专题06定义.命题.证明易错必刷题型专项训练(13大题型共计43道题)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题06定义.命题.证明易错必刷题型专项训练 本专题汇总定义.命题.证明全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.判断是否是命题 题型02.写出命题的题设与结论 题型03.判断命题真假 题型04.举例说明假(真)命题 题型05.写出命题的逆命题 题型06.判断是否为互逆命题 题型07.代数问题证明 题型08.写出命题的已知.求证及证明过程 题型09.已知证明过程填写理论依据 题型10.以几何为背景的推理与论证 题型11.以代数为背景的推理与论证 题型12.定理与证明 题型13.互逆定理 易错必刷题型01.判断是否是命题 典题特征：给出若干语句，判断哪些是命题；区分陈述句、疑问句、祈使句与命题。 易错点：把疑问句、感叹句、祈使句当成命题；分不清“有判断”和“有真假”的关系。 1．下列语句是命题的是（   ） A．画一条线段 B．对顶角相等 C．过点P作直线l的垂线 D．今天天气好吗？ 【答案】B 【分析】命题的定义为：判断一件事情的语句叫做命题．根据定义判断语句是否对一件事情作出判断即可得到结果． 【详解】解：选项A、画一条线段是作图操作，没有对任何事情作出判断，不是命题． 选项B、对顶角相等，对对顶角的大小关系作出了明确判断，符合命题的定义． 选项C、过点作直线的垂线是作图操作，没有对任何事情作出判断，不是命题． 选项D、今天天气好吗？是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题． 2．下列语句中：①墙是白色的；②2加3等于5；③不是负数；④化简，其中不是命题的是____________． 【答案】④ 【详解】解：根据命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题， ①对墙的颜色作出判断，是命题； ②对的运算结果作出判断，是命题； ③对的取值性质作出判断，是命题； ④仅为化简操作的指令，未对任何事情作出判断，不是命题． 3．下列选项是命题的是（    ） A．作直线 B．今天的天气好吗？ C．连接、两点 D．同角的余角相等 【答案】D 【分析】根据命题的定义对各选项进行判断. 【详解】解：A、作线段为描述性语言，不是命题； B、今天的天气好吗？语句为疑问句，不是命题； C、连接、两点为描述性语言，不是命题； D、同角的余角相等，是命题， 故选：D. 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 4．下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？ (1)两点之间，线段最短． (2)如果，那么是线段的中点． (3)一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？ 【答案】(1)是命题 (2)是命题 (3)不是命题 【分析】本题考查了命题的定义，即能判断真假的陈述句；解题的关键是准确判断语句是否能判断真假；易错点是对条件和结论不明确的命题判断失误，例如错误地将疑问句或无法确定真假的语句误判为命题；依据命题是能判断真假的陈述句这一定义，逐一分析各语句是否符合定义，若语句是陈述句且可判断真假（真或假），则是命题；否则不是命题． 【详解】（1）语句“两点之间，线段最短”是一个陈述句，在几何中这是一个公理，可判断为真，因此是真命题． （2）语句“如果，那么是线段的中点”是一个陈述句，但该结论不一定成立，例如当点不共线时，但不是线段的中点，因此可判断为假，是假命题． （3）语句“一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？”是一个疑问句，无法判断真假，因此不是命题． 易错必刷题型02.写出命题的题设与结论 典题特征：给出命题，把它改写成“如果…那么…”的形式，再分别写出题设和结论。 易错点：改写时偷换概念，把条件或结论写错；省略了题设的命题找不准条件。 5．将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____________，那么_____________． 【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等 【详解】解：将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 6．对命题“同位角相等”的描述正确的是（    ） A．题设：两个角是同旁内角 B．结论：同位角相等 C．是真命题 D．不是定理 【答案】D 【分析】先将命题改写为“如果那么”的形式，明确题设与结论，再结合平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：将命题“同位角相等”改写为“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”由此可得题设为“两个角是同位角”，结论为“这两个角相等” ∵只有两直线平行时，同位角才相等，原命题未限定平行条件，因此原命题是假命题， 又∵定理是经过证明的真命题，原命题为假命题，因此它不是定理，再逐项判断选项： 、题设应为两个角是同位角，本选项错误； 、结论应为“这两个角相等”，本选项错误； 、原命题是假命题，本选项错误； 、原命题是假命题，因此不是定理，本选项正确． 7．将命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果________，那么________． 【答案】 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论，由此即可得解． 【详解】解：将命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 8．如图，有下列三个条件：①，②，③． (1)从这三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论组成命题．在保证该命题为真命题的情况下，你选择的条件是　　　，结论是　　　； (2)请写出（1）中你组成的命题的证明过程． 【答案】(1)①②，③；或①③，②；或②③，① (2)证明过程见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．解题时一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （1）三个命题分别是：已知①②，求证：③；已知①③，求证：②；已知②③，求证：①； （2）命题一证明：根据得到，接着得到即可证明；命题二证明：根据得到，接着由得到即可证明；命题三证明：根据得到，接着得到即可证明． 【详解】（1）解：命题一：已知①②，求证：③； 命题二：已知①③，求证：②； 命题三：已知②③，求证：①； （2）命题一：已知①②，求证：③ 证明：， ， ． ， ， ， ； 命题二：已知①③，求证：② 证明：， ， ． ， ， ， ； 命题三：已知②③，求证：① 证明：， ， ． ， ， ， ． 易错必刷题型03.判断命题真假 典题特征：给出命题，判断是真命题还是假命题。 易错点：凭直觉判断真假，忽略反例；把生活常识当成数学命题的依据。 9．命题“同位角相等，两直线平行”是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】根据平行线的判定定理，直接判断所给命题的真假即可． 【详解】解：“同位角相等，两直线平行”是平行线判定的基本定理，内容正确， 因此该命题是真命题． 10．下列四个命题中，是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．有且只有一条直线垂直于已知直线 C．平行于同一条直线的两条直线也互相平行 D．如果两个角不相等，那么这两个角也可能是对顶角 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，垂直的性质，平行公理的推论和对顶角的性质，逐一判断各命题即可. 【详解】解：对于A，∵只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等， ∴A是假命题； 对于B，∵过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，原命题没有限定条件，一条已知直线有无数条垂线， ∴B是假命题； 对于C，∵平行于同一条直线的两条直线互相平行是平行公理的推论，是真命题， ∴C是真命题； 对于D，∵对顶角一定相等，不相等的两个角一定不是对顶角， ∴D是假命题. 11．下列命题：①不相交的两条直线平行；②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；③垂直于同一条直线的两直线互相垂直；④同旁内角互补．其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据平面内直线的位置关系 平行公理 平行线的性质，逐一判断每个命题的真假，统计真命题个数即可． 【详解】解：①“不相交的两条直线平行”是假命题，该结论缺少“同一平面内”的前提，不在同一平面内的不相交直线不一定平行； ②“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”，符合平行公理，是真命题； ③“垂直于同一条直线的两直线互相垂直”是假命题，同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ④“同旁内角互补”是假命题，该结论缺少“两直线平行”的前提，只有两直线平行时，同旁内角才互补； 综上，真命题只有1个． 12．回答以下问题 (1)如图，点A、B、C、D在一条直线上，填写下列空格： ∵（已知）， ∴ （ ）． ∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）． (2)说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】(1)1；两直线平行，内错角相等；1；等量代换；；；内错角相等，两直线平行 (2)两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】（1）根据平行线的性质，得出，证明，根据平行线的判定，得出答案即可； （2）根据互逆命题的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）解：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行” 是互逆的真命题． 易错必刷题型04.举例说明假(真)命题 典题特征：给出假命题，举出反例证明它是假命题；或对真命题说明理由。 易错点：反例不符合题设条件；举的例子既不满足题设也不满足结论，无法说明命题为假。 13．下列命题是假命题的是（   ） A．平面内过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 B．垂线段最短 C．同位角相等 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【分析】本题考查真假命题的判断，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，根据相关基本性质逐一判断即可. 【详解】解： A选项 平面内过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，符合平行线基本性质，是真命题； B选项 垂线段最短，符合垂线的性质，是真命题； C选项 只有两直线平行时，同位角才相等，原命题缺少前提条件，结论不成立，是假命题； D选项 两点之间，线段最短，符合线段的基本性质，是真命题； 14．命题“如果，那么”是________命题． 【答案】假 【分析】判断命题真假时，若能找到满足命题题设但不满足命题结论的反例，即可判定该命题为假命题． 【详解】解: 举反例验证如下： 令，， 此时满足条件， 计算得，， 可得，不满足， 因此原命题是假命题． 15．已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（    ） 甲同学：“该命题是真命题．” 乙同学：“该命题的结论是．” 丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．” A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据命题的结构和真假命题的定义，依次判断三位同学的说法，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：∵当，时，满足，但， ∴原命题是假命题，甲同学判断错误． “若题设，则结论”是命题的标准形式，该命题的结论为， ∴乙同学判断正确． 添加条件都大于零后，命题变为“若且，则”， ∵两个正数的平方相等，正数本身必然相等， ∴该命题是真命题，丙同学判断正确． 综上，正确的判断共有个． 16．我们用符号表示一个两位数（其中a、b分别表示十位、个位上数字），即，类似的，我们用符号表示一个三位数．请根据以上材料，解答下列问题： (1)命题：若计算的结果的个位数字为4，则．请举反例说明它是个假命题； (2)若a、b、c为三个连续整数，试证明：能被13整除． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查举反例说明假命题，列代数式，数的整除，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据反例满足命题题设，但不满足结论，举例即可； （2）设，整理得到，即可证明能被13整除． 【详解】（1）解：，满足的结果的个位数字为4，但， 若计算的结果的个位数字为4，则为假命题．（例子不唯一，个位数字为8的两位数均可）； （2）证明：a、b、c为三个连续整数， 设， 则 ， ， 能被13整除． 易错必刷题型05.写出命题的逆命题 典题特征：给出命题，交换题设和结论写出它的逆命题。 易错点：交换时只换位置不改写句子，导致逆命题不通顺；把命题里的“若…则…”关系搞错，写反条件和结论。 17．“等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】根据互逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题 【详解】解：将原命题改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等”， 其中题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“这个三角形的两个底角相等”， 互换题设和结论后，得到逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 18．下列各命题的逆命题不成立的是（  ） A．同位角相等，两直线平行 B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 C．对顶角相等 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查的是逆命题．首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【详解】解：A、逆命题是两直线平行，同位角相等，成立，本选项不符合题意； B、逆命题是如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等，成立，本选项不符合题意； C、逆命题是相等的角是对顶角，不成立，本选项符合题意； D、逆命题是如果，那么，成立，本选项不符合题意； 故选：C． 19．下列说法： ①一个数的平方根是它本身，则这个数是0； ②过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④对顶角相等的逆命题是真命题． 其中正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查平方根概念垂线性质平行线性质及逆命题真假判断，逐一分析每个说法即可得到正确个数． 【详解】解：①一个数的平方根是它本身，则这个数是0，∴①正确． ②只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，题目未说明同一平面，∴ ②错误． ③只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，题目未说明两直线平行，∴③错误． ④“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，∵相等的角不一定是对顶角，例如两个直角相等但不一定是对顶角，∴逆命题是假命题，④错误． 综上，正确的说法只有个，故选A． 20．说出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假． (1)两个全等三角形的面积相等． (2)如果，那么，． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）其逆命题是如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等. 显然是假命题． （2）逆命题是如果，，那么，是真命题． 本题考查了逆命题，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键． 【详解】（1）逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等． 判断：逆命题是假命题． （2）逆命题：如果，，那么． 判断：逆命题是真命题． 易错必刷题型06.判断是否为互逆命题 典题特征：给出两个命题，判断它们是否互为逆命题。 易错点：只看文字相似，不检查是否是题设和结论的交换；忽略命题的条件和结论的对应关系。 21．题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 【答案】 互逆命题 逆命题 【解析】略 22．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 23．（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断，则利用平行线的传递性得到，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 易错必刷题型07.代数问题证明 典题特征：给出代数结论，通过代数运算、性质推导证明结论成立。 易错点：证明过程跳步，关键步骤缺失；用特殊值代替一般性证明；逻辑顺序颠倒，循环论证。 24．证明：两个奇数之和是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查证明，设两个奇数分别为，，其中，为整数，进而得到，即可得证． 【详解】证明：设两个奇数分别为，，其中，为整数，则 ． 因为，，都为整数， 所以为整数． 所以是偶数． 所以两个奇数之和是偶数． 25．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查不等式的性质，命题的判定，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题； （3）设这三个自然数分别是，，，其中，将这三个自然数求和即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性）； 故答案为：，； （2）证明：， 不等式两边同加上，得， 不等式两边同时除以2，得； （3）解：真命题， 证明：设这三个自然数分别是，，，其中， ， 能被3整除， 这三个自然数的和能被3整除． 易错必刷题型08.写出命题的已知.求证及证明过程 典题特征：给出几何或代数命题，按“已知-求证-证明”三步完整书写。 易错点：已知条件写不全；求证目标写错；证明过程和求证目标不对应，步骤混乱。 26．实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 【答案】 不一定， 证明 【解析】略 27．要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了证明几何命题，对顶角相等．根据证明几何命题的步骤画图，写出已知求值，再推理证明即可． 【详解】已知：如图，直线与相交于点， 求证：． 证明：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴． 28．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 【详解】解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 易错必刷题型09.已知证明过程填写理论依据 典题特征：给出不完整的证明过程，在括号里填写每一步的依据（定义、公理、定理、性质）。 易错点：把定理名称写错；混淆定义、性质、判定定理；张冠李戴，把这一步的依据写成别的定理。 29．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 【答案】①②③④⑤⑦ 【分析】本题考查了定理与证明，熟练掌握定理与证明的特性是解题的关键； 先明确推理依据的定义，在逐项分析所给各项是否符合推理依据的要求，最后统计符合条件的个数即可. 【详解】解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等. ①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据； ②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据； ③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据； ④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据； ⑤不等式的性质： 不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等，是推理依据； ⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据； ⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据； ⑧正确的观察结果： 观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依据； ⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据； 故答案为：①②③④⑤⑦ ． 30．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 31．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 易错必刷题型10.以几何为背景的推理与论证 典题特征：给出几何图形和条件，推导线段、角的数量关系或位置关系，写出完整证明过程。 易错点：图形看错、条件用错；跳步证明，漏掉关键推理环节；推理依据错误，用未证明的结论当依据。 32．《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】D 【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想 故选：D． 【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解． 33．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 【答案】 【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案． 【详解】解：根据题意，， 如图所示，连接， 设， 在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点， ，，， ， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ， 故答案为：． 34．如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【答案】一样大，理由见解析 【分析】本题考查猜想和验证，求圆的周长，设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r，根据圆的周长公式进行计算，判断即可． 【详解】解：设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r， 则． 10个小圆周长，2个小圆周长． 所以它们的周长一样大． 易错必刷题型11.以代数为背景的推理与论证 典题特征：给出代数式子或关系，通过代数变形、不等式性质等证明结论。 易错点：代数变形错误（如去括号、移项、乘除负数）；证明过程不严谨，用特例代替一般情况。 35．张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了以代数为背景的推理与论证．利用张红牌换张银牌和张蓝牌，张蓝牌换张银牌和张红牌，分别结合牌的张数表示出每次换取的银牌张数以及对应红或蓝牌的数量进而求出答案． 【详解】解：由题意可得：用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张红牌，还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩（张）红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张蓝牌， 则利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌，到此结束． 故张浩手中最后有银牌：（张）． 故选：D． 36．小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，图表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为______． 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 8 6 6 5 4 高强度 12 13 14 12 8 休息 0 0 0 0 0 【答案】 35 【分析】根据题意，按照“选择高强度要求前一天必须休息”的规则，枚举所有符合要求的徒步方案，计算每种方案的总徒步距离，比较后得到最远距离. 【详解】解：枚举所有符合规则的方案，计算总距离如下： 当安排2次高强度，第1天高强度、第3天高强度时，总距离为： 当安排2次高强度，第1天高强度、第4天高强度时，总距离为： 当安排2次高强度，第1天高强度、第5天高强度时，总距离为： 当安排2次高强度，第2天高强度、第4天高强度时，总距离为： 其余方案的总距离均小于， 比较得最远距离为. 37．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 【答案】满足条件的所有正整数n为 【分析】本题考查了整数问题的综合应用，正确得出当时，及时原式的取值是解题关键，首先得出，进而利用当时，及时求出原式的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：由于是正整数，且满足， ， ， 当时，令， 则， 当时，其中， 令， 则， 综上所述，满足条件的所有正整数n为． 易错必刷题型12.定理与证明 典题特征：判断一个命题是否为定理；说明定理需要证明，公理不需要证明。 易错点：把公理当成需要证明的命题；把定理当成不需要证明的结论；分不清定理、公理、定义的区别。 38．下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 【答案】C 【分析】本题考查基本事实、定理、命题与定义的概念辨析，关键是明确基本事实是无需证明的公认真命题，定理是经过逻辑推理证明的真命题，定义是对概念的准确描述且属于真命题． 【详解】解：选项A：基本事实是经过长期实践公认的真命题，而真命题包含基本事实、定理等，该说法正确； 选项B：定义是对概念的明确表述，是能够判断真假的陈述句，且表述内容正确，该说法正确； 选项C：“两点之间，线段最短”是初中几何中的基本事实，该说法正确； 选项D：“两点之间，线段最短”是无需证明的基本事实，并非经过推理证明的定理，该说法错误． 故选：C． 39．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据命题、定理、基本事实的概念，逐一判断四个说法的正误即可解答． 【详解】解：∵基本事实是经过实践检验公认的真命题， ∴①正确； ∵定理是依据基本事实、定义等，经过推理证明得到的真命题， ∴②正确； ∵并不是所有真命题都是基本事实，只有公认的作为推理依据的真命题才是基本事实， ∴③错误； ∵只有经过证明，可作为推理依据的真命题才是定理，并非所有真命题都是定理， ∴④错误； 综上，正确的说法有2个． 40．下列命题可以作定理的有_____个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【答案】2 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理； ∴可以作定理的有2个 故答案为：2 易错必刷题型13.互逆定理 典题特征：判断两个定理是否为互逆定理；写出一个定理的逆定理，并判断是否成立。 易错点：把命题的逆命题当成逆定理，忽略逆命题必须为真命题才叫逆定理；分不清互逆命题和互逆定理的区别。 41．定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形． 【详解】解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是有两个角互余的三角形是直角三角形． 42．下列说法正确的是（    ） A．任何定理都有逆定理 B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理 C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题 D．定理的逆命题都是真命题 【答案】B 【分析】本题考查定理与逆定理的概念．定理的逆命题不一定是真命题，只有当逆命题为真时，才能称为逆定理．选项A错误，因为并非所有定理都有逆定理；选项C错误，因为原命题与逆命题的真假无必然联系；选项D错误，因为定理的逆命题不一定为真． 【详解】解：∵定理的逆命题不一定是真命题， ∴只有当逆命题为真时，才有逆定理， ∴选项B正确． ∵选项A任何定理都有逆定理，但如定理“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假命题，故无逆定理， ∴A错误． ∵选项C原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题，但原命题是真命题时逆命题可能是假命题（如“对顶角相等”）， ∴C错误． ∵选项D定理的逆命题都是真命题，但如上例逆命题为假命题， ∴D错误． 故选B． 43．下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（） A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 【答案】B 【分析】本题考查了逆命题与逆定理，根据已知，把各选项条件与结论互换写出逆命题，再判定结果是否是真命题即可． 【详解】解：A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，故该选项正确，不符合题意； B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，是假命题，故该选项不正确，符合题意； C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”，故该选项正确，不符合题意； D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06定义.命题.证明易错必刷题型专项训练 本专题汇总定义.命题.证明全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.判断是否是命题 题型02.写出命题的题设与结论 题型03.判断命题真假 题型04.举例说明假(真)命题 题型05.写出命题的逆命题 题型06.判断是否为互逆命题 题型07.代数问题证明 题型08.写出命题的已知.求证及证明过程 题型09.已知证明过程填写理论依据 题型10.以几何为背景的推理与论证 题型11.以代数为背景的推理与论证 题型12.定理与证明 题型13.互逆定理 易错必刷题型01.判断是否是命题 典题特征：给出若干语句，判断哪些是命题；区分陈述句、疑问句、祈使句与命题。 易错点：把疑问句、感叹句、祈使句当成命题；分不清“有判断”和“有真假”的关系。 1．下列语句是命题的是（   ） A．画一条线段 B．对顶角相等 C．过点P作直线l的垂线 D．今天天气好吗？ 2．下列语句中：①墙是白色的；②2加3等于5；③不是负数；④化简，其中不是命题的是____________． 3．下列选项是命题的是（    ） A．作直线 B．今天的天气好吗？ C．连接、两点 D．同角的余角相等 4．下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？ (1)两点之间，线段最短． (2)如果，那么是线段的中点． (3)一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？ 易错必刷题型02.写出命题的题设与结论 典题特征：给出命题，把它改写成“如果…那么…”的形式，再分别写出题设和结论。 易错点：改写时偷换概念，把条件或结论写错；省略了题设的命题找不准条件。 5．将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____________，那么_____________． 6．对命题“同位角相等”的描述正确的是（    ） A．题设：两个角是同旁内角 B．结论：同位角相等 C．是真命题 D．不是定理 7．将命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果________，那么________． 8．如图，有下列三个条件：①，②，③． (1)从这三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论组成命题．在保证该命题为真命题的情况下，你选择的条件是　　　，结论是　　　； (2)请写出（1）中你组成的命题的证明过程． 易错必刷题型03.判断命题真假 典题特征：给出命题，判断是真命题还是假命题。 易错点：凭直觉判断真假，忽略反例；把生活常识当成数学命题的依据。 9．命题“同位角相等，两直线平行”是______命题．（填“真”或“假”） 10．下列四个命题中，是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．有且只有一条直线垂直于已知直线 C．平行于同一条直线的两条直线也互相平行 D．如果两个角不相等，那么这两个角也可能是对顶角 11．下列命题：①不相交的两条直线平行；②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；③垂直于同一条直线的两直线互相垂直；④同旁内角互补．其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．回答以下问题 (1)如图，点A、B、C、D在一条直线上，填写下列空格： ∵（已知）， ∴ （ ）． ∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）． (2)说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 易错必刷题型04.举例说明假(真)命题 典题特征：给出假命题，举出反例证明它是假命题；或对真命题说明理由。 易错点：反例不符合题设条件；举的例子既不满足题设也不满足结论，无法说明命题为假。 13．下列命题是假命题的是（   ） A．平面内过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 B．垂线段最短 C．同位角相等 D．两点之间，线段最短 14．命题“如果，那么”是________命题． 15．已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（    ） 甲同学：“该命题是真命题．” 乙同学：“该命题的结论是．” 丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．” A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16．我们用符号表示一个两位数（其中a、b分别表示十位、个位上数字），即，类似的，我们用符号表示一个三位数．请根据以上材料，解答下列问题： (1)命题：若计算的结果的个位数字为4，则．请举反例说明它是个假命题； (2)若a、b、c为三个连续整数，试证明：能被13整除． 易错必刷题型05.写出命题的逆命题 典题特征：给出命题，交换题设和结论写出它的逆命题。 易错点：交换时只换位置不改写句子，导致逆命题不通顺；把命题里的“若…则…”关系搞错，写反条件和结论。 17．“等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 18．下列各命题的逆命题不成立的是（  ） A．同位角相等，两直线平行 B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 C．对顶角相等 D．如果，那么 19．下列说法： ①一个数的平方根是它本身，则这个数是0； ②过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④对顶角相等的逆命题是真命题． 其中正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 20．说出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假． (1)两个全等三角形的面积相等． (2)如果，那么，． 易错必刷题型06.判断是否为互逆命题 典题特征：给出两个命题，判断它们是否互为逆命题。 易错点：只看文字相似，不检查是否是题设和结论的交换；忽略命题的条件和结论的对应关系。 21．题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 22．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 23．（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 易错必刷题型07.代数问题证明 典题特征：给出代数结论，通过代数运算、性质推导证明结论成立。 易错点：证明过程跳步，关键步骤缺失；用特殊值代替一般性证明；逻辑顺序颠倒，循环论证。 24．证明：两个奇数之和是偶数． 25．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 易错必刷题型08.写出命题的已知.求证及证明过程 典题特征：给出几何或代数命题，按“已知-求证-证明”三步完整书写。 易错点：已知条件写不全；求证目标写错；证明过程和求证目标不对应，步骤混乱。 26．实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 27．要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 28．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 易错必刷题型09.已知证明过程填写理论依据 典题特征：给出不完整的证明过程，在括号里填写每一步的依据（定义、公理、定理、性质）。 易错点：把定理名称写错；混淆定义、性质、判定定理；张冠李戴，把这一步的依据写成别的定理。 29．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 30．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 31．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 易错必刷题型10.以几何为背景的推理与论证 典题特征：给出几何图形和条件，推导线段、角的数量关系或位置关系，写出完整证明过程。 易错点：图形看错、条件用错；跳步证明，漏掉关键推理环节；推理依据错误，用未证明的结论当依据。 32．《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 33．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 34．如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 易错必刷题型11.以代数为背景的推理与论证 典题特征：给出代数式子或关系，通过代数变形、不等式性质等证明结论。 易错点：代数变形错误（如去括号、移项、乘除负数）；证明过程不严谨，用特例代替一般情况。 35．张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 36．小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，图表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为______． 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 8 6 6 5 4 高强度 12 13 14 12 8 休息 0 0 0 0 0 37．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 易错必刷题型12.定理与证明 典题特征：判断一个命题是否为定理；说明定理需要证明，公理不需要证明。 易错点：把公理当成需要证明的命题；把定理当成不需要证明的结论；分不清定理、公理、定义的区别。 38．下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 39．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．下列命题可以作定理的有_____个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 易错必刷题型13.互逆定理 典题特征：判断两个定理是否为互逆定理；写出一个定理的逆定理，并判断是否成立。 易错点：把命题的逆命题当成逆定理，忽略逆命题必须为真命题才叫逆定理；分不清互逆命题和互逆定理的区别。 41．定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 42．下列说法正确的是（    ） A．任何定理都有逆定理 B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理 C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题 D．定理的逆命题都是真命题 43．下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（） A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $