专项05 统计与概率 4大题型（大题专练）（辽宁专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 以命题趋势为导向，通过“析典例-建模型-通技法-破类题”体系，系统整合统计与概率知识，强化数据意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |命题解码|1趋势+1预测|考情分析与备考方向|立足辽宁中考，明确统计解答题稳定考向| |统计与数据分析|1典例+4题|三数一差计算、图表补全、样本估计总体|从数据提取到图表应用，构建统计基础能力链| |统计量评价决策|1典例+4题|统计量意义解读、综合决策规范|结合实际情境，培养数据驱动的推理能力| |概率计算|1典例+4题|列表/树状图法、放回与不放回区分|从简单概率到复杂情境，强化逻辑列举能力| |统计与概率综合|1典例+4题|统计与概率步骤衔接、数据关联应用|整合统计图表与概率计算，提升综合应用意识|

专项05 统计与概率 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近年辽宁新中考考情，统计与概率是中考的必考内容，近两年统计内容均在解答题中进行考查，分值约8分左右． 命题趋势：解答题：统计与概率题型稳定在中考解答题第三大题（第18题）的位置考查，近两年将概率问题逐渐放到了选择题与填空题中，但统计问题仍在解答题中以3小问的形式命题。近年来更加侧重于数据解读与实际应用，情境贴近生活与社会热点，重视解题规范与简单说理。主要考查内容为补全统计图、计算样本容量、频数、百分比、计算平均数、中位数、众数、方差、根据样本数据对总体进行估算等。 2026年预测：解答题极大可能继续以统计内容为核心单独命题第18题，同时不排除融合概率计算问题，考查形式较稳定。图表呈现上，扇形图与条形图结合仍然是主流，需熟练掌握求扇形统计图中的圆心角度数、补全条形统计图等；从图表中提取正确的信息计算平均数、中位数、众数、方差等，并利用数据进行评价，以及根据样本估算总体等；若融合概率计算问题，则要用列表法或树状图法完整写出所有等可能结果，再计算指定事件的概率。整体题目的情境会更加贴近生活，设问开放，继续强化数据分析素养与规范表达。 备考核心：读题准确，能从复杂的题目数据中挑选出对应问题中需利用的数据，再进行相关计算，图表补充题要写出必要的计算过程，书写步骤规范。 题型01 统计与数据分析 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·一模）随着城市交通流量的不断增加，合理调控路口车速对保障交通安全、缓解拥堵具有重要意义．某交警大队为了解一路口某时段来往车辆的车速情况，随机调查了辆机动车的车速（单位：千米/时），根据统计结果绘制如下统计图①和图②： (1)填空：的值为__________，图①中的值为__________，统计的这组车辆速度的众数和中位数分别是__________和__________； (2)求统计的这组车辆速度的平均数； (3)已知该路口限速60千米/时，即车速超过60千米/时为超速，若该路口此时段每天来往车辆约为500辆，请你估计每天会有多少辆车超速． 研考点·通技法 1. 明确三数一差：平均数（反映整体水平）、中位数（不受极端值影响）、众数（出现最多）、方差（衡量波动大小）。根据问题选择合适统计量。 2. 补全图表技巧：利用“总数×频率=频数”及百分比之和为1，计算缺失数据。扇形图注意圆心角=360°×百分比。 3. 用样本估计总体：从样本中算出对应部分的频率或百分比，总体中对应数量 = 总体总数 × 样本百分比，结合图表补全数据并作答，注意单位与结果合理性。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁沈阳·一模）某学校拟开展科技主题班会活动，学生从“科技安全”，“科技畅想”，“科技生活”，“科技前沿”，“科技故事”中挑选一个主题．现随机抽取部分学生通过投票选出最受欢迎的主题，根据投票结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)求本次调查所抽取的学生人数，并直接补全条形统计图； (2)求扇形统计图中科技安全对应扇形的圆心角的度数； (3)若该校共有1000名学生，请估计该校选科技前沿的学生有多少名？ (4)为确定班会科技主题，又从抽取的学生中选择7名学生代表为“科技畅想”和“科技故事”打分，分数列表如下： 科技畅想 10 9 9 3 6 9 10 科技故事 9 10 7 8 6 8 8 平均数 中位数 众数 科技畅想 8 9 a 科技故事 8 b 8 则表中的数据：_________，_________． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）在“世界读书日”来临之际，某校七年级共800名学生参加了“让阅读成为习惯，让校园溢满书香”为主题的读书知识竞赛活动，为了解七年级学生的读书知识掌握情况，调查小组从七年级随机抽取50名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，下面是对样本数据进行了整理和描述后得到的部分信息： 信息一：50名学生竞赛成绩的频数分布表： 成绩/分 频数 6 15 17 9 信息二：50名学生的竞赛成绩的频数分布直方图（不完整）； 信息三：在这一组的学生竞赛成绩是： 80，81，83，83，83，84，84，85，86，86，86，87，87，87，88，88，89． 根据以上信息，回答下列问题： (1)求出频数分布表中的数值； (2)补全频数分布直方图； (3)求出所抽取学生竞赛成绩的中位数； (4)学校将把获得88分及以上的学生评为“阅读达人”，请估计七年级学生的获奖人数． 3．（2026·辽宁葫芦岛·一模）2026年春晚别出心裁，《武BOT》、《智造未来》等机器人节目创意十足，让观众感受到了科技的魅力．在生活中，智能机器人早已走进物流领域，成为快递分拣的“得力干将”，科创小达人阳阳从快递分拣站随机抽取部分智能机器人，统计每台智能机器人每天分拣的快递数量，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 根据以上信息，解答下列问题： (1)求阳阳从快递分拣站随机抽取的机器人数量； (2)求抽取的机器人分拣快递数量的中位数； (3)若快递分拣站共有这种智能机器人50台，请你估计该快递站这50台智能机器人每天分拣的快递约有多少万件？ 4．（2026·辽宁沈阳·一模）跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．某中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65  70  73  80  85  95  96  96  98 组别 次数x（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)A组学生跳绳次数的中位数是______次； (3)若某中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少人？ 题型02 根据统计量作评价与决策 析典例·建模型 1．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）某团队研发了三款机器人，分别命名为A、B、C．为测试三款机器人在图像识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 【数据收集与整理】 A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 B 8 87 C 8 n 83 任务1： ， ； 【数据分析与运用】 任务2：按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A、B、C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 任务3：如果要选择A、B、C三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 研考点·通技法 此类题型考察根据平均数、中位数、众数、方差等统计量判断成绩稳定性、择优选择、合理性分析等。 1.  按定义准确算出平均数、中位数、众数、方差 2.  解读意义：方差小→稳定，平均数大→水平高 3.  结合题意，用1-2句理由给出明确决策结论 4.  规范书写：先写数据，再下结论，理由紧扣统计量 破类题·提能力 1．（2026·辽宁铁岭·二模）某研发团队准备对A，B，C三款扫地机器人的清洁能力和导航避障能力进行测试，该测试由10名测试员参与．测试结果整理分析得到以下信息： A，B，C三款扫地机器人导航避障能力、清洁能力测试得分统计表 款式 导航避障能力 清洁能力 中位数 方差 10名测试员总得分 10名测试员总得分 A m 85 87 B 87 85 C 8 n 90 (1)求m和n的值； (2)按清洁能力测试成绩占，导航避障能力测试成绩占计算综合成绩，请你通过计算判断A，B，C三款扫地机器人中哪一款综合成绩最高？ (3)若某消费者想购买一台导航避障能力强的扫地机器人，根据以上测试结果，你会推荐哪一款扫地机器人？请给出你的理由．（写出一条推荐理由即可） 2．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． (1)这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． (2)请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． (3)规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）某教育集团为了解所属甲、乙两个校区八年级学生的数学“推理能力”和“运算能力”发展阶段情况，举办数学核心素养发展阶段测评活动分别对数学“推理能力”和“运算能力”进行测评．现从甲、乙两个校区八年级各测评成绩进行收集、整理、描述、分析．下面给出了部分信息： 【信息一】甲、乙两个校区八年级随机抽取的名学生的数学“推理能力”测评满分分，具体测评成绩汇总如下表： 序号 甲校区八年级测评得分 乙校区八年级测评得分 【信息二】甲、乙两个校区八年级随机抽取的名学生的数学“运算能力”测评满分分，测评成绩折线统计图： 【信息三】甲、乙两个校区八年级随机抽取的名学生的数学“推理能力”和“运算能力”测评成绩统计表： 测评项目 测评校区 平均数 中位数 众数 方差 推理能力 甲校区 8和 乙校区 运算能力 甲校区 和 乙校区 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，，______．（填“”或“”） (2)该教育集团甲、乙两个校区八年级分别有学生名和名，且全员参加此次数学核心素养发展阶段测评活动，请你估计该教育集团甲、乙两个校区八年级学生数学“推理能力”测评成绩优秀（分）的总人数； (3)请结合统计数据分析，对甲、乙两个校区八年级学生的数学“推理能力”和“运算能力”发展情况进行评价与比较，并分别给甲、乙两个校区八年级提出一条优化建议． 4．（2025·辽宁阜新·二模）某中学准备从七年级演唱非常好的甲、乙两位同学中选出一位参加区教体局举办的“庆六一”晚会．为此邀请五位评委进行现场打分，将甲、乙两位选手的得分数据整理成下列统计图与统计表． 平均数 中位数 方差 甲 8.8 0.56 乙 9 0.96 根据以上信息，解决下列问题： (1)表格中的______，______； (2)你认为选谁更合适？请说明理由； (3)在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后，选谁更合适，请说明理由． 题型03 利用列表法或树状图法求概率 析典例·建模型 1．（2025·辽宁铁岭·一模）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种． (1)小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液里，结果变红的概率是多少？ (2)小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 研考点·通技法 1. 确定因素与顺序：先判断一次试验有几个因素（或几步），两步用列表或树状图均可，三步及以上必须用树状图。按顺序列出所有可能结果。 2. 不重不漏列举：列表时行、列对应不同因素，树状图分层画出每个分支。注意区分“放回”与“不放回”：放回时两步结果数相同，不放回则减少。 3. 概率计算：数出总结果数n及满足条件的结果数m，则P =。注意是否强调“不放回”或“顺序”，避免重复或遗漏计数。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀． (1)随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是________； (2)小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率． 2．（2025·辽宁抚顺·二模）邮票素有“国家名片”之称，第二十九届、三十一届、三十三届奥林匹克运动会均发行了相关邮票，如图所示（四枚邮票分别用、、、表示）．某班级举行了一个关于奥林匹克运动会的有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品． (1)在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“第二十九届福娃欢欢邮票”的概率为______； (2)在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表法求恰好抽到的都是“第三十一届奥林匹克运动会邮票”的概率． 3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）2024年4月25日20时58分57秒神舟十八号载人飞船成功发射，这不仅是神舟十八号载人飞船任务的成功，更是中国航天事业雄心勃勃的豪情壮志，展现了我们大国崛起的力量．为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“相约浩瀚太空，逐梦航天强国”为主题的演讲比赛．九（1）班的小希和小辰都想参加比赛，她们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，班委决定通过转动转盘来决定人选．如图给出A，B两个均分且标有数字的转盘，规则：分别转动两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数，若差为负数，则小希胜；若差为正数，则小辰胜．（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止．） (1)小希转动一次A盘，指针指向数字5的概率是 ___________； (2)这个游戏规则对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 4．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． (1)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． (2)小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 题型04 统计与概率综合 析典例·建模型 1．（2025·辽宁丹东·二模）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： (1)________，所对应的扇形圆心角是________； (2)请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石” (3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． 研考点·通技法 1. 分清题型步骤：先解决统计部分（补全图表、计算三数一差），再处理概率部分（列表或树状图求随机事件的概率）。两问独立，统计结果常作为概率题的数据基础。 2. 用频率估概率：当试验次数足够多时，用大量试验中的频率（统计表中的频数占比）近似替代理论概率，用于预测或决策。 3. 注意数据关联：概率题中的“随机抽取”是否与统计样本一致（如从统计图表中的总体里抽一个）。明确“放回”与“不放回”对概率的影响，避免混淆。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁·一模）为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1) __________，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求“足球”所对应扇形的圆心角度数； (3)若该校共有名学生，请估计喜欢“篮球”运动的学生人数； (4)学校乒乓球队计划从表现突出的A，B，C，D四名同学中随机选取两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法，求恰好选中A和B两名同学的概率． 2．（2026·辽宁·模拟预测）为了解我区初四年级中考模拟数学测试答题情况，调研老师在我区某地选取一个水平相当的初四年级进行调研，将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为150分）分为5组（从左到右的顺序）．统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图．观察图形的信息，回答下列问题： 学生数学考试成绩频数分布直方图 各组学生人数所占百分比 (1)本次调查共随机抽取了该年级___________名学生，考试成绩120分以上（含120分）学生有___________名，请将频数分布直方图补充完整； (2)规定：成绩位于前5%的可获得小礼品一份，在被调查的学生中，某位学生成绩为134分，试判断他是否能获奖，说明理由； (3)如果第一组中只有一名是女生，第五组中只有一名是男生，针对考试成绩情况，老师决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈谈做题的感想，请你用列表或画树状图的方法求出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率． 3．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）辽宁省朝阳市作为全国的红山文化核心城市，城市周边有许多著名的景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游做了调查，以下是调查报告的部分内容，请同学们完善一下报告： XX小组关于XX学校学生“五一”出游情况调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 XX学校学生 数据的整理与描述 景点 A：凤凰山 B：牛河梁遗址 C：大黑山国家森林公园 D：鸟化石国家地质公园 E：未出游 F：其他 数据分析及运用 (1)扇形统计图中，______； (2)“B：牛河梁遗址”对应圆心角的度数是______； (3)请补全条形统计图； (4)未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从A、B、C、D四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择不同景点的概率． 4．（2025·辽宁·一模）2024年3月22日至28日是第三十二届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动．A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量分为5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息： 信息一： 甲小区3月份用水量频数分布表 用水量 频数（户） 4 9 10 5 2 信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下： 甲小区 乙小区 平均数 9.0 9.1 中位数 9.2 a 信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6 根据以上信息，回答下列问题： (1)__________； (2)若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于的总户数； (3)因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项05 统计与概率 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近年辽宁新中考考情，统计与概率是中考的必考内容，近两年统计内容均在解答题中进行考查，分值约8分左右． 命题趋势：解答题：统计与概率题型稳定在中考解答题第三大题（第18题）的位置考查，近两年将概率问题逐渐放到了选择题与填空题中，但统计问题仍在解答题中以3小问的形式命题。近年来更加侧重于数据解读与实际应用，情境贴近生活与社会热点，重视解题规范与简单说理。主要考查内容为补全统计图、计算样本容量、频数、百分比、计算平均数、中位数、众数、方差、根据样本数据对总体进行估算等。 2026年预测：解答题极大可能继续以统计内容为核心单独命题第18题，同时不排除融合概率计算问题，考查形式较稳定。图表呈现上，扇形图与条形图结合仍然是主流，需熟练掌握求扇形统计图中的圆心角度数、补全条形统计图等；从图表中提取正确的信息计算平均数、中位数、众数、方差等，并利用数据进行评价，以及根据样本估算总体等；若融合概率计算问题，则要用列表法或树状图法完整写出所有等可能结果，再计算指定事件的概率。整体题目的情境会更加贴近生活，设问开放，继续强化数据分析素养与规范表达。 备考核心：读题准确，能从复杂的题目数据中挑选出对应问题中需利用的数据，再进行相关计算，图表补充题要写出必要的计算过程，书写步骤规范。 题型01 统计与数据分析 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·一模）随着城市交通流量的不断增加，合理调控路口车速对保障交通安全、缓解拥堵具有重要意义．某交警大队为了解一路口某时段来往车辆的车速情况，随机调查了辆机动车的车速（单位：千米/时），根据统计结果绘制如下统计图①和图②： (1)填空：的值为__________，图①中的值为__________，统计的这组车辆速度的众数和中位数分别是__________和__________； (2)求统计的这组车辆速度的平均数； (3)已知该路口限速60千米/时，即车速超过60千米/时为超速，若该路口此时段每天来往车辆约为500辆，请你估计每天会有多少辆车超速． 【思路分析】（1）先根据条形统计图得车辆总数为，再结合速度为的车辆有10辆，且为最多，得出众数，根据一共调查的车辆数为，中位数排在第20和21位之间，即可作答． （2）根据平均数的公式列式计算，即可作答． （3）结合样本估计总体的公式进行列式计算，即可作答． 【规范答题】（1）解：依题意，， ， 则速度为的车辆有10辆，且为最多， ∴这组车辆速度数据的众数为， ∵一共调查的车辆数为， ∴中位数排在第20和21位之间， 则 ∴ ∴这组车辆速度数据的中位数为； 故答案为：40，12.5， （2）解：由（1）得一共调查的车辆数为， ∴， ∴统计的这组车辆速度数据的平均数为； （3）解：依题意，（辆）， ∴根据样本数据估计每天会有辆车超速． 研考点·通技法 1. 明确三数一差：平均数（反映整体水平）、中位数（不受极端值影响）、众数（出现最多）、方差（衡量波动大小）。根据问题选择合适统计量。 2. 补全图表技巧：利用“总数×频率=频数”及百分比之和为1，计算缺失数据。扇形图注意圆心角=360°×百分比。 3. 用样本估计总体：从样本中算出对应部分的频率或百分比，总体中对应数量 = 总体总数 × 样本百分比，结合图表补全数据并作答，注意单位与结果合理性。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁沈阳·一模）某学校拟开展科技主题班会活动，学生从“科技安全”，“科技畅想”，“科技生活”，“科技前沿”，“科技故事”中挑选一个主题．现随机抽取部分学生通过投票选出最受欢迎的主题，根据投票结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)求本次调查所抽取的学生人数，并直接补全条形统计图； (2)求扇形统计图中科技安全对应扇形的圆心角的度数； (3)若该校共有1000名学生，请估计该校选科技前沿的学生有多少名？ (4)为确定班会科技主题，又从抽取的学生中选择7名学生代表为“科技畅想”和“科技故事”打分，分数列表如下： 科技畅想 10 9 9 3 6 9 10 科技故事 9 10 7 8 6 8 8 平均数 中位数 众数 科技畅想 8 9 a 科技故事 8 b 8 则表中的数据：_________，_________． 【答案】(1)50，图见解析 (2) (3)名 (4)9，8 【分析】（1）由科技生活的人数除以占比得到投票人数，用总人数减去其余的人数求出科技故事的人数，补全条形统计图即可； （2）用360度乘以科技安全的比例即可： （3）利用样本估计总体即可； （4）可以根据中位数和众数分别进行分析即可． 【详解】（1）解：本次投票人数为：（人）， 科技故事人数为：（人）， 补全条形统计图为： （2）科技安全对应扇形的圆心角的度数为：； （3）估计该校选科技前沿的学生人数为：名 （4）根据表格得：将科技畅想的打分中9分出现的次数最多为3次， ∴， 将科技故事的打分排列为：6，7，8，8，8，9，10， ∴中位数． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）在“世界读书日”来临之际，某校七年级共800名学生参加了“让阅读成为习惯，让校园溢满书香”为主题的读书知识竞赛活动，为了解七年级学生的读书知识掌握情况，调查小组从七年级随机抽取50名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，下面是对样本数据进行了整理和描述后得到的部分信息： 信息一：50名学生竞赛成绩的频数分布表： 成绩/分 频数 6 15 17 9 信息二：50名学生的竞赛成绩的频数分布直方图（不完整）； 信息三：在这一组的学生竞赛成绩是： 80，81，83，83，83，84，84，85，86，86，86，87，87，87，88，88，89． 根据以上信息，回答下列问题： (1)求出频数分布表中的数值； (2)补全频数分布直方图； (3)求出所抽取学生竞赛成绩的中位数； (4)学校将把获得88分及以上的学生评为“阅读达人”，请估计七年级学生的获奖人数． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)80.5分 (4)192人 【分析】（1）用50减去已知各组的人数即可求出的值； （2）根据的值补全条形统计图即可； （3）根据中位数的定义解答即可； （4）求出获得88分及以上的学生占总人数的百分比，再乘以800即可． 【详解】（1）解：； （2）解：补全条形统计图如下： （3）解：50个数据中，最中间的两个数据是第25、26个，即80分，81分， 所以，中位数是（分） （4）解：（人）， 答：估计七年级学生的获奖人数是192人 3．（2026·辽宁葫芦岛·一模）2026年春晚别出心裁，《武BOT》、《智造未来》等机器人节目创意十足，让观众感受到了科技的魅力．在生活中，智能机器人早已走进物流领域，成为快递分拣的“得力干将”，科创小达人阳阳从快递分拣站随机抽取部分智能机器人，统计每台智能机器人每天分拣的快递数量，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 根据以上信息，解答下列问题： (1)求阳阳从快递分拣站随机抽取的机器人数量； (2)求抽取的机器人分拣快递数量的中位数； (3)若快递分拣站共有这种智能机器人50台，请你估计该快递站这50台智能机器人每天分拣的快递约有多少万件？ 【答案】(1)10台 (2)抽取的机器人分拣快递数量的中位数为15万件． (3)750万件． 【分析】（1）根据每天分拣的快递16万件的数据求解即可； （2）求出每天分拣14万件的机器人数量，将10个数据按从小到大排序：位于中间两个数的平均数即为中位数； （3）求出平均数，再乘以50，可得出答案． 【详解】（1）解：台， 答：阳阳从快递分拣站随机抽取的机器人数量为10台； （2）分拣数量为14万件的机器人数量为：台， 将10个数据按从小到大排序：13，14，14，14，15，15，16，16，16，17， 位于第5个和第6个的数据均为15万件， 抽取的机器人分拣快递数量的中位数为万件． （3）， （万件）， 答：估计该快递站每天分拣的快递约有750万件． 4．（2026·辽宁沈阳·一模）跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．某中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65  70  73  80  85  95  96  96  98 组别 次数x（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)A组学生跳绳次数的中位数是______次； (3)若某中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少人？ 【答案】(1)60 (2)85 (3)900 【分析】（1）由扇形统计图和频数分布表可知C组的人数为12人，所占百分比为，然后问题可求解； （2）根据中位数的定义可进行求解； （3）利用样本估计总体求解． 【详解】（1）解：由题意得：（名）． 答：一共抽取60名学生； （2）解：A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65、70、73、80、85、95、96、96、98， 排在中间位置的数是85， 所以A组学生跳绳次数的中位数是85； （3）解：， 所以（名）， 答：估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有900名． 题型02 根据统计量作评价与决策 析典例·建模型 1．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）某团队研发了三款机器人，分别命名为A、B、C．为测试三款机器人在图像识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 【数据收集与整理】 A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 B 8 87 C 8 n 83 任务1： ， ； 【数据分析与运用】 任务2：按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A、B、C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 任务3：如果要选择A、B、C三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 【思路分析】本题考查了折线统计图和扇形统计图综合，中位数、众数、方差的定义，解题的关键是数形结合，并掌握相关知识． （1）把款机器人测试员打分从低到高排列可得，由扇形统计图可得； （2）根据图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占，列式计算三种机器人的综合得分，再比较即可得到答案 （3）根据众数、方差、运动能力测试能力比较即可． 【规范答题】解：（1）由折线统计图可知，款机器人测试员打分从低到高排列为：，，，，，，，，，， 款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，款机器人运动能力得分出现次数最多的是分， 款机器人运动能力得分的众数， 故答案为：，； （2）的综合成绩为：（分）， 的综合成绩为：（分）   的综合成绩为：（分） ， 机器人的综合成绩最高； （3）选择B款机器人，理由如下： 由折线统计图可判断B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小， ∴， 由表知， ∴， ∴测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； ∴选择B款机器人． ①选择机器人，因为机器人得运动能力测试能力比较高； ②选择机器人，因为B机器人运动能力成绩得方差比较小，说明机器人得运动能力比较稳定； ③选择机器人，因为机器人运动能力测试得众数是和，说明较多专业测试员认为机器人得运动能力很好. (答案不唯一，言之有理即可) 研考点·通技法 此类题型考察根据平均数、中位数、众数、方差等统计量判断成绩稳定性、择优选择、合理性分析等。 1.  按定义准确算出平均数、中位数、众数、方差 2.  解读意义：方差小→稳定，平均数大→水平高 3.  结合题意，用1-2句理由给出明确决策结论 4.  规范书写：先写数据，再下结论，理由紧扣统计量 破类题·提能力 1．（2026·辽宁铁岭·二模）某研发团队准备对A，B，C三款扫地机器人的清洁能力和导航避障能力进行测试，该测试由10名测试员参与．测试结果整理分析得到以下信息： A，B，C三款扫地机器人导航避障能力、清洁能力测试得分统计表 款式 导航避障能力 清洁能力 中位数 方差 10名测试员总得分 10名测试员总得分 A m 85 87 B 87 85 C 8 n 90 (1)求m和n的值； (2)按清洁能力测试成绩占，导航避障能力测试成绩占计算综合成绩，请你通过计算判断A，B，C三款扫地机器人中哪一款综合成绩最高？ (3)若某消费者想购买一台导航避障能力强的扫地机器人，根据以上测试结果，你会推荐哪一款扫地机器人？请给出你的理由．（写出一条推荐理由即可） 【答案】(1)9，83 (2)C款扫地机器人的综合成绩最高 (3)见解析 【分析】（1）根据折线统计图，确定A组的具体数据，然后计算中位数即可；根据扇形统计图，确定C组的各个数据分布，再求和计算即可； （2）根据分配比例计算即可； （3）若某消费者想购买一台导航避障能力强的扫地机器人，根据以上测试结果，你会推荐哪一款扫地机器人？请给出你的理由．（写出条推荐理由即可） 【详解】（1）解：根据题意，得A组的数据为：， 从小到大排序为：， 故中位数m是第5个数据9，第6个数据9的平均数， 故（分）； 根据题意，得6分的有（人），得8分的有（人）， 得9分的有（人），得10分的有（人）， 故总分（分）； （2）解：按清洁能力测试成绩占，导航避障能力测试成绩占计算综合成绩， A款扫地机器人的综合成绩为：（分）； B款扫地机器人的综合成绩为：（分）； C款扫地机器人的综合成绩为：（分）； 由， 故B款扫地机器人的综合成绩最高； （3）解：根据中位数看，A款机器人避障能力中位数最大，故选择A款机器人； 2．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． (1)这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． (2)请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． (3)规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 【答案】(1)甲  29 (2)甲 (3)乙队员表现更好 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是∶ （1）根据折线统计图的波动判断得分更稳定的球员，根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均每场得分以及得分的稳定性求解即可； （3）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可． 【详解】（1）解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的得分上下波动幅度， ∴得分更稳定的队员是甲， 乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30， ∴中位数为， 故答案为∶乙，29； （2）解∶ 因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定， 所以甲队员表现更好； （3）解∶甲的综合得分为， 乙的综合得分为， ∵， ∴乙队员表现更好． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）某教育集团为了解所属甲、乙两个校区八年级学生的数学“推理能力”和“运算能力”发展阶段情况，举办数学核心素养发展阶段测评活动分别对数学“推理能力”和“运算能力”进行测评．现从甲、乙两个校区八年级各测评成绩进行收集、整理、描述、分析．下面给出了部分信息： 【信息一】甲、乙两个校区八年级随机抽取的名学生的数学“推理能力”测评满分分，具体测评成绩汇总如下表： 序号 甲校区八年级测评得分 乙校区八年级测评得分 【信息二】甲、乙两个校区八年级随机抽取的名学生的数学“运算能力”测评满分分，测评成绩折线统计图： 【信息三】甲、乙两个校区八年级随机抽取的名学生的数学“推理能力”和“运算能力”测评成绩统计表： 测评项目 测评校区 平均数 中位数 众数 方差 推理能力 甲校区 8和 乙校区 运算能力 甲校区 和 乙校区 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，，______．（填“”或“”） (2)该教育集团甲、乙两个校区八年级分别有学生名和名，且全员参加此次数学核心素养发展阶段测评活动，请你估计该教育集团甲、乙两个校区八年级学生数学“推理能力”测评成绩优秀（分）的总人数； (3)请结合统计数据分析，对甲、乙两个校区八年级学生的数学“推理能力”和“运算能力”发展情况进行评价与比较，并分别给甲、乙两个校区八年级提出一条优化建议． 【答案】(1)，，， (2)人 (3)见解析（答案不唯一） 【分析】（）根据平均数、中位数、众数及方差的意义解答即可； （）利用样本估计总体的方法解答即可； （）根据平均数、中位数、众数及方差的意义进行评价与比较，并提出优化建议即可； 本题考查了平均数、中位数、众数及方差，样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数及方差的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由统计表可得，，， 由折线统计图可得，乙校区“运算能力”测评成绩最多的是分， ∴， 由折线统计图可知，乙校区“运算能力”测评成绩波动较小，甲校区波动更大， ∴， 故答案为：，，，； （2）解：， 答：估计该教育集团甲、乙两个校区八年级学生数学“推理能力”测评成绩优秀的总人数为人； （3）解：从“推理能力”看，甲校区学生的平均数和众数高于乙校区学生的，且方差更小，说明甲校区学生“推理能力”好于乙校区学生；从“运算能力”看，乙校区学生的平均数、中位数和众数都高于甲校区学生的，且方差更小，说明乙校区学生“运算能力”好于甲校区学生； 建议：甲校区加强学生运算方面的训练，提高学生的运算能力；乙校区多加强学生推理能力方面的培养． 4．（2025·辽宁阜新·二模）某中学准备从七年级演唱非常好的甲、乙两位同学中选出一位参加区教体局举办的“庆六一”晚会．为此邀请五位评委进行现场打分，将甲、乙两位选手的得分数据整理成下列统计图与统计表． 平均数 中位数 方差 甲 8.8 0.56 乙 9 0.96 根据以上信息，解决下列问题： (1)表格中的______，______； (2)你认为选谁更合适？请说明理由； (3)在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后，选谁更合适，请说明理由． 【答案】(1)， (2)选择甲更合适，理由见解析 (3)去掉一个最高分和一个最低分之后，选乙更合适，理由见解析 【分析】本题考查了平均数、中位数、方差，熟练掌握相关定义是解此题的关键． （1）根据平均数和中位数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数和方差判断即可得解； （3）根据平均数、中位数和方差判断即可得解． 【详解】（1）解：甲得分按从小到大排列为：、、、、， 故甲得分的中位数为，即； 由统计图可得：； （2）解：选择甲更合适，理由如下： ∵甲、乙两人平均成绩相等，中位数相同，甲的方差较小， ∴甲的成绩稳定； （3）解：去掉一个最高分和一个最低分之后，选乙更合适，理由如下： 去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为，中位数为，方差为；乙的平均数为，中位数为，方差为； 故去掉一个最高分和一个最低分之后，选择乙更合适． 题型03 利用列表法或树状图法求概率 析典例·建模型 1．（2025·辽宁铁岭·一模）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种． (1)小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液里，结果变红的概率是多少？ (2)小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 【思路分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式即可解题； （2）运用树状图列出所有可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可． 【规范答题】（1）解：总溶液4瓶，其中碱性溶液2瓶（氢氧化钠和氢氧化钙），酚酞变红需溶液碱性，故结果变红的概率是； （2）解：溶液标记为A（盐酸，酸性）、B（硝酸钾，中性）、C（氢氧化钠，碱性）、D（氢氧化钙，碱性），小明和小亮各选1瓶不同溶液，所有等可能结果列表如下： 小明     小亮 A B C D A —— B —— C —— D —— 总共有12种等可能结果， 变红溶液为C和D，不变色溶液为A和B， 一瓶变红一瓶不变色的结果有：，共8种。 ∴概率为． 研考点·通技法 1. 确定因素与顺序：先判断一次试验有几个因素（或几步），两步用列表或树状图均可，三步及以上必须用树状图。按顺序列出所有可能结果。 2. 不重不漏列举：列表时行、列对应不同因素，树状图分层画出每个分支。注意区分“放回”与“不放回”：放回时两步结果数相同，不放回则减少。 3. 概率计算：数出总结果数n及满足条件的结果数m，则P =。注意是否强调“不放回”或“顺序”，避免重复或遗漏计数。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀． (1)随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是________； (2)小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下：    共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种， ∴两张卡片上的数字是2和3的概率为． 【点睛】此题考查的是用树状图或列表法求概率．树状图或列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟练掌握树状图或列表法是解决这类题的关键． 2．（2025·辽宁抚顺·二模）邮票素有“国家名片”之称，第二十九届、三十一届、三十三届奥林匹克运动会均发行了相关邮票，如图所示（四枚邮票分别用、、、表示）．某班级举行了一个关于奥林匹克运动会的有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品． (1)在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“第二十九届福娃欢欢邮票”的概率为______； (2)在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表法求恰好抽到的都是“第三十一届奥林匹克运动会邮票”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式； （1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽到的都是“第三十一届奥林匹克运动会邮票”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，恰好抽到“第二十九届福娃欢欢邮票”的概率是． 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好抽到的都是“第三十一届奥林匹克运动会邮票”的结果有：，共种， ∴恰好抽到的都是“第三十一届奥林匹克运动会邮票”的概率为． 3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）2024年4月25日20时58分57秒神舟十八号载人飞船成功发射，这不仅是神舟十八号载人飞船任务的成功，更是中国航天事业雄心勃勃的豪情壮志，展现了我们大国崛起的力量．为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“相约浩瀚太空，逐梦航天强国”为主题的演讲比赛．九（1）班的小希和小辰都想参加比赛，她们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，班委决定通过转动转盘来决定人选．如图给出A，B两个均分且标有数字的转盘，规则：分别转动两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数，若差为负数，则小希胜；若差为正数，则小辰胜．（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止．） (1)小希转动一次A盘，指针指向数字5的概率是 ___________； (2)这个游戏规则对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【答案】(1) (2)不公平，见解析 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，游戏的公平性，掌握树状图或列表法是解题的关键． （）根据概率公式直接计算即可； （）根据题意列表求出两个人参加的概率，比较即可判断求解； 【详解】（1）解：小明转动一次A盘，则指针指向数字为5的概率是， （2）解：不公平，理由如下： 根据题意画图如下： 共有12种等可能的情况数，其中差为负数的有6种情况，差为正数的有4种情况， 则小希胜的概率是，小辰胜的概率是， ∵， ∴这个游戏对双方不公平． 4．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． (1)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． (2)小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)公平，见解析 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）画树状图得出所有等可能的结果数和两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）根据两人抽到的卡片有指南针的结果数有种，得出小强、小刚胜的概率分别为，即可求解． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“A．指南针”和“B．造纸术”的结果有2种， 两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为． 故答案为： （2）解：上述游戏公平，理由如下： 两人抽到的卡片有指南针的结果数有种， ∴小强胜的概率为 小刚胜概率为 ∴上述游戏公平 题型04 统计与概率综合 析典例·建模型 1．（2025·辽宁丹东·二模）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： (1)________，所对应的扇形圆心角是________； (2)请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石” (3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． 【思路分析】本题考查了统计图表的综合运用（条形图、扇形图）、用样本估计总体以及概率的计算，准确提取图表信息、掌握概率公式是解题关键． （1）先通过“实验人数及对应百分比”求出抽取的总人数，再用总人数减去其他实验的人数得到；利用“实验人数总人数”计算对应的扇形圆心角； （2）先算出样本中“实验”的人数占比，再用该占比乘以九年级总人数，估计喜欢实验的人数； （3）先确定能产生二氧化碳的实验，再通过列表法列出所有取两个实验的可能结果，最后根据“符合条件的结果数总结果数”计算概率． 【规范答题】（1）解：抽取的学生人数为（人）， 选择的学生人数为（人） ， 所对应的扇形圆心角是； （2）解：（人）， 答：估计该校九年级名学生中有人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石”． （3）解：本次调查的五个实验中，三个实验均能产生二氧化碳， 列表如下， 由列表可知，共有种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的情况有种， （两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）． 研考点·通技法 1. 分清题型步骤：先解决统计部分（补全图表、计算三数一差），再处理概率部分（列表或树状图求随机事件的概率）。两问独立，统计结果常作为概率题的数据基础。 2. 用频率估概率：当试验次数足够多时，用大量试验中的频率（统计表中的频数占比）近似替代理论概率，用于预测或决策。 3. 注意数据关联：概率题中的“随机抽取”是否与统计样本一致（如从统计图表中的总体里抽一个）。明确“放回”与“不放回”对概率的影响，避免混淆。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁·一模）为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1) __________，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求“足球”所对应扇形的圆心角度数； (3)若该校共有名学生，请估计喜欢“篮球”运动的学生人数； (4)学校乒乓球队计划从表现突出的A，B，C，D四名同学中随机选取两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法，求恰好选中A和B两名同学的概率． 【答案】(1)，图见解析 (2) (3)喜欢“篮球”运动的学生约有人 (4) 【分析】（1）结合两个统计图确定喜欢“羽毛球”的人数和占比，相除即可得出调查的人数，再作差求出喜欢“乒乓球”的人数，最后补全条形统计图即可； （2）根据喜欢“足球”的学生的占比，乘以即可； （3）由喜欢“篮球”在样本中的占比，乘以全校的学生人数即可； （4）画出树状图，根据结果计算概率即可． 【详解】（1）解：根据统计图可知，喜欢 “羽毛球”的学生数为人，占比为， ∴调查人数（人）， ∴喜欢 “乒乓球”的学生数为（人）， 条形统计图补全如下： （2）解：， ∴“足球”所对应扇形的圆心角度数为； （3）解：(人)， 答：喜欢“篮球”运动的学生约有人； （4）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中A和B两名同学的结果有2种， ∴恰好选中A和B两名同学的概率为． 2．（2026·辽宁·模拟预测）为了解我区初四年级中考模拟数学测试答题情况，调研老师在我区某地选取一个水平相当的初四年级进行调研，将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为150分）分为5组（从左到右的顺序）．统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图．观察图形的信息，回答下列问题： 学生数学考试成绩频数分布直方图 各组学生人数所占百分比 (1)本次调查共随机抽取了该年级___________名学生，考试成绩120分以上（含120分）学生有___________名，请将频数分布直方图补充完整； (2)规定：成绩位于前5%的可获得小礼品一份，在被调查的学生中，某位学生成绩为134分，试判断他是否能获奖，说明理由； (3)如果第一组中只有一名是女生，第五组中只有一名是男生，针对考试成绩情况，老师决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈谈做题的感想，请你用列表或画树状图的方法求出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率． 【答案】(1)50，18，见解析 (2)不能获奖，见解析 (3) 【分析】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，用列举法求事件的概率，正确理解题意是关键． （1）根据频数分布直方图与扇形统计图的关联信息，可求出样本容量，根据频数分布直方图中的样本容量与各部分之间的数量关系可求出考试成绩120分以上（含120分）学生人数，即可将频数分布直方图补充完整； （2）计算成绩在这一组的人数占，即可判断答案； （3）根据题意，列表罗列所有等可能结果及所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的等可能结果，即可根据概率计算公式求解． 【详解】（1）解：（名）， （名）， 所以考试成绩120分以上（含120分）学生有（名）， 频数分布直方图补充完整如下： 故答案为：50，18，见解析． （2）解：不能获奖； 理由如下： ， 获奖成绩不能低于135分， 成绩为134分的学生不能获奖； （3）解：列表如下： 女 男 男 男 男 （男，女） （男，男） （男，男） （男，男） 女 （女，女） （女，男） （女，男） （女，男） 女 （女，女） （女，男） （女，男） （女，男） 女 （女，女） （女，男） （女，男） （女，男） 如上表所示，共有16种等可能结果，其中所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的等可能结果有10种， 所以所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率为． 3．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）辽宁省朝阳市作为全国的红山文化核心城市，城市周边有许多著名的景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游做了调查，以下是调查报告的部分内容，请同学们完善一下报告： XX小组关于XX学校学生“五一”出游情况调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 XX学校学生 数据的整理与描述 景点 A：凤凰山 B：牛河梁遗址 C：大黑山国家森林公园 D：鸟化石国家地质公园 E：未出游 F：其他 数据分析及运用 (1)扇形统计图中，______； (2)“B：牛河梁遗址”对应圆心角的度数是______； (3)请补全条形统计图； (4)未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从A、B、C、D四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择不同景点的概率． 【答案】(1)10 (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键． （1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得调查的人数，进而可得景点的人数，用景点的人数除以调查的人数再乘以可得，即可得的值． （2）用乘以的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）根据（1）所求C景点的人数，补全条形统计图即可． （4）列表可得出所有等可能的结果数以及他们选择不同景点的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，调查的人数为（人）， 景点的人数为（人）， ， ． 故答案为：10． （2）“：牛河梁遗址”对应圆心角的度数是． 故答案为：． （3）补全条形统计图如图所示． （4）列表如下： 共有16种等可能的结果，其中他们选择不同景点的结果有：，，，，，，，，，，，，共12种， 他们选择不同景点的概率为． 4．（2025·辽宁·一模）2024年3月22日至28日是第三十二届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动．A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量分为5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息： 信息一： 甲小区3月份用水量频数分布表 用水量 频数（户） 4 9 10 5 2 信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下： 甲小区 乙小区 平均数 9.0 9.1 中位数 9.2 a 信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6 根据以上信息，回答下列问题： (1)__________； (2)若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于的总户数； (3)因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率． 【答案】(1) (2)90户 (3) 【分析】本题考查了用树状图法求概率，中位数，条形统计图，用样本估计总体等： （1）根据中位数的定义进行计算即可； （2）用总户数乘以不低于所占的比例即可求解； （3）画树状图，共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵随机抽取了30户居民， 中位数是数据从小到大排列的第15个和第16个的平均数； 根据条形统计图可知：用水量在的有3户，用水量在的有11户，用水量在的有10户， 中位数是在第三组中，且是第三组中第1个和第2个的平均数， ∵乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6． ∴乙小区3月份用水量的中位数， 故答案为：； （2）解：（户）， 即两个小区3月份用水量不低于的总户数有90户； （3）解：画树状图如图： 共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有6种， ∴抽取的两名同学都是男生的概率为． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $