上海市莘庄中学2025-2026学年第二学期高二年级数学期中试题

莘庄中学2025-2026学年第二学期高二年级数学期中 2026.5 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.已知，则______． 2.一组数据2，3，5，7，8，9，9，10的第80百分位数是______． 3.将一个共有60个个体的总体编号为00，01，02，…，59，根据随机数表法从中抽取一个容量为10的样本，从随机数表的第8行，第11列开始读，依次获取样本号码，直至取满为止，则取出的第4个样本的编号为______．（附：随机数表第8行，63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79） 4.如图，在棱长为1的正方体中，______． 5.将4名程序专家全部分配到1，2，3号3个AI实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，则不同的分配方案共有______种． 6.若直线是曲线的一条切线，则实数______． 7.某同学每天随机选择坐公交或骑车上学，若第一天坐公交，第二天坐公交的概率为0.6；若第一天骑车，第二天坐公交的概率为0.3．则该同学第二天坐公交上学的概率为______． 8.若，则______． 9.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，椭圆的一个短轴端点为B，直线与双曲线的一条渐近线平行，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是______． 10.已知函数与的图像上恰有两对点关于y轴对称，则实数a的取值范围是______． 11.AI是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量．某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用AI技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为______． 12.已知函数，．设函数，若有两个不同的零点，，且，则a的取值范围为______． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13.武汉市2016年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图，如图所示，则这组数据的中位数是（ ） A.21 B.22 C.23 D.24 14.某地2025年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下： 行业名称 人工智能 生物医药 集成电路 汽车制造 IT服务 应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280 行业名称 人工智能 集成电路 生物医药 养老护理 游戏 招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436 若用同一行业中应聘人数和招聘人数的比值（比值越大，就业形势越差）的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ） A.人工智能行业好于游戏行业 B.养老护理行业好于汽车制造行业 C.生物医药行业最紧张 D.集成电路行业比IT服务行业紧张 15.甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则（ ） A. B. C. D. 16.已知函数若恰有3个零点，，（），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，共78分） 17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 如图，在长方体中，M为上一动点，已知，． （1）求直线与平面ABCD所成角的大小；（用反三角表示） （2）求三棱锥的体积． 18.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题6分，第2小题8分 为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图． （1）在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ （2）若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差．（结果精确到0.1） 19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为x，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． （1）若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率． （2）若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． 20.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知点A，B分别是椭圆C：右顶点与上顶点，坐标原点O到直线AB的距离为，且点A是圆：的圆心，动直线l：与椭圆交于P，Q两点． （1）求椭圆C的方程； （2）若点S在线段AB上，，且当取最小值时直线l与圆相切，求r的值； （3）若直线l与圆分别交于G，H两点，点G在线段PQ上，且，求r的取值范围． 21.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知函数． （1）若函数在处的切线垂直于直线，求的值； （2）若函数在单调，求的取值范围； （3）当时，若（其中是函数的导函数），求证：． 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12. 11.AI是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量．某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用AI技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为______． 【答案】 【解析】设一次抽奖所生成的奖券码为，生成的5个数字中有个个1，则， 由题可知，若获得二等奖，则为3的正整数倍，故可取的值为； 当时，的取值为，共有5种情况； 当时，的可能取值为，，共有种情况； 当时，的取值为，共有种情况． 所以获得二等奖的概率．故答案为：． 12.已知函数，．设函数，若有两个不同的零点，，且，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】由题意函数． 设函数，若有两个不同的零点，且， 可得是的两个相异的零点，即方程有两个不同的实根， 令，则，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 且当时，，当时，． 画出的大致图像，如图，可知若曲线与直线有两个交点， 交点的横坐标分别为，则，且 先考虑的情形： 由，得 所以，此时． 当时，，从而，符合条件； 当时，，从而，不符合条件． 所以要使，必须，得,即的取值范围是． 故答案为：． 二、选择题 13.B 14.C 15.A 16.C 16.已知函数若恰有3个零点，，（），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据恰有3个零点，得方程有3个实根， 即的图象与直线恰有三个交点． 在上单调递减，且当时，； 又因为，因此． 因此，因此； 根据，那么可得， 因为，因此，因此 所以因此． 所以，所以故选：． 三、解答题 17.（1） （2） 18.（1）人 （2）平均数，方差 19.（1） （2） 20.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知点A，B分别是椭圆C：右顶点与上顶点，坐标原点O到直线AB的距离为，且点A是圆：的圆心，动直线l：与椭圆交于P，Q两点． （1）求椭圆C的方程； （2）若点S在线段AB上，，且当取最小值时直线l与圆相切，求r的值； （3）若直线l与圆分别交于G，H两点，点G在线段PQ上，且，求r的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）由题意可知，，所以直线的方程为： 所以原点到直线的距离，所以可得， 所以椭圆的方程为：； （2）由（1）设，由题意可得， 将坐标代入直线的方程中，可得， 所以，所以当时取最小值， 所以，且直线的方程为，所以； （3）由，可得， 将代入椭圆的方程可得：，即， 故， 又到直线的距离，故 所以， 可得 令，则， 所以的取值范围为． 21.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知函数． （1）若函数在处的切线垂直于直线，求的值； （2）若函数在单调，求的取值范围； （3）当时，若（其中是函数的导函数），求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】（1）由题可得 又函数在处的切线垂直于直线 所以，解得：； （2）因为函数在单调，则或恒成立， 结合二次函数知识可知，则在上恒成立， 即，即在上恒成立，即， 又，当且仅当时即等号成立， 所以，即的取值范围为； （3）证明：当时，， 令，则，所以是方程的两个根，所以，即，又，所以， 所以， 令，则，所以， 所以在上为增函数，所以， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $