湖南常德市临澧县第一中学2026届高三数学解答题专项练习（立体几何）

临澧一中2026届高三数学解答题专项练习（立体几何） 1．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，棱，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 2．如图，四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为正三角形，且平面平面，为棱上一点，，平面交棱于点． （1）求证：； （2）当时，点关于平面的对称点为，求点到平面的距离． （3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 3．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知： （i）求二面角的大小； （ii）线段上是否存在一点，使得平面？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 4．如图，平面四边形中，△是边长为2的等边三角形，，．现将△沿翻折至△，使得． （1）证明：平面平面； （2）已知是线段上的点，它到直线的距离为，求直线与平面所成的角． 5．如图1，半圆的圆心为，直径，为中点，将扇形沿着翻折使到，如图2所示，，点，分别在，上且不与端点重合，． （1）求证； （2）当时，求多面体的体积； （3）求平面与平面夹角余弦的最大值． 6．如图，在三棱锥中，，，，，，， 点，分别是棱，上的点，且直线平面． （1）求的长； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 7．已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，点在底面（不含边界）上的射影为点，且，设直线与平面所成角为，直线与平面所成角为． （1）已知． 证明：△的面积为定值； 若平面平面，求四棱锥外接球的表面积； （2）若，判断是否存在点，使得平面． 8．某学校天文社团设计了一种航天伴飞卫星，大致原理为：如图建立直角坐标系，在原点处沿轴正方向发射一枚火箭，火箭升空速度为每秒1单位．在点，1，处放置一枚伴飞卫星（视作质点），当火箭升空时，伴飞卫星随火箭同时升空，且逆时针匀速绕火箭螺旋转动，运行一圈所需时间为秒，其沿轴正方向的速度与火箭相同． （1）求经过5秒，此时伴飞卫星的坐标； （2）在伴飞卫星运行过程中，求直线与平面所成角的取值范围； （3）若在轴上点，，处同时发射一枚监测卫星（视作质点），其速度大小和运行方向与火箭相同，若监测卫星和伴飞卫星在运行过程中所成直线与不垂直，求实数的取值范围． 临澧一中2026届高三数学解答题专项练习（立体几何）参考答案 1．（1）证明：令，由题易知，， ，， ，故， 因为，，，面，则面； （2），设平面的法向量， 则，令，则， 同理可得，平面的一个法向量， ， ， ， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 2．（1）证明：面，面，故面， 又面面，面，故可以证得； （2）设的中点为，连接，建立空间直角坐标系，如图所示： ， 当时，，设，，， ， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，，所以， 由题易知点到平面的距离与点到平面的距离相等， ，， 可以解得，且，解得或（舍去），， 所以，进而求得， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，，所以， 点到平面的距离为； （3）， 则，所以， 设平面的一个法向量为， 则， 取，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 令， 则， 令，则， 由于函数在时，取得最小值， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 3．（1）证明：取中点，连接、， 因为，分别为，的中点，所以且， 又为的中点，底面为菱形，所以且， 则且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，故平面； （2）选条件①：，连接， 因为平面平面，平面平面， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，，平面， 所以平面，则， 以为原点，以，，所在的直线分别为，，轴建空间直角立坐标系， ，0，，，，，0，，，0，，，0，， 设平面的法向量为，，，由，， 得，令，则， 由于平面，所以，0，为平面的一个法向量， 可得，，， 所以， 由图可知二面角为钝角，故二面角的大小为； 设且，，则， 所以， 因为平面，，则，无解， 故不存在，使得平面； 选条件②：，连接，， 因为平面平面，平面平面， 又，平面， 所以平面，因为，平面，所以，， 因为，则△△，所以，则， 因为为中点，所以，由菱形得，所以， 以为原点，，，为，，轴建立空间直角立坐标系， ，0，，，，，0，，，0，，，0，， 设平面的法向量为，由，，，， 可得，即，令，则，，， 由于平面，所以，0，为平面的一个法向量， 可得，，， 所以，， 由图可知二面角为钝角，故二面角的大小为； 设且，，则， 所以， 因为平面，，则，无解． 故不存在，使得平面． 4．（1）证明：因为在△中，， 由正弦定理可得，即，解得， 因为，所以，所以， 在△中，， 所以，所以， 又因为，平面，且，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）取，中点，，连接，， 因为△是边长为2的等边三角形，所以， 由（1）可知平面，又因为，所以平面， ，平面，所以，， 所以以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示：则，0，，，0，，，2，，， 所以， 设，所以， 则，又因为， 所以直线的距离 ， 又因为，所以，解得或（舍， 所以，因为，， 设平面的法向量为， 则，则， 取，则， 设直线与平面所成的角为， 则， 又因为，所以，所以直线与平面所成的角为． 5．（1）证明：在半圆中，直径，为中点，则，折后有，， 由，得，则， 又，，平面， 因此平面，而平面，所以． （2）由（1）得直线，，两两垂直，以直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，1，，，0，， 由，，得，， ，， 连接，点到平面的距离， 所以多面体的体积， （3）令，由（2）知，，，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量， 则， 取，得，，， 而平面的一个法向量，1，， 因此 ， 由，得，， 则当时，，所以平面与平面夹角余弦的最大值为． 6．（1）在△中，由余弦定理，得， 在△中，由余弦定理，得， 因为平面，，平面，所以，． 所以在△中，， 在△中，， 在△中，由余弦定理，得， 所以在△中，由余弦定理，得 ； （2）在△中，， 在△中，， 在△中，由余弦定理，得， 所以， 设点到平面的距离为，由三棱锥的体积公式和性质， 得． 所以； （3）由上可知：，取的中点，显然， 因为平面，平面，所以， 以，所在的直线为轴和轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系， 如下图所示：，，，， 由上可知：是棱中点，， 所以可得，，即， 设平面的法向量为，，， 所以， 所以取该平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以． 7．（1）证明：如图：连接，， 可知直线，与平面所成角分别为，， 故，由，知，故点在线段的中垂线上． 过点作垂直于点，连接， 因为，所以， 因为点是点在底面上的射影，所以． 又，且，，平面， 所以平面， 因为平面，所以． 所以，为定值． 过点作直线，显然为平面与平面的交线， 设，分别为，的中点，连接，， 由知，故，所以， 又平面平面，所以平面， 因为平面，所以，又，所以， 不妨设，则，所以，解得或． 根据对称性，不妨取，， 设四棱锥外接球球心到平面的距离为， 所以或， 解得或（舍， 所以四棱锥外接球的表面积为． （2）存在．理由如下： 因为，所以， 即，所以， 假设存在点，使得平面，则， 以的中点为坐标原点，为轴，平行于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设，，， 则由，可得， 整理得， 又，则点在圆上， 由，解得或， 也即或．所以存在点，使得平面． 8．（1）伴飞卫星在平面上的射影的轨迹为圆，由点运行一圈所需时间为， 且的起始位置为，设运行时间为，故， 所以，，，故经过5秒后，的坐标为，，； （2），平面的一个法向量为，0，， 设直线与平面所成角为， 则， 令，可得当时，，故，可得， 故直线与平面所成角的取值范围为； （3）则的坐标是，，，则，， 与不能垂直，即无解， 即在上无解，当时，不符合题意． 令函数， ①当时，，故符合题意； ②当时，，记，则， 当时，，故在单调递增， 故当时，，即，故在单调递增， 故，所以在没有零点，符合题意． 当时，当，时，存在，使得， 且当时，单调递减，故， 即时，，故在单调递减，， 又，所以， 由零点存在性定理知在上有零点，故不符合题意； 综上所述，的取值范围为，，． 补充：如图，四面体中，，，是的中点．若， 是点在平面内的投影，存在实数满足． （1）求的值；若，求的取值范围； （2）若，异面直线与所成角为， 记四面体外接球的半径为， 求证：当取最小值时，． 解：（1）连接，，因为，所以． 又，所以． 因为，且两直线在平面内，所以面． 作于点，所以， 因为，且两直线在平面内，所以面． 所以点与在平面内的投影重合，从而，，三点共线． 因为，所以，所以． 所以，所以； 因为，所以， 所以，所以为的中点， 所以，则，所以， 由题意，所以，所以， 所以的取值范围为； （2）证明：因为异面直线与所成的角为， 则，所以 设与平面所成的角为，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 设四面体外接球的球心为，， 则，即， 因为，所以，所以， 因为，所以， 所以， 所以． 令，所以， 令，则，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在时取最小值，即，故． 补充：如图，在三棱柱中，，，二面角的平面角为 ，点在平面上的射影为点. (1)若四边形是矩形，求； (2)若，. ①若，求直线与平面所成角的最大值； ②当点在其轨迹上运动时，点的轨迹是离心率为的圆锥曲线，记数列的前项和为，若，求的最小值. 【解析】（1）取中点，中点，连接，如下图： 因为为矩形，则，且. 由，可得， 则，且.而， 且平面，则平面. 而平面，则平面平面. 因为，，则，所以点平面， 则在平面上的射影落在直线上，所以. （2）①设为中点连接，则，过作直线平面，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，设， 则，，， ，，由， 得，即. 设直线与平面所成角为，则. 设平面的法向量为， 则，故，取， 因为二面角的平面角为且平面的法向量为， 故即， ①若，则，故， 设与平面所成的角为，则 ， 而，故，当且仅当时等号成立，故. ②由①可得，故， 故的坐标满足：且， 表示圆柱，而表示如图所示的平面， 两者的截面为椭圆，其短轴长为，长轴长为， 故离心率为，所以， ， 当时，， 当时，，矛盾； 当时，， 因为， 所以， 故最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $