精品解析：江苏省响水中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题

江苏省响水中学2025～2026学年度第二学期高二年级期中考试 数学试题 命题人：王得亭 考生注意： 1.本试卷分第I卷和第Ⅱ卷，共5页. 2.满分150分，考试时间为120分钟. 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算的值是（ ） A. 41 B. 61 C. 62 D. 82 2. 若随机变量的分布列如下表所示，则的值为（ ） 1 2 3 0.2 A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 3. 在四面体ABCD中，E是CD的中点，G是BE靠近点B的三等分点，则＝（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中不正确的是（ ） A. 随机变量X的方差，期望，则 B. 在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系 C. 根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为34，则残差为0.009 D. 为了研究某种商品的广告投入x和收益y之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为2.68万元 x/万元 1 2 3 4 5 y/万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50 5. 甲､乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在的展开式中含和含的项的系数之和为（ ） A. B. C. D. 1485 7. 在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（    ） A. B. C. D. 8. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则b的值可以是（ ） A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则与相互独立 D. 若，则 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足（，），则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，则最小值为 B. 若平面，则， C. 若，则P到平面的距离为 D. 若，时，直线与平面所成角为，则 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为_________． 13. 在二项式的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为__________． 14. 在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是_______. 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 用五个数字，问： （1）可以组成多少个无重复数字的四位密码？ （2）可以组成多少个无重复数字的四位数？ （3）可以组成多少个十位数字比个位数字大的无重复数字的四位偶数？ 16. 《我爱古诗词》是某卫视推出的大型传统文化竞技类节目，旨在弘扬中华诗词文化、考验选手诗词储备与临场应变能力．某机构为了解大学生喜欢《我爱古诗词》是否与性别有关，对某校名大学生进行问卷调查，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 女生 合计 （1）判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为喜欢《我爱古诗词》与性别有关，并说明理由； （2）已知在参与问卷调查的大学生中有名是大一学生，其中名喜欢《我爱古诗词》．现从这名大一学生中随机抽取人，设抽到喜欢《我爱古诗词》的人数为，求的分布列与数学期望． 附：，（结果精确到）． 17. 如图，在直三棱柱中，，为的中点，点为重心. （1）求证：面； （2）求二面角的平面角的余弦值. 18. 某射手每次射击击中目标的概率均为，且各次射击的结果互不影响． （1）假设这名射手射击3次，求至少2次击中目标的概率； （2）假设这名射手射击3次，每次击中目标得10分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中目标，而另外1次未击中目标，则额外加10分，若3次全部击中，则额外加20分．用随机变量ξ表示射手射击3次后的总得分，求ξ的分布列和数学期望． 19. 在四棱锥中，底面是梯形，，，平面平面，，. （1）求证：； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）若线段上存在一点E，使得截面将四棱锥分成体积之比为的上下两部分，求点P到截面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省响水中学2025～2026学年度第二学期高二年级期中考试 数学试题 命题人：王得亭 考生注意： 1.本试卷分第I卷和第Ⅱ卷，共5页. 2.满分150分，考试时间为120分钟. 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算的值是（ ） A. 41 B. 61 C. 62 D. 82 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列数和组合数公式计算即可. 【详解】. 故选：B. 2. 若随机变量的分布列如下表所示，则的值为（ ） 1 2 3 0.2 A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】由概率和为1可得值． 【详解】由题意，解得． 故选：B． 3. 在四面体ABCD中，E是CD的中点，G是BE靠近点B的三等分点，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先放到三角形中解决，然后用共线向量转化成，然后在三角形中解决. 【详解】在四面体ABCD中，E是CD的中点，G是BE的靠近点B的三等分点，则 故选：C. 4. 下列说法中不正确的是（ ） A. 随机变量X的方差，期望，则 B. 在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系 C. 根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为34，则残差为0.009 D. 为了研究某种商品的广告投入x和收益y之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为2.68万元 x/万元 1 2 3 4 5 y/万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50 【答案】A 【解析】 【分析】利用方差与期望值的关系式可得A错误，相关系数表示两个变量之间没有线性相关关系，根据残差定义直接代入计算可判断C正确，求出回归方程将代入计算可得结果. 【详解】由方差，期望，则，可得，因此A错误； 当相关系数时，表示两个变量之间没有线性相关关系，即B正确； 易知残差为，所以C正确； 对于D，显然， 因此可得，解得； 当广告投入为10万元时,收益的预测值为，因此D正确. 5. 甲､乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式进行求解即可. 【详解】设事件表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，设事件表示：从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球， 则有：， 所以， 故选：B 6. 在的展开式中含和含的项的系数之和为（ ） A. B. C. D. 1485 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得，分别利用二项式展开式的通项公式求得的系数和含的项的系数，由此可求得答案. 【详解】解：，则的系数为1， 的系数为， 所以在的展开式中含和含的项的系数之和为． 故选：A． 7. 在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算，用表示，再用空间向量数量积运算即可. 【详解】根据题意可作图， 因为点是棱的中点，所以, 因为，所以, 则, 由题意，都是等边三角形， 所以， 故 故选：A. 8. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则b的值可以是（ ） A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理可证明被10除的余数为9，再对选项进行检验即可. 【详解】因， 而 ， 因此被10除的余数为9， 又因为，所以被10除的余数为9， 经检验在各选项中，只有2029被10除的余数为9，故的值可以是2029. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则与相互独立 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由互斥事件、独立事件及条件概率的计算公式逐个判断即可. 【详解】对于A：，A错； 对于B：，，B对， 对于C：由，，可得，所以与相互独立，所以与相互独立，C对， 对于D：由，可得， 所以，D错， 故选：BC 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式定理的展开式，将x进行赋值即可计算ABC选项，对于D选项，利用求导后的式子赋值进行计算． 【详解】因为， 令，代入可得：，故A正确； 令，代入可得： ； 令，代入可得： ； (1)式与(2)式相加即可得：， 解得，故B正确； 令，代入可得：， 故，故C错误； 对两边求导可得： ，令， 可得 ， 将(1)式与(3)式相加即可得，故D正确． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足（，），则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，则最小值为 B. 若平面，则， C. 若，则P到平面的距离为 D. 若，时，直线与平面所成角为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量法计算线面平行结合基本不等式计算判断A，应用线面垂直的向量表示计算判断B，根据点到平面距离公式计算求解判断C，应用线面角公式计算判断D. 【详解】如图，以点D为坐标原点，以、、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则有，，，，，，，，， 则，，， 对于A：，，． 设平面的一个法向量为，则有，令，则，故． 因为，平面， 所以，得，又因为，，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故A正确； 对于B：，则， 若平面，则有，即， 解得，，故B错误； 对于C：若，则，则到平面的距离为，故C正确； 对于D：，当，时，， 则， 当时，， 当时，， 当且仅当时，等号成立，故，即，故D正确． 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求出的值，进而得出，再将与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为随机变量满足，,， 由正态分布的对称性可得，即，所以正实数、满足， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 13. 在二项式的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意利用二项式系数的性质，求出n，利用二项展开式的通项公式，求出有理项，再利用互不相邻的排列问题求法，求出有理项都互不相邻的概率． 【详解】在二项式的展开式中，二项式系数的和为， ∴， 即的通项公式为，，1，2，3，4，5，6，7，8． 故展开式共有9项，当，4，8时，展开式为有理项， 把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻， 即把其它的6个无理项先任意排，再把这三个有理项插入其中的7个空中，方法共有， 故有理项都互不相邻的概率为． 故答案为：． 14. 在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是_______. 【答案】 【解析】 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设点，其中，由平面，利用空间向量法可得出，利用空间向量的模长公式结合二次函数的性质可求得线段的最小值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设点，其中， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ， 因为平面，则，即， 所以， 因为，则当时，取最小值， 即的最小值为. 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 用五个数字，问： （1）可以组成多少个无重复数字的四位密码？ （2）可以组成多少个无重复数字的四位数？ （3）可以组成多少个十位数字比个位数字大的无重复数字的四位偶数？ 【答案】（1）120 （2）96 （3）32 【解析】 【分析】（1）直接全排列即可得答案； （2）注意首位不能为0，从不为0的四个数选一个放在首位，再从剩下的四个数选三个数全排列即可得答案； （3）分0在个位、在个位、4在个位三种情况进行讨论，再由分类加法计数原理求解可得答案. 【小问1详解】 从5个数字任取4个进行全排列，故有个； 【小问2详解】 首位不能为0，则有个； 【小问3详解】 由题意，是偶数个位数必须是. 分3种情况讨论： ①0在个位，十位必须比0大，千位数字不能是0且不能与个位和十位数字重复，百位数字在剩下的数字选一个，所以共有； ②在个位，十位数字必须比2大，千位数不能是0且不能与个位和十位数字重复，百位剩下2个里面选一个.有种选法； ③4在个位，里面没有比4大的数字，不存在这种可能.则共有种情况. 16. 《我爱古诗词》是某卫视推出的大型传统文化竞技类节目，旨在弘扬中华诗词文化、考验选手诗词储备与临场应变能力．某机构为了解大学生喜欢《我爱古诗词》是否与性别有关，对某校名大学生进行问卷调查，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 女生 合计 （1）判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为喜欢《我爱古诗词》与性别有关，并说明理由； （2）已知在参与问卷调查的大学生中有名是大一学生，其中名喜欢《我爱古诗词》．现从这名大一学生中随机抽取人，设抽到喜欢《我爱古诗词》的人数为，求的分布列与数学期望． 附：，（结果精确到）． 【答案】（1）在犯错误的概率不超过的前提下，能认为喜欢《我爱古诗词》与性别有关，理由见解析． （2）的分布列为 ． 【解析】 【分析】（1）提出零假设，利用卡方公式计算的值，再与临界值比较后即得结论； （2）先确定的可能取值为，再结合超几何分布概率公式分别计算概率，列出分布列并用期望公式计算即可． 【小问1详解】 零假设：喜欢《我爱古诗词》与性别无关 由题意可得， 所以零假设不成立， 所以在犯错误的概率不超过的前提下，能认为喜欢《我爱古诗词》与性别有关． 【小问2详解】 由题意可得，的可能取值为， ，，， 所以的分布列为 ． 17. 如图，在直三棱柱中，，为的中点，点为重心. （1）求证：面； （2）求二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）连接交于D，连接，由面面平行的判定定理可得平面平面，进而证得面； （2）以为坐标原点建立空间坐标系，利用坐标分别求出平面的法向量，利用公式代入计算可得二面角的平面角的余弦值． 【详解】（1）连接交于D，连接 因为为重心，所以为的中点， 显然，平面，平面，则平面; ,平面，平面，则平面，且， 所以平面平面，因为平面，所以面. （2）以为坐标原点建立空间坐标系如图， ，，，，， 设为平面的一个法向量， 则，即，令，计算得， 设为平面的一个法向量， 则，即，令，计算得， 令平而与平面所成角为，则 观察得为锐角，所以． 18. 某射手每次射击击中目标的概率均为，且各次射击的结果互不影响． （1）假设这名射手射击3次，求至少2次击中目标的概率； （2）假设这名射手射击3次，每次击中目标得10分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中目标，而另外1次未击中目标，则额外加10分，若3次全部击中，则额外加20分．用随机变量ξ表示射手射击3次后的总得分，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）可得击中目标的总次数，即可求出； （2）可得的所有可能取值为0，10，20，30，50，求出取不同值的概率即可得出分布列和期望. 【小问1详解】 设X为射手射击3次击中目标的总次数，则． 故． 【小问2详解】 由题意可知，的所有可能取值为0，10，20，30，50， 则，， ，， ． 故ξ的分布列是： ξ 0 10 20 30 50 P . 19. 在四棱锥中，底面是梯形，，，平面平面，，. （1）求证：； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）若线段上存在一点E，使得截面将四棱锥分成体积之比为的上下两部分，求点P到截面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理得证. （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解. （3）求出及平面的法向量，结合点到平面的距离公式列式求解. 【小问1详解】 取的中点，连，，由，，得四边形为平行四边形， 由，得平行四边形为矩形，则， 由平面平面，平面平面，平面，得平面. 又平面，则，由，，得， 由，，得，则，即， 而，平面， 因此平面，而平面， 所以. 【小问2详解】 由，，，平面， 得平面，平面，则， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设与平面所成角为，， 即与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设截面交于，由，面，面，得平面， 又平面，平面平面，则， 依题意，，则， 设，则， ， ，， 到的距离， 截面的面积为， 设平面的法向量， 则，取，得， 则到平面的距离， 于是，解得， 所以点到截面的距离为. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $