2026年中考数学二轮复习 轴对称综合题（线段问题）解答题专题提升训练

**基本信息** 以轴对称性质为核心，系统整合全等证明、勾股计算、最短路径等方法，构建"性质应用-线段转化-综合求解"的逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |证明类|4题（如1(1)、2(1)）|对称性质证全等、中垂线性质应用|轴对称→线段/角相等→全等三角形判定| |计算类|5题（如1(2)(3)、3(3)）|勾股定理建方程、折叠边长转化|对称性质→线段关系→方程求解| |最值类|6题（如2(2)②、7(3)）|对称点化折为直、垂线段最短|轴对称→路径转化→两点之间线段最短|

2026年九年级数学中考二轮复习 轴对称综合题（线段问题）解答题专题提升训练 1.如图1，在矩形ABCD中，点M在BC上，连接DM,EF垂直平分DM分别交AB,CD 于点E,F,点A与点N关于EF对称，连接MN交AB于点G,连接DM,AN. D F D F M M G E B W 图1 图2 (I)求证：△FCM△MBG: (2)若AB=6,BC=4,求聚的值： (3)如图2，在(2)的条件下，MC=3,求AN的值. 2.四边形ABCD中，BD是AC的中垂线，DCIIAB. 图1 图2 (I)如图1，求证：四边形ABCD是菱形. (2)如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE,作△ABE与△ABE关于直线BE对称， AE交射线AC于点P,且BD=2,AC=4. ①当AE⊥AC时，求AE的长. ②求AP的最小值. 3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A(3,4),B(1,2),C(5,1). 试卷第1页，共3页 3 2 -5-4-3-2-1012345x (I)若PAx轴，且PA=5,则P点坐标为 (2)画出△ABC关于y轴对称的△AB:C1并写出点B1的坐标 (3)求△ABC的面积. (④)在x轴上有一点Q,使Q到B和C距离最短，标出Q点所在位置，保留作图痕迹 4.如图，已知等边△ABC,点P在线段BC上，连接AP,作点B关于AP的对称点M, 连接CM,在BA上取一点N使得BN=BP,连接MN交AP于点D,连接MP,NP. 图1 备用图 (I)求证：MP=NP. (2)设∠CAP=,求∠AND的大小（用含x的式子表示）. (3)用等式表示线段AD,DM,CM之间的数量关系，并说明理由 5.如图①，在锐角△ABC中，∠A=60°，点0是AB边上一点，以0为圆心，OA为半 径作圆弧交AC于点D,连结OD,作点C关于直线OD的对称点C,连结AC,DC,CC. 图① 图② (I)求证：△AOD是等边三角形： 试卷第1页，共3页 (2)当A0=AC时，求∠ACC的度数； (3)如图②，连结0C.若∠B=45,BC=3V6,当0C最小时，求△A0C的面积. 6.如图，将△ABC沿AC翻折得到△AEC,过点A作AP‖EC交BC于点P,点D是线段 AP上一点，连接BD,过点A作AFIBD交线段CE的延长线于点F. 图1 图2 (1)如图1，若∠ADB=110°，∠PCA=35°，求∠CAF的度数： (2)如图2，∠PAF的平分线交EC于点H,将线段AH绕着点H逆时针旋转90°后所在直线 与AF的延长线相交于点G ①若2（∠DBC-10°）=3∠CAH,求∠G+∠BCA的度数： ②若在线段AH上有一点K,AK=AH,点M是线段GH上一动点，点N是线段AG上一 动点，AH=3,GH=4,GA=5,请直接写出KM+MN的最小值 7.已知：如图1，△ABC是直角三角形，AB=AC=1,用四个与△ABC全等的三角形 拼成一个正方形DEFG,如图2. 3 G N● -2-10 E 图1 图2 图3 (I)正方形DEFG的面积是_，正方形DEFG的边长是_； (2)△ABC的斜边BC长=-： (3)根据上面的经验解决问题：直角坐标系中，M(1,1),N(-V2,V2),点P在x轴上， 则PM+PN的最小值是-，并在图中作出点P, 8.如图1，直角坐标系中，已知点B(-1,0),点C4,0),∠BAC=90°. 试卷第1页，共3页 图1 图2 (1)求0A的长： (2)如图2，将Rt△AOC沿AC翻折，O点落在第一象限E处，求E点坐标： (3)若Rt△AOB沿y轴上下滑动得到Rt△AO'B,连接AC、BC,求△ABC周长的最小 值，并说明理由 9.已知：△ABC中（如图1），D是BC边上一点，当器=器时，我们很容易通过作三角 形的高，准理得二=受。请你根摆以上结论解决下列问题： 如图2，在△ABC中，D是AB边上一点，且CD⊥AB,将△ACD沿直线AC翻折得到 △ACE,点D的对应点为E,AE、BC的延长线交于点F,AB=12,AF=10. D B 图1 图2 备用图 (1)若∠ABC=50°，∠AFB=70°，求∠EAC的度数； (2)设△ABF的面积为m,点P、M分别在线段AC、AF上. ①求PF+PM的最小值（用含m的代数式表示） ②已知m=11,器=号，当PF+PM取得最小值时，求四边形PCFM的面积. 10.如图1，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是边AD上的一点，且 AF=号AE,连接CE、EF 试卷第1页，共3页 E E B 图1 图2 图3 (1)求证：CE⊥EF; (2)如图2，将△AEF沿EF翻折，得到△GEF,其中，点G是点A的对应点. ①连接CG,求证：C、G、F三点在同一条直线上： ②如图3，连接BG,请直接写出线段BG与线段CE的数量关系： 11.在平面直角坐标系xOy中，己知矩形AOCB. B H EA EA G A 图1 图2 图3 (I)如图1，若点C(0,5),A(13,0),点D在AB边上，将△CBD沿CD翻折，点B恰好落 在OA边上的点E处， ①点E的坐标为： ;②线段DE的长为： (2)如图2，在(1)的前提下，P是y轴上的一个动点，若△CEP为等腰三角形，求点P 的坐标； (3)如图3，若点C(0,V3),∠A0B=30°，点F是BC边上的动点，过点F作0B的垂线 交直线OB于点H,交直线OA于点G,求OF+FG+GB的最小值 12.在△ABC中，∠BAC=110°，AC=AB,射线AD,AE的夹角为55°，过点B作 BF⊥AD于点F,直线BF交AE于点G,连接CG. 试卷第1页，共3页 B ① ② (1)如图①，射线AD,AE都在∠BAC的内部 ①设∠BAD=,则∠CAG=(用含有a的式子表示)： ②在直线BG上取一点B,使得FB=FB,则线段BG与图①中已有线段 的长度 相等 (2)如图②，射线AE在∠BAC的内部，射线AD在∠BAC的外部，其他条件不变，用等式表 示线段BF,BG,CG之间的数量关系，并证明 13.在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BC=2V3,点D为边BC上的一点，连 接AD,过点A作AE⊥AD,取AE=AD,连接BE,CE,CE与AB交于点F. D B D 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠CAD=15°，求△ABE的面积； (2)如图2，求证：DC=2BF; (3)如图3，若点D为直线BC上一点，过点E作EG⊥BC于点G,连接FG,BE.当 AE+2FG的值最小时，请直接写出BD的长， 14.如图，在△ABC中，∠B=90°，已知AB+BC=34,AC=26. A C (I)求△ABC的面积： (2)点M为BC的中点，P、Q分别为AB、AC上的动点，求MP+PQ的最小值. 试卷第1页，共3页 15.如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC,D为BC边上一点，连接AD. F A G D 图1 图2 B B D D 图3 备用图 (I)如图1，若∠BAC=90°，将AD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE,连接BE,若 AB⊥BE,BD=4,求四边形ABED的面积： (2)如图2，若∠BAC=90°，将AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AF,连接BF,若G 为BF中点，连接AG,求证：AG平分∠BAC: (3)如图3，若∠BAC=100°，BA=BD,点M、N分别在线段AD、AB上，且 AM=BN,连接BM、DN,当BM+DN取最小值时，点P是线段ND上的一个动点， 连接PA、PB、PC,请直接写出AP十PC取得最小值时，∠BPN的度数， 试卷第1页，共3页 《2026年九年级数学中考二轮复习轴对称综合题（线段问题）解答题专题提升训练》参考 答案 1.(1)见解析 2 9 【分析】(1)先证四边形AEFD与四边形NEFM关于EF对称，得到∠FMG=90°， ∠BMG+∠CMF=90°，又因为∠CFM+∠CMF=90°，所以∠BMG=∠CFM,结合 ∠B=∠C=90°，即可证明； (2)过点F作FH⊥AB于点H,根据EF垂直平分DM,易得∠DMC=∠DFE,再根据 AB‖CD,有∠DFE=∠FEH,得到∠DMC=∠FEH,证明△DCM∽△FHE,根据 对应边成比例，求出结果； (3)过点N作AB的垂线，垂足为I,设CF=x,在Rt△FCM中求出FC=星，再利用 △FCM△MBG,得出MG,BG;由△NIG∽△MBG,得到IN,IG,由 AI=AB-BG-IG,求出A,在Rt△AIN,根据勾股定理，即可求出AN, 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是矩形， .∠ADF=90°，∠B=∠C=90o :EF垂直平分DM, ·D,M关于EF对称， :AN关于EF对称， :四边形AEFD与四边形NEFM关于EF对称， :∠FMN=∠ADF=90°， :∠BMG+∠CMF=90°， '∠CFM+∠CMF=90°， :∠BMG=∠CFM, :△FCM∽△MBG (2)解：过点F作FH⊥AB于点H,如下图： 答案第1页，共2页 F M E G B 易证四边形BCFH为矩形，FH=BC=4, :EF垂直平分DM, :∠FDM十∠DFE=90°， :∠C=90°， ÷∠FDM+∠DMC=90°， ·∠DMC=∠DFE, :AB‖CD, :∠DFE=∠FEH, ·∠DMC=∠FEH, :△DCM∽△FHE, …殷=器==. (3)解：过点N作AB的垂线，垂足为I,如下图： D F M G B N 设CF=x,则DF=6-x, :EF垂直平分DM :FM=DF=6-x, :∠C=90°，CM=3 在Rt△FCM中，CF2+CM2=FM2 x2+32=(6-x)2 答案第1页，共2页 x=即FC=星 FM=6-=, :△FCMM△MBG, …器=器 :BM=BC-CM=1, MG=号， ÷BG=MG2-8M2-V()2-12=, :MN与DA关于EF对称， ÷MN=AD=BC=4, :NG=MN-MG=子， :∠NIG=∠B=90°，∠IGN=∠BGM, .△NIG△MBG, 器=品==子， IN=号BM=子，1G=BG=日×等=， AI=AB-BG-IG=6-寺-器=号， :在Rt△AN中，AN=A+IN=V(号)+(g)2=5 2.(1)见解析 ②05+2：②2+厘 【分析】(1)根据中垂线的性质可得BA=BC,DA=DC,根据等边对等角可得 ∠BAC=∠BCA,根据平行线性质得出∠DCA=∠BAC,进而可得∠DCA=∠BCA,证 明△OCB兰△OCD(ASA)得出CD=CB,即可得出BA=BC=DA=DC,根据菱 形的判定定理，即可得证； (2)①根据菱形的性质以及勾股定理求得AD,根据菱形的性质可得AC⊥BD,结合 AE⊥AC,可得AEIBD,结合轴对称的性质得出∠DBE=∠DEB,则DE=BD,进而 根据AE=AD+DE,即可求解； 答案第1页，共2页 ②过点B作BF⊥AD于点F,连接BP,根据勾股定理可得 0P=√BP2-OB2=√BP2-1,则当BP取得最小值时，AP取得最小值，可得当 BP⊥AE时，BP取得最小值，根据△ABE与△ABE关于直线BE对称，得出BP=BF ，进而根据等面积法求得BF的长度，即可求解 【详解】(I)证明：：BD是AC的中垂线， BA=BC,DA=DC,∠C0D=∠COB=90°， ∴∠BAC=∠BCA, DCI‖AB, .∠DCA=∠BAC, ·∠DCA=∠BCA, 在△OCB和△OCD中， ∠DCA=∠BCA 0C=0C ∠C0D=∠C0B=90。' .△OCB≌△OCD(ASA), :CD=CB, .BA=BC=DA=DC .四边形ABCD是菱形. (2)解：①如图，设AC,BD交于点O, 图2 :四边形ABCD是菱形，且BD=2,AC=4, :ACL BD,AO=AC=2,DO=DB=1, AD=VA02+B02=V22+12=V5, :AE⊥AC, :BDIAE, 答案第1页，共2页 ·∠DBE=∠AEB, :△ABE与△ABE关于直线BE对称， ·∠ABB=∠AEB, .∠DBE=∠DEB, DE=DB=2 .AE=AD+DE=5+2: ②如图，过点B作BF⊥AD于点F,连接BP, :AC⊥BD,B0=DB=1, ∠B0P=90°， :0P=VBP2-0B2=VBP2-1, AP=A0+0P=2+VBP2-1, ·当BP取得最小值时，AP取得最小值， ·当BP⊥AE时，BP取得最小值， :△ABE与△ABE关于直线BE对称， 此时BP=BF, :S△4BD=专S菱形ABD=支×AC×BD=2,AD=V5 5 5 8P=5, :AP的最小值为2+5)-12=2+雪 3.(1)(8,4)或(-24) (2)图见解析，(-1,2) (3)5 (④)见解析 【分析】(1)根据平行于x轴的点纵坐标相同求出P点纵坐标，再结合PA=5分情况讨论 答案第1页，共2页 求出P点横坐标，即可解题； (2)根据轴对称作图步骤作出△AB1C1,再结合图形写出点B1的坐标即可； (3)利用割补法求出△ABC的面积即可； (4)作B点关于x轴的对称点B,连接BC,结合轴对称性质和两点之间线段最短可知， BC与x轴交点即为点Q. 【详解】(1)解：：PAx轴，A(3,4), yp=4, :PA=5, ÷Xp=3+5=8或xp=3-5=-2, 则P点坐标为(8,4)或(-2,4)； 故答案为：(8,4)或(-2,4). (2)解：所作△AB1C1如图所示： B2 B -5-4-3-2-1012345 3 -5 由图知，点B1的坐标为（一1,2）； 故答案为：(-1,2) (3)解：△ABC的面积为： 3×4-青×2×2-青×1×4-号×2×3=12-2-2-3=5； (4)解：Q点所在位置如图所示： 答案第1页，共2页 B -5-4-3-2-10 12345x 2 01 【点晴】本题考查平行于x轴的点的坐标特点，轴对称作图，割补法求面积，最短路径作图， 解题的关键在于熟练掌握轴对称的性质， 4.(1)见解析 (2)∠AND=60°+ (3)DM=AD+CM,理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质等 知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形 (1)可推出△BPN是等边三角形，从而NP=PB,根据点B和点M关于AP对称得出 MP=BP,从而MP=NP; (2)连接PM,PN,可得出∠APB=∠CAP十∠ACB=a十60°，根据点B关于AP的 对称点M,得出∠APM=∠APB=+60°，PM=PN,可推出NP‖AC,从而 ∠APN=∠CAP=a,从而得出∠MPN=∠APM+∠APN=2a+60°，进而得出 ∠MNP=180°=60。-&，从而得出 ∠AND=180°-∠BNP-∠MNP=60o+a; (3)连接BD,在DB上截取DE=AD,连接EN,可证得△ADN兰△EDN,从而AN=EN, ∠DNE=∠AND=60°+，进而得出△PMC兰△NBE,从而BE=CM,从而得 出DM=BD=DE十BE=AD+CM. 【详解】(1)证明：连接PM,PN,如图所示： 答案第1页，共2页 D 图1 :△ABC是等边三角形， ∠B=60°， BN=BP, △BPN是等边三角形， :NP=PB, :点B和点M关于AP对称， :MP=BP, ∴MP=NP; (2)解：如图(1)，连接PM,PN, W 图1 :∠CAP=,∠ACB=60°， :∠APB=∠CAP+∠ACB=u+60°， 点B关于AP的对称点M, .∠APM=∠APB=+60°， PM=PN, .∠MNP=∠NMP, :∠CAB=∠BNP=60°， :NPI AC .∠APN=∠CAP=a, ∠MPN=∠APM+∠APN=2+60°， 答案第1页，共2页 :∠MNP=180P=60。-&, ∠AND=180o-∠BNP-∠MNP=60°+a: (3)解：DM=AD+CM,理由如下： 如图2，连接BD,在DB上截取DE=AD,连接EN, 图2 ∠BAP=∠BAC-∠CAP=60°-，∠AND=60°+， :∠MDP=∠ADN=180·-∠BAP-∠AND=60°， 点B关于AP的对称点M, ∠BDP=∠MDP=60°，BD=DM, ∠BDN=180°-∠MDP-∠BDP=60°， .∠BDN=∠ADN, :△ADN≌△EDN(SAS), AN=EN,∠DNE=∠AND=60°+， .∠BNE=180°-∠DNE-∠AND=60o-2&, AN=CP, CP=EN, ∠CPM=180°-∠APM-∠APB=60°-2， .∠CPM=∠BNE, MP=PB=BN. .△PMC≌△NBE(SAS), :BE=CM, :DM=BD=DE+BE=AD+CM. 5.(1)见详解 (2)∠ACC=90 (39△40c=V5 答案第1页，共2页 【分析】(1)结合有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形进行作答即可； (2)因为作点C关于直线OD的对称点C,得∠CTD=90°，∠DCC=∠DCC,根据等 边三角形的性质，∠AD0=60·,OA=AD,整理得∠DCC=∠DCC=30°，再证明 △ADC是等边三角形，则∠ACC=∠ACD+∠DCC=60°+30·=90，即可作答. (3)当0C⊥AB时，此时线段OC的长度最小（垂线段最短），线段0C的长度最小，运用 勾股定理得B0=C0=3W3,A0=3,在Rt△AON中，AN=专OA=,再结合三角 形面积公式进行列式计算，即可作答。 【详解】(1)解：：点O是AB边上一点，以0为圆心，OA为半径作圆弧交AC于点D,连 接OD, 0A=0D, ∠0AD=60°， ∴△AOD是等边三角形： (2)解：延长OD交CC于点T,如图所示： 0 图① :作点C关于直线OD的对称点C, .OT⊥CC,DC=CD, 即∠CTD=90,∠DCC=∠DCC, 由(1)得△A0D是等边三角形， .∠AD0=600,0A=AD 则∠CDT=∠AD0=60°， 故∠DCT=90°-600=300， ∠DCC=∠DCC=30°， .∠ADC=∠DCC+∠DCC=30°+30°=60°， AO=AC,OA=AD, :AC=AD, 答案第1页，共2页 :∠ADC=600, △ADC是等边三角形， ∴.∠ACD=600, ·∠ACC=∠ACD+∠DCC=60°+30°=90°： (3)解：依题意，连接OC,如图所示： 图② :作点C关于直线OD的对称点C, .0C=OC,∠D0C=∠D0C :点0是AB边上一点， ∴当OC⊥AB时，此时线段OC的长度最小（垂线段最短）， ∠B0C=90o :∠B=45°， .△BOC是等腰直角三角形， .B0=C0,B02+C02=BC2=54, .B02=C02=27, 解得B0=C0=3V3(负值已舍去) C0=3V5 在Rt△A0C中，∠AC0=90°-∠0AD=90°-600=30°， :A0=支AC,0C2=AC2-A02, 则27=4A02-A02=3A02, 解得A0=3(负值己舍去) 由(1)得△A0D是等边三角形， ∠A0D=60°， ∠D0C=180°-90°-60°=30°， 答案第1页，共2页 :∠D0C=∠DOC, ∴∠D0C=30o, 则∠A0N=∠A0D-∠D0C=60·-30°=30°， :∠0AD=60°， ∠0NA=180°-60°-30°=90° 在Rt△AON中，AN=号OA=, :S△4oc=0C×AN×克=35×号×=V5 【点晴】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，30度角的直角 三角形，三角形内角和性质，直角三角形的两个锐角互余，垂线段最短，正确掌握相关性质 内容是解题的关键。 6.(1)75 2①70，②号 【分析】(1)由平行线的性质得到∠PAC=∠ACE,由折叠的性质可得∠PCA=∠ACE, 等量代换得∠PAC=∠PCA,AF‖BD,根据平行线的性质可得∠PAF,从而根据角之间 的关系得到∠CAF=∠PAF-∠PAC: (2)①设∠CAH=m,∠PAC=∠PCA=n,则∠PAH=m十n,结合 2(∠DBC-10°)=3∠CAH,可得∠DBC=号m十10°，由三角形外角的性质可得 ∠APB=2n,∠ADB=∠APB+∠DBC=号m+2n十10°，根据平行线的性质得到 ∠PAP=∠ADB=m+2n+10°，再由角平分线的定义可得 ∠GAH=∠PAH=m+n=∠PAP=m+n+5°，则m=20°，最后根据旋转的性 质可得∠AHG=90°，利用直角三角形的两锐角互余，求得∠G,从而得到∠G十∠BCA的 度数； ②作点K关于直线GH的对称点T,连接TM,TN,TG,则当T、M、N三点共线，且 TN⊥AG时，TM+MN有最小值，即此时KM+MN有最小值，最小值为TN的长，利 用等面积法以及已知的线段长易求出TN的长，从而得解. 【详解】(1)解：：AP‖EC, ·∠PAC=∠ACE, 答案第1页，共2页 :将△ABC沿AC翻折得到△AEC, ·∠PCA=∠ACE, ·∠PAC=∠PCA=35°， :AF‖BD, ·∠PAF=∠ADB=110°， ÷∠CAF=∠PAF-∠PAC=110°-35°=75°； (2)解：)设∠CAH=m,∠PAC=∠PCA=n, :∠PAH=∠CAH+∠PAC=m+n, :2(∠DBC-10°)=3∠CAH, ∠DBC=∠CAH+10°=号m+10° :∠APB=∠PAC+∠PCA=2n, :∠ADB=∠APB+∠DBC=号m+2n+10°， :AF‖BD, :∠PAF=∠ADB=m+2n+10°， :∠PAF的平分线交EC于点H, ∴∠GAH=∠PAH=m+n=∠PAF=m+n+5°， “m=20°， s∠GAH=m+n=20o+n, 由旋转的性质可得∠AHG=90°， ÷∠G=90°-∠GAH=90°-20°-n=70°-n, :∠G+∠BCA=70°-n+n=70°； ②：AK=号AH,AH=3, .AK=2, :KH=AH-AK=1; 如图2所示，作点K关于直线GH的对称点T,连接TM,TN,TG, :KM=TM,TH=KH=1, :KM+MN=TM+MN, :当T、M、N三点共线，且TN⊥AG时，TM+MN有最小值，即此时KM+MN有最 答案第1页，共2页 小值，最小值为TN的长， AT=AH+HT=3+1=4,GHLAT, S△4GT=AG·TN=AT·GH, .3×5TN=克×4×4， TN=, ÷KM+MN的最小值为号. 图2 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质， 等边对等角，角平分线的性质，轴对称最短路径问题线的性质，熟知相关知识是解题的关键， 7.(①2,2 (2w2 (3)2+V2,图见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用对称点求最小值问题，根据已知得出P点位置是 解题关键， (1)利用直角三角形的面积求法以及正方形面积得出即可； (2)利用勾股定理得出斜边长即可： (3)作出M点关于x轴的对称点M,连接NM',与x轴交点即是P点，再构造直角三角形， 利用勾股定理得出MM的值，即可求解 【详解】(1)解：：△ABC是直角三角形，AB=AC=1, :△ABC的面积为：专×1×1=， :.用四个与△ABC全等的三角形拼成一个正方形DEFG面积是：4×专=2； :正方形DEFG的边长是：2， 答案第1页，共2页 故答案为：2V2. (2)解：：△ABC是直角三角形，AB=AC=1, :△ABC的斜边长为：AB2+AC2=V12+12=V2. 故答案为：V反 (3)解：如图所示：点P即为所求， M 图3 作出M点关于x轴的对称点M,连接NM',与x轴交点即是P点，过点N作NA⊥MM'于 点A, :M(1,1),N(-V2,2), AN=V2+1,AM'=2+1, ÷NM'=Aw2+AM2=V(W2+1)2+(VE+1)2=2+V2, PM+PN的最小值是：2+V2, 故答案为：2+V2. 8.(1)2 aE(得兽) (35+V85 【分析】(1)先判断出∠AB0=∠CAO,进而判断出△AOB∽△C0A,得出比例式， 代值计算即可得出结论； (2)先利用相似求出OF,进而求出OE,再判断出△AOB∽△EG0,得出比例式求出 答案第1页，共2页 OG,EG,即可得出结论： (3)先过点C作CL⊥x轴，作出点B关于直线CL的对称点D,进而得出点A,C,D在同 一条直线上时，△ABC的周长最小，最后计算即可得出结论. 【详解】(1)解：：点B(-1,0),点C4,0), :0B=1,0C=4, '∠BAC=90°， ·∠BA0+∠CA0=90°， :∠BA0十∠AB0=90°， ÷∠ABO=∠CAO, ·△A0B∽△C0A, ·架=器， ÷0A2=0B.0C=4, ÷0A=2; （2)解：如图2， 图2 由(1)知，0C=4,0A=2,0B=1, :AB=5,BC=5. 连接OE交AC于F， 由折叠知，0E=20F,AC⊥0E, ·∠0FC=90°=∠BAC, :∠OCF=∠BCA, ·△OCFM△BCA, =器， = 答案第1页，共2页 &0R=s, ÷0E=20F=号V5 :∠0FC=∠BAC=90°， :OF Il BA, ·∠COF=∠ABC, 过点E作EG⊥BC于G, ÷∠0GE=∠B0A=90°， ·△AOB△EG0, ·器=器=是， 品=成=装 :EG=曾，0G=, :得兽)： (3)如图3， B B ------D 图3 由(2)知，AB=V5, 由平移知，AB=AB=5, 过点C作CL⊥x轴， 作点B关于直线CL的对称点D,连接B'D交CL于L,则B'C=CD, IMABC=AB+AC+BC=V5+AC+BC=5+CD+AC. 要△AB'C的周长最小，则有CD+AC最小， 即：点A,C,D在同一条直线上时，CD+AC最小， 此时，CD+AC的最小值为AD, 答案第1页，共2页 由平移知，∠A0B=90°， :点D是直线CL的对称点， :∠0C=90°， :∠00C=90°， :四边形00LC是矩形， ·BD过点O, 由平移知，0A=2, 由对称得，DL=BL=5, :0D=9 在Rt△A0'D中，AD=V22+92=V⑧5， 即：l△4c最水=V5+V85. 【点晴】此题是三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，待 定系数法，平移的性质，折叠的性质，得出点A,C,D在同一条线上时，△ABC的周长 最小是解本题的关键. 9.(1)30° (20gm:②2 【分析】(1)由三角形内角和定理得∠BAF=60°，再根据折叠的性质即可求解； (2)①作点M关于AC的对称点N,则由翻折得点N在AB上，连接FNPN,可得 PM=PN,即得PF+PM=PF+PN≥FN,可知当点F、P、N三点共线且FN⊥AB时， PF+PM的值最小，即为垂线段FN的长，再利用S△4BF=AB·FN=m解答即可求解； ②当PF+PM取最小值时，FN⊥AB于点N,交AC于点P,PM⊥AF,由 二=号=号可得SAFc=是SaB=5,由3=号得AN=AM=4,即得BN=8, 即得到e=音=专，可得SAAN=S△ABr=号，设S△APwN=S△APM=X,由 -=器=号得SOFPN=多x,进而由ISAAPN十aAPN十SARPN=SAv列出方程求 出x即可求解； 本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，角平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关 键 答案第1页，共2页 【详解】(1)解：：∠ABC=50°，∠AFB=70°， :∠BAF=180°-∠ABC-∠AFB=60°， :△ACD沿直线AC翻折得到△ACE,点D的对应点为E, ·∠EAC=∠BAF=支X60°=30°： (2)解：①如图2，作点M关于AC的对称点N,则由翻折得点N在AB上，连接FN、PN, 则PM=PN, M D B 图2 .PF+PM=PF+PN≥FN, .当点F、P、N三点共线且FN⊥AB时，PF+PM的值最小，即为垂线段FN的长， 如图3，FN⊥AB于点N,交AC于点P,PM⊥AF, 图3 :S△4BF=AB,FN=m, :专×12×FN=m, 解得FN=言m,此时PF+PM=FN=言m, :PF+PM的最小值为言m: ②如图4，当PF+PM取最小值时，FN⊥AB于点N,交AC于点P,PM⊥AF, B 图4 :AB=12,AF=10,AC平分∠BAF, 答案第1页，共2页 :S△4BF=m=11, 5 :S△4Fc=S△ABF=5, :器=， AM=AF=号×10=4， ÷AN=AM=4, ÷BN=12-4=8, …℃=青= S△4Fw=青S△4BR=号， 由折叠得S△4PN=S△APM, 设S△4PN=S△APM=X, :器=器= ·S△FPw=x, :S△APN+S△APW+S△FPN=S△4FwN, 得x+x+x=号， “X=器， S四边聊0gw=5-=界. 10.(1)见解析； (2)①见解析；②BG=号CE 【分析】(1)设AF=a,根据正方形的性质，点E是AB的中点，AF=专AE,在△AEF ,△EBC△FCD中应用勾股定理，得到FC2=EF2+EC2=25a2,即可得证， (2)①根据翻折的性质，得到△AEF兰△GEF,通过△GCE兰△BCE(SAS),得 到∠EGC=∠B=90°，即可得证，②由BE=EG=2a,BC=GC=4a,EC=25a, ∠EGC=∠B=90·,得到S四边形EBCG=S△EBc+S△EGc=8a己，根据翻折的性质得到 GB⊥EC,结合S四边形Bc6=EC·BG=8a2,求出BG=号V5a,即可求解. 本题考查了正方形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，翻折的性质，全等三角形的性质与 答案第1页，共2页 判定，解题的关键是：熟练掌握全等三角形与勾股定理. 【详解】(1)解：连接FC, A D B :正方形ABCD,点E是AB的中点，AF=专AB, .AF=a,AE=2a,AB=AD=BC=CD=4a,FD=AD-AF=4a-a=3a :EF2=AF2+AB2=a2+(2a)2=5a2,EC2=BE2+BC2=(2a)2+(4a)2=20a2 ，FC2=FD2+DC2=(3a)2+(4a)2=25a2, .FC2=EF2+EC2=25a2, .CE⊥EF, (2)解：①根据翻折的性质，得到△AEF兰△GEF, AE=GE,∠AEF=∠GEF,∠A=∠EFG, 由(1)得AE=BE,∠A=∠B=90°，∠CEF=90°， GE=BE,∠GEF+∠GEC=90°， ∠EGF=∠A=90°， .∠GEC=∠BEC, :△GCE≌△BCE(SAS), ∠EGC=∠B=90°， ∠CGF=∠EGF+∠EGC=90°+90°=180°， C、G、F三点在同一条直线上， ②由(1)(2)得BB=EG=2a,BC=GC=4a,EC=2V5a,∠BGC=∠B=90°， S四边形EBcG=S△BBc+S△EGc=号BE·BC+专EG.GC=青×2a×4a+克×2a×4a=8a2, 答案第1页，共2页 △GCE≌△BCE(SAS), .GB⊥EC, S四边形EBc6=ECBG=专·25a·BG=8a2,解得：BG=昌V5a, :BG=号V5a=青×2W5a=cE, 11.(1)①(12,0)；②2.6 (2)点P的坐标为(0，-5)或(0，-8)或(0,18)或(0，-11.9) (3)6 【分析】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，轴对称的性质： (1)①根据矩形的性质和折叠得到BD=DE,BC=CE=13,∠ABC=∠CED=90° ，则0E=VCE2-0C=132-52=12,即可求出E(12,0); ②设BD=DE=x,则AD=AB-BD=5-x,在Rt△ADE中利用勾股定理列方程求 解即可； (3)作C(O,V3)关于BC的对称点M,作B关于x轴的对称点N,连接FM,GN,MN, OC=CM=3,AB=AN=3.FM=OF.GB=GN. OF+FG+GB=MF+FG+GN≥MN,当G、F、H都在线段MN上时， OF+FG+GB=MN最小，此时证明△MOH≌△NBH(AAS),得到 OH=BH=OB=V,HM=HN,利用勾股定理求出HM=HN=3即可. 【详解】(1)解：①：矩形A0CB,C(0,5),A(13,0), 0C=AB=5,BC=0A=13,∠ABC=∠BA0=90°， :将△CBD沿CD翻折，点B恰好落在OA边上的点E处， ∴.BD=DE,BC=CE=13,∠ABC=∠CED=90°， ∴0E=VCB2-0C=V132-52=12, AE=0A-0E=13-12=1,E(12,0), 故答案为：（12,0)： ②设BD=DE=X,则AD=AB-BD=5-X, :Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2, (5-x)2+12=x2,解得x=2.6, 答案第1页，共2页 DE=x=2.6, 故答案为：2.6； (2)解：在(1)的前提下，E(12,0),C(0,5),CE=13, 设P(0,m), PB2=122+m2,Pc2=(m-5)2, :△CEP为等腰三角形， .当CE=PE时，CE2=PE2, 即122+m2=132, 解得m=±5，此时P(0,-5): 当CE=PC时，CE2=PC2, 即(m-5)2=132, 解得m=18或m=-8, 此时P(0,-8)或(0,18)： 当PC=PE时，CP2=PE2, 即122+m2=(m-5)2, 解得m=-11.9, 此时P(0,-11.9): 综上所述，若△CEP为等腰三角形，点P的坐标为(0，-5)或(0，-8)或(0,18)或 (0-11.9): (3)解：：矩形A0CB,点C(0V5),∠A0B=30°， :0C=AB=V3,0B=20C=2N3,∠A0B=∠0BC=30°，ABIOC, 作C(ON3)关于BC的对称点M,作B关于x轴的对称点N,连接FM,GN,MN, 答案第1页，共2页 分 H ⊙ 图3 .0C=CM=3,AB=AN=3,FM=OF,GB=GN, :.OF+FG+GB=MF+FG+GNZ MN, .当G、F、H都在线段MN上时，OF+FG+GB=MN最小， :过点F作OB的垂线交直线OB于点H, .MN⊥OB, ABlOC, ∴∠M=N, :OM=BN=2W3,∠MH0=∠NHB, △MOH≌△NBH(AAS), :.0H=BH=0B=3,HM=HN, HM=HN=VOM2-0H=V（2N5)-(5)=3, :MN=HM+HN=6, OF+FG+GB的最小值为6 12.(1)①55°-0： ②AC; (2)CG=BG+2BF,证明见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅 助线构造全等三角形， (2)①根据角的和与差可得∠CAG=180°-∠BAD-∠GAD,把∠BAD和∠GAD的 答案第1页，共2页 度数代入计算即可： ②根据轴对称的性质可得AB=AB,根据AB=AC,等量代换可得AC=AB; (2)在GF的延长线上截取FP=FB,连接AP,可证∠PAG=∠CAG,利用SAS可证 △CAG≌△PAG,根据全等三角形的性质可证CG=BG,根据GP=GB+2BF,可证 CG=GB+2BF. 【详解】(1)解：①：∠BAD+∠DAE+∠CAG=∠BAC=110°， ÷∠CAG=180°-∠BAD-∠GAD=180°--55°=55°-x, 故答案为：55°一： ②如下图所示，连接AB, :AD⊥BG,FB=FB, ·AB=AB, 又：AB=AC, ·AB=AC, G B 故答案为：AC; (2)解：CG=GB+2BF, 证明：如下图所示，在GF的延长线上截取FP=FB,连接AP, 则有AB=AP,∠BAF=∠PAF, 又：AC=AB, ·AP=AC, 设∠BAF=∠PAF=F, 则∠BAG=∠DAG-∠BAF=55·-B, ·∠PAG=∠PAD+∠BAD+∠BAG=55°+B, 又：∠BAC=110°， ·∠CAG=∠BAC+∠BAF-∠DAG=55°+B, ·∠PAG=∠CAG, 答案第1页，共2页 AG-AG 在△CAG和△PAG中， ∠PAG=∠CAG AP-AC ·△CAG≌△PAG, ·CG=BG, 又：GP=GB+BF+BP, GP=GB+2BF, ·CG=GB+2BF E 13.(1)6 (2)见解析 629 【分析】(1)根据等腰直角三角形可得AB=BC=2V3,由题意可得∠BAD=30°，由 含30°角的直角三角形的性质可得BD=2,AD=AE=4,由过点A作AE⊥AD,取 AE=AD,可得∠EAB=60°，如图所示，过点E作EM⊥AB于点M,由含30°角的直 角三角形的性质可得EM=2√3，由此即可求解； (2)根据题意可证Rt△EAM≌Rt△ADB(AAS),得到AM=DB,EM=AB,再证 明△EMF兰△CBF(AAS),得到MF=BF,由此即求解； (3)如图所示，过点E作EN⊥AB于点N,得到四边形BNEG是矩形，BG=EN,同理 (2)的证明方法可得AB是CG的垂直平分线，则AE+2FG=AE+CE,如图所示，作点 A关于直线GE的对称点A',AA与GE交于点Q,连接CA,交EG于点E,交AB于点F, 则AQ=AQ=GB=CB,AAI‖BC,可证△AEQ兰△CBF(ASA),得到AE=CF ，则AE=AE=EF=CF,所以EH是AF的中线，即AH=HF=FB,则有 AH=专AB=25,由此即可求解。 【详解】(1)解：△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=2W3, 答案第1页，共2页 ∠BAC=∠BCA=45°， 当∠CAD=15°时，∠BAD=∠BAC-∠CAD=45°-15°=30°， 在Rt△ABD中，AD=2BD, AD2=BD2+AB2,即(2BD)2=BD2+(25)月， 解得，BD=2(负值舍去)， ∴AD=4, :过点A作AE⊥AD,取AE=AD, ·AD=AE=4,∠EAB=∠EAD-∠BAD=90°-30°=60°， 如图所示，过点E作EM⊥AB于点M, 日M F h B .∠AEM=30°， :.AM=AE=2, EM=VAE2-AM7=42-22=2W5, ∴S△4BE=AB,EM=克×2V3×2V5=6: (2)证明：：∠BAD十∠BDA=90°，∠BAD十∠BAE=90°， ∠EAM=∠ADB, 在Rt△EAM和Rt△ADB中， ∠EAM=∠ADB ∠EMA=∠ABD=90· EA-AD Rt△EAM≌Rt△ADB(AAS), :AM=DB,EM=AB, AB=BC, ∴.EM=CB,且AB-AM=BC-BD,即BM=CD, 在△EMF和△CBF中， 答案第1页，共2页 ∠EMF=∠CBF=90 ∠EFM=∠CFB EM=CB :△EMF≌△CBF(AAS), :MF=BF, :BM=2BF, :DC=2BF; (3)解：如图所示，过点E作EN⊥AB于点N, F G B D ∠EGB=∠GBF=∠BNE=90o, .四边形BNEG是矩形， :BG=EN, .点E在直线GE上运动， 同理(2)的证明方法可得△ENF兰△CBF,EN=CB,EF=CF, ∴BG=BC,且AB⊥BC, AB是CG的垂直平分线， :.GF=CF, .GF=CF=EF,即2FG=CE, .AE+2FG=AE+CE, 如图所示，作点A关于直线GE的对称点A,AA与GE交于点Q,连接CA,交EG于点E, 交AB于点F,则AQ=AQ=GB=CB,AA‖BC, A's5---- B D ·AE=AE,AE十2FG=AE+EC=AC,此时AE+2FG的值最小， 答案第1页，共2页 由上述证明可得：AE=AE=AD,AH=BD,BF=FH,GF=CF=EF, 在△AEQ和△CBF中， |∠AQE=∠CBF=90 AQ=CB ∠A=∠BCF .△AEQ≌△CBF(ASA), :AE=CF, .AE=AE=EF=CF, 又：EH⊥AF, EH是AF的中线，即AH=HF=FB, :AH=专AB=25, BD=A期=29 【点晴】本题主要考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的 判定和性质，轴对称最短路径的计算，矩形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识的综合 运用，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一，轴对称最短路径的计算方法是 解题的关键， 14.(1)120 2 【分析】(1)把AB+BC=34,AC=26两边平方，运用完全平方公式变形，根据三角形 面积公式求解即可； (2)可知AB,BC是方程x2-34x+240=0的二根，X1=24,X2=10,设点M关于 AB的对称点为点N,过点N作ND⊥AC于点D,连接AN,PN,当AB=24,BC=10时， 可得CN=15,根据S△4NC=ACDN=CN·AB,得ND=谔，得PM+PQ的最 小值为；当AB=10,BC=24时，只有点P,Q与点A重合时，PM+PQ取得最小 值.为AM=2V61,<2V61,即得. 【详解】(1)解：：在△ABC中，∠B=90°，AB+BC=34,AC=26, :.(AB+BC)2=AB2+2AB·BC+BC2=342=1156, AB2+BC2=AC=262=676, 答案第1页，共2页 :AB·BC=115667=240, S△4Bc=3AB·BC=120. (2)解：由(1)知，AB·BC=240, :AB+BC=34, .AB,BC是方程x2-34x+240=0的二根， X1=24,X2=10, 当AB=24,BC=10时， 设点M关于AB的对称点为点N,过点N作ND⊥AC于点D,连接AN,PN, M是BC中点， :BM=专BC=5, :BN=BM=5, CN=BC+BN=15, :S△4Nc=支AC·DN=专CN:AB, DN=腭， :PM+PQ=PN+PQ≥DN, :当点P,Q在CN上时，PM+PQ取得最小值，最小值为； 当AB=10,BC=24时，点D不在边AC上， 只有点P,Q与点A重合时，PM+PQ取得最小值.为AM=VAB2+BM2=2W61, :9<261, :PM+PQ的最小值为 B M B M 【点晴】本题主要考查了直角三角形综合，熟练掌握勾股定理，完全平方公式变形求值，三 答案第1页，共2页 角形面积公式，轴对称路径最短，面积法求三角形高，分类讨论，是解题的关键， 15.(1)8 (2)见解析 (3)35· 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判断与性质、线段 和的最小值等知识点，正确添加辅助线、构造全等三角形成为解题的关键 (1)如图：过点D作DH1BC交BA的延长线于点H,利用等腰三角形性质和旋转变换的 性质可证得△DBE≌△DHA(SAS),再利用 S四边形ABED=S△ABD十S△DBE=S△ABD+S△DHA=S△BDH即可解答； (2)如图：延长BA至L,使AL=AB,连接FL,先证得△AFL兰△ADC(SAS)得出 ∠ALF=∠ACD=45°，再运用三角形中位线定理推出AGFL,根据平行线的性质得出 ∠ALF=∠BAG=45°，进而完成解答： (3)如图：过点B作BTAD,使BT=AB,连接TN,DT,可证得 △BTN≌△ABM(SAS),得出TN=BM,由BM+DN=TN+DN≥DT,得出 当D,N,T三点共线时，BM+DN=DT为最小值，点P是线段ND上的一个动点，作点 A关于直线ND的对称点A,连接CA交线段DN于点P,则AP+PC=PA+PC=AC为 最小值，推出点A在BC上，点P与点D重合即可解答. 【详解】(I)解：如图：过点D作DH⊥BC交BA的延长线于点H, E △ABC为等腰三角形，AB=AC,∠BAC=90°， .∠ABC=45°， '∠BDH=90°， ∴△BDH是等腰直角三角形， BD=HD,H=45°， 由旋转得DE=DA,∠ADB十∠BDE=90°， 答案第1页，共2页 :∠ADB+∠ADH=90°， ∠BDE=∠HDA, 在△DBE和△DHA中， DH=DB ∠HDA=∠BDE DA=DE .△DBE≌△DHA(SAS), ∴S四边形ABED=S△4BD十S△DBE =S△ABD+S△DHA -SABDH =BD·DH =号×4×4 =8. (2)解：如图：延长BA至L,使AL=AB,连接FL, y G D AB=AC, .AL=AC, :∠BAC=90°， .∠CAL=90°，∠ABC=∠ACB=45°， .∠CAF+∠FAL=90o, 由旋转得：AF=AD,∠DAF=90°， ∠CAD+∠CAF=90o, ∴.∠FAL=∠DAC, 在△AFL和△ADC中， 答案第1页，共2页 AL=AC ∠FAL=∠DAC AF-AD △AFL≌△ADC(SAS), ∠ALF=∠ACD=45°， :点A、G分别是BL、BF的中点， :AGIFL ∴∠BAG=∠ALF=45°， .∠CAG=∠BAC-∠BAG=90°-45°=45°， .∠BAG=∠CAG, AG平分∠BAC (3)解：如图：过点B作BTAD,使BT=AB,连接TN,DT,则∠TBN=∠BAM, B D 在△BTN和△ABM中， BT=AB ∠TBN=∠BAM BN-AM △BTN≌△ABM(SAS), :TN=BM, .BM+DN=TN+DN≥DT, 当D,N,T三点共线时，BM+DN=DT为最小值； 如图4，点P是线段ND上的一个动点，作点A关于直线ND的对称点A,连接CA交线段 DN于点P,则PA=PA, M B A D(P) ·AP+PC=PA+PC=AC为最小值， 答案第1页，共2页 :∠BAC=100°，AB=AC, :∠ABC=3(180°-∠BAC)=40°， AB=BD, :∠BAD=∠BDA=∠(180°-∠ABC)=70°， :∠ABT=∠BAD=70°， ∠DBT=110°， :BT=AB=BD, :∠BDT=克(180°-∠DBT)=35°， ∠ADT=∠BDA-∠BDT=70°-35°=35°， .∠ADT=∠BDT, :点A在BC上，点P与点D重合， ∠BPN=∠BDN=35o. 答案第1页，共2页