第二十三章 一次函数单元练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 该单元卷聚焦一次函数核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，结合科技（北斗卫星）与生活（水费、行程）情境，适配初中数学第二十三章单元复习，有效评估数学眼光、思维与语言的发展。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、图像性质等|第1题考一次函数定义，第3题结合平移考查性质，体现抽象能力| |填空题|6/18|交点坐标、实际应用|第12题油箱油量与里程关系，第14题用图像解不等式，培养几何直观| |解答题|8/72|综合应用与建模|第19题“北斗”模型利润问题，第20题行程函数图像分析，发展模型意识与推理能力|

第二十三章 一次函数 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、若关于x的函数是一次函数，则m的值为（ ） A． B． C．1 D．2 2、一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3、关于一次函数y=3x-1的描述，下列说法正确的是（ ） A．图象经过第一、二、三象限 B．函数的图象与x轴的交点是（0，-1） C．向下平移1个单位，可得到y=3x D．图象经过点（1，2） 4、若，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5、已知点（﹣3，y1）、（1，3）、（2，y2）在一次函数y＝kx+5的图象上，则y1、y2、3的大小关系是（　　） A．3＜y2＜y1 B．y1＜3＜y2 C．y2＜y1＜3 D．y2＜3＜y1 6、若直线与直线平行，且与x轴交于点，则该直线的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 7、如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D．无法确定 8、如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（　　） A. ﹣2＜x＜﹣1 B. ﹣1＜x＜0 C. x＜﹣1 D. x＞﹣1 9、 已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 10、 已知，A市到B市的路程为260千米，甲车从A市前往B市运送物资，行驶2小时在M地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从A市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达M地后又经过20分钟修好甲车后以原速原路返回A市，同时甲车以原来1.5倍的速度前往B市，如图是两车距A市的路程y（千米）与甲车所用时间x（小时）之间的函数图象，下列四种说法： ①甲车提速后的速度是60千米/时； ②乙车的速度是96千米/时； ③乙车返回时y与x的函数关系式为y=﹣96x+384； ④甲车到达B市乙车已返回A市2小时10分钟． 其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、一次函数y＝2x+4交x轴交于点A，则点A的坐标为_____． 12、一小汽车正常行驶时，油箱中的剩余油量（升）与行驶里程（千米）的关系式为．从关系式可知这辆小汽车加满油箱最多可以行驶________千米． 13、数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，一次函数的图象与的图象交于点，根据图象分析，一元一次方程的解为_______． 14、如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式 3x+b＞ax﹣3的解集是（　　） 15、一次函数y＝ax+a+2的图象在﹣2≤x≤1的一段都在x轴的上方，那么a的取值范围是_____________． 16、如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论： ①； ②直线BC的解析式为； ③点； ④若直线BC上存在一点P，使得的值最小，则点P的坐标是．正确的结论是________． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知一函数的图像与坐标轴围成的三角形的面积为8，求此一函数表达式． 18、某地自米水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费． （1）某月该单位用水3200吨，水费是 元；若用水2800吨，水费是 元； （2）写出该单位水费y(元)与每月用水量x(吨)之间的函数关系式； （3）若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位这个月的用水量为多少吨？ 19、2023年5月17日上午，第4颗“北斗三号”地球静止轨道卫星由“长征三号乙”遥八十七运载火箭在西昌发射场成功发射，时隔近三年“长三乙”火箭再送“北斗”导航卫星．某航模店看准商机，推出了“长征火箭”和“导航卫星”两款模型．该航模店计划购买两种模型共200个，购进“卫星”模型的数量不超过“火箭”模型数量的2倍． （1）求购进“卫星”模型至多多少个？ （2）已知每个“卫星”模型的进价为30元/个，“火箭”模型的进价为20元/个，“卫星”模型售价为45元/个，“火箭”模型的售价为30元/个，求售完这批模型可以获得最大利润是多少？ 20、如图所示，A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车按同路从A地出发驶往B地，如图所示，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程S与该日下午时间t之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）乙是下午___________点出发的．乙骑摩托车的速度是___________千米/时． （2）分别写出甲、乙所行驶的路程、与该日下午时间t之间的关系式． （3）乙在什么时间追上甲． 21、南宁素有“中国绿城”“天下民歌眷恋的地方”等美誉，获“联合国人居奖”．为进一步建设宜居南宁，某部门准备在民歌广场种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种绿植的种植费用（元）与种植面积（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米80元． (1)当时，甲种绿植的种植费用为每平方米________元； (2)请求出当时，与之间的函数解析式； (3)已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于150平方米，且不超过乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 22、如图，直线的函数解析式为，且与x轴交于点D，直线经过点A、B，与直线交于点C． （1）求直线的函数解析式； （2）求面积； （3）在x轴上方的直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 23、如图所示，在同一个坐标系中一次函数和的图象，分别与轴交于点、，两直线交于点．已知点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： （1）关于的方程的解是______；关于的不等式的解集是______． （2）若点坐标为，①关于的不等式的解集是______；②求△ABC的面积． （3）根据图象求关于的不等式组的解集． 24、如图，在平面直角坐标系中，过点B（4，0）的直线AB与直线OA相交于点A（3，1），动点M在线段OA和射线AC上运动． （1）求直线AB的解析式； （2）直线AB交y轴于点C，求△OAC的面积； （3）当△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，求出这时点M的坐标． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 一次函数 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、若关于x的函数是一次函数，则m的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】 解：由关于x的函数是一次函数，可得： ， ∴， 2、一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【详解】解：∵一次函数y=−2x+3中的k=−2<0，b=3>0， ∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 3、关于一次函数y=3x-1的描述，下列说法正确的是（ ） A．图象经过第一、二、三象限 B．函数的图象与x轴的交点是（0，-1） C．向下平移1个单位，可得到y=3x D．图象经过点（1，2） 【答案】D 【详解】解：在中， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴函数与轴相交于负半轴， ∴可知函数过第一、三、四象限，故A选项不符合题意； 将代入到解析式可得，， ∴函数的图像与x轴的交点是，故B选项不符合题意； 向下平移1个单位，函数解析式为，故C选项不符合题意； 将点代入解析式可知，，故D选项符合题意； 4、若，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：， ， 图象经过二、四象限，与轴交于负半轴， 图象可能是 5、已知点（﹣3，y1）、（1，3）、（2，y2）在一次函数y＝kx+5的图象上，则y1、y2、3的大小关系是（　　） A．3＜y2＜y1 B．y1＜3＜y2 C．y2＜y1＜3 D．y2＜3＜y1 【答案】D 【详解】 解：∵（1，3）在一次函数y＝kx+5的图象上， ∴3＝k+5， 解得：k＝﹣2， ∴函数解析式为y＝﹣2x+5， ∵点（﹣3，y1）、（2，y2）在一次函数y＝﹣2x+5的图象上， ∴y1＝6+5＝11， y2＝﹣4+5＝1， ∵1＜3＜11， ∴y2＜3＜y1， 6、若直线与直线平行，且与x轴交于点，则该直线的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：∵直线y=kx+b与直线y=-2x+2平行， ∴ k=-2， ∵直线与x轴相交于点M(4，0)， ∴把点M(4，0)代入得：-8+b=0， 解得：b=8， ∴直线的函数关系式为y=-2x +8， 7、如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴关于x，y的方程组的解为：， 8、如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（　　） A. ﹣2＜x＜﹣1 B. ﹣1＜x＜0 C. x＜﹣1 D. x＞﹣1 【答案】A 【详解】解：当x＞﹣2时，y＝kx+b＞0； 当x＜﹣1时，kx+b＜mx， 所以不等式组0＜kx+b＜mx的解集为﹣2＜x＜﹣1． 9、 已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴，， 所以①正确； ∵直线与y轴的交点在x轴下方， ∴， 所以②错误； ∵当时，， ∴关于x的方程的解为， 所以③正确； ∵当，直线在直线的下方， ∴时，． 所以④错误． 10、 已知，A市到B市的路程为260千米，甲车从A市前往B市运送物资，行驶2小时在M地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从A市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达M地后又经过20分钟修好甲车后以原速原路返回A市，同时甲车以原来1.5倍的速度前往B市，如图是两车距A市的路程y（千米）与甲车所用时间x（小时）之间的函数图象，下列四种说法： ①甲车提速后的速度是60千米/时； ②乙车的速度是96千米/时； ③乙车返回时y与x的函数关系式为y=﹣96x+384； ④甲车到达B市乙车已返回A市2小时10分钟． 其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【详解】①甲车提速后的速度：80÷2×1.5=60千米/时，故①正确； ②乙车的速度：80×2÷(2−)=96千米/时，故②正确； ③点C的横坐标为2++=，纵坐标为80,坐标为(80)； 设乙车返回时y与x的函数关系式y=kx+b，代入(，80)和(4，0)得： 解得：， 所以y与x的函数关系式y=−96x+384(⩽x⩽4)，故③正确； ④(260−80)÷60−80÷96=3−=(小时)，即2小时10分钟，故④正确； 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、一次函数y＝2x+4交x轴交于点A，则点A的坐标为_____． 【答案】（﹣2，0）． 【详解】 解：一次函数y＝2x+4中，当y＝0时，0＝2x+4， 解得x＝﹣2， ∴点A的坐标为（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0） 12、一小汽车正常行驶时，油箱中的剩余油量（升）与行驶里程（千米）的关系式为．从关系式可知这辆小汽车加满油箱最多可以行驶________千米． 【答案】500 【详解】解：令，则， 解得：， 从关系式可知这辆小汽车加满油箱最多可以行驶500千米， 故答案为：500． 13、数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，一次函数的图象与的图象交于点，根据图象分析，一元一次方程的解为_______． 【答案】 【详解】解：∵一次函数的图象与的图象交于点， ∴一元一次方程的解为， 故答案为：． 14、如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式 3x+b＞ax﹣3的解集是（　　） 【答案】x＞﹣2 【解答】解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5）， 则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2， 15、一次函数y＝ax+a+2的图象在﹣2≤x≤1的一段都在x轴的上方，那么a的取值范围是_____________． 【答案】﹣1＜a＜2且a≠0 【详解】 解：∵y＝ax+a+2是一次函数， ∴a≠0， 当a＞0时，y随x的增大而增大，由x＝﹣2得：y＝﹣2a+a+2， 根据函数的图象在x轴的上方，则有﹣2a+a+2＞0， 解得：0＜a＜2． 当a＜0时，y随x的增大而减小，由x＝1得：y＝a+a+2，根据函数的图象在x轴的上方， 则有：2a+2＞0，解得：﹣1＜a＜0． 故答案为：﹣1＜a＜2且a≠0． 16、如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论： ①； ②直线BC的解析式为； ③点； ④若直线BC上存在一点P，使得的值最小，则点P的坐标是．正确的结论是________． 【答案】①②③④ 【详解】解：直线分别与、轴交于点A、B， 点，点， ，， ，故①正确； 线段沿翻折，点落在边上的点处， ，，， ， ， ， ， 点， 设直线解析式为：， ， ， 直线解析式为：，故②正确； 如图，过点作于， ， ， ， ， 当时，， ， 点，故③正确； 直线上存在一点， 当点在点时，， ， 当点在点时，， 在中， 当点在点时，使得的值最小，则点的坐标是，故④正确； 综上分析可知，正确结论为①②③④． 故答案为：①②③④． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知一函数的图像与坐标轴围成的三角形的面积为8，求此一函数表达式． 【答案】或． 【详解】 解：设函数与x、y轴相交于A(x，0)，B(0，y)， 把B点代入得y=4，则B(0，4)， 把A点代入得x=-，A(，0)， ∵围成三角形的面积为8， ∴， 解得， ∴此函数表达式为或． 18、某地自米水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费． （1）某月该单位用水3200吨，水费是 元；若用水2800吨，水费是 元； （2）写出该单位水费y(元)与每月用水量x(吨)之间的函数关系式； （3）若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位这个月的用水量为多少吨？ 【答案】（1）1660元；1400元 （2） y=0.5x（x≤3000）；y=1500+0.8（x-3000）（x＞3000） （3）3050吨 【详解】 解：（1）根据题意，用水3200吨超出计划用水量，所以3000×0.5+200×0.8=1660元； 用水2800吨符合计划用水量，所以2800×0.5=1400元； （2）用水在计划内：y=0.5x（x≤3000） 用水超出计划用水量：y=1500+0.8（x-3000）（x＞3000） （3）缴费1540元大于计划用水量水费1500元，所以1540=1500+0.8（x-3000） 解得 x=3050. 19、2023年5月17日上午，第4颗“北斗三号”地球静止轨道卫星由“长征三号乙”遥八十七运载火箭在西昌发射场成功发射，时隔近三年“长三乙”火箭再送“北斗”导航卫星．某航模店看准商机，推出了“长征火箭”和“导航卫星”两款模型．该航模店计划购买两种模型共200个，购进“卫星”模型的数量不超过“火箭”模型数量的2倍． （1）求购进“卫星”模型至多多少个？ （2）已知每个“卫星”模型的进价为30元/个，“火箭”模型的进价为20元/个，“卫星”模型售价为45元/个，“火箭”模型的售价为30元/个，求售完这批模型可以获得最大利润是多少？ 【答案】（1）购进“卫星”模型至多133个 （2）2665元 【小问1详解】 解：设购进“卫星”模型x个，则购“火箭”模型个，根据题意，得 解得：， ∵x为整数， ∴x最大为133， 答：购进“卫星”模型至多133个． 【小问2详解】 解：设售完这批模型可以获得的利润y元，根据题意，得 ， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵，且x为整数， ∴当时，， 答：售完这批模型可以获得最大利润是2665元． 20、如图所示，A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车按同路从A地出发驶往B地，如图所示，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程S与该日下午时间t之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）乙是下午___________点出发的．乙骑摩托车的速度是___________千米/时． （2）分别写出甲、乙所行驶的路程、与该日下午时间t之间的关系式． （3）乙在什么时间追上甲． 【答案】（1）2；50; （2），； （3）乙在下午2：30时追上甲． 【详解】 解：（1）由图可知，乙是下午2点出发，下午3点到达B地， 则乙的速度为：千米/小时． 故答案为：2；50； （2）设直线PQ的解析式为：，且经过，（2,20）， ∴解得， ∴直线PQ的解析式为：， 设直线QR的解析式为，且经过（2,20），， ∴解得：， ∴直线QR的解析式为， 故甲所行驶的路程与该日下午时间t之间的关系式为： 设直线MN的解析式为，且经过，， ∴解得， ∴直线MN的解析式为． （3）解得， 故乙在下午2：30时追上甲． 21、南宁素有“中国绿城”“天下民歌眷恋的地方”等美誉，获“联合国人居奖”．为进一步建设宜居南宁，某部门准备在民歌广场种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种绿植的种植费用（元）与种植面积（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米80元． (1)当时，甲种绿植的种植费用为每平方米________元； (2)请求出当时，与之间的函数解析式； (3)已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于150平方米，且不超过乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 【答案】(1)120 (2) (3)当甲种绿植的种植面积150平方米，乙种绿植的种植面积为450平方米时，总费用最少为元． 【详解】（1）解：当时，甲种绿植的种植费用为每平方米元． 故答案为：120． （2）解：当时，设， 根据题意得：，解得： ∴， ∴当时，与之间的函数解析式． （3）解：设种植总费用为w元，甲种花卉种植为x平方米，则乙种花卉种植平方米， 由题意可得：， 解得不等式组的解集为． 设种植总费用为w元． 当时，． ∵， ∴w随x的增大而增大． ∴当时，． 当时，． ∵， ∴当甲种绿植的种植面积150平方米，乙种绿植的种植面积为450平方米时，总费用最少为元． 22、如图，直线的函数解析式为，且与x轴交于点D，直线经过点A、B，与直线交于点C． （1）求直线的函数解析式； （2）求面积； （3）在x轴上方的直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在．点 【小问1详解】 解：设直线的函数解析式为， 将、代入， ，解得：， 直线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：联立两直线解析式组成方程组， ，解得：， 点的坐标为． 当时，， 点的坐标为． ． 【小问3详解】 解：存在． 由于点轴上方时，， 则， ， 由时，， 点的坐标为． 故在x轴上方的直线上存在点，使得面积是面积的3倍． 23、如图所示，在同一个坐标系中一次函数和的图象，分别与轴交于点、，两直线交于点．已知点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： （1）关于的方程的解是______；关于的不等式的解集是______． （2）若点坐标为，①关于的不等式的解集是______；②求△ABC的面积． （3）根据图象求关于的不等式组的解集． 【答案】（1）； （2）①；②21 （3） 【小问1详解】 解：∵直线与x轴的交点坐标为， ∴关于的方程的解是； ∵直线与x轴的交点B的坐标为， ∴关于的不等式的解集是； 小问2详解】 解：①点， 结合图象可知，不等式的解集是； ②点坐标为，点坐标为， ， 点坐标为， ； 【小问3详解】 解：结合图象可知，不等式①的解集是； 不等式②的解集是； 所以关于的不等式组的解集为． 24、如图，在平面直角坐标系中，过点B（4，0）的直线AB与直线OA相交于点A（3，1），动点M在线段OA和射线AC上运动． （1）求直线AB的解析式； （2）直线AB交y轴于点C，求△OAC的面积； （3）当△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，求出这时点M的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x+4； （2）6； （3）M的坐标是：M1（1，）或M2（1，3）或M3（﹣1，5） 【详解】 解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b， 根据题意得：， 解得：， 则直线的解析式是：y＝﹣x+4； （2）在y＝﹣x+4中，令x＝0，解得：y＝4，则OC=4， S△OAC＝×4×3＝6； （3）当M在线段OA时， 设OA的解析式是y＝mx， 把A（3，1）代入得：3m＝1， 解得：m＝， 则直线的解析式是：y＝x， ∵△OAC的面积是△OMC面积的3倍时， ∴当M的横坐标是×3＝1， 在y＝x中，当x＝1时，y＝， 则M的坐标是（1，）； 当M在射线AC上时， 在y＝﹣x+4中，x＝1时， 则y＝3， 则M的坐标是（1，3）； 当M的横坐标是﹣1时， 在y＝﹣x+4中，当x＝﹣1时，y＝5， 则M的坐标是（﹣1，5）； 综上所述：M的坐标是：M1（1，）或M2（1，3）或M3（﹣1，5）． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $