题仍会继续在第21题的位置考查圆的相关内容，考查形式稳定。第1小问主要为证明切线或根据切线的性质进行其他证明，第2小问比较灵活，可能会借助三角形相似、四边形的性质与判定、三角函数等求半径的长、求线段长、求弧长或相关图形的面积等。 备考核心：熟记圆内的相关定理，锻炼题目条件与方法之间的联想做题能力，熟练掌握作辅助线的技巧，计算准确，书写步骤规范。 题型01 切线的性质与判定 析典例·建模型 1．（2026·辽宁阜新·一模）如图，点，，，为上四个点，为直径，，，平分．过点作交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)求的长． 【思路分析】（1）连接，根据角平分线的性质和平行线的性质得到，即可得证； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，证明为等腰直角三角形，利用勾股定理得出，证明，即可得解； 【规范答题】（1）证明：平分， ， ； 连接，如图1， 为直径， ， 又， ． ， ， ， ， ， 为的切线； （2）解：过点作的垂线，交的延长线于点，如图2， ， ， ， 又， ， ， ， 为等腰直角三角形， 在中，， ， ，，， ， ， ， 在中，， ． 研考点·通技法 此类大题常考查切线的判定证明、切线性质的角度/线段推导、切线长定理综合计算，常结合圆周角、垂径定理、全等/相似三角形、勾股定理、三角函数，是圆板块解答题、证明题的压轴高频必考题型。 1.明辨两大核心方向：①切线判定：证明某条直线是圆的切线②切线性质：已知切线，推导边角、垂直、线段等量关系 2.切线判定2种标准通法：①有交点，连半径，证垂直：直线与圆已有公共点，连接圆心和公共点，证明连线与直线夹角为90°②无交点，作垂直，证半径：不确定公共点，过圆心向直线作垂线段，证明垂线段长度等于圆的半径 3.切线核心性质牢记：①圆的切线垂直于过切点的半径②经过切点垂直于切线的直线，必定经过圆心③从圆外一点引圆的两条切线：切线长相等，圆心与该点的连线平分两条切线的夹角、平分切点弦 4.大题倒角破题技巧：①见切线+切点，第一反应：立刻得到90°直角，快速得到互余角②半径相等→等腰三角形，进行等角转化③搭配圆周角定理、直径所对直角、同弧等角搭建角度桥梁④遇多条切线，优先用切线长定理转化线段相等 破类题·提能力 1．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，在中，半径，点为延长线上一点，点为上一点，连接，且，连接交于点． (1)求证：与相切； (2)如图，连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据角的和差关系即可得出，即可得出与相切； （2）根据圆周角定理得出，进而得出是等腰直角三角形，求出，，根据线段的和差关系即可得答案． 【详解】（1）证明：∵半径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相切． （2）解：∵和是所对的圆周角和圆心角，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，，， ∴． 2．（2026·辽宁大连·一模）如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等边对等角得出，，从而得到，推出，由平行线的性质得出，即可得证； （2）过点作于点H，则，则四边形是矩形，由矩形的性质可得，，有勾股定理得出，推出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，过点作于点H，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 3．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，四边形内接于，，过点B作的切线交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)当时，请直接写出的长为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可得是的直径，进而得到，再证即可得到； （2）先证，得到，设，的半径为，则，在中利用勾股定理可得，再利用的正弦值相等求出即可求解． 【详解】（1）连接， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的切线， ，即， ， 又，， , （内错角相等，两直线平行）； （2）解：由（1）知， 又（同弧所对圆周角相等）， ， 又，， ， ， ，即， ，设，的半径为， ， 又， ，即，解得， ， 又， ，解得（负值已舍）， ． 4．（2026·辽宁大连·二模）如图，四边形内接于，，过点D作的切线与的延长线相交于点E，连接， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）连接，因为是的切线，所以，再根据圆周角定理求出，则，从而得到，又由等弧所对的圆周角相等得，即可得出结论； （2）连接，先由垂径定理得到，则由勾股定理求解得到，设半径为，对运用勾股定理求解半径，再解求出半径，再证明为等边三角形即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴是的直径， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设半径为， ∴． ∵， ∴， 解得 ∴在中，， ∴ ∵ ∴为等边三角形， ∴． 题型02 圆中的角度问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，是的直径，C，D是上两点，过点C的切线交的延长线于点E，，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【思路分析】（1）利用切线和垂直得出，可得，再利用同弧所对的圆周角相等，得出，再证明，即可求证； （2）连接，先求出，结合，得出，可得，再利用三角函数得出，，代入计算即可． 【规范答题】（1）证明：∵是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为． 研考点·通技法 此类大题常考查圆内角度的推导与证明，核心围绕圆周角定理、圆心角定理、切线性质、圆内接四边形性质、弧弦角关系展开，常结合等腰三角形、直角三角形、相似三角形进行综合推理，是几何证明压轴与中档大题的高频必考题型。 1.定边定弧找基础：先锁定目标角所对的弧、弦，区分圆心角、圆周角、弦切角，明确已知条件对应的基础边角关系。 2.套用圆核心角度定理：①同弧/等弧所对的圆周角相等，且等于对应圆心角的一半②直径所对的圆周角必为90°③直角切线与过切点的半径互相垂直④圆内接四边形对角互补、外角等于内对角⑤同圆中，等弦对等弧、等弧对等角 3.倒角转化搭桥梁：通过公共角、对顶角、互余/互补角、等腰三角形底角相等，把未知角向已知角等量代换、角度传递。 4.结合普通几何辅助：必要时连接半径、直径、弦，构造等腰三角形、直角三角形、全等/相似三角形，补全证明所需图形。 5.理清逻辑严谨推导：书写证明时，每一步角度转化标注几何依据，避免跳步；多结论大题可由第一问结论，直接顺延推导后续角度关系。 6. 逆向验证收尾：推理结束反向核验角度关系，检查特殊位置（切点、直径、弧中点）的隐含条件是否全部用到，规范整理完整证明过程。 大题高频解题破题口诀：①见弧先找圆周角，遇直径想直角标；切线连半径垂直，四点共圆对角消；②倒角优先找等角，相似等腰来搭桥。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁·模拟预测）如图，已知内接于⊙，是⊙的直径，点E在上，过E作⊙的切线，交的延长线于点F，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、垂径定理和相似三角形的判定与性质． （1）连接交于G点，如图，先根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，则可判断，再证明，从而得到结论； （2）先证明，则，利用相似三角形的性质求出，然后利用为的中位线，从而得到． 【详解】（1）证明：如图，连接，交于点G， ∵与相切于点E， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴平分． （2）解：∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即． ∵经过圆心， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 2．（2026·辽宁朝阳·一模）如图，中，以为直径的交于点D，是的切线，且，垂足为E，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，求AF的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图：连接．根据切线的性质可得，进而得到，即，则，然后得到，最后根据三角形外角的性质即可解答； （2）如图：连接DF，DA,根据圆周角定理结合（1）的相关结论可得，即；再根据等腰三角形的性质可得，然后再证可得，最后根据正切的定义列比例式求解即可． 【详解】（1）证明：如图：连接． ∵是的切线． ∴半径， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵． ∴． ∴， ∴是的外角， ∴． （2）解：如图：连接DF，DA, ∵，， ∴． ∴． ∵． ∴． ∵是圆的直径． ∴． ∴．． ∵， ∴． ∴． ∴ ∴， 在中，,, ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握圆的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，是的直径，点在线段的延长线上，直线与相切于点，且，连接，，交于点，作线段，使，交于点，连接，交于点，过点作，交于点． (1)记，求的大小； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质及平行线性质得，则，即，证明得，由此即可得出的度数； （2）设，则，，，证明得，设，，证明得，则，解得，则，在中，利用勾股定理可求出，进而得，，，证明，再根据，得，继而得，，据此即可得出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵直线与相切于点，是的直径， ∴，， ∵，对着圆心角和圆周角， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ， 解得或（负值不符合题意，舍去）， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，扇形面积的计算，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识点，掌握圆的相关知识，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义是解题的关键． 4．（2025·辽宁锦州·一模）如图，的直径与弦相交于点，过点的切线垂直于射线，垂足为点，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理及推论的应用、解直角三角形， （1）连接，先证明，进而证明，得出，即可证明结论； （2）先求出，再求出，证明是等边三角形即可求出结论． 【详解】（1）证明：如答图，连接． 是的切线， ． 是的直径， ． ． ， ． ． ． （2）解：， ． ． ， ， 在中，， ． ， 是等边三角形． ， 即的半径为 题型03 圆中的弧长问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为点，连接． (1)求证：是的切线； (2)如图2，分别延长，相交于点，若，，求的长． 【思路分析】（1）根据圆周角定理和等腰三角形的性质证得，由内错角相等证得，进而证得，即可证得结论； （2）设，根据等腰三角形的性质和三角形外角定理证得，，进而求得，，根据含30度直角三角形的性质求出，根据弧长公式即可求出答案． 【规范答题】（1）证明：如图，连接． ， ， 是直径， ， ， 又， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2）解：如图，连接． 由（1）得，是的切线， ， ， ， 设， ， 又， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 的长． 研考点·通技法 此类大题常考查圆中某段弧长的计算，常结合圆的性质、旋转、平移、特殊三角形、三角函数综合命题，是中考几何计算高频题型，整体难度不大。 1.设的半径为，圆心角所对弧长为， 弧长公式： （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关） 2.找关键条件：①先确定：圆心角、半径、特殊角度（30°、45°、60°、90°、120°）②遇直径、切线、垂径定理，优先找直角，简化角度与边长 3.规范步骤书写：先写公式，再代入数值，分步计算，最后统一结果（保留π或按要求取近似值），注意单位与作答完整。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点为的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可； （2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在四边形中，∵ ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：． 2．（2025·辽宁丹东·二模）已知：如图，四边形是的内接四边形，是的直径，过点作的切线，交延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】（1）根据等边对等角和平行线的性质，推出，求得根据切线性质知道，据此即可证明； （2）设，根据平行线的性质，求得，再根据三角形内角和，推出，根据圆内接四边形的性质，推出，据此列式，求得，再根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴的长． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角、弧、弦三者的关系，圆周角的定理及推论，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆的内接四边形的性质，弧长公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 3．（2025·辽宁丹东·一模）如图，是的直径，直线与相切于点A，点C是上的一点，连接，，的平分线交与点D，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，可得，再证明，再进一步可得结论； （2）先证明可得，， 连接，，证明，再进一步利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：直线与相切于点A， ， ， 是的直径， 在中，， 平分， ， ． （2）解：， ， ， ， ， 连接，， ， ， 半径， 的长度． 【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，求解弧长，掌握以上基础知识是解本题的关键． 4．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，是的直径，点C是的中点，于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)的长度为 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，求弧长，解题的关键是熟练掌握以上知识点，正确的作出辅助线． （1）由C是的中点，得，由是的直径，得，由，得，则，再结合，得，进而证得； （2）由，，结合半径相等，可证，即为等边三角形，再由，得，则，由，得半径长，再利用弧长公式，即可求解； 【详解】（1）点C是的中点， ， ， ， ， ，                又是的直径， ， ， ， ， ； （2）解：连接、， ，， 垂直平分线段， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 的长度为． 题型04 圆中的面积问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，是的外接圆，是的直径，，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段，和围成的阴影部分面积． 【思路分析】（1）连接，利用平行线的性质证得，即可得到是的切线； （2）连接，作于点，证得四边形是正方形，得到，解直角三角形求得，在中，解直角三角形求得，再根据阴影部分面积，列式计算即可求解． 【规范答题】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，又是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接，作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴阴影部分面积． 研考点·通技法 此类大题常以扇形、三角形、弓形、不规则组合图形为背景，考查阴影部分面积的计算，核心方法是割补法、和差法、等积转化法，常结合圆的性质、旋转、平移、特殊三角形、三角函数综合命题，是中考几何计算高频题型。 1.设的半径为，圆心角所对弧长为， 扇形面积公式： 2.核心解题思路：和差法（最常用）：把不规则阴影面积，转化为规则图形面积的和或差： 3.割补与等积转化：利用旋转、平移、对称，将分散阴影拼成完整扇形或三角形，同底等高三角形面积相等，实现阴影部分位置转移，简化计算 4.找关键条件：①先确定：圆心角、半径、特殊角度（30°、45°、60°、90°、120°）②遇直径、切线、垂径定理，优先找直角，简化角度与边长 5.弓形与组合图形处理：①弓形阴影：直接用扇形−三角形②交叉重叠阴影：用总面积−各空白部分③环形类阴影：大圆－小圆 6规范步骤书写：先写公式，再代入数值，分步计算，最后统一结果（保留π或按要求取近似值），注意单位与作答完整。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，D是中边的中点，于点E，以为直径的经过点D，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，延长交的延长线于点F，连接．若，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角得到垂直关系，结合线段垂直平分线的性质证明，再利用同角的余角相等进行角度转换； （2）利用等腰三角形三线合一及角平分线的定义求出的度数，进而判断为等边三角形，求出半径，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：为的直径， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1)，知， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，连接，过点A作交的延长线于点E，若， (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由切线性质定理及勾股定理求得圆的半径，进而求得，再在中由正弦函数关系即可求解； （2）由（1）所求可求得，利用即可求解． 【详解】（1）解：是的切线，是的半径， ∴． ， 设， 则． 在中，由勾股定理，得， ， 解得． ． 在中，，， ， ， ， ， ， 在中，， ； （2）解：， ， ， ， ∵，，， ， ． 3．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）如图，以的边为直径的交边于点D，交的延长线于点E，且．    (1)求证：． (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理及推论和扇形的面积公式是解题的关键， （1）连接，利用圆周角定理可得，，从而可推出，证得为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得； （2）连接、，由圆周角定理的推论可得，从得到，，再根据（1）中等腰三角形的性质可得，利用三角形外角的性质得，进而可证得是等边三角形，故可得，再利用代入即可算出阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：连接，   是的直径， ， ， 又，， ， ， ； （2）解：连接、，   ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， . 4．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，点在边上，以为直径作的经过边上的点，连接，平分， (1)求证：是的切线； (2)，，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，交边于点，求图中，，，．围成的阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，角平分线的定义和等边对等角，熟知圆的相关知识是解题的关键。 （1）连接，由角平分线的定义和等边对等角可证明，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）求出，根据题意可得扇形和扇形的面积之和等于圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积，再根据列式计算即可。 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 由题意得，扇形和扇形的半径相同，且， ∴扇形和扇形的面积之和等于圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积， ∴。 题型05 求圆的半径 析典例·建模型 1．（2026·辽宁鞍山·一模）如图，为的外接圆，为直径，点为半圆上一点，连接，与交于点，点为延长线上一点，连接，且． (1)求证：为切线； (2)若，，，求的半径长． 【思路分析】（1）连接，先证明，再根据为直径，得出，由半径相等得出，进而得出，即可得证； （2）连接，先证明为等边三角形，解，即可求解． 【规范答题】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， ，为半径， ∴为切线． （2）解：连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ，． 在中，， ， 研考点·通技法 1.遇到弦心距：设弦心距为d，则R² = d² + (半弦长)²。 2.遇到切线：在Rt△中，R² + 切线长² = 圆心到切点的距离²。 3.遇到相似比：用含R的式子表示对应边，通过相似比例相等列方程。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）如图，是的外接圆，且．连接并延长交于点D．过点A作，垂足为点E．点F在的延长线上，连接．使．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2)的半径为 【分析】（1）连接，证明，由角的等量代换即可证明，可得结论； （2）连接，延长交于点M，证明，在中，，代入计算即可． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：如图，连接，延长交于点M， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得，． 即的半径为． 【点睛】本题考查圆的有关性质，圆周角定理，切线的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握圆的有关性质是解题的关键． 2．（2025·辽宁锦州·二模）如图，内接于是的直径，射线相交于点于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长交于点H，由题意得点O在垂直平分线上，易证，推出，结合，推出，即可证明； （2）连接，证明，求出，再证明，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点H， ∵内接于， ∴点O在垂直平分线上， ∴，， ∴，即， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵是的直径， ∴，即， 由（1）知，即， ∴， 由（1）知， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查切线的判定定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作辅助线，构造三角形相似，熟练运用所学知识． 3．（2026·辽宁锦州·一模）如图，是的直径，弦于点，是下方上的点，且，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点P． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）连接并延长，交于点H，连接，．由切线的性质定理得由垂径定理的推论得，从而证得平行． （2）由，垂径定理证得，得到，设未知数在用勾股定理列方程即可求得半径． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点H，连接，． ，为半径， ， ， 是的切线， ， ， ， ． （2）解：， ，， ，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得． 的半径是3． 【点睛】本题是一道圆的综合几何证明与计算题，考查圆的切线的性质、垂径定理及推论、平行线的判定、全等三角形等知识点，要注意见切线，有交点，连半径的辅助线的做法，灵活运用垂径定理及推论，遇到求半径优先想到运用垂径定理、勾股定理列方程求解． 4．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，已知是的直径，弦与交于点F，延长至点D，连接，，，，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知结合圆周角定理求得，再证明，即可证明结论成立； （2）证明，推出，再证明，推出，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴为的切线； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 题型06 圆中的线段长度问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，为的直径，C，D是上的点，连接，，． (1)求证：； (2)若是的切线，交的延长线于点E．若，，求的长． 【思路分析】（1）证明即可； （2）连接，过点C作于点G，利用勾股定理，三角形面积，正切函数求解即可． 【规范答题】（1）证明：连接， 则四边形是的内接四边形， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ; （2）解：连接，过点C作于点G， 为的直径， ， ，， ， ， 故， ， ， ， 是的切线， ， ， 解得． 研考点·通技法 1. 标图：将已知长度、等角、垂直等条件标记在图上。 2. 找形：寻找图中的关键几何结构（如：有切线就连半径；有直径就找直角；有弦就考虑垂径）。 3. 转化：利用相似或勾股，将未知边与已知边建立等量关系。 4. 计算：列方程求解，并检验结果是否合理。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，内接于，过点作的切线交的延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据等边对等角得到，根据三角形内角和定理求出，根据切线的性质得到，即可证明； （2）连接，根据等边对等角得到，进而求出，根据30度角的性质得到，根据三角函数求出，根据等角对等边得到，则，设，根据勾股定理求出，即可求出的长度． 【详解】（1）证明：连接， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ； （2）解：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， 在中， 设，则 根据勾股定理得： 解得：（负值舍去） 2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，以为直径作，分别交于点D，交于点E，过D作于H，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接交于G，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据等腰三角形的性质及等量代换可得到，进而利用平行线的性质证明切线即可． （2）首先通过求的长，再利用得到的长，最后利用求的值即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线 （2）如图，连接， ， ，， ， ，， ，， ，， 是直径， ， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，中位线的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定，借助相似找到边长的等量关系是解决问题的关键． 3．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，⊙是的外接圆，，点E为⊙外一点，连接并延长，交⊙于点D，交于点M，连接，若，． (1)如图1，求证：是⊙的切线； (2)如图2，若M为的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长13． 【分析】（1）连接，由题意易得，，然后可得，，进而可得，则问题可求证； （2）连接，由题意可先证，则有，设，则，然后可根据勾股定理建立方程进行求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， 中，． 又， ． ， ． ． ， ， ， ． 即：． 为的切线； （2）解：如图，连接， ， ． 又， ． ， ． ． ，为的直径． ． ． 设， 则． ． ， 即：， ． ． 在中， ． 【点睛】本题主要考查切线的性质与判定、圆周角定理、二次根式的混合运算及勾股定理等知识点，熟练掌握切线的性质与判定、圆周角定理及勾股定理是解题的关键． 4．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，为直径，点在上，连接．点在的延长线上，点为上不与重合的任意一点，满足． (1)求证：为的切线； (2)若点为的中点，的直径为13，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，可得，，则，，，结合切线的判定即可求解； （2）连接，根据勾股定理得，为的垂直平分线，为的中位线，根据平行线分线段成比例定理，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：连接， ， ， ∵是直径， ∴， ∴，即， ∵，， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ， ， 又为的半径， 是的切线． （2）解：连接， 为的直径， ， 在中，，根据勾股定理， 的直径为13，， ， 为的中点， ， ， ， 为的垂直平分线， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ， ∴，即， ， ，根据平行线分线段成比例， ，即， ． 【点睛】本题主要考查切线的判定，勾股定理，垂直平分线的判定和性质，中位线的判定和性质，平行线分线段成比例定理的运用，掌握以上知识的综合，数形结合分析是关键． 题型07 圆与三角函数综合 析典例·建模型 1．（2026·辽宁锦州·一模）如图①，是的外接圆，点在上，延长至点，使得．    (1)求证：为的切线； (2)若的角平分线交线段于点，交于点，连接，如图②，其中，，求． 【思路分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质，同角的余角相等得出，再根据切线的判定方法进行判断即可； （2）通过证明，可得，从而得到，在中，由勾股定理可得，再根据圆周角定理以及相似三角形的性质得出，代入计算即可． 【规范答题】（1）证明：连接，如图，   ，， ， ， ， 是直径， ，即， ， ， 是的直径； （2）解：， ， ， ， ， ， 在中，， ， 即， ， 为的角平分线， ， ， ， ， ． 研考点·通技法 1. 明确Rt△：三角函数只能在Rt△中直接用，没有直角三角形要先构造。 2. 设k要统一：同题中若多次设比例，k的含义要一致，避免多个未知数。 3. 锐角三角形函数名称：sin、cos、tan必须放在Rt△中对应正确，不要弄混对边、邻边、斜边。 4. 最后化简：结果如果是分式或根式，要化简到最简形式（分母有理化）。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，是的直径，点C在上，D为射线上圆外一点，连接，． (1)求证：为的切线． (2)已知E为上一点，平分，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理、切线的判定定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，由等腰三角形的性质得到，进而得到，证得，从而得出结论； （2）根据角平分线的性质易证得，在中，根据求出的长，利用勾股定理求出的长，同理，在中求出、，再证明，进而得到，即求出长，进而求出长，最后利用求解即可． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 即， ， 是的直径， 为的切线； （2）解：， ， 平分， ， ， ， ， 在中，， 即， ， ， 在中，， 即， ， ， ， 、， ， ， 即， 解得， ， ． 2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在中，，以为直径的⊙O分别交、于点D、E．点F在的延长线上，且． (1)求证：直线是⊙O的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线性质，勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质，正弦值的计算，通过构造辅助线，构造垂直，进而可得平行，得到与相似是解决本题的关键． （1）根据圆的切线的性质，证明，根据等边对等角，由可得，再由结合三角形内角和即可求解； （2）通过构造辅助线得到直角三角形，根据可得正弦值相等，由此可计算边长，再得相似，通过相似可求解的长 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在中，， 又∵， ∴， 则有， ∴， ∴， ∴直线是⊙O的切线； （2）解：过点C作交于点G，连接，如图， ∵为⊙O的直径， ∴，即， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵， 在中，， 又∵， ∴， ∵， ∴，即， 在中，， 在中和在中， ，， 即，， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴∽， ∴，即， 解得． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，连接交于点，以为邻边，为对角线，构造与的延长线相交于点，已知． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的切线的证明、正切的定义、平行四边形的判定与性质、平行等分线段定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图，连接．由圆周角定理可得，再根据邻补角的定义以及等边对等角可得，然后根据平行线四边形的性质以及三角形内角和定理可得即可证明结论； （2）由已知条件易得，进而得到、，再根据圆的相关定义可得．由平行线的性质可得，由平行线等分线段定理可得， 解得，即；再根据平行四边形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． 是的直径， ． ． ， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 是的半径， 是的切线． （2）解：， ． 在中，， ， ， ． 四边形是平行四边形 ， ， ， ， ． 四边形是平行四边形， ． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，为的直径，点为上一点，连接并延长至点，使连接，过点作的切线交的延长线于点，交与点． (1)求证：⟂； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，切线的性质，中位线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接，根据中位线的性质可得，根据切线的性质得出，即可得证； （2）连接，解，得出，进而得出，证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接 ∵， ∴ ∵是的切线 ∴ ∴ （2）解：如图，连接， ∵是直径， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴即 解得： 题型08 圆中的尺规作图 析典例·建模型 1．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，已知四边形内接于，是直径，平分，平分． (1)尺规作图：过点作于点，并证明是的切线； (2)将绕点顺时针旋转后得到的射线交的延长线于点，若，求的长． 【思路分析】题目主要考查垂线的作法，切线的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据垂线的作法作图即可；连接，得出，再由角平分线得出，利用等边对等角及等量代换得出，确定，即可证明； （2）根据圆周角定理得出，由各角之间的关系得出，再由旋转的性质及全等三角形的判定得出，，再由相似三角形的判定和性质及勾股定理求解即可． 【规范答题】（1）解：尺规作图：如图所示． 证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵OD是半径， ∴DE是⊙O的切线． （2）∵是直径， ， 平分 ， ， ， ， 由旋转得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴ ∴． 研考点·通技法 1. 掌握基本作图 熟悉作弦的垂直平分线（找圆心）、作切线（连接半径、作垂线）、作等弧（等分圆周）等尺规作图方法。明确作图痕迹与圆中半径、弦、弧的对应关系。 2. 由作图导条件 根据作图结果（如垂直、中点、等角），结合圆的性质（垂径定理、圆心角定理）推出边等、角等或平行关系，用于证明三角形全等或相似。 3. 列方程计算 设未知数（如半径R、弦长一半a），利用作图产生的线段长度或角度关系（如勾股定理、切线长定理）列方程。注意作图可能产生多解（如圆内与圆外），需分类讨论并验证。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，中，，以点为圆心，长为半径作，交于点．点为上一点，连接，，若． (1)求证：是的切线； (2)①用无刻度的直尺和圆规，在线段上求作点，使；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析② 【分析】（1）证明，得到，即可证明是的切线； （2）①作线段的垂直平分线交于点即可； ②设则，利用勾股定理建立方程求出，利用解直角三角形得到，结合等腰三角形性质，以及三角形外角性质，推出，利用全等三角形性质求出，最后利用弧长公式求解，即可解题． 【详解】（1）证明：∵在和中，，，， ∴， ∴． ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：①所作点如图所示： ②，， 设则， ∵， ∴是直角三角形． ∴， ∴， 解得． ∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴是等腰三角形． ∴． ∵是的外角， ∴． ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴的长为． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，弧长公式，掌握相关知识是解题的关键． 2．（2025·辽宁大连·一模）如图，已知在中，，以A为圆心，的长为半径作圆，是的切线与的延长线交于点E．    (1)请用无刻度的直尺和圆规过点A作的垂线交的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接． ①试判断直线与的位置关系，并说明理由； ②若，的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①与相切，理由见解析；②6 【分析】（1）使用尺规作图作线段垂线，分别以点、点为圆心，作半径相同的圆弧，交于一点，连接点A与该点并延长交的延长线于点． （2）①根据垂直平分线性质求得，则与相切； ②在中，由勾股定理可得即可得，在中，由即可求解． 【详解】（1） 如图，为所作垂线；    （2）①与相切，理由如下∶ 在中，是的垂线， ，且是的垂直平分线， ， ， 与相切于点， ，即， 与相切； ②在中， 根据勾股定理，得： 在中， 【点睛】本题考查圆的切线的判定定理、垂直平分线性质和勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 3．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，已知圆内接四边形中是的直径，且满足． (1)尺规作图：过点作的切线，交的延长线于点； (2)在（1）的条件下，求证：； 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）作射线，过点C作的垂线，交的延长线于点E即可； （2）由是的直径可证，由是的切线可证，从而，进而可证，证明得，然后结合三角形外角的性质可证． 【详解】（1）解：如图，切线即为所求， （2）解：是的直径， ，， 是的切线， ， ， ， ， ； ， ， ， ，， 【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质，圆周角定理，等边对等角，以及三角形外角的性质，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $