2026年高考数学模拟预测卷1（全国二卷）

**基本信息** 2026年高考数学考前模拟卷，覆盖函数、几何、概率等核心模块，解答题融合五子棋比赛概率、导数综合等情境，考查数学思维与应用能力，贴合高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数运算、统计图表分析、双曲线离心率|基础题注重数学眼光，如复数几何意义；多选题考查数据意识，如分层抽样频率分布| |填空题|3题/15分|正态分布、椭圆焦点三角形、正方体动态问题|结合空间观念，如正方体线面角与线段最值| |解答题|5题/77分|解三角形条件选择、平行六面体夹角、椭圆定点问题、概率比赛模型、导数单调性与不等式|层次性强，基础题如解三角形条件筛选；创新应用题如五子棋比赛概率模型，体现模型观念；能力题如导数综合，考查逻辑推理与运算能力|

2026年高考数学模拟预测卷1（全国二卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的乘法求解，再求解即可. 【详解】因为，所以，所以. 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ． 3．已知直线：，直线：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】直线：，直线：， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 设直线方程为，直线方程为， 若，则，即， 化简可得，即，解得，， 当时，代入可得：，：， 两直线重合，所以舍去， 当时，代入可得：，：， 和的斜率都为，所以， 因此是的充要条件. 4．在等比数列中，，，则（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】B 【详解】设等比数列公比为，由，得，，. 由，得，即，因，故，则. 5．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角和的正弦公式结合商数关系可得，即可得解. 【详解】因为 ，所以，所以． 6．现有甲､乙､丙三个车间生产某种产品，其中甲车间每日生产400件，乙车间每日生产600件，丙车间每日生产200件，产品的合格率分别为.现随机抽取1件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自乙车间的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记事件分别表示产品来自甲、乙、丙车间， 则，，； 记事件为抽到不合格品， 则，，； . 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点．若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用题设条件结合双曲线定义探求出的关系即可作答. 【详解】设，由于，则，， 根据双曲线定义，，, 即，， 因为，所以，即，化简得到。又由，即，即， 化简得到，则. 8．已知函数，若方程有三个根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，根据导数作出函数的图象，数形结合求解参数范围即可. 【详解】当时，，可以看作函数向上平移个单位， 当时，，则， 因为当，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，，，，作出函数图象如下图， 令，则过定点， 当过原点时，即时，图象与图象有4个交点， 时，，当图象与图象相切时，设切点为， 此时， 将代入得， 整理得，因为在上单调递增， 又，所以， 当时，，图象与图象相切，有两个交点. 所以方程有三个根，的取值范围为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某校有学生人，其中男生人，女生人.为调查学生的课外阅读情况，按性别比例分配，用分层随机抽样的方法抽取学生人，并统计样本中男生和女生一天的阅读时间（单位：分钟），绘制成如下两个频率分布直方图，则（    ）    A． B．样本中男生阅读时间的中位数低于分钟 C．样本中阅读时间在分钟以下的学生中，男生人数比女生人数多 D．用样本估计总体，全校学生中阅读时间在分钟以上的约有人 【答案】ACD 【分析】根据分层抽样的比例确定男生女生的样本数，然后利用频率分布直方图的性质即可判断. 【详解】对于A，由于频率分布直方图中，所有矩形的面积为，即，解得，故A正确； 对于B，男生前两组的频率为，前三组的频率为， 因此，男生阅读时间的中位数位于第三组，设中位数为，则有，解得， 即男生阅读时间的中位数为分钟，高于分钟，故B错误； 对于C，由于总人数人，其中男生人，女生人，抽样人按比例分配，其中男生人，女生人， 男生阅读时间在分钟以下的人数为人，女生阅读时间在分钟以下的人数为人， 因此阅读时间在分钟以下的人数中，男生人数比女生人数多，故C正确； 对于D，男生阅读时间在分钟以上的人数为人， 女生阅读时间在分钟以上的人数为人，因此样本中阅读时间在分钟以上的人数为人， 全校估计阅读时间在分钟以上的人数为人，故D正确. 10．已知复数，，，，复数，，，在复平面内对应的点分别为，，，A，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意得，， 则，故A正确； ， ， 故不一定相等，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 11．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（   ） A． B． C．的极小值点为1 D．的极大值点为 【答案】ACD 【分析】根据导数的几何意义求出，结合即可求出可判断AB，通过导数求出函数的单调性，结合极值点的定义可判断CD. 【详解】因为，切线斜率为，所以， 由题意得，切点在切线上，故， 则，联立，解得，故A正确，B错误； ， 当时，，在单调递减， 当或时，，在单调递增， 所以的极小值点为1，极大值点为，故CD均正确， 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量服从正态分布，若，则的值为______. 【答案】2 【详解】由，得， 由正态分布的对称性，得，所以的值为2. 13．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义可得，利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】是椭圆的两个焦点，点在上，， 所以， 当且仅当时，取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 14．已知正方体的棱长为1，点M，N分别在线段上运动，若与底面所成角为，则线段长度的最小值为_______． 【答案】 【分析】由三点共线，引入两个参数，由与底面所成角为得出的约束关系以及各自的范围，进一步将长度表示为的函数即可得解. 【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，     ， 由题意可设，， 其中，所以， 显然为平面的法向量， 所以， 显然（否则矛盾）， 从而， 注意到， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上的最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在三角形ABC中，，． (1)求， (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得三角形ABC存在，求三角形ABC的周长． 条件①：； 条件②：； 条件③：三角形ABC的面积为 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选条件②或③，三角形ABC存在，周长为. 【分析】（1）根据所给的边结合正弦定理，二倍角公式可得； （2）选条件①直接由余弦定理判断三角形不存在；选条件②先同角三角函数关系式可得A，B的正弦值，再由正弦定理和余弦定理求解可得；选条件③：先由面积公式可得，再结合余弦定理可得三角形的周长. 【详解】（1）因为，，所以， 由正弦定理得，而三角形中有， 所以，再由二倍角公式得，且， 所以. （2）若选条件①：. 因为，由（1）可知，所以由余弦定理可得：， 即，得，， 方程无解，所以a边不存在，故不存在. 若选条件②：. 因为，由（1）可知，所以. 同理，得， 所以在三角形ABC中由正弦定理，得， 再由余弦定理，得， 即，解得或（舍去）. 所以三角形的周长. 若选条件③：三角形ABC的面积为. 因为，由（1）可知，所以, 由三角形面积公式，得. 再由余弦定理，得，即. 所以，所以. 所以三角形的周长. 16．（15分）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：连接交于点，连接，根据中位线性质得，从而可证；方法二：，，，可得，从而得证；方法三：取的中点连接，，的中点连接，，，通过证明四边形为平行四边形，可得，从而得证； （2）方法一：以为原点，，所在直线为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，借助向量夹角和模长可得点，，再求出平面与平面的法向量，借助夹角公式求解；方法二：根据线面垂直的判定定理得平面，以为原点，为，轴建立如图所示的坐标系，求出平面与平面的法向量，借助夹角公式求解；方法三：根据线面垂直的判定定理得平面，过点作交的延长线于点，延长与的延长线交于点，则为平面与平面的交线，可证为二面角的平面角，求出即可得解. 【详解】（1）方法一：连接交于点，连接， ，， 四边形为平行四边形， 为的中点又为的中点，， 又平面，平面， 平面； 方法二：，，， 则，，， 所以， 又因为，平面，，平面， 所以平面； 方法三：取的中点连接，. 取的中点连接，，， ，， 四边形为平行四边形， ，， 又，  ，， 四边形为平行四边形， 又，分别为对应棱的中点，， 四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 平面； （2）方法一：以为原点，，所在直线为，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 已知底面是边长为1的正方形，，， 设，则，，， 则，解得， ，解得， 又，解得，即， 由，解得， 又，， ，， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 所以， 取平面的一个法向量， 平面与平面的夹角设为，它的余弦值， 又，； 方法二：连接，， 在平行六面体，则，又，， 则， 即，，又，， 所以平面，平面，， 同理可得平面，，又， 平面， 连结，解得， 以为原点，为，轴建立如图所示的坐标系. 则，，由，得到， 又，由得到，， 设平面的法向量， 则，令，则， 解得， 平面的法向量， 平面与平面的夹角设为，它的余弦值， 又，； 方法三：连接，， 在平行六面体，则，又，， 则， 即，，又，， 平面，， 同理可得平面，，又，平面； 连接，解得， 过点作交的延长线于点， 则，平面， 延长与的延长线交于点，则为平面与平面的交线， 连接，在中，， ，，满足勾股定理，， 为二面角的平面角， ， 平面与平面的夹角为. 17．（15分）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程． (2)若过点的动直线与椭圆交于，两点，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）借助焦距可得，再将定点代入计算即可得解； （2）当直线垂直于轴时，可得符合题意，再证明当直线不平行于坐标轴时，也符合题意即可得，当直线不平行于坐标轴时，设出直线方程，联立曲线方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，取点关于轴的对称点，计算可得三点共线，即可得证. 【详解】（1），， 又因为点在椭圆上，， 即， 又，代入，解得， 可得椭圆的标准方程为； （2）当直线垂直于轴时，椭圆关于轴对称， 点关于轴对称，， 轴上任意不同于点的点，均满足， 设，当直线与轴重合时，点是椭圆的长轴端点， 不妨设， ，即，解得（舍去）或， 存在不同于点的定点满足条件，且点的坐标为； 下面证明：当直线不平行于坐标轴时，点满足， 设直线的方程为， 由，消去，整理得， 直线恒过椭圆内的定点，恒成立， ， 点关于轴的对称点为， 直线的斜率， 直线的斜率， ， ， ，即，三点共线， ． 综上，存在与点不同的定点，使得恒成立. 18．（17分）社团课上，甲、乙、丙三位同学进行五子棋比赛，约定：第1局甲、乙比，甲先手（每局中先走第一颗棋），丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并且轮空者先手．假设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为，每局比赛没有平局且结果相互独立. (1)若. （i）求前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率； （ii）求第2局和第4局参与的同学完全相同的概率； (2)若前4局中甲参与的平均次数不小于，求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii）； (2) 【分析】（1）（i）先明确三人各参与两局对应每人恰好轮空一次的比赛顺序，再分第 1 局甲胜或乙胜两种情况，计算每种情况下第 2 局负者轮空、第 3 局再由前一轮轮空者先手获胜的概率，最后将两种情况的概率相加；（ii）先确定第 2 局的参与者为第 1 局胜者与丙，再分第 1 局甲胜或乙胜两种大情况，枚举第 2、3 局的胜负结果，筛选出第 4 局参与者与第 2 局完全相同的路径，将所有符合条件的路径概率相加； （2）确定甲出场次数的所有可能取值并计算对应概率，再求出甲参与次数的期望，最后解不等式 得到的取值范围. 【详解】（1）（i）要使三人都参与两局，则每人恰好轮空一次，这要求第1局的胜者在第2局必须输掉， 若第1局甲胜乙，则第2局丙必须胜甲，概率为；若第1局乙胜甲，则第2局丙必须胜乙，概率为， 所以前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率为； （ii）若第1局甲胜乙，则第2局参与的同学是甲和丙，若第4局和第2局参与的同学完全相同，则有两种情形： ①第2局甲胜丙，第3局甲胜乙；②第2局丙胜甲，第3局丙胜乙. 第①种情形概率为；第②种情形为. 若第1局乙胜甲，则第2局参与的同学是乙和丙，若第4局和第2局参与的同学完全相同，则有两种情形： ①第2局乙胜丙，第3局乙胜甲；②第2局丙胜乙，第3局丙胜甲. 第①种情形概率为；第②种情形为. 所以第2局和第4局参与的同学完全相同的概率为 ； （2）设甲在前4局的参与次数为随机变量，则， ， ， ， 所以 由得， 令，则，整理得， 解得，所以，又， 所以的取值范围为. 19．（17分）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程. (2)当时，设为函数的导函数. （i）讨论函数的单调性； （ii）令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （ii） 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）（i）求导，分、、三种情况讨论函数的单调性即可； （ii）转化问题为对任意恒成立，设，，先证明，当且仅当时等号成立，进而得到，进而求解即可. 【详解】（1）当时，，则. 即，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）（i）当时，， 令， 则. 令，得或. ①当，即时， 若，则或；若，则. 所以在和上单调递增，在上单调递减. ②当，即时，恒成立，在上单调递增. ③当，即时， 若，则或；若，则. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （ii）由，得， 即对任意恒成立， 设，， 令，，设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，当且仅当时等号成立， 由于在上单调递增， 且时，，时，， 则存在唯一，使得， 所以，当且仅当时等号成立， 则，又，则实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考数学模拟预测卷1（全国二卷) (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知=(1+2i)(3+4i),i为虚数单位，则=() A.√29 B.55 C.82 D.√221 【答案】B 【分析】由复数的乘法求解z,再求解即可 【详解】因为==(1+2i)(3+41),所以z=-5+10i,所以=V25+100=55 2.已知集合A={x∈Nx2-4x≤0，B={log(x-)<3,则AnB=() A.1,2 B.{2,3} C.{1,2,3} D.{2,3,4} 【答案】D 【详解】：A={xeNk2-4≤0}=∈N0≤x≤4}0,12,3,4}， B={x1og2(x-1)<2}={x0<x-1<4={x1<x<5},AnB={2,3,4} 3.已知直线：x+(a+1)y-1-a=0,直线l2:(a+1)x-(2a-1)y+a-1=0,则a=-4” 是“4∥12”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】直线4：x+(a+1)y-1-a=0,直线l2:(a+1)x-(2a-1)y+a-1=0, 当a=-1时，代入可得：=0，直线：号，两条直线不平行， 当a=号时，代入可得4：2x+3-3-0,直线：x号丙条直线不平行， 设直线方程为Ax+By+C1=0,直线l2方程为Ax+By+C,=0, 若41∥l2,则AB2-A,B,=0,即1×(1-2a-(a+1=0, 化简可得ax2+4a=0,即a(a+4)=0,解得a=0,a=-4, 当a=0时，代入可得：x+y-1=0,12:x+y-1=0, 两直线重合，所以a=0舍去， 当a=-4时，代入可得1：x-3y+3=0,:3x-9y+5=0, 和，的斜率都为3，所以， 因此a=-4是41%2的充要条件 4.在等比数列{a}中，4=1,4,4，=2，则a=（) A.2 B.2 C.22 D.4 【答案】B 【详解】设等比数列公比为9，由a=1,得4=q4,4=q，a4=q. 由4,4=2G,得q2q=2(d)2,即q0=2g°，因q≠0，故q=2,则a=4g4=1×2=2. 5.若sim(a+P)=3' tana+tanB=2,cosa cos B=() 1 1 A·12 B. C.3 D. 2 6 3 【答案】B 【分析】根据两角和的正弦公式结合商数关系可得 sin(a+B)=tanacosacosB+tan B cosa&cosB,即可得解. 【详解】因为sin(a+B)=sina cos B+cosa sin B=tana cosa cos B+tan Bcosa cos B 1 =cosacosB(tana+tanB),所以2 cosa cos B= 1 所以=石 6.现有甲、乙、丙三个车间生产某种产品，其中甲车间每日生产400件，乙车间每日生产600 件，丙车间每日生产200件，产品的合格率分别为1乙 5'10'10 现随机抽取1件产品送去检验， 若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自乙车间的概率为() A月 B.2 1 4 9 C. D. 7 14 【答案】D 【详解】记事件A,A,4分别表示产品来自甲、乙、丙车间， 400 600 200 则P(A)= 40-60-200-P(4）-40+00+20P4) 1 400+600+200 =6 记事件B为抽到不合格品， 则@4)-1专行P叫4)-1名-品4)-1品六 13 :P(4B) P(4)P(BA4) 210 9 P(4)P(B4)+P(4)PA4)+PA)HA91x1+1x3+1xI 14 35210610 7.已知双曲线C: 2 a2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为耳，耳，过F的直线l与C的 左支交于M,N两点.若M⊥M, -3，则C的离心率为（） M A. 5 B.√2 C. v10 D.5 2 2 【答案】C 【分析】利用题设条件结合双曲线定义探求出a,C的关系即可作答. 【详解】设M=m,由于 -=3，则N=3,NHM+N卡4， M 根据双曲线定义，1M风|-1MR=2a,|NE|-|NE=2a, 即|MF|M|+2a=m+2a,|N1HN|+2a=3+2a, 因为M⊥MF,所以1MwP+|MP=P,即(4m)+(m+2ad=(3m+2ad,化简得到 m=a。又由|MP+|M厘P=|EP,即m2+(m+2a2=(2c,即a2+(a+2a)}=4c2, 化商得到=c,则：后-伊四 8.已知函数f(x)= x+2-2x0, 方程fW=k(x+1)-2有三个根，则实数k的取值 2xe,x≤0 范围是() A. e e D. 【答案】B 【分析】求导，根据导数作出函数∫(x)的图象，数形结合求解参数范围即可. 【详解】当x>0时，f=hx+2二，可以看作函数y=nx向上平移2-2个单位， e 当x≤0时，f(x)=2xe,则f'(x)=2e+2.ex=2e*(（1+x), 因为当x∈(-o,-1),f'(x)<0,当x∈(-1,0)时，f'(x)>0, 所以函数f)在(-，-1)上单调递减，在(10)上单调递增，()=-2，f0)=0, e f=2-2,作出函数f)图象如下图， e 2 令g(x)=k(x+1)-三，则g(x)过定点 e e 当g(x)过原点时，即k 0-- ) e 2时，f(x)图象与g(x)图象有4个交点， 0-(-1)e x>0时，f)=,当g()图象与f()图象相切时，设切点为 .+2- 此时y- m5+2-2-1x-5). e 整理得hn西 1 二+1=0，因为y=nx。-+1在(0，+o)上单调递增 又=h11=0,所以5=1， 当=1时，k=1,g(x)图象与f(x)图象相切，有两个交点. 所以方程)-x4)已有三个根，k的取植范国为2) yg(x).. v=f(x) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.某校有学生3000人，其中男生1800人，女生1200人.为调查学生的课外阅读情况，按性 别比例分配，用分层随机抽样的方法抽取学生250人，并统计样本中男生和女生一天的阅读 时间（单位：分钟），绘制成如下两个频率分布直方图，则() 个频率/组距 频率/组距 0.025 0 0.012 0.010 0.010 0.008 0.005 0.005 0.003 0.002 020406080100阅读时间/min 020406080100阅读时间/min 男生阅读时间 女生阅读时间 A.a=0.020 B.样本中男生阅读时间的中位数低于40分钟 C.样本中阅读时间在40分钟以下的学生中，男生人数比女生人数多 D.用样本估计总体，全校学生中阅读时间在60分钟以上的约有780人 【答案】ACD 【分析】根据分层抽样的比例确定男生女生的样本数，然后利用频率分布直方图的性质即可 判断 【详解】对于A,由于频率分布直方图中，所有矩形的面积为1，即 (0.003+0.012+a+0.010+0.005)×20=1,解得a=0.020,故A正确： 对于B,男生前两组的频率为(0.003+0.012)×20=0.30<0.5，前三组的频率为 (0.003+0.012+0.020)×20=0.70>0.5, 因此，男生阅读时间的中位数位于第三组[40,60)，设中位数为x,则有 0.30+(x-40)×0.020=0.5,解得x=50, 即男生阅读时间的中位数为50分钟，高于40分钟，故B错误； 对于C,由于总人数3000人，其中男生1800人，女生1200人，抽样250人按比例分配，其 中男生250×1800=150人，女生250x200=100人， 3000 3000 男生阅读时间在40分钟以下的人数为(0.003+0.012)×20×150=45人，女生阅读时间在40 分钟以下的人数为(0.005+0.010)×20×100=30人， 因此阅读时间在40分钟以下的人数中，男生人数比女生人数多，故C正确： 对于D,男生阅读时间在60分钟以上的人数为(0.010+0.005)×20×150=45人， 女生阅读时间在60分钟以上的人数为(0.008+0.002)×20×100=20人，因此样本中阅读时间 在60分钟以上的人数为45+20=65人， 金校估计阅读时间在60分钟以上的人数为300×，0780人，故D正确 10.己知复数3=cosa+isina,3=cosB-isin B,3=cos(a+B)+isin(a+B),z4=1, 复数3,2,2,4在复平面内对应的点分别为，乃，，A,则下列说法中正确的是() A.OR=OR B.31-24=32-24 C.OA.OP =OP.OP D.OA.OE=OP·Op 【答案】AC 【详解】由题意得，B(cosa,sina),乃(cosB,-sinB),B(cos(a+B),sin(a+B),A(1,0), 则O=Op=1,故A正确： =(cosa-1)'+sina=v2-2cosa, =(cosB-1)+sin2B=2-2c0sB, 故-45一4不一定相等，故B错误： OA.Og=cos(a+B),OR.Og=cosa cos B-sina sin B=cof a+月，故C正确： OA.OE=cosa,OE.OP=cosBcos a+月-sin Bsin a+月=coa+2月，故D错误 11.已知函数f(x)=3-x2+bx,若曲线y=f(d)在点(-1，f(-1)处的切线方程为y=4x+3, 则() A.a=1 B.b=-2 1 C.f(x)的极小值点为1 D.f(x)的极大值点为- 【答案】ACD 【分析】根据导数的几何意义求出∫'(-1)=4，结合f(-1)=-1即可求出a,b可判断AB,通 过导数求出函数的单调性，结合极值点的定义可判断CD. 【详解】因为f'()=3ax2-2x+b,切线斜率为4，所以f(-1)=3a+b+2=4, 由题意得，切点（1，f(-1)在切线上，故f(-1)=4x(-1)+3=-1, 则f(-1)=-a-b-1=-1,联立 [3a+b+2=4 a=1 -a-b-1=-1'解 b=-1'故A正确，B错误： f'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1), 当号<1时，<0,f在〔 单调递减， 当<- 或x>1时，>0，田在,3 ,(1,+∞)单调递增， 所以f()的极小值点为1，极大值点为3，故CD均正确， 故选：ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量X服从正态分布N(4,o2),若P(X<0)=0.3,P(X≤4)=0.7，则u的值 为一 【答案】2 【详解】由P(X<0)=0.3,P(X≤4)=0.7，得P(X<0)=P(X>4)=0.3, 由正态分布的对称性，得4=2，所以4的值为2 13.已知尽，R是椭圆C:+广-1的两个焦点，点M在C上 9 4 则M网+M瓜的最小值为 【答案】 【分析】根据椭圆的定义可得瓜+=6，利用基本不等式即可求得网风的最 小值 【(详解】乃，乃是椭圆C:父+上=1的两个焦点，点M在C上，M+MB=6, 94 111 当且仅当=M=3时，取等号，所以因+网的最小值为号 故答案为：子 14.已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1，点M,N分别在线段AB,BC1上运动，若MN 与底面ABCD所成角为45°，则线段MN长度的最小值为 【答案】2-√2 【分析】由三点共线，引入两个参数元，4，由MN与底面ABCD所成角为45°得出九，u的约 束关系以及各自的范围，进一步将MN长度表示为L的函数即可得解 【详解】以D为坐标原点，DA,DC,DD分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， C 6 D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,1),B(1,1,0),C(0,1,1), 由题意可设，DM=DA+(1-)DB,=L,1-2,1-2)bDN=DB+4-4pC1=,1,1-u), 其中，4∈[0,1]，所以MN=D-DM=(-1,2,-, 显然DD=(0,0,1)为平面ABCD的法向量， 所以sn45°=V2 MN.DD 2-4 →2k2H1=0, 2 -DDVu-12++(-μ [0<u≤1 1 显然4≠0（否则1=0矛盾），从而 0s元=2-1s1P21, 2u 注意到网：u-=斗0 /2 因为y=+ 上单调递减，在 上单调递增， 所以函数=立车仔]上的最小值为5。 所以网-+女-(+的最小雀为5-小2-而 故答案为：2-√5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15（1B分)在角8ABc中b=26,sm2D-4m4+刷， (1)求c0sB, (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得三角形ABC存 在，求三角形ABC的周长. 条件①：c=10: 条件②：co4=V6 条件③：三角形ABC的面积为5√2 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解 答，按第一个解答计分。 【答案】（①）cosB= 3 (2)选条件②或③，三角形ABC存在，周长为8+2√6 【分析】(1)根据所给的边结合正弦定理，二倍角公式可得： (2)选条件①直接由余弦定理判断三角形不存在：选条件②先同角三角函数关系式可得A, B的正弦值，再由正弦定理和余弦定理求解可得；选条件③：先由面积公式可得aC=15,再 结合余弦定理可得三角形的周长. 【详解们6D因为b-26,cn20.y后m4::所以cn2B=n4+8刷. 正弦定理得sin Csin2B二3 sin Bsin(4+B),而三角形中有smC=sim(A+B 所以sim2B=名sinB,再由二倍角公式得2 sin BosB=2sinB,且sinB≠0， 所以cosB= Γ3 (2)若选条件①：c=10 1 因为b=26,由(1)可知cosB=写所以由余弦定理可得：6=a+c2-2 eoB, 即24=d+10-2003得n-2m+28=0,4=(-20-4×3x28=-236<0, 方程无解，所以a边不存在，故△ABC不存在， 若选条件②：co34=V6 因为b=2V6,由(1)可知cosB=1。 =3”所以simB=cosB=22 3 同理co4=6 ,得iA=cosA-5 所以在三角形ABC中由正弦定理a三b 咖"sing,得a 2653 2W23 3 再由余弦定理62=d+c2-2acc0sB,得24=9+c2-2×3c×3 1 即c2-2c-15=0,解得c=5或c=-3(舍去). 所以三角形的周长a+b+c=3+2W6+5=8+2W6 若选条件③：三角形ABC的面积为5√2 因4b=26,由a)可知cea8分所以nB--w8-2 3 由三角形面积公式S女m®：c5,得心=5 再由余弦定理b2=d+c2-2 ac.cos B,得24=a2+c2-10,即a2+c2=34. 所以(a+c)}=a2+c2+2ac=-34+30=64,所以a+c=8. 所以三角形的周长a+b+c=(a+c)+b=8+2√6 16.(15分)如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形， A4=2,∠AAB=∠AAD=120°，E是A4的中点. D B D (1)求证：AC1/1平面B,DE: (2)求平面BDE与平面ABCD的夹角的大小 【答案】(1)证明见解析 @明 【分析】(1)方法一：连接AC交B,D于点F,连接EF,根据中位线性质得EFI1AC,从 而可证：方法二：AB=ā，AD=五，A正=c,可得AC1=+b=(a+c)+6-c)=EB+ED, 从而得证：方法三：取CC的中点F连接B,F,DF,DD的中点G连接CG,GE,EF, 通过证明四边形AC,FE为平行四边形，可得AC1∥EF,从而得证： (2)方法一：以A为原点，AB，AD所在直线为x,y轴建立如图所示的空间直角坐标系， 借助向量夹角和模长可得点A(-1,-1,V②)，B(0,-1,V②)，再求出平面BDE与平面ABCD的 法向量，借助夹角公式求解：方法二：根据线面垂直的判定定理得AC⊥平面ABCD,以A 为原点AB,ADAC1为x,y,z轴建立如图所示的坐标系，求出平面B,DE与平面ABCD的 法向量，借助夹角公式求解：方法三：根据线面垂直的判定定理得AC1⊥平面ABCD,过点 B,作BNI1CA交DA的延长线于点N,延长B,E与BA的延长线交于点M,则DM为平面 B,DE与平面ABCD的交线，可证∠B,MN为二面角B,-MD-B的平面角，求出 tan∠B,N=1即可得解 【详解】(1)方法一：连接AC1交BD于点F,连接EF, BC//AD,BC=AD, . D .四边形ADCB,为平行四边形， F为AC1的中点又E为AA的中点，EF/IACG, 又EFc平面BDE,AC1￠平面BDE, .AC∥平面BDE: 方法二：A丽=ā，AD=b,A正=c, ED=B-c,EB=a+c,AC=a+b, 所以AC1=a+b=(a+c)+⑥-c)=EB+ED, 又因为ED,EB,C平面BDE,ED∩EB=E,AC1a平面BDE, 所以AC1∥平面BDE; 方法三：取CC的中点F连接BF,DF D G D A 取DD的中点G连接CG,GE,EF, EG//BC,EG=BC, “四边形B,CGB为平行四边形， ..BE//CG,BE=CG, CG//DF,CG=DF BE//DF,BE=DF, 四边形BEDF为平行四边形， 又：E,F分别为对应棱的中点AE/1CF,AE=CF, .四边形ACFE为平行四边形，则AC∥EF, 又EFC平面B,DE,AC1文平面BDE, AC∥平面BDE: (2)方法一：以A为原点，AB,AD所在直线为x,y轴建立如图所示的空间直角坐标系， B A(O) B 已知底面ABCD是边长为1的正方形，AA=2,∠AAB=∠AAD=120°， 设A(xy,),则A4=(x,y,z),AB=(1,0,0),AD=(0,1,0), 则A4AB=1×2× 解得x=-1, A4·AD=1×2× 解得y=-1, 又A4=2,解得：=√2，即A(1,-1,V2), 由AB=AB,解得B(0,-1,√2)， D(0,1,0), ED= 135 22-2 DB=(0-2,V2), 设平面BDE的一个法向量元=(：，，)， +3,V2 则 29=0 令y=-1,则x=1,z=-√2， i.DB=-2+√25=0 所以元=(1-1，-√2)， 取平面ABCD的一个法向量i=(0,0,1), “平面B,DB与平面ABCD的夹角设为B,它的余弦值cOsB= m列_√反 21 又e0,π 0- 方法二：连接CB,CD, 在平行六面体∠AAB=∠AAD=120,则∠BCC1=60°，又BC=1,CC1=2, 则CB2=BC2+CC2-2BC.CC cos∠BCC=3, 即CB2+BC2=CC2,\BCCB,又BC⊥AB,BC∩AB=B, 所以BC⊥平面ABC1,AC1C平面ABC1,BC⊥AC, 同理可得CD⊥平面ADC1,CD⊥AC,又BCOCD=C, .AC⊥平面ABCD, 连结AC,解得AC=VCC-AC=V4-2=V2, B D A(O) B 以A为原点AB,AD、AC1为x,y,z轴建立如图所示的坐标系 则C(0,0,V2),BC=(0,1,0),由BC=C,得到B(0,-1,V2), 又西-Q10,白丽两得到A11同.司：写 设平面B,DE的法向量i=(:,乃，三)， 32 则、 nD=1 +弓y290,令为=-1，则x=14=-5 iDB=-21+V24=0 解得元=(1，-1，-√2， 平面ABCD的法向量m=(0,0,1), ∴.平面BDE与平面ABCD的夹角设为O,它的余弦值cOsO= m列√2 2 叉8020=4 方法三：连接CGB,CD, D B 在平行六面体∠AAB=∠AAD=120°，则∠BCC1=60°，又 BC=1,CC1=2, 则CB2=BC2+CC2-2BC.CC cos∠BCC=3, 即CB2+BC2=CC2,\BC^CB,又BC⊥AB,BC∩AB=B, BC⊥平面ABC1,.BC⊥AC1, 同理可得CDL平面ADC,CD⊥AC,又BCOCD=C,AC1⊥平面ABCD; 连接AC,解得AC=VCC-AC2=V4-2=√2， 过点B,作BN/ICA交DA的延长线于点N, 则AN=AD=1,B,N⊥平面ABCD, 延长BE与BA的延长线交于点M,则DM为平面BDE与平面ABCD的交线， 连接MN,在△AMN中，MN=√2， MD=√2，DN=2,满足勾股定理，AMLMD, ∴∠BMN为二面角B-MD-B的平面角， tan∠BMN-BV-AC-V2 MNMN√2 :平面BDB与平面ARCD的夹角为号 1.《15分已知横测C手若-a0>0的左、有在直分别为g,kK2N5,点 P5,2)在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程. (2)若过点2(2,0)的动直线1与椭圆C交于A,B两点，是否存在与点9不同的定点D,使得 恒成立？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（①+ -=1 6 4 (2)存在，D(3,0) 【分析】(1)借助焦距可得，再将定点代入计算即可得解： (2)当直线1垂直于x轴时，可得(3,0)符合题意，再证明当直线1不平行于坐标轴时，(3,0) 也符合题意即可得，当直线1不平行于坐标轴时，设出直线方程，联立曲线方程，可得与交 点横坐标有关韦达定理，取点B关于x轴的对称点B,计算可得D,A,B'三点共线，即可得 证 【详解】(1)引=2W2,.c=√2， 又因为点P(V5,V2)在椭圆c上，.5(2 =1 2 即2是1. 又G-公+c2-82,代入子后=1，解得云=65=4， 可得格国C的标市方气为营+-1： (2)当直线1垂直于x轴时，椭圆C关于x轴对称， 点A,B关于x轴对称，OA=OB, ·x轴上任意不同于点Q的点D,均满足DA=DB, 设D(t,O),t≠2，当直线I与x轴重合时，点A,B是椭圆C的长轴端点， 不妨设A-V6,0),B(6,0）, DA 24 +V62+6 DB 2B' 即 -同 V62,解得t=2(舍去)或1=3， .存在不同于点Q的定点D满足条件，且点D的坐标为(3，O): 下面证明：当直线1不平行于坐标轴时，点D(3,0)满足 DB 设直线1的方程为y=k(x-2),A(:,),B(5,乃)， y=k(x-2) 由+-1’消去y,整理得(3+2列r-12x+12k-12=0, 64 :直线1恒过椭圆内的定点2(2,0)，△>0恒成立， 12k2-12 .+6= 12k2 3+26=3K+2 :点B关于x轴的对称点为B'(6,-y), 直线D的斜率太及，2k七 3-X23-x3 :直线DA的斜率k=当，(-2)k+k 为-3水-3 -31 6-名=2+1+1） 气-35-3月 1 生+5-6 +x2-6 x-36-3(x-3)(3-3)5-3(x+x)+9 2 ∴k-k=0,即k=k,∴D,A,B'三点共线， IDA DA :l2a DBDB'22B DA 24 综上，存在与点Q不同的定点D(3,0),使得 DB 2B 恒成立 B 18.(17分)社团课上，甲、乙、丙三位同学进行五子棋比赛，约定：第1局甲、乙比，甲 先手（每局中先走第一颗棋），丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并且轮 空者先手.假设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为p(0<p<),每局比赛没有 平局且结果相互独立 1若p=名 3 ()求前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率： (i)求第2局和第4局参与的同学完全相同的概率； (2)若前4局中甲参与的平均次数不小于8(-p)3,求P的取值范围. 【答案】(1)(i) (2)1- 31 【分析】(1)(1)先明确三人各参与两局对应每人恰好轮空一次的比赛顺序，再分第1局 甲胜或乙胜两种情况，计算每种情况下第2局负者轮空、第3局再由前一轮轮空者先手获 胜的概率，最后将两种情况的概率相加：(i)先确定第2局的参与者为第1局胜者与丙， 再分第1局甲胜或乙胜两种大情况，枚举第2、3局的胜负结果，筛选出第4局参与者与 第2局完全相同的路径，将所有符合条件的路径概率相加： (2)确定甲出场次数X的所有可能取值并计算对应概率，再求出甲参与次数的期望E(X), 最后解不等式E(X)≥8(1-p)'得到P的取值范围 【详解】(1)()要使三人都参与两局，则每人恰好轮空一次，这要求第1局的胜者在第2 局必须输掉， 若第1局甲胜乙，则第2局丙必须胜甲，概率为p；若第1局乙胜甲，则第2局丙必须胜 乙，概率为p(1-p), 所以前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率为p+p(1-P)=p(卫+1-卫)=P=: 2 (i)若第1局甲胜乙，则第2局参与的同学是甲和丙，若第4局和第2局参与的同学完全 相同，则有两种情形： ①第2局甲胜丙，第3局甲胜乙；②第2局丙胜甲，第3局丙胜乙， 第①种情形概率为p(1-p)1-p)=p(1-p)；第②种情形为pP(1-p)=p(1-P) 若第1局乙胜甲，则第2局参与的同学是乙和丙，若第4局和第2局参与的同学完全相同， 则有两种情形： ①第2局乙胜丙，第3局乙胜甲；②第2局丙胜乙，第3局丙胜甲 第①种情形概率为(1-p)1-p)1-p)=(1-p):第②种情形为(1-p)p(1-p)=p(1-p) 所以第2局和第4局参与的同学完全相同的概率为 P=p1-p)}'+p2(1-p)+(1-p)3+p1-p)}=(1-p'(2p+1-p)+p21-p) =-p0-p-+p=0-p咖-+p）-1p=1-号 (2)设甲在前4局的参与次数为随机变量X,则X=2,3,4, P(X=2)=(（1-p, P(X=4)=p1-p), P(X=3)=1-P(X=2)-P(X=4)=1-(1-p)-p(1-p)}=p2+p-p2, 所以E(X)=2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4) =2(1-p)}+3(p2+p-p)+4p(1-p)2=p-3p2+3p+2 由p-3p2+3p+2≥81-p)3=81-3p+3p2-p)得3p2-9p2+9p-2≥0， 令p=t+1,则3(t+1)3-9(t+1)2+9(t+1)-2≥0，整理得3+1≥0， 解得1≥5，所以p≥1-5，又0<p<1, 3 3 所以P的取值范围为1论】》 3 19.17分)已知函数f)-(e-lr-写m-2e(aeR). (1)若a=0,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程 (2)当a>0时，设f(x)为函数f(x)的导函数 (i)讨论函数f"(x)的单调性： (i)令g(x)=e-hx+x-x,若对任意x∈(0，+o),不等式f"(x)+g(x)≥0恒成立，求实 数a的取值范围。 【答案】(1)x+y+e=0 ②)(i①当0<a<时，f(x)在（←m,ln(2)和(0，+w）)上单调递增，在（血(2a,0)上单调递 2 减： 当a=时，f()在R上单调递增： 2 当a>时，f(y在(-n,0)和血(2a).+o）)上单调递增，在(0，h(2a)上单调递减 (ii)(0, 【分析】(1)根据导数的几何意义求解即可： (2)(i)求导，分h(2a)<0、h(2a=0、h(2a)>0三种情况讨论函数的单调性即可： ()转化问题为c-1-血r+r-x之a对任意x∈(0，+o)恒成立，设 h时=e-lhc+fx[e-(+-小4r,(0o),先评明e-1-120,当 且仅当t=0时等号成立，进而得到h(x)≥1，进而求解即可. 【详解】(1)当a=0时，f(x)=(e-1)x-2e,，则f'(x)=xe-e-l. 即f'()=-1,而f(1)=-1-e, 所以曲线y=∫(x)在x=1处的切线方程为y-(-1-e)=-(x-1),即x+y+e=0 (2)(i)当a>0时，f'(x)=xe*-e-ax2-l, 令m(x)=xe-e*-ar2-1, 则i(y=e-2ar=r(e'-2a）=x[e-ea] 令l(x)=0,得x=0或x=h(2a). ①当h(2ak0,即0<a<时， 若m'(x)>0,则x<h(2a)或x>0;若i(x)<0,则h(2a<x<0. 所以f'(x)在(-o,n(2a)和(0，+o)上单调递增，在(h(2a,0)上单调递减 ②当h(2)=0,即a=时，m(d)≥0恒成立，f(x)在R上单调递增 2 ®当h(2a)>0,即a>时， 若m'(x)>0,则x<0或x>n(2a:若m(x)<0,则0<x<ln(2a 所以∫'(x)在(-∞，0)和(n(2a),+∞)上单调递增，在(0，ln(2a)上单调递减 综上所述，当0<a<时，f'(x)在（←o,ln(2a)和(0，+）上单调递增，在（血(2a,0)上单 调递减； 当a=号时，了（✉）在R上单调通增： 当a>时，()在(-n,0)和血(2a),+o）)上单调递增，在(0，n(2a)上单调递减 (ii)由f'(x)+g(x)≥0，得xe-e-2-1+e-nx+x2-x≥0， 即e-1-lnx+2-3≥a对任意x∈(0，切)恒成立， x 设=e-1hr±f-r[e-(r+-lc,c(0m, x t? 令t=nr+x,t∈R,设p(t)=e-t-1,则p(t)=e-1, 令p(t)<0,得t<0,令p(t)>0,得t>0, 所以函数p(t)在(-∞，O)上单调递减，在(0，+o)上单调递增， 则p(t)≥p(0)=0,即e-t-1≥0，当且仅当t=0时等号成立， 由于t=hx+x在x∈(0，+o)上单调递增， 且x=1时，t=-1+1<0,x=1时，t=1>0, e 则存在唯一∈ 使得t()=0, 所以h(x)= +山之琴1，当日仅当=时等号成立 则a≤1，又a>0,则实数a的取值范围为(0,1] 2026年高考数学模拟预测卷1（全国二卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知直线：，直线：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在等比数列中，，，则（   ） A． B．2 C．2 D．4 5．若，，则（    ） A． B． C． D． 6．现有甲､乙､丙三个车间生产某种产品，其中甲车间每日生产400件，乙车间每日生产600件，丙车间每日生产200件，产品的合格率分别为.现随机抽取1件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自乙车间的概率为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点．若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若方程有三个根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某校有学生人，其中男生人，女生人.为调查学生的课外阅读情况，按性别比例分配，用分层随机抽样的方法抽取学生人，并统计样本中男生和女生一天的阅读时间（单位：分钟），绘制成如下两个频率分布直方图，则（    ）    A． B．样本中男生阅读时间的中位数低于分钟 C．样本中阅读时间在分钟以下的学生中，男生人数比女生人数多 D．用样本估计总体，全校学生中阅读时间在分钟以上的约有人 10．已知复数，，，，复数，，，在复平面内对应的点分别为，，，A，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（   ） A． B． C．的极小值点为1 D．的极大值点为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量服从正态分布，若，则的值为____________. 13．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为_____________. 14．已知正方体的棱长为1，点M，N分别在线段上运动，若与底面所成角为，则线段长度的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在三角形ABC中，，． (1)求， (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得三角形ABC存在，求三角形ABC的周长． 条件①：； 条件②：； 条件③：三角形ABC的面积为 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 16．（15分）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小. 17．（15分）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程． (2)若过点的动直线与椭圆交于，两点，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（17分）社团课上，甲、乙、丙三位同学进行五子棋比赛，约定：第1局甲、乙比，甲先手（每局中先走第一颗棋），丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并且轮空者先手．假设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为，每局比赛没有平局且结果相互独立. (1)若. （i）求前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率； （ii）求第2局和第4局参与的同学完全相同的概率； (2)若前4局中甲参与的平均次数不小于，求的取值范围. 19．（17分）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程. (2)当时，设为函数的导函数. （i）讨论函数的单调性； （ii）令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考数学模拟预测卷1（全国二卷) (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知=(1+2i)(3+4i),i为虚数单位，则日=() A.√29 B.55 C.82 D.√221 2.已知集合A={∈Nx2-4≤0}，B=|log26-1大2}，则AnB=() A.{1,2} B.{2,3} C.1,2,3} D.{2,3,4 3.己知直线：x+(a+1)y-1-a=0,直线：(a+1)x-(2a-1)y+a-1=0,则a=-4”是“1∥12” 的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.在等比数列{a}中，4=1,44=2a,则a=() A.√2 B.2 C.2V2 D.4 5.若血a+刷= tana+tanB=2,cos acos B=() A司 B吉 c.青 D 6.现有甲、乙、丙三个车间生产某种产品，其中甲车间每日生产400件，乙车间每日生产600件， 丙车间每日生产200件，产品的合格率分别为51010 479 现随机抽取1件产品送去检验，若抽取的 该件产品经检验为不合格品，则该产品来自乙车间的概率为() A B.号 c. 9 D.14 7已知双线C三-芳1a>06>0的、右焦点分别为不，名，过胃的直线与C的支 交于M,N两点.若M⊥M, N四-3，则C的离心率为() R A.v5 B.5 c.10 D.5 2 2 8.己知函数f(x)= nx+2- x>0 e 若方程f)=k(x+1)-二有三个根，则实数k的取值范围 2xe',x≤0 是() e.(o 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.某校有学生3000人，其中男生1800人，女生1200人.为调查学生的课外阅读情况，按性别比例 分配，用分层随机抽样的方法抽取学生250人，并统计样本中男生和女生一天的阅读时间（单位： 分钟)，绘制成如下两个频率分布直方图，则() 个频率/组距 个频率/组距 0.025 0.012 0.010 0.010 ǒ.ǒ08 0.005 0.005 0.003 0.002 20406080100阅读时间/min 20406080100阅读时间/min 男生阅读时间 女生阅读时间 A.a=0.020 B.样本中男生阅读时间的中位数低于40分钟 C.样本中阅读时间在40分钟以下的学生中，男生人数比女生人数多 D.用样本估计总体，全校学生中阅读时间在60分钟以上的约有780人 l0.已知复数3=cosa-+isina,2=cosB-isin B,3=cos(a+B)+isin(a+B),24=1,复数z1, 52,3,二4在复平面内对应的点分别为？，，乃，A,则下列说法中正确的是() A.OR=OR B.3-z4=32-z4 C.OA.OP=OP.OP D.OA.OP=OP.OP 11.己知函数f(x)=ax3-x2+bx,若曲线y=f(x)在点(-1，f(-1》处的切线方程为y=4x+3,则 () A.a=1 B.b=-2 C.f(x)的极小值点为1 D.九9的极大位点为-号 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量X服从正态分布N(4,o2),若P(X<0)=0.3,P(X≤4)=0.7，则4的值为 1B.已知号，g是椭圆C号+号-1的两个焦点，点M在c上，则网风的设小值为 1 14.已知正方体ABCD-ABGD的棱长为1，点M,N分别在线段AB,BC上运动，若MN与底 面ABCD所成角为45°，则线段MN长度的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.13分）在角形Ac中，b26,sm2B-45m(4】 (I)求cosB, (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得三角形ABC存在，求 三角形ABC的周长， 条件①：c=10: 条件②：co4=V6； 3 条件③：三角形ABC的面积为5√2 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按 第一个解答计分. 16.(15分)如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，A4=2, ∠AAB=∠AAD=120°，E是A4的中点 D B E D C A B (1)求证：AC/1平面B,DE: (2)求平面B,DE与平面ABCD的夹角的大小 1.15分)已椭圆C号+号=-ab>0的左、石焦点分别为B,R2N5,点点E 在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程. (2)若过点Q(2,0)的动直线l与椭圆C交于A,B两点，是否存在与点Q不同的定点D,使得 DA24 恒成立？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由， DBOB 18.(17分)社团课上，甲、乙、丙三位同学进行五子棋比赛，约定：第1局甲、乙比，甲先手 (每局中先走第一颗棋)，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并且轮空者先手.假 设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为p(0<p<1),每局比赛没有平局且结果相互独立 话p号 ()求前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率 (ⅱ)求第2局和第4局参与的同学完全相同的概率； (2)若前4局中甲参与的平均次数不小于81-p),求P的取值范围 19.17分)己知函数fy=(e-1x写m2-2e(aeR), (1)若a=0,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程. (2)当a>0时，设f(x)为函数f(x)的导函数， (i)讨论函数f(x)的单调性； (ii)令g(x)=e-lnr+x-x,若对任意x∈(0，+n),不等式f'(x)+g(x)≥0恒成立，求实数a的 取值范围.