第二十四章 数据的分析（必备知识+4大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材人教版八年级下册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“数据的分析”核心内容，涵盖算术与加权平均数、中位数、众数、方差、标准差及四分位数与箱线图等知识范畴，搭建从基础概念理解到数据分析应用的递进式学习支架。 清单以“知识点分层解析+易错点精准突破+例题变式拓展”构建知识体系，如标注“加权平均数权重差异”等易错点，结合快递平台选择、射击成绩分析等实际例题，培养数据意识与推理能力。设计梯度化练习题，助力学生自主巩固，教师可据此高效开展针对性教学。

第二十四章 数据的分析 知识点01 平均数 1.算术平均数 1）算术平均数：一般地，有n个数x1，x2，…，xn，那么=.简称平均数. 算术平均数反映了这一组数据的集中趋势，表示了这组数据的平均水平. 注：当任一数据变化时，都会影响算术平均数. 2）结论：若=；=. 则：①x1±y1，x2±y2，…，xn±yn的平均数为±；②x1，y1，x2，y2…，xn，yn的平均数为（+）. ③ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b. ∵ax1，ax2，…，axn的平均数为a； ∴x1+b，x2+b，…，xn+b的平均数为+b. 2.加权平均数 加权平均数：一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是ω1，ω2，…，ωn，则叫做这n个数的加权平均数．前面求算术平均数，是将每个数据认为同等重要，即每个数据的权重都是1. 注意：计算平均数时注意分辨是算术平均数还是加权平均数，两者计算方法有差异，不能混淆. 知识点02 中位数与众数 1.中位数：将一组数据从小到大（或从大到小）排列，如果数据是奇数个，则处于中间的数为中位数；若数据是偶数个，则中间两个数据的平均数为中位数. 注：①所有数据需排列（从大到小或从小到大）；②中位数有可能不是这组数据中的数；③中位数反映了中间水平. 2.众数：一组数据中出现次数最多的数据. 注：①众数不一定唯一；②众数反映了一组数据中的趋势量，即数据出现频次最高的量. 知识点03 方差、标准差 1）方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.通常用“”表示，即 结论：若数据a1，a2，……an的方差是s2，则数据a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s2，数据ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s2. 方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定. 2）标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 知识点04 四分位数与箱线图 1.在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，记为m25，m50，m75，统称四分位数。它们把一组数据分为个数相等的四部分。 2.用一组数据中的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值来反映数据分布的中心位置和散布范围的统计图。画法为先找出这5个值，用横线对应，连接下四分位数和上四分位数画出“箱体”，再将最小值和最大值与“箱体”相连，中位数在“箱体”中间。箱线图可粗略观察数据是否对称，不受异常值影响。 易错点1 利用已知的平均数求相关数据的平均数 1. 忽略权重差异：求加权平均数时，易直接用算术平均数计算，忘记根据数据不同权重（如次数、占比）加权，导致结果偏差。 2. 数据增减错误：已知原平均数，求增减固定值后新平均数，易漏算增减值与数据个数的关联，直接加/减固定值，忽略整体影响。 例题1：（25-26八年级下·全国·课后作业）如果一组数据，，，，的平均数是5，则数据，，，，的平均数是___________． 【答案】20 【分析】根据平均数的定义，计算即可． 【详解】解：，，，，的平均数是5， ， ． 【变式】（25-26九年级上·河北唐山·月考）若一组数据的平均数为，则另一组数据的平均数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了平均数，根据平均数的变化规律，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 易错点2 利用平均数与加权平均数做决策 1. 误用平均数：未考虑数据权重（如不同类别占比），直接用算术平均数决策，导致结果偏离实际（如忽视高权重数据影响）。 2. 权重设定错：计算加权平均数时，权重赋值与实际重要性不符（如权重颠倒），使决策依据失真，得出错误结论。 例题2：（25-26八年级下·全国·单元复习）某公司需要经常快递物品，准备从A、B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A、B各项的得分如下表： 物品完好度 服务态度 物流时长 平台A 92 m 90 平台B 95 n 88 (1)求表格中m、n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好； (2)如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？ 【答案】(1)，，平台A的服务态度更好； (2)该公司会选择平台B． 【分析】本题考查了算术平均数，加权平均数． （1）根据算术平均数公式计算，即可求解； （2）根据加权平均数计算，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴平台A的服务态度更好； （2）解：平台A的得分分， 平台B的得分分， ∵， ∴该公司会选择平台B． 【变式】（25-26八年级上·河北保定·期末）某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级300名学生民主投票，每人只能推荐一人（不设弃权票），选出了票数最多的甲、乙、丙三人．投票结果统计如图；其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试，各项测试成绩如下表所示．请你根据以上信息解答下列问题： 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 92 90 95 面试 85 95 80 (1)请计算每名候选人的得票数； (2)若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？ 【答案】(1)甲的得票数为票，乙的得票数为票，丙的得票数为票 (2)应该录取乙 【分析】本题考查了扇形统计图，加权平均数的应用； （1）用各部分所占的百分比，即可求解； （2）利用加权平均数计算三名候选人的平均成绩，再比较成绩，即可求解． 【详解】（1）解：甲的得票数为：（票）， 乙的得票数为：（票）， 丙的得票数为：（票）； （2）解：甲的平均成绩为：（分）， 乙的平均成绩为：（分）， 丙的平均成绩为：（分）， ， 答：应该录取乙． 易错点3 根据方差判断稳定性或做决策 1. 忽视数据背景：仅对比方差大小判断稳定性，未结合数据实际意义（如不同单位、领域标准），导致决策脱离实际场景。 2. 混淆方差与标准差：误将方差数值直接等同于离散程度直观指标，未明确其与数据单位的平方关系，影响稳定性判断的准确性。 例题3：（25-26八年级下·全国·单元测试）射击训练班中的甲、乙两名选手在次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：，，，，   乙：，，，， 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 根据以上信息，请解答下面的问题： (1)________，________，________； (2)若选手乙再射击第次，命中的成绩是环，则选手乙这次射击成绩的方差与前次射击成绩的方差相比会________；（选填“变大”“变小”或“不变”） (3)教练根据这次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ 【答案】(1)，，； (2)变小； (3)理由是两人的平均成绩相同，而甲的方差小，即甲的成绩较稳定． 【分析】（）根据中位数、平均数、众数的定义求解即可； （）根据方差计算公式求出选手乙再射击第6次后，6次成绩的方差即可得到答案； （）二人平均成绩相同，但是甲的方差更小，即成绩更稳定； 【详解】（1）解： ， ∵甲中出现次数为，最多， ∴， 把乙中数据从小到大排序为：，，，，， ∴中位数， 故答案为：，，； （2）解：由题意，乙的次成绩为：，，，，，， 其平均数为 ， ∴方差为 ， ∵ ， ∴选手乙这次射击成绩的方差与前次射击成绩的方差相比会变小， 故答案为：变小； （3）解：甲乙两人平均数相等，而方差 ， 故选手甲的成绩较乙稳定， 所以，选择甲参加射击比赛． 【变式】（2026·北京西城·一模）某校开展合理使用手机的宣传活动，某班班长选取甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，他收集了这四名同学最近天使用手机的时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学天使用手机时长：                   b．乙、丙同学天使用手机时长的折线图： c．四名同学天使用手机时长的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 m 16 17 16 中位数 15.5 15 p 16.5 方差 15 7.8 n 7.8 (1)表中的值为 ，的值为 ， （填“”“”或“”）； (2)根据这天使用手机的数据，班长按如下方式决定四名同学的分享顺序：首先比较平均数，平均数较小者优先；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先；若平均数、方差分别相等，则使用时长小于平均数的次数较多者优先．四名同学的经验分享顺序依次为 ． 【答案】(1)，， (2)乙，丁，丙，甲 【分析】（1）根据甲的数据求出平均数；把丙同学使用手机的时长按照从小到大的顺序排列中间两数的平均数即为丙的中位数；计算出丙的方差和比较； （2）按照要求先比较平均数、平均数相等的再比较方差、如果方差也相等，则通过中位数的大小确定使用时长小于平均数的次数． 【详解】（1）解：分钟； 由折线统计图可知，把丙同学使用手机的时长按照从小到大的顺序排列如下： 、、、、、、、、、， 共有个数据，其中第和第个数据是和， 丙同学使用手机时长的中位数为； 丙同学使用手机的时长的方差为， ； （2）解：由平均数可知，甲和丙的平均数都是，乙和丁的平均数都是， 乙和丁优先， 甲的方差是，丙的方差是， 丙比甲优先， 乙和丁的方差都是， 乙的中位数是，丁的中位数是， 乙使用时长小于平均数的次数较多， 乙比丁优先， 四名同学的经验分享顺序依次为乙、丁、丙、甲． 易错点4 平均数、众数与箱线图 1. 割裂数据关联：单独用平均数、众数或方差分析，未结合箱线图的分布信息（如异常值、四分位距），导致对数据整体特征判断片面。 2. 误读箱线图信息：混淆箱线图中中位数、四分位数位置，或忽略异常值对平均数、方差的影响，进而得出错误的稳定性或集中趋势结论。 例题4：（25-26八年级下·全国·期末）【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的平均成绩更高；通过计算方差，，__________，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的射击水平更稳定． (2)小颖利用四分位数（如下表）、箱线图（如图②）进行分析． 表格中，①处应填__________，②处应填__________，③处应填__________；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数__________（填“>”“<”或“=”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 (3)请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】(1)9；B；0.75；B (2)7.5；9；10 (3)选择选手B参加青少年射击比赛，见解析 【分析】（1）根据平均数、方差计算公式求解，再根据方差的意义判断稳定性； （2）先把选手的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数、下四分位数的定义求解，然后比较大小即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】（1）解：由图可得：， ， ∴选手的平均成绩更高．； ， ∵， ∴选手的射击水平发挥更稳定； （2）解：选手的数据从小到大排列为， 则下四分位数为，即；中位数为，即； 选手的数据从小到大排列为， 则上四分位数为，即； 可以发现选手射击成绩的中位数选手射击成绩的中位数； （3）解：选择选手B参加青少年射击比赛． 理由：因为A，B两名选手的中位数相等，但选手B的方差更小，成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 【变式】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）为备战校运动会，初二某班的体育委员将报名100米的同学分为A队和B队，每队8人，并进行了一次100米跑的队内测试，两队的成绩如下（单位：秒）： A队 13 14 15 13 15 13 14 15 B队 14 15 16 14 16 14 17 16 (1)小明通过计算平均数得______秒，秒；通过计算方差______，； (2)小颖利用四分位数、箱线图进行分析． ①A队队员成绩的______，B队队员成绩的______； ②A队队员成绩的中位数______B队队员成绩的中位数（填“>”，“=”或“<”），且______队选手间成绩差异较大； (3)请你结合小明和小颖的数据分析，从A，B两队中选择一个队伍参加运动会接力赛，并说明理由． 【答案】(1)14，， (2)①13，16  ②，B (3)选择A队参加运动会接力赛，见解析 【分析】（1）根据平均数和方差的定义求解即可； （2）根据四分位数的概念求解即可； （3）根据（1）（2）中的计算结果和结论即可得出结论． 【详解】（1）解：（秒）； ； （2）解：①A队队员成绩排序为13，13，13，14，14，15，15，15， ∴A队队员成绩的， B队队员成绩排序为14，14，14，15，16，16，16，17， ∴B队队员成绩的； ②A队队员成绩的中位数是， B队队员成绩的中位数是， ∴A队队员成绩的中位数B队队员成绩的中位数， 由箱线图可知，B队选手间成绩差异较大； （3）解：选择A队参加运动会接力赛．A队的平均成绩为14秒，相较于B队速度更快，且A队整体的100米跑成绩更好，参赛更有可能取得优异成绩．（言之有理即可） 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）若数据11，12，12，19，11，x的唯一众数是12，则x的值是（   ） A．12 B．11 C．11.5 D．19 【答案】A 【分析】此题考查了众数的定义，众数是数据中出现次数最多的数，注意众数可以不止一个． 根据众数的定义求解即可． 【详解】解：数据11，12，12，19，11，x的众数是12， ． 故选：A． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）一组数据的平均数是5，那么这组数据的离差平方和是（   ） A．10 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平均数，离差平方和；先根据平均数的公式计算出，再结合离差平方和计算求解即可． 【详解】解：∵一组数据的平均数是5， ∴， 解得， ∴离差平方和：， 故选：A． 3．（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知一组数据的平均数为3，方差为2，那么数据的平均数与方差分别是（   ） A．3，2 B．5，8 C．5，4 D．3，8 【答案】B 【分析】本题考查平均数公式及方差公式，根据题中的平均数为3，方差为2，运用平均数公式及方差公式表示出来，然后代值表示数据的平均数与方差即可得到答案，熟记平均数公式及方差公式是解决问题的关键． 【详解】解：一组数据的平均数为3，方差为2， ，； 数据的平均数是； 方差是 ， ， 故选：B． 4．（25-26八年级上·山东济南·期中）有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是15 D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 【答案】B 【分析】本题考查中位数，以及数字变化，属于中档题．根据题意逐一分析即可． 【详解】解：箱线图的箱体的左端竖线的对应值为4，所以这组数据的下四分位数是4，说法正确，故该选项不符合题意； 箱线图的箱体中部的竖线在10与11之间，所以这组数据的中位数大于10，说法错误，故该选项符合题意； 箱线图的箱体的右端竖线的对应值为15，所以这组数据的上四分位数是15，说法正确，故该选项不符合题意； 箱线图最左侧的竖直线段表示该组数据的最小值是3，最右侧的竖直线段表示该组数据的最大值，是18， ∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数可能是13，说法正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 二、填空题 5．（24-25八年级下·陕西宝鸡·开学考试）已知一组数据3，a，4，5的众数为4，则这组数据的平均数为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了众数和平均数，解题的关键是掌握众数和平均数的定义． 利用众数和平均数的定义和公式进行求解即可． 【详解】解：根据众数定义得，， ∴平均数为， 故答案为：4． 6．（24-25九年级下·广东中山·期中）有一组数据如下：3，a，4，6，8，已知它们的平均数是5，那么这组数据的众数为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平均数的计算与众数的概念，解题的关键是先根据平均数公式求出未知数据的值，再根据众数的定义确定答案． 先利用平均数公式“平均数”列出关于的方程，求解得到的值；再观察完整的数据组，找出出现次数最多的数，即为众数． 【详解】解：根据平均数的定义，可得， 等式两边同乘，得， 计算左边常数项之和，得， 移项，得， 此时数据组为3， 4， 4， 6， 8，其中出现的次数最多，故众数为． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知5个数、、、、的平均数是，则数据，，，，的平均数为 【答案】/ 【分析】本题主要考查平均数的概念，熟练掌握算术平均数的计算是关键．根据平均数的算法计算即可． 【详解】解：由题意得，， 则，，，，的平均数为： ． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知一组数据的方差，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查方差的定义与意义：一般地设个数据的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 根据方差公式中各项偏差均以9为基准，可知该组数据的平均数为9，从而利用平均数的定义求解． 【详解】解：由方差公式可知， 该组数据的平均数为9， 因此，有 ， 整理得， 即 ， 所以 ． 故答案为：25． 三、解答题 9．（24-25八年级下·福建泉州·期末）为了增强学生的防溺水安全意识，某校举办了“防溺水安全主题系列活动”，要求每个班派一名代表参加本次活动．八（1）班陈老师组织全班同学通过层层筛选，决定从以下两名同学中选一名成绩较高的学生代表班级参加比赛．下表是这两名同学参加各项活动的比赛成绩（单位：分）： 选手 主题活动项目 在线学习 知识竞赛 演讲比赛 甲 89 99 85 乙 84 96 90 (1)如果根据三项比赛的平均成绩确定人选，那么谁将被选中？ (2)如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项成绩得分按，，的比例确定两人的比赛成绩，那么谁将被选中？ 【答案】(1)甲 (2)甲 【分析】本题考查了加权平均数，解题的关键是根据加权平均数的计算方法来解答． （1）根据平均数的计算方法进行解答即可； （2）根据按，，的比例计算出两人的成绩，再进行比较即可． 【详解】（1）解：甲的平均成绩为（分）， 乙的平均成绩为（分）， ∵， ∴甲将被选中． （2）根据题意，两人的比赛成绩如下： 甲的比赛成绩为（分） 乙的比赛成绩为（分） ∵， ∴甲将被选中． 10．（2025·湖南·模拟预测）为提高学生身体素养，某校在10月举行最美课间操比赛，最终甲、乙、丙三个班级进入决赛．决赛需进行五个单项比赛，计分规则如下：①单项比赛计分规则：五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分．②团体决赛计分规则：各单项得分之和为团体最终成绩，名次按成绩由高到低排序；若成绩相同，则方差较小的班级排名靠前．现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理并绘制统计图表，部分信息如下：丙班在第二个单项比赛中，五名裁判的打分为：85，88，90，92，95．根据以上信息，回答下列问题： 项目 一 二 三 四 五 得分 95 m 88 92 90 丙班五个单项得分表 (1)上述m的值为___； (2)已知甲班团体总分为450分，乙班和丙班总分均为455分，请通过计算判断哪个班级获得冠军； (3)获得前两名的班级可分别从A、B、C三种图书中选择一套作为奖励，求两个班级选择同一套图书的概率． 【答案】(1)90 (2)乙班方差较小，乙班获得冠军 (3) 【分析】本题考查了方差、平均数、概率的计算： （1）根据①单项比赛计分规则进行计算即可； （2）求出乙班和丙班的方差，方差小的获得冠军； （3）采用列举法即可解答． 【详解】（1）解：裁判打分：， 去掉最高分95和最低分85，剩余分数为， 平均分， 故丙班第二个单项得分， 故答案为：90； （2）解：乙班方差计算： 单项得分：， 平均分， 方差 ； 丙班方差计算： 单项得分：， 平均分， 方差 结论：乙班方差更小，因此乙班获得冠军； （3）解：两班独立选择三种图书，共有9种等可能结果： ， 其中选择相同的有三种，概率． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十四章 数据的分析 知识点01 平均数 1.算术平均数 1）算术平均数：一般地，有n个数x1，x2，…，xn，那么=.简称平均数. 算术平均数反映了这一组数据的集中趋势，表示了这组数据的平均水平. 注：当任一数据变化时，都会影响算术平均数. 2）结论：若=；=. 则：①x1±y1，x2±y2，…，xn±yn的平均数为±；②x1，y1，x2，y2…，xn，yn的平均数为（+）. ③ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b. ∵ax1，ax2，…，axn的平均数为a； ∴x1+b，x2+b，…，xn+b的平均数为+b. 2.加权平均数 加权平均数：一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是ω1，ω2，…，ωn，则叫做这n个数的加权平均数．前面求算术平均数，是将每个数据认为同等重要，即每个数据的权重都是1. 注意：计算平均数时注意分辨是算术平均数还是加权平均数，两者计算方法有差异，不能混淆. 知识点02 中位数与众数 1.中位数：将一组数据从小到大（或从大到小）排列，如果数据是奇数个，则处于中间的数为中位数；若数据是偶数个，则中间两个数据的平均数为中位数. 注：①所有数据需排列（从大到小或从小到大）；②中位数有可能不是这组数据中的数；③中位数反映了中间水平. 2.众数：一组数据中出现次数最多的数据. 注：①众数不一定唯一；②众数反映了一组数据中的趋势量，即数据出现频次最高的量. 知识点03 方差、标准差 1）方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.通常用“”表示，即 结论：若数据a1，a2，……an的方差是s2，则数据a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s2，数据ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s2. 方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定. 2）标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 知识点04 四分位数与箱线图 1.在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，记为m25，m50，m75，统称四分位数。它们把一组数据分为个数相等的四部分。 2.用一组数据中的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值来反映数据分布的中心位置和散布范围的统计图。画法为先找出这5个值，用横线对应，连接下四分位数和上四分位数画出“箱体”，再将最小值和最大值与“箱体”相连，中位数在“箱体”中间。箱线图可粗略观察数据是否对称，不受异常值影响。 易错点1 利用已知的平均数求相关数据的平均数 1. 忽略权重差异：求加权平均数时，易直接用算术平均数计算，忘记根据数据不同权重（如次数、占比）加权，导致结果偏差。 2. 数据增减错误：已知原平均数，求增减固定值后新平均数，易漏算增减值与数据个数的关联，直接加/减固定值，忽略整体影响。 例题1：（25-26八年级下·全国·课后作业）如果一组数据，，，，的平均数是5，则数据，，，，的平均数是___________． 【变式】（25-26九年级上·河北唐山·月考）若一组数据的平均数为，则另一组数据的平均数是___________． 易错点2 利用平均数与加权平均数做决策 1. 误用平均数：未考虑数据权重（如不同类别占比），直接用算术平均数决策，导致结果偏离实际（如忽视高权重数据影响）。 2. 权重设定错：计算加权平均数时，权重赋值与实际重要性不符（如权重颠倒），使决策依据失真，得出错误结论。 例题2：（25-26八年级下·全国·单元复习）某公司需要经常快递物品，准备从A、B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A、B各项的得分如下表： 物品完好度 服务态度 物流时长 平台A 92 m 90 平台B 95 n 88 (1)求表格中m、n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好； (2)如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？ 【变式】（25-26八年级上·河北保定·期末）某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级300名学生民主投票，每人只能推荐一人（不设弃权票），选出了票数最多的甲、乙、丙三人．投票结果统计如图；其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试，各项测试成绩如下表所示．请你根据以上信息解答下列问题： 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 92 90 95 面试 85 95 80 (1)请计算每名候选人的得票数； (2)若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？ 易错点3 根据方差判断稳定性或做决策 1. 忽视数据背景：仅对比方差大小判断稳定性，未结合数据实际意义（如不同单位、领域标准），导致决策脱离实际场景。 2. 混淆方差与标准差：误将方差数值直接等同于离散程度直观指标，未明确其与数据单位的平方关系，影响稳定性判断的准确性。 例题3：（25-26八年级下·全国·单元测试）射击训练班中的甲、乙两名选手在次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：，，，，   乙：，，，， 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 根据以上信息，请解答下面的问题： (1)________，________，________； (2)若选手乙再射击第次，命中的成绩是环，则选手乙这次射击成绩的方差与前次射击成绩的方差相比会________；（选填“变大”“变小”或“不变”） (3)教练根据这次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ 【变式】（2026·北京西城·一模）某校开展合理使用手机的宣传活动，某班班长选取甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，他收集了这四名同学最近天使用手机的时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学天使用手机时长：                   b．乙、丙同学天使用手机时长的折线图： c．四名同学天使用手机时长的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 m 16 17 16 中位数 15.5 15 p 16.5 方差 15 7.8 n 7.8 (1)表中的值为 ，的值为 ， （填“”“”或“”）； (2)根据这天使用手机的数据，班长按如下方式决定四名同学的分享顺序：首先比较平均数，平均数较小者优先；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先；若平均数、方差分别相等，则使用时长小于平均数的次数较多者优先．四名同学的经验分享顺序依次为 ． 易错点4 平均数、众数与箱线图 1. 割裂数据关联：单独用平均数、众数或方差分析，未结合箱线图的分布信息（如异常值、四分位距），导致对数据整体特征判断片面。 2. 误读箱线图信息：混淆箱线图中中位数、四分位数位置，或忽略异常值对平均数、方差的影响，进而得出错误的稳定性或集中趋势结论。 例题4：（25-26八年级下·全国·期末）【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的平均成绩更高；通过计算方差，，__________，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的射击水平更稳定． (2)小颖利用四分位数（如下表）、箱线图（如图②）进行分析． 表格中，①处应填__________，②处应填__________，③处应填__________；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数__________（填“>”“<”或“=”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 (3)请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【变式】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）为备战校运动会，初二某班的体育委员将报名100米的同学分为A队和B队，每队8人，并进行了一次100米跑的队内测试，两队的成绩如下（单位：秒）： A队 13 14 15 13 15 13 14 15 B队 14 15 16 14 16 14 17 16 (1)小明通过计算平均数得______秒，秒；通过计算方差______，； (2)小颖利用四分位数、箱线图进行分析． ①A队队员成绩的______，B队队员成绩的______； ②A队队员成绩的中位数______B队队员成绩的中位数（填“>”，“=”或“<”），且______队选手间成绩差异较大； (3)请你结合小明和小颖的数据分析，从A，B两队中选择一个队伍参加运动会接力赛，并说明理由． 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）若数据11，12，12，19，11，x的唯一众数是12，则x的值是（   ） A．12 B．11 C．11.5 D．19 2．（2025八年级上·全国·专题练习）一组数据的平均数是5，那么这组数据的离差平方和是（   ） A．10 B． C．2 D． 3．（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知一组数据的平均数为3，方差为2，那么数据的平均数与方差分别是（   ） A．3，2 B．5，8 C．5，4 D．3，8 4．（25-26八年级上·山东济南·期中）有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是15 D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 二、填空题 5．（24-25八年级下·陕西宝鸡·开学考试）已知一组数据3，a，4，5的众数为4，则这组数据的平均数为 ． 6．（24-25九年级下·广东中山·期中）有一组数据如下：3，a，4，6，8，已知它们的平均数是5，那么这组数据的众数为 ． 7．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知5个数、、、、的平均数是，则数据，，，，的平均数为 8．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知一组数据的方差，则 ． 三、解答题 9．（24-25八年级下·福建泉州·期末）为了增强学生的防溺水安全意识，某校举办了“防溺水安全主题系列活动”，要求每个班派一名代表参加本次活动．八（1）班陈老师组织全班同学通过层层筛选，决定从以下两名同学中选一名成绩较高的学生代表班级参加比赛．下表是这两名同学参加各项活动的比赛成绩（单位：分）： 选手 主题活动项目 在线学习 知识竞赛 演讲比赛 甲 89 99 85 乙 84 96 90 (1)如果根据三项比赛的平均成绩确定人选，那么谁将被选中？ (2)如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项成绩得分按，，的比例确定两人的比赛成绩，那么谁将被选中？ 10．（2025·湖南·模拟预测）为提高学生身体素养，某校在10月举行最美课间操比赛，最终甲、乙、丙三个班级进入决赛．决赛需进行五个单项比赛，计分规则如下：①单项比赛计分规则：五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分．②团体决赛计分规则：各单项得分之和为团体最终成绩，名次按成绩由高到低排序；若成绩相同，则方差较小的班级排名靠前．现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理并绘制统计图表，部分信息如下：丙班在第二个单项比赛中，五名裁判的打分为：85，88，90，92，95．根据以上信息，回答下列问题： 项目 一 二 三 四 五 得分 95 m 88 92 90 丙班五个单项得分表 (1)上述m的值为___； (2)已知甲班团体总分为450分，乙班和丙班总分均为455分，请通过计算判断哪个班级获得冠军； (3)获得前两名的班级可分别从A、B、C三种图书中选择一套作为奖励，求两个班级选择同一套图书的概率． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $