易错04 一次函数与反比例函数（易错专练，7大易错剖析+避错秘籍+易错闯关）（上海专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题04 一次函数与反比例函数 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 函数概念区分 易错点 2 一次函数增减性判断 易错点 3 一次函数图象位置与系数的关系 易错点 4  在实际情景中的一次函数问题 易错点 5 待定系数法求函数解析式的应用 易错点 6 反比例函数增减性的判断 易错点 7 一次函数、反比例函数图象交点的综合运用缺少几何观念 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 函数概念区分 错因剖析 概念混淆：记混三类函数标准解析式，分不清自变量次数、分式形式与整式形式。 认知偏差：把正比例函数当成独立第三类，混淆正比例与一次函数从属关系；误把负指数当成一次函数。 基础薄弱：不会把变形后的关系式整理成标准形式，无法判断次数和类型。 【例1】（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数；根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意； B：，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意； C：，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意； D：，该函数可化简为，符合（）的形式，是正比例函数，符合题意； 故答案为：D． 避错秘籍 【防错指南】 含 、最高二次 → 二次函数 在分母、负一次方 → 反比例函数 只有一次项、无平方无分母 → 一次函数 【知识链接】 1、一次函数 形式：（） 自变量 是1 次；图象是直线； 时为正比例函数，属于特殊一次函数。 2、反比例函数 形式：（） 自变量 是-1次，在分母；图象是双曲线。 3、二次函数 形式：（） 自变量 最高是2 次；图象是抛物线。 变式迁移 【变式1-1】（2026·上海闵行·二模）下列函数，图象不是一条直线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图象特征作出判断即可． 【详解】解：对于选项A：是二次函数，图象是一条抛物线，符合题意； 对于选项B： 是一次函数，图象是一条直线，不符合题意； 对于选项C： 是一条平行于轴的直线，不符合题意； 对于选项D： 是正比例函数，图象是一条直线，不符合题意． 【变式1-2】（2026·上海宝山·二模）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数的标准形式为（k为常数，） A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，排除； B、符合的形式，其中，因此y是x的反比例函数，符合要求； C、是二次函数，不符合反比例函数定义，排除； D、是y关于的反比例函数，不是y关于x的反比例函数，不符合定义，排除． 易错点2 一次函数增减性判断 错因剖析 概念混淆：容易将的正负与函数增减性的对应关系记反。比如，误认为当时 ，随的增大而减小，导致对函数图像上升或下降趋势判断错误。 认知偏差：凭图像直观乱猜，不先看 k 的符号；遇到解析式含负系数时判断颠倒。 基础薄弱： 不能熟记 k 正、k 负对应的增减规律，做题全靠蒙。 【例2】（2026·上海普陀·二模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，点、在该正比例函数的图像上，如果，那么________、（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先根据正比例函数图象经过的象限判断比例系数的符号，再结合正比例函数的增减性，比较与的大小． 【详解】解：设该正比例函数的解析式为， 因为正比例函数的图像经过第二、四象限， 所以可得， 根据正比例函数的性质，当时，随的增大而减小. 又因为， 所以． 避错秘籍 【防错指南】 一次函数（），k正递增往上升，k负递减往下降。 【知识链接】 一、一次函数的基本形式及的意义 一次函数的表达式为为常数，, 其中是斜率，它决定了函数的增减性以及图像的倾斜方向。 二、与函数增减性的关系 当时 ，函数随的 增大而增大，此时一次函数的图像从左到右呈上升趋势；当时 ，函数随的 增大而减小，图像从左到右呈下降趋势。 变式迁移 【变式2-1】（2025·上海金山·二模）已知直线与轴的交点在轴下方且函数值随着的增大而减小，那么这条直线的表达式是________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数，当时，函数图象与轴的交点在轴下方且函数值随着的增大而减小． 直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：∵直线与轴的交点在轴下方且函数值随着的增大而减小， ， ∴符合条件的一条直线可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-2】（2025·上海浦东新·二模）如果正比例函数（为常数，且）的图像经过点，那么函数值随着的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题考查的知识点是判断一次函数的增减性，解题关键是熟练掌握判断一次函数的增减性． 先根据该图像经过点求出值，再根据时，函数值随着的值增大而增大；时，函数值随着的值增大而减小即可得解． 【详解】解：正比例函数（为常数，且）的图像经过点， ，， 函数值随着的值增大而减小． 故答案为：减小． 易错点3 一次函数图象与系数的关系 错因剖析 概念混淆： 、 意义模糊，象限判断混乱。 认知偏差：死记硬背，不理解意义，凭印象乱猜。 基础薄弱： 作图不规范，不会求直线与坐标轴的交点。 【例3】（2026·上海闵行·二模）如图是一把完全打开的折扇，此时扇面面积为．当扇面张开的角度为时，扇面面积为，如果，那么与关系的大致图像是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】设扇形的半径为r，完全打开时的角度为t，表示出，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，完全打开时的角度为t， ∴ 当扇面张开的角度为时，扇面面积 ∴ ∴与成正比例关系， ∴与关系的大致图像是： ． 避错秘籍 【防错指南】 1、看 定升降： 从左到右上升； 下降。 2、看 定上下： 交 y 轴正半轴 ；负半轴 ；过原点 。 3、象限由 共同决定，缺一不可。 【知识链接】 1、增减性：，y 随 x 增大而增大； 反之。 2、与 y 轴交点：；与 x 轴交点：。 变式迁移 【变式3-1】（2025·上海杨浦·一模）已知一次函数不经过第二象限，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质：当，图象经过第一、三象限；当，图象经过第二、四象限；当，图象与y轴的交点在x轴的上方；当，图象过原点；当，图象与y轴的交点在x轴的下方． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限或一、三象限， ∴y随x的增大而增大， ∴． 故选：C． 【变式3-2】（2025·上海闵行·模拟预测）一次函数 的图象一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，先对进行分别讨论，再结合，得出一次函数的图象一定经过第一、二象限，即可作答． 【详解】解：当时， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限； 当时， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限． 综上所述，一次函数的图象一定经过第一、二象限． 故选：A． 易错点4 在实际情景中的一次函数问题 错因剖析 概念混淆：混淆自变量、因变量与实际意义，分不清x、y 分别代表什么实际量，做题只套式子，不结合情境。 认知偏差：只求函数式，没有实际问题自变量受现实约束的意识。 基础薄弱：看不懂函数图像、不会读图获取信息。 【例4】（2025·上海·中考真题）已知学校热水器有一个可以储200升（）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：．    (1)求关于的函数解析式并写出定义域； (2)当水加满时，储水装置内水的温度为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求分式的值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出函数值为200时自变量的值即可求出定义域； （2）根据（1）所求可得加满水时，x的值，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把代入中得， ∴， ∴关于的函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解；由（1）可得当时，， ∴加满水时，， ∴ 答：当水加满时，储水装置内水的温度为． 避错秘籍 【防错指南】 1、读情境：分清谁是自变量、谁是函数； 2、找两点：从题目或图像中找出两个清晰关键点坐标； 3、求解析式：代入 解出 ； 4、范围：写出自变量实际取值范围，结合题意作答。 【知识链接】 1、有初始值不为 0 → 是一次函数 ； 无初始值、从原点出发 → 才是正比例函数 。 2、实际问题必须注明 x 取值范围：时间、数量、长度均不能为负。 3、折线图像分段看，一段求一个解析式，不能混用。 4、图像拐点、交点、端点一定要翻译成实际生活语言。 变式迁移 【变式4-1】（2026·上海金山·二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式： (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】结合图像求出与的函数关系式，以及利用反比例函数的性质求解电流的取值范围． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 由图2可知，图像经过点和， 代入得：， 解得：， ． 当时，（）， ，且， （）． （2）解：电流与总电阻成反比例， 设， 由（1）可知，当时，，此时， 代入得：， 解得：， 关于电阻的函数解析式为． （3）解：由（1）可知，， 当时，（）， 当时，（）， 当时，， ，且， 随的增大而减小， 当时，取最大值，（）， 当时，取最小值，（）， 电流表显示电流的取值范围． 【变式4-2】（2026·上海崇明·二模） 背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位． 素材1 工程师对某品牌的款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为的两台款电动车同时充电，充电时，各自的电量与充电时间（小时）的函数图象分别为图中的线段和． 素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时． 问题解决 (1)任务一：根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． (2)任务二：当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至？请说明理由． 【答案】(1)快速充电的函数解析式为； 慢速充电的函数解析式为； (2)当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至，理由见解析 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）求出车辆的电量能充至所需时间，再与进行比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设快速充电的函数解析式为， 把代入得，解得， 快速充电的函数解析式为； 设慢速充电的函数解析式为， 把，代入得，解得， 慢速充电的函数解析式为； （2）解：小时， 把代入得， 把代入得， 解得， 若充到，还需要（小时），， 车辆的电量不能充至， 当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至. 【变式4-3】（2026·上海静安·二模）本市某街道办了一所老年食堂，该街道老人花1000元可买到一张面值1080元的就餐卡，其中80元为政府出资补贴，凭卡就餐时，再按标价的九折在卡中扣款．张爷爷现持有一张面值1080元的就餐卡，如果从4月1日开始，在该月30天中，他每天午餐、晚餐都到老年食堂就餐．假设他的每顿餐费标价相同，均为x元，按九折付款后，到四月30日结束时，卡内余额为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出定义域． (2)如果张爷爷到月底结束时，卡内还有108元结余，那么他该月每餐标价是多少元？ (3)如果张爷爷将卡内1080元全部用完，此时算上政府补贴及餐费打折，他实际共获得多少元优惠？ 【答案】(1)，定义域为 (2)18元 (3)200元 【分析】（1）先求出张爷爷月份共就餐的顿数，再求出总扣款的钱数，即可得出y关于x的函数解析式，根据，且，即可求出定义域； （2）求出当时的值即可得出结果； （3）先消费的总餐费标价，再结合总优惠包括政府补贴和餐费九折优惠，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得，张爷爷月份共就餐（顿）， 每顿实际扣款为元，则总扣款为（元）， ∴y关于x的函数解析式为， ∵，且， ∴； （2）解：当时，， 解得：， 故他该月每餐标价是元； （3）解：设消费的总餐费标价为元， 由题意可得：， ∴， 故餐费九折优惠的金额为：（元）， ∵政府补贴80元， 故实际共获得优惠金额为（元）． 易错点5 待定系数法求函数解析式的应用 错因剖析 概念混淆：分不清不同函数该设哪种标准形式，正比例、一次、二次、反比例设式混乱。 认知偏差：多个点代入方程组时，列方程出错，符号漏写、括号缺失。 基础薄弱：不会利用图像特殊点：与坐标轴交点、顶点、对称点简化求解。 【例5】（2025·上海嘉定·二模）如果一次函数的图像经过点，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是__． 【答案】 【分析】本题考查两直线相交或平行问题，根据两条直线平行，则k值相等，可设这个一次函数的解析式是，再根据一次函数的图象经过点，求得． 【详解】解：设直线解析式是， ∵它与直线平行， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴ ∴， ∴这个一次函数的解析式是． 故答案为：． 避错秘籍 【防错指南】 待定系数法标准四步法 一设：根据函数类型，设出含未知系数的解析式； 二代：把已知点坐标横代 x、纵代 y，列方程 / 方程组； 三解：解方程（组），求出未知系数； 四写：把系数代回，写出完整化简后的函数解析式。 【知识链接】 正比例函数：设 一次函数：设 反比例函数：设 二次函数一般式：设 变式迁移 【变式5-1】（2025·上海青浦·二模）已知：在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（）的图像交于、两点． (1)求一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法可求得反比例函数解析式，将点代入反比例函数，得到点坐标，然后将点、分别代入一次函数，解方程组即可； （2）先求得一次函数的图像与x轴交点为，然后利用，即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，得，解得， ， 将点代入反比例函数，得， ， 将点、分别代入一次函数，得． 解这个方程组，得． 一次函数解析式为； （2）解：当时，代入，得到， 一次函数的图像与x轴交点， ． 【变式5-2】（2026·上海静安·二模）如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足点B在x轴负半轴上，已知点B，C关于原点对称． (1)当点A的横坐标是时，求的面积； (2)当，求直线的表达式． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，，然后可得，，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，设，由题意知，，，然后得出点A、C的坐标，进而利用待定系数法进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入反比例函数得：， ∴， ∵轴， ∴，， ∵点B，C关于原点对称， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵点B，C关于原点对称， ∴， ∴， 设，由题意知，，， 把代入反比例函数得：， 解得：，（负根舍去） ∴， 设直线的解析式为，则有， ，解得：， ∴直线的解析式为． 【变式5-3】（2025·上海·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与y轴交于点C（0，2），已知的面积为6． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了利用待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）过点作轴于点，过点作轴于点，利用待定系数法解答即可； （2）观察图象，利用数形结合法解答即可得出结论． 【详解】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 点， ， ，, ，， ，的面积为6， ， ∴， ， ， 反比例函数的解析式为：， 一次函数的图象经过点，， ， 解得：， 一次函数的解析式为． （2）点在反比例函数上， ∴， ∴． ∴， 由图象可知：第二象限中点的左侧部分，满足，第四象限中点的左侧部分，满足，对应的的取值范围分别为：或． ∴当时，的取值范围为：或． 易错点6 反比例函数增减性的判断 错因剖析 概念混淆：误以为反比例函数 ， 就全体递增、 就全体递减，忽略分象限。 认知偏差：自变量一正一负，乱套性质比大小。 基础薄弱：不会画图辅助判断，纯靠死记公式容易记反。 【例6】（2026·上海崇明·二模）如果一个反比例函数的图像在它所在的每个象限内，的值随的值增大而减小，那么这个函数图像可能经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵该反比例函数在每个象限内，随的增大而减小， ∴， A、 ，符合要求； B 、 ，不符合要求； C 、 ，不符合要求； D 、反比例函数中，图像不经过原点，不符合 要求． 避错秘籍 【防错指南】大小比较三步法 看：判断两个点的 正负，确定是否在同一象限； 判：同象限 → 用增减性比大小； 跨象限 → 正 正， 负 负，正数一定大于负数。 【知识链接】反比例函数： 1、，图象在一、三象限；在每个象限内， 随 的增大而减小。 2、，图象在二、四象限；在每个象限内， 随 的增大而增大。 变式迁移 【变式6-1】（2025·上海金山·二模）下列对反比例函数的图像的描述，正确的是（   ） A．经过 B．经过第一、三象限 C．在每个象限内，函数值随的增大而增大 D．关于轴对称 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的性质及图像的特点，理解和掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数解析式可知，函数图像经过第二，四象限，根据图形特点即可求解． 【详解】解：A选项，当时，选项不符合题意； B选项，反比例函数的，函数图像经过第二，四象限，B选项不符合题意； C选项，函数图像在第二，四象限内，随的增大的增大，C选项符合题意； D选项，函数图象关于直线对称，D选项不符合题意． 故选：C． 【变式6-2】（2026·天津和平·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质得出的图象在一、三象限，在各象限，随的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴图象在一、三象限，在各象限，随的增大而减小， ∵，， ∴，， ∴． 易错点7 一次函数、反比例函数图象交点的综合运用缺少几何观念 错因剖析 概念混淆：混淆“交点坐标”与“几何量”的关联：不清楚交点坐标可转化为几何中的点的坐标，无法将交点的横纵坐标与线段长度、图形面积等几何量结合，仅把交点当作“方程的解”，忽略其几何意义。 认知偏差：受“求交点就是解方程组”的固有思维影响，拿到交点综合题，仅能完成交点坐标求解，无法进一步拓展思路，不会结合几何图形的性质（如三角形面积公式、线段垂直平分线）解题。 基础薄弱：不熟练掌握三角形、四边形面积公式，不会通过点的坐标求线段长度（如坐标轴上两点间距离、平行于坐标轴的线段长度），无法将交点坐标转化为几何计算的已知条件。 【例7】（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系中（如图），正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如果将正比例函数的图像向下平移3个单位，得到的新函数的图像与反比例函数图像相交于点，求的余弦值． 【答案】(1)； (2)的余弦值为 【分析】（1）先求得点，再利用待定系数法求解即可； （2）利用平移的性质求得平移后函数的表达式为，联立求得点，再求得，作于点，求得各边的长以及边上的高，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图像经过点， ∴， ∴点， ∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：将正比例函数的图像向下平移3个单位，则平移后函数的表达式为， 联立得， 解得或， 当时，， ∴点， 设直线交轴于点，直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为， 令，则， 解得， ∴点， ∴， 作于点， ，，， ∵， ∴， ∴， ， ∴的余弦值． 避错秘籍 【防错指南】关联坐标与几何量，精准转化 牢记核心转化方法，避免脱节： 交点横坐标→平行于y轴的线段长度（绝对值）；交点纵坐标→平行于x轴的线段长度（绝对值）； 坐标轴上两点间距离：x轴上两点（）、（）距离为，y轴上两点（）、（）距离为； 利用交点坐标求图形面积：优先构造直角三角形、矩形，以坐标轴为直角边，结合面积公式计算，避免复杂计算。 数形结合，双向验证：通过代数计算求出几何量（如面积、线段长度）后，对照函数图象进行验证，确保几何图形构建正确、计算无误；同时可通过图象直观判断几何关系，辅助代数计算。 【知识链接】几何公式与方法： 线段长度：平行于坐标轴的线段，长度为对应坐标差的绝对值； 三角形面积：直角三角形面积=直角边乘积÷2；不规则三角形可通过补全法、分割法转化为直角三角形计算； 对称性质：反比例函数图象关于原点对称，若（）是两函数交点，则（）也一定是交点，可快速求解未知交点坐标。 与函数基础的关联：求两函数交点坐标，本质是解方程组（），交点个数由方程组的解的个数决定（Δ>0有两个交点，Δ=0有一个交点，Δ<0无交点），交点个数直接影响几何图形的构建。 变式迁移 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积． 【答案】(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为； (2)． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数求得的坐标，利用反比例函数求得点的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ，， ， ， ∴一次函数为，反比例函数为； （2）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， 当时，，当时，， ，， ∵点是反比例函数图象上一点， ， ， ∴轴，， ∴的面积． 【变式7-2】（2025·上海黄浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图像经过直线上的点． (1)求直线的表达式； (2)已知点在反比例函数的图像上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入反比例函数解析式，求出点P坐标，再把点P坐标代入一次函数解析式，求出k值即可； （2）根据得出，利用两直线平行，比例系数相同，得求出直线的表达式为：，再联立函数解析式，求出直线与反比例函数的交点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为：． （2）解：如图， ∵， ∴， 又∵直线的表达式为：， ∴直线的表达式为：， 联立，得， 解得：，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象交点问题，函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，平行线的判定，熟练掌握两直线平行，解析式的比例系数相等是解题的关键． 【变式7-3】如图1，已知点，，直线与反比例函数的图象与第一象限交于． (1)求k的值； (2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)新定义：如图2，在平面内，若三角形的一边等于另一边的3倍，则两边较长的那一边叫做麒麟边，两边夹角叫做麒麟角，三角形叫做麒麟三角形，若为麒麟三角形，为麒麟边，为麒麟角，A，B在反比例函数上，且点A横坐标为，直线交y轴于C，与y轴的截距为2，求n的值． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为：或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求得直线的解析式，即可得点，则待定系数法即可求的反比例函数； （2）当点在点右侧时，过点作直线，交轴于点，则点为所求点，即可求解；当点在点的左侧时，根据点的对称性即可求解； （3）由题意可知，因此当为直角三角形时，不可能为斜边，有或两种情况讨论．作辅助线构造三垂直模型，证得相似三角形，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的表达式为：， 由点，点得 ，解得 则直线的表达式为：， 当时，即，则， 即点， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 即反比例函数的表达式为：； （2）解：存在，理由： 点是反比例函数图象上一点，则点， 当点在点右侧时， 过点作直线，交轴于点，则点为所求点， 直线的表达式为：，， 则直线的表达式为：， 令，则， 解得：，则点， 则， 当点在点的左侧时，由对称性可得点的坐标为：， 即点， 综上，点的坐标为：或； （3）解：为“麒麟三角形”， 为“麒麟边”， 为“麒麟角”， ， 是直角三角形， 不可能为斜边，即， 或， 如图1，当时，过作轴于，过作轴于， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点坐标为， ， 此时，点不可能在反比例函数上，故该情况不存在； ②如图2，当时，过作轴于，过作轴交于， ， ， ， ， ， ， ，， 设，， ， ， 点坐标，点坐标． ，在上， ， 解得：； 综上，， 则点的坐标为：， 将点的坐标代入函数表达式得：． 【点睛】本题为反比例函数综合题，主要考查了求一次函数解析式、反比例函数的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，以及对称性，解题的关键是构造直角三角形和相似三角形，以及分类讨论思想的应用． 1. 一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象（根据一次函数解析式判断其经过的象限），熟练掌握、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系是解题的关键：当时，一次函数图象必过一、三象限；当时，一次函数图象必过二、四象限；当时，一次函数图象与轴交于正半轴；当时，一次函数图象与轴交于负半轴；或者说：当，时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当，时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当，时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当，时，一次函数图象经过第二、三、四象限． 根据、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系进行判断即可得出答案． 【详解】解：对于一次函数， ，， 函数图象经过第一、二、四象限， 故选：． 2. （2026·上海奉贤·二模）在函数的图像所在的每一个象限内，的值随的值增大而减小，那么这个函数图像可能经过的点是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数的增减性判断的符号，再结合反比例函数中的关系判断各点是否符合要求即可． 【详解】解：对于反比例函数，在每个象限内随的增大而减小， ， 因为反比例函数中满足，因此该点横纵坐标的乘积应为正， 、，不符合要求； 、，不符合要求； 、，不满足，不符合要求； 、  ，满足，符合要求； 故选：． 3. （2025·上海徐汇·二模）如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数，反比例函数中系数与图像的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数，反比例函数中系数与图像的关系解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴一次函数的图像一定经过第一、三象限，且交轴于负半轴， ∴一次函数的图像一定经过第一、三、四象限． 故选：B． 4. （2025·上海奉贤·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（   ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图像不经过第二象限 D．图像不经过第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质、描点法等知识点，掌握相关知识是解答本题的关键． 根据题意得到，那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，即可判断A、B，再结合反比例函数性质得到经过的象限即可判断C、D． 【详解】解：，， 即， 那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，故A、B选项错误，不符合题意； 图像不经过第二象限，经过第四象限， 故C正确，符合题意；D选项错误，不符合题意； 故选：C． 5. （2025·上海·模拟预测）一次函数的图像过点，且不等式的解集是．那么，原函数（    ）之后得到的新函数为正比例函数． A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图像平移问题以及求一次函数解析式，由题意得一次函数的图象过点，，可求得解析式为；设原函数向右平移个单位长度，则新函数解析式为：；令，即可求解； 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴； ∵不等式的解集是， ∴一次函数的图象过点， ∴，解得； ∴； 设原函数向右平移个单位长度，则新函数解析式为：； 令，求得； 即：原函数向右平移2个单位之后得到的新函数为正比例函数． 故选：B． 6. （2026·上海金山·一模）在等边中，点分别在边上，将沿折叠，使得点与的重心重合，与交于点，延长交于点，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查折叠，重心的性质，平面直角坐标系的建立，解题关键在于熟练掌握其相关知识点；通过建立坐标系，设等边的边长为，建立平面直角坐标系，计算重心G、中点O、点E和F的坐标，进而求出和的长度，即可求解. 【详解】解：如图；设等边的边长为，建立平面直角坐标系： 则，， ∵中点，重心(，根据重心性质，重心将分为)   ∴中点（与的中点，   ∵折叠后为的垂直平分线， ∴为水平线（垂直于轴且过） 设直线解析式：过，两点， ∴，解得 ∴直线解析式，联立得 ， 设直线解析式：过，两点， ∴，解得， ∴直线解析式，联立得  ， ∴， ∵， ∴， 故选：C. 7. （2026·上海青浦·二模）将直线沿轴向下平移2个单位后得到的直线是，则__________． 【答案】 【分析】利用一次函数沿y轴平移“上加下减”的规律，得到平移后的直线解析式，对比已知条件即可求出的值． 【详解】解：将直线沿y轴向下平移个单位后，得到的直线解析式为， 已知平移后得到的直线是， 因此可得， 解得． 8. （2026·上海黄浦·二模）已知直线与坐标轴交于、两点，那么线段的长是______． 【答案】10 【分析】先求出、两点的坐标，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在直线中， 令，则； 令，则，解得； ，． ． 9. （2026·上海杨浦·二模）直线恒过定点___________． 【答案】 【分析】将直线解析式变形为，易知当时，，从而得到直线恒过定点． 【详解】解：∵， ∴， 当时，即时，， ∴直线恒过定点． 10. （2025·上海杨浦·模拟预测）在直角三角形中，，是边上的中线，，，在上任取一点（不与点，重合）设面积为，长为，则关于的函数解析式和定义域为___________． 【答案】（） 【分析】先根据勾股定理求斜边长，再利用直角三角形斜边上的中线性质求长，从而确定定义域；通过建立坐标系表示点P坐标，利用三角形面积公式求y关于x的解析式． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． ∵是边上的中线， ∴． ∵P在上，， ∴定义域为． 以点C为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则，，． ∴中点D的横坐标为，纵坐标为， ∴． 设直线的表达式为，则， 解得：， 所以直线的表达式为， 设点P坐标为， 因为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴P坐标为． ∴的面积为． 故答案为：（）． 【点睛】本题考查了用勾股定理解三角形，动点问题的函数图象，斜边的中线等于斜边的一半，一次函数与几何综合等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 11. （2025·上海徐汇·二模）如图，矩形的两边分别在轴和轴的正半轴上，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，反比例函数经过点，若的对应点恰好落在对角线的中点，，则的值为___________． 【答案】 【分析】先根据旋转以及矩形的性质求出，然后由勾股定理求出，解，求出，由旋转可知：，，则，那么，然后由角直角三角形性质和勾股定理求出，再由待定系数法求函数解析式即可． 【详解】解：过点作轴于点，连接， 四边形是矩形， ， 矩形绕点顺时针旋转得到矩形，， ， 的对应点恰好落在对角线的中点， ， ， ， 在中，，， ， 由旋转可知：，， ， 又轴， ， ， 在中，，， ， ， 反比例函数经过点， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及解直角三角形，旋转的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，难度较大，解题的关键是正确添加辅助线． 12. （2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上一点，点是轴上一点，，将绕点旋转，点的对应点分别为．当四边形的面积等于8时，点的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数、平行四边形的性质，旋转的性质，熟练掌握是解答本题的关键．根据题意画出图像，先证明四边形是平行四边形，易得，在中利用三线合一得到，利用面积即可求解． 【详解】解：根据题意画出图像得， 过点作于点， ，， 根据旋转得，，，， ， 四边形是平行四边形， 易知， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. （2026·上海徐汇·二模）上海市居民自来水水费由供水费和污水处理费两部分组成，污水处理量由于损耗按照用水量的核定计算，污水处理费统一单价为2元/m3．小户型家庭供水费按年用水量分三档计费，收费标准如下表，每户每年应缴自来水水费（元）与用水量关系如图所示． 分类 第1档 第2档 第3档 用水量（m3） 不超过220 超过220不超过300的部分 超过300的部分 供水费单价（元/m3） 2.25 6.99 污水处理费（元/m3） 2.00 根据上述信息，解答下列问题： (1)第1档的自来水水费1m3的单价为_______元；图中点的纵坐标为________； (2)小华家去年的年用水量为250m3，共缴纳水费1065元．通过计算推出的值为________元； (3)已知小明家去年共缴水费2234元，求小明家去年的年用水量． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据水费的单价=供水费单价+污水处理费单价求解即可；求出用水量为的水费即可； （2）根据共缴水费元列出方程求解即可； （3）先判断，然后根据共缴水费元列出方程求解即可. 【详解】（1）解：第1档的自来水水费1m3的单价为元， ∵， ∴图中点的纵坐标为； （2）解：根据题意，得， 解得； （3）解：当时，， ∵， ∴， ∴， 解得， 答：小明家去年的年用水量. 14. （2026·上海黄浦·二模）下图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y个计量单位与时间x分钟之间大致符合函数（，k为常数）． (1)求k的值； (2)如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么这种抗过敏药物隔多少时间需服用一次（结果精确到1小时）．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)这种抗过敏药物约隔5小时需服用一次 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：由（1）得， 在中，当时，， 解得或（舍去）， 小时， 答：这种抗过敏药物约隔5小时需服用一次． 15. （2026·上海虹口·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线经过顶点和边上的一点，，．设边与轴正半轴的夹角为，且． (1)求双曲线的表达式； (2)如果轴，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图：过C作轴于D，解直角三角形可得、，即；再利用待定系数法求解即可； （2）先求得，如图：过A作轴于E， 再解直角三角形可得，即点A的纵坐标为；再根据轴可得点B的纵坐标为，然后再求点B的横坐标即可解答． 【详解】（1）解：如图：过C作轴于D， ∵，． ∴，即，解得：， ∴， ∴， 设双曲线的表达式为， ∵C在双曲线上， ∴，解得：， ∴双曲线的表达式为． （2）解：∵，， ∴， ∴， 如图：过A作轴于E， ∵，． ∴，即，解得：， ∴点A的纵坐标为， ∵轴， ∴点B的纵坐标为， ∵点B在双曲线上， ∴点B的横坐标为， ∴． 16. 如图，在中，顶点的坐标是．轴，一次函数与反比例函数的图象都经过、两点． (1)求的值； (2)求平行四边形的面积； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】本题是反比例函数的综合题，求反比例函数解析式，主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，平行四边形的性质等知识，求出点B的坐标是解题的关键． （1）根据点D的纵坐标为1，可得点D的坐标，代入反比例函数解析式即可，把代入一次函数， （2）由（1）可得点B的坐标，从而得出E的坐标及的长，再由题意，求出，即可得出答案； （3）由图像可知一次函数位于反比例函数上侧时，进而得出答案． 【详解】（1）解：点的坐标是．轴， 点D的纵坐标为1． 一次函数图象经过D点， 令，解得． ， 将点代入反比例函数得：， ， 由题意，把代入一次函数，得： ， ； （2）由（1）可知． 四边形平行四边形， 的坐标是． 由（1）A的坐标是，， ． 平行四边形的面积等于． （3），， 由图像可知，一次函数位于反比例函数上侧时， 或． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次函数与反比例函数 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 函数概念区分 易错点 2 一次函数增减性判断 易错点 3 一次函数图象位置与系数的关系 易错点 4  在实际情景中的一次函数问题 易错点 5 待定系数法求函数解析式的应用 易错点 6 反比例函数增减性的判断 易错点 7 一次函数、反比例函数图象交点的综合运用缺少几何观念 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 函数概念区分 错因剖析 概念混淆：记混三类函数标准解析式，分不清自变量次数、分式形式与整式形式。 认知偏差：把正比例函数当成独立第三类，混淆正比例与一次函数从属关系；误把负指数当成一次函数。 基础薄弱：不会把变形后的关系式整理成标准形式，无法判断次数和类型。 【例1】（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】 含 、最高二次 → 二次函数 在分母、负一次方 → 反比例函数 只有一次项、无平方无分母 → 一次函数 【知识链接】 1、一次函数 形式：（） 自变量 是1 次；图象是直线； 时为正比例函数，属于特殊一次函数。 2、反比例函数 形式：（） 自变量 是-1次，在分母；图象是双曲线。 3、二次函数 形式：（） 自变量 最高是2 次；图象是抛物线。 变式迁移 【变式1-1】（2026·上海闵行·二模）下列函数，图象不是一条直线的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·上海宝山·二模）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 易错点2 一次函数增减性判断 错因剖析 概念混淆：容易将的正负与函数增减性的对应关系记反。比如，误认为当时 ，随的增大而减小，导致对函数图像上升或下降趋势判断错误。 认知偏差：凭图像直观乱猜，不先看 k 的符号；遇到解析式含负系数时判断颠倒。 基础薄弱： 不能熟记 k 正、k 负对应的增减规律，做题全靠蒙。 【例2】（2026·上海普陀·二模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，点、在该正比例函数的图像上，如果，那么________、（填“”、“”或“”） 避错秘籍 【防错指南】 一次函数（），k正递增往上升，k负递减往下降。 【知识链接】 一、一次函数的基本形式及的意义 一次函数的表达式为为常数，, 其中是斜率，它决定了函数的增减性以及图像的倾斜方向。 二、与函数增减性的关系 当时 ，函数随的 增大而增大，此时一次函数的图像从左到右呈上升趋势；当时 ，函数随的 增大而减小，图像从左到右呈下降趋势。 变式迁移 【变式2-1】（2025·上海金山·二模）已知直线与轴的交点在轴下方且函数值随着的增大而减小，那么这条直线的表达式是________．（写出一种情况即可） 【变式2-2】（2025·上海浦东新·二模）如果正比例函数（为常数，且）的图像经过点，那么函数值随着的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 易错点3 一次函数图象与系数的关系 错因剖析 概念混淆： 、 意义模糊，象限判断混乱。 认知偏差：死记硬背，不理解意义，凭印象乱猜。 基础薄弱： 作图不规范，不会求直线与坐标轴的交点。 【例3】（2026·上海闵行·二模）如图是一把完全打开的折扇，此时扇面面积为．当扇面张开的角度为时，扇面面积为，如果，那么与关系的大致图像是（    ） A．B．C． D． 避错秘籍 【防错指南】 1、看 定升降： 从左到右上升； 下降。 2、看 定上下： 交 y 轴正半轴 ；负半轴 ；过原点 。 3、象限由 共同决定，缺一不可。 【知识链接】 1、增减性：，y 随 x 增大而增大； 反之。 2、与 y 轴交点：；与 x 轴交点：。 变式迁移 【变式3-1】（2025·上海杨浦·一模）已知一次函数不经过第二象限，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·上海闵行·模拟预测）一次函数 的图象一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 易错点4 在实际情景中的一次函数问题 错因剖析 概念混淆：混淆自变量、因变量与实际意义，分不清x、y 分别代表什么实际量，做题只套式子，不结合情境。 认知偏差：只求函数式，没有实际问题自变量受现实约束的意识。 基础薄弱：看不懂函数图像、不会读图获取信息。 【例4】（2025·上海·中考真题）已知学校热水器有一个可以储200升（）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：．    (1)求关于的函数解析式并写出定义域； (2)当水加满时，储水装置内水的温度为多少？ 避错秘籍 【防错指南】 1、读情境：分清谁是自变量、谁是函数； 2、找两点：从题目或图像中找出两个清晰关键点坐标； 3、求解析式：代入 解出 ； 4、范围：写出自变量实际取值范围，结合题意作答。 【知识链接】 1、有初始值不为 0 → 是一次函数 ； 无初始值、从原点出发 → 才是正比例函数 。 2、实际问题必须注明 x 取值范围：时间、数量、长度均不能为负。 3、折线图像分段看，一段求一个解析式，不能混用。 4、图像拐点、交点、端点一定要翻译成实际生活语言。 变式迁移 【变式4-1】（2026·上海金山·二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式： (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 【变式4-2】（2026·上海崇明·二模） 背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位． 素材1 工程师对某品牌的款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为的两台款电动车同时充电，充电时，各自的电量与充电时间（小时）的函数图象分别为图中的线段和． 素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时． 问题解决 (1)任务一：根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． (2)任务二：当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至？请说明理由． 【变式4-3】（2026·上海静安·二模）本市某街道办了一所老年食堂，该街道老人花1000元可买到一张面值1080元的就餐卡，其中80元为政府出资补贴，凭卡就餐时，再按标价的九折在卡中扣款．张爷爷现持有一张面值1080元的就餐卡，如果从4月1日开始，在该月30天中，他每天午餐、晚餐都到老年食堂就餐．假设他的每顿餐费标价相同，均为x元，按九折付款后，到四月30日结束时，卡内余额为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出定义域． (2)如果张爷爷到月底结束时，卡内还有108元结余，那么他该月每餐标价是多少元？ (3)如果张爷爷将卡内1080元全部用完，此时算上政府补贴及餐费打折，他实际共获得多少元优惠？ 易错点5 待定系数法求函数解析式的应用 错因剖析 概念混淆：分不清不同函数该设哪种标准形式，正比例、一次、二次、反比例设式混乱。 认知偏差：多个点代入方程组时，列方程出错，符号漏写、括号缺失。 基础薄弱：不会利用图像特殊点：与坐标轴交点、顶点、对称点简化求解。 【例5】（2025·上海嘉定·二模）如果一次函数的图像经过点，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是__． 避错秘籍 【防错指南】 待定系数法标准四步法 一设：根据函数类型，设出含未知系数的解析式； 二代：把已知点坐标横代 x、纵代 y，列方程 / 方程组； 三解：解方程（组），求出未知系数； 四写：把系数代回，写出完整化简后的函数解析式。 【知识链接】 正比例函数：设 一次函数：设 反比例函数：设 二次函数一般式：设 变式迁移 【变式5-1】（2025·上海青浦·二模）已知：在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（）的图像交于、两点． (1)求一次函数的表达式； (2)求的面积． 【变式5-2】（2026·上海静安·二模）如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足点B在x轴负半轴上，已知点B，C关于原点对称． (1)当点A的横坐标是时，求的面积； (2)当，求直线的表达式． 【变式5-3】（2025·上海·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与y轴交于点C（0，2），已知的面积为6． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，的取值范围． 易错点6 反比例函数增减性的判断 错因剖析 概念混淆：误以为反比例函数 ， 就全体递增、 就全体递减，忽略分象限。 认知偏差：自变量一正一负，乱套性质比大小。 基础薄弱：不会画图辅助判断，纯靠死记公式容易记反。 【例6】（2026·上海崇明·二模）如果一个反比例函数的图像在它所在的每个象限内，的值随的值增大而减小，那么这个函数图像可能经过的点是（    ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】大小比较三步法 看：判断两个点的 正负，确定是否在同一象限； 判：同象限 → 用增减性比大小； 跨象限 → 正 正， 负 负，正数一定大于负数。 【知识链接】反比例函数： 1、，图象在一、三象限；在每个象限内， 随 的增大而减小。 2、，图象在二、四象限；在每个象限内， 随 的增大而增大。 变式迁移 【变式6-1】（2025·上海金山·二模）下列对反比例函数的图像的描述，正确的是（   ） A．经过 B．经过第一、三象限 C．在每个象限内，函数值随的增大而增大 D．关于轴对称 【变式6-2】（2026·天津和平·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 易错点7 一次函数、反比例函数图象交点的综合运用缺少几何观念 错因剖析 概念混淆：混淆“交点坐标”与“几何量”的关联：不清楚交点坐标可转化为几何中的点的坐标，无法将交点的横纵坐标与线段长度、图形面积等几何量结合，仅把交点当作“方程的解”，忽略其几何意义。 认知偏差：受“求交点就是解方程组”的固有思维影响，拿到交点综合题，仅能完成交点坐标求解，无法进一步拓展思路，不会结合几何图形的性质（如三角形面积公式、线段垂直平分线）解题。 基础薄弱：不熟练掌握三角形、四边形面积公式，不会通过点的坐标求线段长度（如坐标轴上两点间距离、平行于坐标轴的线段长度），无法将交点坐标转化为几何计算的已知条件。 【例7】（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系中（如图），正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如果将正比例函数的图像向下平移3个单位，得到的新函数的图像与反比例函数图像相交于点，求的余弦值． 避错秘籍 【防错指南】关联坐标与几何量，精准转化 牢记核心转化方法，避免脱节： 交点横坐标→平行于y轴的线段长度（绝对值）；交点纵坐标→平行于x轴的线段长度（绝对值）； 坐标轴上两点间距离：x轴上两点（）、（）距离为，y轴上两点（）、（）距离为； 利用交点坐标求图形面积：优先构造直角三角形、矩形，以坐标轴为直角边，结合面积公式计算，避免复杂计算。 数形结合，双向验证：通过代数计算求出几何量（如面积、线段长度）后，对照函数图象进行验证，确保几何图形构建正确、计算无误；同时可通过图象直观判断几何关系，辅助代数计算。 【知识链接】几何公式与方法： 线段长度：平行于坐标轴的线段，长度为对应坐标差的绝对值； 三角形面积：直角三角形面积=直角边乘积÷2；不规则三角形可通过补全法、分割法转化为直角三角形计算； 对称性质：反比例函数图象关于原点对称，若（）是两函数交点，则（）也一定是交点，可快速求解未知交点坐标。 与函数基础的关联：求两函数交点坐标，本质是解方程组（），交点个数由方程组的解的个数决定（Δ>0有两个交点，Δ=0有一个交点，Δ<0无交点），交点个数直接影响几何图形的构建。 变式迁移 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积． 【变式7-2】（2025·上海黄浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图像经过直线上的点． (1)求直线的表达式； (2)已知点在反比例函数的图像上，且，求点的坐标． 【变式7-3】如图1，已知点，，直线与反比例函数的图象与第一象限交于． (1)求k的值； (2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)新定义：如图2，在平面内，若三角形的一边等于另一边的3倍，则两边较长的那一边叫做麒麟边，两边夹角叫做麒麟角，三角形叫做麒麟三角形，若为麒麟三角形，为麒麟边，为麒麟角，A，B在反比例函数上，且点A横坐标为，直线交y轴于C，与y轴的截距为2，求n的值． 1. 一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 2. （2026·上海奉贤·二模）在函数的图像所在的每一个象限内，的值随的值增大而减小，那么这个函数图像可能经过的点是（  ） A． B． C． D． 3. （2025·上海徐汇·二模）如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 4. （2025·上海奉贤·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（   ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图像不经过第二象限 D．图像不经过第四象限 5. （2025·上海·模拟预测）一次函数的图像过点，且不等式的解集是．那么，原函数（    ）之后得到的新函数为正比例函数． A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位 6. （2026·上海金山·一模）在等边中，点分别在边上，将沿折叠，使得点与的重心重合，与交于点，延长交于点，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 7. （2026·上海青浦·二模）将直线沿轴向下平移2个单位后得到的直线是，则__________． 8. （2026·上海黄浦·二模）已知直线与坐标轴交于、两点，那么线段的长是______． 9. （2026·上海杨浦·二模）直线恒过定点___________． 10. （2025·上海杨浦·模拟预测）在直角三角形中，，是边上的中线，，，在上任取一点（不与点，重合）设面积为，长为，则关于的函数解析式和定义域为___________． 11. （2025·上海徐汇·二模）如图，矩形的两边分别在轴和轴的正半轴上，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，反比例函数经过点，若的对应点恰好落在对角线的中点，，则的值为___________． 12. （2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上一点，点是轴上一点，，将绕点旋转，点的对应点分别为．当四边形的面积等于8时，点的坐标是_______． 13. （2026·上海徐汇·二模）上海市居民自来水水费由供水费和污水处理费两部分组成，污水处理量由于损耗按照用水量的核定计算，污水处理费统一单价为2元/m3．小户型家庭供水费按年用水量分三档计费，收费标准如下表，每户每年应缴自来水水费（元）与用水量关系如图所示． 分类 第1档 第2档 第3档 用水量（m3） 不超过220 超过220不超过300的部分 超过300的部分 供水费单价（元/m3） 2.25 6.99 污水处理费（元/m3） 2.00 根据上述信息，解答下列问题： (1)第1档的自来水水费1m3的单价为_______元；图中点的纵坐标为________； (2)小华家去年的年用水量为250m3，共缴纳水费1065元．通过计算推出的值为________元； (3)已知小明家去年共缴水费2234元，求小明家去年的年用水量． 14. （2026·上海黄浦·二模）下图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y个计量单位与时间x分钟之间大致符合函数（，k为常数）． (1)求k的值； (2)如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么这种抗过敏药物隔多少时间需服用一次（结果精确到1小时）．（参考数据：，，） 15. （2026·上海虹口·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线经过顶点和边上的一点，，．设边与轴正半轴的夹角为，且． (1)求双曲线的表达式； (2)如果轴，求点的坐标． 16. 如图，在中，顶点的坐标是．轴，一次函数与反比例函数的图象都经过、两点． (1)求的值； (2)求平行四边形的面积； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $