2026年高考数学模拟预测卷2（全国二卷）

**基本信息** 2026年高考数学考前模拟卷，覆盖函数、几何、统计等核心模块，通过外卖点餐概率（解答18题）、函数零点探究（填空14题）等设计，考查数学眼光、思维与语言，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|统计（百分位数）、复数、数列等|基础巩固，如第1题考查数据处理能力| |多选|3/18|统计案例、抛物线性质|能力提升，如第10题综合抛物线几何性质| |填空|3/15|概率、函数奇偶性与零点|创新应用，如第14题探究函数零点条件| |解答|5/77|数列证明、立体几何、概率应用等|综合素养，如第18题结合外卖情境考查数据意识，第19题导数应用考查推理能力|

2026年高考数学模拟预测卷2（全国二卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先确认数据已经从小到大排列，再根据百分位数的计算规则，计算．当结果不是整数时，取大于该结果的最小整数所对应的数据． 【详解】这组数据已经从小到大排列为 共有个数据，所以 因为不是整数，所以第百分位数是第个数据． 第个数据为，所以这组数据的第百分位数为． 2．复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的运算法则，可得z，根据虚部的定义，即可得答案. 【详解】因为，所以的虚部为． 3．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解不等式，得，即，所以， 解不等式，变形得，因为指数函数是上的增函数，所以， 所以． 4．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B．2 C．9 D．21 【答案】B 【分析】法一：利用等差数列的基本量，将其转化为的关系求解即可； 法二：利用等差数列的性质求解即可. 【详解】法一：利用等差数列的基本量运算 由，即， 又. 法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，所以 .故选：B. 5．已知单位向量，，满足，则向量，的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，两边同时平方得，故， 所以，因，所以向量，的夹角为． 6．已知三棱锥，平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理求出的外接圆半径，再由线面垂直关系求出外接球半径，可得其表面积. 【详解】在三角形ABC中，设其外接圆半径为， ，，， 根据正弦定理，所以. 因为平面，所以外接球的球心到平面的距离. 设外接球半径为R，根据勾股定理，代入解得， 因此外接球表面积. 7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，设为的内切圆圆心，若的面积为，且，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合余弦定理和三角形面积公式得到椭圆焦点三角形的面积公式，根据已知条件即可得，再利用得到内切圆半径，最后利用三角形面积也等于半周长乘以内切圆半径得到关于的等式，求解即可得离心率. 【详解】设， 根据椭圆定义有，在中，由余弦定理可得 ， 即，整理得， 又的面积，由 可得，结合已知条件有，所以， 点为内切圆圆心，所以是的角平分线，设内切圆半径为， 作，垂足为，则， 同时由等面积法可知， 整理得，进而得到， 故的离心率为. 8．设函数，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，比较自变量的范围和大小，利用函数单调性和奇偶性比较即得. 【详解】因为,所以函数是偶函数，所以. 当时,,此时有，所以函数在单调递增， 又因为 ,所以. 又因为,所以, 由函数的单调性可得即 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．样本相关系数越接近0，则成对样本数据的线性相关性越强 B．1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15 C．某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.8 D．随机变量的方差，期望，则 【答案】BC 【详解】A：两个相关变量的线性相关系数越接近0，这两个变量的相关性越弱，则A错误； B：该组数据共8个数据，又， 因此上四分位数为第6个数和第7个数的平均数，即，因此B正确； C：易知全班50个学生的数学成绩的平均值为， 因此方差为，即C正确. D：因为，由方差，期望， 可得，即D错误. 10．已知抛物线的焦点为，，，是E上不同的三个点，AB的中点为P，O为坐标原点，直线l是E的准线，且l与x轴的交点为M，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若点P的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为 D．若F是的重心，则点P的纵坐标不可能大于 【答案】ABD 【分析】由抛物线的定义可得A；设联立抛物线表示出韦达定理，表示出斜率关系可得B；结合中点坐标公式和韦达定理及抛物线方程表示出直线AB的斜率可得C；利用中点坐标公式和重心坐标公式结合抛物线上的点的坐标性质化简可得D. 【详解】 对于A：因为抛物线的焦点，所以，，若，则，即，A正确； 对于B：若，则A，F，B三点共线，设，代入抛物线方程得，所以，又，所以，， 所以， 所以，即MA，MB关于x轴对称，则，B正确； 对于C：若点P的纵坐标为2，即，则， 所以直线AB的斜率， 所以直线AB的倾斜角为，C错误； 对于D：若F是的重心，则，即①， 又P是AB中点，其纵坐标为. 由重心横坐标公式，且，可得②， 将①代入②得③， 因为A，B是E上不同的点，所以④， 将②③代入④得到，所以，D正确. 11．如图，在长方体中，P为线段上一动点（含端点），则下列说法正确的是（   ） A．若长方体的长宽高确定，则四面体的体积为定值 B．存在点P，使得 C．若底面为正方形，则过点P有且只有一条直线与，所成的角均为 D．若，，则平面截长方体的外接球所得截面的面积是 【答案】ABD 【分析】对于A，由三棱锥体积公式求解即可；对于B，先设，再用表示，再对比系数求解即可；对于C，过点P可以作两条直线与，所成的角均为；对于D，先求外接球半径，再求截面（截面为圆）的半径，进而求其面积. 【详解】对于A，在长方体中，因为 ，平面，平面，所以 平面，即点到平面的距离是定值，故四面体的体积为定值，A正确；对于B，设，由向量运算 ，如果，对比系数得：， 所以存在点P，使得，B正确； 对于C，如图，连接交于点，因为底面是正方形，所以，过点可以作两条直线与，所成的角均为， 可将这两条平行线平移到经过P点，所以过点P有两条直线与，所成的角均为，C错误； 对于D，设长方体的外接球球心为，半径为，与交于点， 则 所以，设到平面的距离为， 利用等体积法，先以为底面计算三棱锥的体积：， ， 再以为底面计算三棱锥的体积： 由题可知四边形是正方形，所以， 又，所以平面，所以，所以是三棱锥的高， ，， ， 等体积法得：，所以，解得， 则平面截长方体的外接球所得截面圆的半径， 其面积为 ，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．一袋中有大小相同的4个球，其中3个红球和1个黑球．从该袋中随机取2个球，则取到2个红球的概率是______． 【答案】 【分析】根据古典概型求解即可. 【详解】由题意，所求概率.故答案为：. 13．已知为偶函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】根据偶函数的定义，由可求a的值，然后将不等式看作关于的二次不等式求解即可． 【详解】已知，则， 由，得 即对所有成立． 若，化简得，不满足对所有成立，舍去； 若，化简得，解得． 将代入，得 不等式，即，即，即， ∵，∴，即， ∴．故答案为：． 14．已知函数.若恰有4个零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】令，即，得与的函数图像有4个交点，先求时，与相切的切线方程，再求时，与相切的切线方程，最后利用导数研究单调性作出的函数图像，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意有：恰有4个零点，令，即，所以与的函数图像有4个交点， 当时，设与相切于点，即，解得， 即与相切，当时，，所以， 令，解得，由， 所以在单调递增，在单调递减， 所以的极小值为， 设与相切与点，所以， 所以切线方程为：，又过点， 所以，解得，即， 所以与相切，作出的函数图像： 由图可知：当时，与有3个交点， 当时，与有两个交点， 所以与的函数图像有4个交点，即，故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列的首项，且满足． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据累加法及等差数列的前项和公式求解即可. （2）结合裂项相消法证明即可. 【详解】（1）当时，，则，，，， 所以，即. 所以. 当时，满足上式，故的通项公式为. （2）由（1）知，，则， 所以， 因为，所以，则，因此，故. 16．（15分）如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）利用三角形中位线性质以及线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系求出相应的向量坐标，再求出两个面的法向量，用平面夹角的向量公式即可求出余弦值，进而求得正弦值. 【详解】（1）证明：连接交于点，如图所示：    由是正方形得为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 于是，又因为平面，平面，所以平面. （2）由已知，平面，， 所以以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，    因为，所以， 因为点为棱的中点，所以，设平面的一个法向量为， 又，则，即， 令，则，则， 设平面的一个法向量为，又， 则，即，令，则， 记平面与平面的夹角的大小为，则： ， 由图可知平面与平面的夹角为锐角，故. 17．（15分）已知分别为双曲线的左，右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线，斜率之积为，的焦距为． (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线交于，两点（不与重合），记的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先设点，再应用斜率公式结合点在双曲线上计算得出即可求解双曲线方程； （2）设直线，再联立方程得出韦达定理，再应用斜率公式计算求解. 【详解】（1）设，，，且， 则． 又焦距为，则，， 双曲线的标准方程为：． （2）由（1）知，设，． 因为不与重合，所以可设直线． 联立，消得：， 故，，，， ，， 可得， ． 18．（17分）某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为，选择乙餐厅的概率为，甲餐厅的准时送达率为，乙餐厅的准时送达率为．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． (2)在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于，求的最小值． (3)平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 【答案】(1)0.93； (2)11； (3)他愿意购买“准时保”. 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式求解. （2）由（1）的结论，利用二项分布的方差公式列式求解. （3）由（1）的结论，求出购买“准时保”的期望，与给定条件比对即可. 【详解】（1）令事件“外卖点餐准时送达”，“选择甲餐厅”，“选择乙餐厅”， 依题意，，， 由全概率公式得， 所以该用户每次外卖点餐准时送达的概率为0.93. （2）依题意，的所有可能取值为，， 则，由的方差大于，得， 解得，所以的最小值为11. （3）他愿意购买“准时保”. 设他购买“准时保”的净收益为元，则的所有可能取值为， ，， 显然，即亏损期望不超过元，所以他愿意购买“准时保”. 19．（17分）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案详见解析 (3) 【分析】（1）由题可得切线方程斜率与切线所过点，据此可得答案； （2）分类讨论，两种情况下，的正负性可得单调区间； （3）由题可得，结合单调性，可得，最后由单调性可得答案. 【详解】（1）若，则，． 又，所以， 故曲线在处的切线方程为，即； （2）的定义域为，． 当时，，故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； （3）由，可得，即， 令，易知单调递增，由，可得， 则，即． 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以，因此的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考数学模拟预测卷2（全国二卷) (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.数据2,3,3,5,6,7,8,10的第70百分位数为() A.5 B.6 C.7 D.8 2复数：引的虚部为（) A月 B. 5 c. D. 3.已知集合A={xx2-4≤0，B={x2-4<C,则A∩B=() A.[-2,2] B.[-2,4] C.(0,2] D.[-2,2) 4.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,若S,=9,则a4+4=（) A.-18 B.2 C.9 D.21 5.已知单位向量ā，6，c满足a+3b=√元，则向量a,6的夹角为() A君 B.π C.2n 3π D. 3 3 4 6.已知三棱锥S-ABC,SA⊥平面ABC,SA=BC=2W3,∠BAC=120°，则该三棱锥外 接球的表面积为() A.12π B.16元 C.20π D.28π 7.已加椭圆C:君若=a>b>0)的东、右焦点分别为R,马，点P在C上，设1为附5 的内切圆圆心，若△P耳E的面积为√3b,且PI=a,则C的离心率为() A B.号 c.3 D.3 3 2 8.设画数1=e+e,记a=)b=e到c=1),则(） A.b>a>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的是() A.样本相关系数r越接近0，则成对样本数据的线性相关性越强 B.1,2,4,5,6,12,18,20的上四分位数是15 C.某班30个男生的数学平均分为90，方差为4,20个女生的数学平均分为85，方差 为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.8 D.随机变量X的方差D(X)=20,期望E(X)=6,则E(X)=16 10.己知抛物线E:y2=4x的焦点为F,A(,片)，B(x2,为2)，C(3,⅓)是E上不同的三个 点，AB的中点为P,O为坐标原点，直线1是E的准线，且1与x轴的交点为M,则下列说 法正确的有() A.若|AF曰BF|,则x= B.若AF=1FB,则∠AMO=∠BMO c.若点P的纵坐标为2，则直线AB的顿斜角为店 D.若F是△ABC的重心，则点P的纵坐标不可能大于√2 11.如图，在长方体ABCD-ABCD中，P为线段B,C上一动点（含端点），则下列说法正 确的是（) D C B A D A.若长方体的长宽高确定，则四面体APBD的体积为定值 B.存在点P,使得A=AB+2AD+A4 3 C.若底面ABCD为正方形，则过点P有且只有一条直线与AC,8A所成的角均为4 70 D.若AB=AD=1,A4=√2，则平面ABD截长方体ABCD-ABC1D的外接球所得 截面的面积是9z 10 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.一袋中有大小相同的4个球，其中3个红球和1个黑球.从该袋中随机取2个球，则取 到2个红球的概率是 13.已知f(x)=x-2x+a+1为偶函数，则不等式f(x)<3的解集为 14.已知函数f(x)= 2-5xs0 ,g(x)=f(x)-x+1.若g(x)恰有4个零点，则实数 Inx,x>0 k的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知数列{a}的首项a4=1,且满足a.-4-1=n(n≥2，neN) (1)求{a}的通项公式： 16.(15分)如图，在四棱台ABCD-ABC1D中，上、下底面均为正方形，A4⊥底面ABCD, AB=2,AB,=1,A4=2,点E为棱CC1的中点. A D E D A B (1)求证：AC1/平面BDE; (2)求平面ABC1与平面BDE夹角的正弦值. 17.(15分)已知4B分别为双曲线B:Y- =1(a>0,b>0)的左，右顶点，M为双曲 ab 3 线B上异于AB的任意一点，直线，M斜率之积为，E的焦距为2√厅. (1)求E的方程； (2)过点(4,0)作直线1与双曲线E交于C,D两点(C,D不与A,B重合)，记1，AC,AD的斜 率分别为k,k,k,证明：店十店 kk 为定值。 18.(17分)某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的 概率为0.6，选择乙餐厅的概率为0.4，甲餐厅的准时送达率为0.95，乙餐厅的准时送达率 为0.9.已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立. (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率. (2)在该用户的N次外卖点餐中，记准时送达的次数为X,若X的方差大于0.7，求N的最 小值 (3)平台推出“准时保”，每单需支付05元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元： 若外卖准时送达，则平台不赔付.该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过0.3元， 试问他是否愿意购买准时保？说明你的理由. 19.(17分)已知函数f(x)=2lnx-r. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程： (2)讨论∫(x)的单调性： (3)若a>0,f(x)≤em-x恒成立，求a的取值范围.2026年高考数学模拟预测卷2（全国二卷） (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.数据2,3,3,5,6,7,8,10的第70百分位数为() A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C 【分析】先确认数据已经从小到大排列，再根据百分位数的计算规则，计算x70%.当结 果不是整数时，取大于该结果的最小整数所对应的数据。 【详解】这组数据已经从小到大排列为2,3,3,5,6,7,8,10. 共有8个数据，所以8×70%=8×0.7=5.6. 因为5.6不是整数，所以第70百分位数是第6个数据. 第6个数据为7，所以这组数据的第70百分位数为7. 2.复数z= 2i 的虚部为() -2+i A.5 4 B 5 D 5 【答案】D 【分析】根据复数的运算法则，可得z,根据虚部的定义，即可得答案 【详解】因为2=-2+i(-2+(-2-司 2i =2=2生，所以z的虚部为5 3.已知集合A={xx2-4≤0，B={x2-4<C,则A∩B=() A.[-2,2] B.[-2,4] C.(0,2] D.[-2,2) 【答案】D 【详解】解不等式x2-4≤0，得x2≤4，即-2≤x≤2，所以A=[-2,2], 解不等式2-4<0，变形得2*<4=22，因为指数函数y=2是R上的增函数，所以x<2, 所以A∩B=[-2,2) 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S,=9,则a4+a。=() A.-18 B.2 C.9 D.21 【答案】B 【分析】法一：利用等差数列的基本量，将其转化为d,4的关系求解即可；法二：利用等 差数列的性质求解即可. 【详解】法一：利用等差数列的基本量运算 由S=9a+28d=9⊙9a+36d=9,即a+4dI 又a4+46=4+3d+4+5d=2a+8d=2(a+4d)=2 法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，4+4=a+4,由品-9(4+4）-9a+a）9,所以4+=2 2 2 故选：B 5.己知单位向量ā，6，满足ā+36=√7元，则向量ā，b的夹角为() A君 B. C. 2元 D. 3π 3 3 4 【答案】C ××1 【详解】由a+3b=√7元，两边同时平方得1+6a.b+9=7,故ab= 2 所以cos(a,)= a-b=-1 -2,因0≤a)≤元，所以向量ā，6的夹角为 3 6.己知三棱锥S-ABC,S4⊥平面ABC,SA=BC=2W3,∠BAC=120°，则该三棱锥外 接球的表面积为() A.12元 B.16π C.20元 D.28π 【答案】D 【分析】利用正弦定理求出△ABC的外接圆半径r,再由线面垂直关系求出外接球半径，可 得其表面积 【详解】在三角形ABC中，设其外接圆半径为r, BC=2W5，∠BAC=120,sin120°=5 BC 银据正弦定理smB4C2=23 84,所以r=2 2 因为S41平面ABC,所以外接球的球心到平面ABC的距离4V5 设外接球半径为R,根据勾股定理R2=2 SA 代入解得R2=22+(3)2=4+3=7, 因此外接球表面积S=4πR2=4π×7=28π 已知椭圆c:多+1a≥b>0)的左、有焦点分别为A,乃，点P在C上，设I为△ 的内切圆圆心，若△P耳的面积为√3b,且PI=a,则C的离心率为() A号 B. 3 D. 5 2 【答案】B 【分析】结合余弦定理和三角形面积公式得到椭圆焦点三角形的面积公式S=6ta9,根 据已知条件即可得am?,再利用P叫=a得到内切圆半径r,最后利用三角形面积也等于半 周长乘以内切圆半径得到关于4，C的等式，求解即可得离心率， 【详解】设∠PRE=8,P=i,P=5, 根据椭圆定义有P+P=2a,在△P耳中，由余弦定理可得 1耳EP=2+-25cos6=(G+5)-23-2cos0, 即4c2=4d-251+cos9),整理得B=5（1+cos0), 2simn cos 又△P马的面积S=5sin0,由1+cos9 n20°2=tam2 2 2 2c0s2 可得8=公a子结合已知条件有m号5，所以号 =60°， 点I为内切圆圆心，所以PI是∠耳P乃的角平分线，设内切圆半径为r, 作D1P明，垂是为D,则D=r=sin9-5。 , 22 同时由等面积法可知S=+5+2上=a+e)。=画， 整理得a-c-(a+ea-e)-aa+e,进而得到c=a, 故C的离心率为S=】 a 2 8.设函数f=c+e,记a=(b=/s=1e"),则() A.b>a>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，比较自变量的范围和大小， 利用函数单调性和奇偶性比较即得 【详解】国为f()-。+。-f),所以函数是偶函数：所以()付) 当x>0时，e>l,此时有f(x)=e-e>0,所以函数f(x)=e+ex在(0，+o)单调递增， 又因为1eg:5-2og:loe2-1u所以分13子1 3 3 又因为2>25-1所以号1e:号2， 3 由国数的单调性可得引引不）即a6<。 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.样本相关系数r越接近0，则成对样本数据的线性相关性越强 B.1,2,4,5,6,12,18,20的上四分位数是15 C.某班30个男生的数学平均分为90，方差为4,20个女生的数学平均分为85，方差 为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.8 D.随机变量X的方差D(X)=20,期望E(X)=6,则E(X)=16 【答案】BC 【详解】A:两个相关变量的线性相关系数越接近0，这两个变量的相关性越弱，则A错误： B:该组数据共8个数据，又8×75%=6， 因此上四分位数为第6个数和第7个数的平均数，即2+18=15，因此B正确： 2 C:易知全班50个学生的数学成绩的平均值为×90+2×85=88。 3 因此方差为引4-(90-8]+引6+(85-8]-号-108，即c正确 D:因为D(X)=E(X)-E2(X),由方差D(X)=20,期望E(X)=6, 可得E(X)=56,即D错误 10.已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,A(x1,),B(x2,),C(x,)是E上不同的三个 点，AB的中点为P,O为坐标原点，直线1是E的准线，且1与x轴的交点为M,则下列说 法正确的有() A.若|AF曰BFI,则=龙 B.若AF=1FB,则∠AMO=∠BMO C.若点P的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为 6 D.若F是△ABC的重心，则点P的纵坐标不可能大于√2 【答案】ABD 【分析】由抛物线的定义可得A;设AB:x=少+1联立抛物线表示出韦达定理，表示出斜 率关系kM4=-ks可得B;结合中点坐标公式和韦达定理及抛物线方程表示出直线AB的斜 率可得C:利用中点坐标公式和重心坐标公式结合抛物线上的点的坐标性质化简可得D, 【详解】 对于A:因为抛物线E:y2=4x的焦点F1,O),所以|AF=x+1,BF上为+1，若|AF曰BF|, 则x+1=x十1，即=七，A正确： 对于B:若A下=FB,则A,F,B三点共线，设AB:x=y+1,代入抛物线方程得 y-4w-4=0,所以%为=-4，又-1,0)，所以k4=片，ko=六 5+1 5+1 2王+为”±一4+4+”氏+Ag亚 s+15+1+1+1 (+4)+4） (5+4(片+4 4 4 所以kw4=-kB,即MA,MB关于x轴对称，则∠AMO=∠BMO,B正确： 对于C:若点P的纵坐标为2，即当十当=2，则乃+，=4， 2 所以百能的的学安女金1 -=1, 44片+ 所以直线4B的领斜角为牙C结误： 对于D:若F是△ABC的重心，则+》+山=0，即片+为=-为①， 3 又P是AB中点，其纵坐标为t=当十业=-当 2 2 由重心横坐标公式+；+5=1，且x==12,3),可得好+好+=12②， 3 4 将①代入②得乃=⅓-6③， 因为A,B是E上不同的点，所以(4-为)>0④， 将②⑧代入④得到y<8,所以=<√5，D正确 2 11.如图，在长方体ABCD-4BCGD中，P为线段B,C上一动点（含端点），则下列说法正 确的是() D B A D A.若长方体的长宽高确定，则四面体APBD的体积为定值 B.存在点P,使得A=AB+2AD+A4 3 C.若底面ABCD为正方形，则过点P有且只有一条直线与AC,8A所成的角均为 7 D.若AB=AD=1,A4=√2，则平面ABD截长方体ABCD-ABCG1D的外接球所得 截面的面积是9z 10 【答案】ABD 【分析】对于A,由三棱锥体积公式求解即可：对于B,先设BP=B,C,元∈[0,1】，再用 ABADAA表示AP,再对比系数求解即可：对于C,过点P可以作两条直线与AC,BD所 成的角均为云；对于D,先求外接球半径，再求截面（截面为圆）的半径，进而求其面积 【详解】对于A,在长方体ABCD-AB,CD中，因为B,C/1AD,B,Cg平面ABD,ADC 平面ABD,所以B,C/1平面ABD,即点P到平面ABD的距离是定值，故四面体APBD的 体积为定值，A正确：对于B,设BP=B,C,1∈[0,1]，由向量运算 A亚P=AB+BB1+BP=AB+AA+BC-BB,上AB+AA+1D+AA) A+而+1-2)4，如果严=B+A+4,对比系数得：2=？ 3 所以存在点P,使得亚=AB+AD+4,B正确： 对于C,如图，连接BDAC交于点F,因为底面是正方形，所以BD⊥AC,过点F可以 作两条直线与AC,RD,所成的角均为二 舒这两条平行线平移到经过P点，所以过点P有两条直线与AC,8巴所成的角均为？ C错误： B D 对于D,设长方体的外接球球心为O,半径为R,AC1与BD交于点E, 则2R=√AB2+AD+A4=V1+1?+5=2 所以R=1,设O到平面ABD的距离为d, 利用客体达，无似ad0为面计节三德o-4D的体：写+5-昌 DT=E,340-分5点 2 再以aOBD为底面计算三棱锥O-A,BD的体积： 由题可知四边形AB,C1D是正方形，所以AC⊥BD, 又AC1⊥B,B,所以AC1⊥平面B,BD,所以AE⊥OBD,所以AE是三棱锥A-OBD的高， 4.msa子x-号 2 2 1 VA-CBD= 151迈 AE.SOBD= 3 32212 等体积法得：aoa0,所以4.5-点，解得d= 2-12 10 则平面4BD截长方体ABCD-ABGA的外接球所得截面圆的半径，=VR:-_310 10 2 其面积为加2=π 310 兀，D正确 10 10 D 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.一袋中有大小相同的4个球，其中3个红球和1个黑球.从该袋中随机取2个球，则取 到2个红球的概率是 【答】月 【分析】根据古典概型求解即可」 【详解】由题意，所求概率P= =赦答案为： c 2 13.已知f(x)=x2-2.x+a+1为偶函数，则不等式f(x)<3的解集为 【答案】(（-3,3) 【分析】根据偶函数的定义，由f(-x)=f(x)可求a的值，然后将不等式看作关于x的二次 不等式求解即可. 【详解】已知f(x)=x2-2x+a+1,则f(-x)=x2--2x+a+1, 由f(-x)=f(x),得x2-|-2x+a+1=x2-2x+a+1, 即-2x+a+1=2x+a+1对所有x成立. 若-2x+a+1=2x+a+1,化简得4x=0,不满足对所有x成立，舍去： 若-2x+a+1=-(2x+a+1),化简得a+1=-a-1,解得a=-1. 将a=-1代入f(x),得f(x)=x2-|2x| 不等式f(x)<3,即x2-2xk3,即-2-3<0，即(-3)+1)<0， +1>0,-3<0,即<3， -3<x<3.故答案为：（-3,3). 14.已知函数f(x)= (x-5x,x≤0 2 ,g(x)=f(x)-x+1.若g(x)恰有4个零点，则实数 Inx,x>0 k的取值范围是 【答案】(0,1) 【分析】令g(x)=0,即f(x)=c-1,得y=x-1与∫(x)的函数图像有4个交点，先求x>0 时y=低-1与f)=血x相切的切线方程，再求x≤0时，y=-1与f()=-5x) 相切的切线方程，最后利用导数研究单调性作出∫(x)的函数图像，利用数形结合即可求解 【详解】由题意有：g(x)恰有4个零点，令g(x)=0,即f(x)=c-1,所以y=x-1与f(x) 的函数图像有4个交点， k=1 当x>0时，设y=-1与f(x)=lnx相切于点(，%)，即=h,解得=1， y=a-1 即)=x-1与f四=l血x相切，当x≤0时，了)=-5)，所以了()=-x-列， 令fy-0,解得x=5,由>035≤0代对<0= V15 3 3 所以f()在 3 单调递减， 所以∫(x)的极小值为f 155M5 3 9, k=- 设y=-1与fx)=-(2-5x)相切与点(G),所以 -) %=- 所以切线方程为：y-=k(x-),又y=x-1过点(0，-1)， 所以-1+6-5)=-3-5列0-6)，解得=-1，即k=1, 所以y=x-1与f)=-5x)相切，作出f()的函数图像： 1=x-1/ yf(x) y=kx-1 由图可知：当k=0时，y=-1与∫(x)有3个交点， 当k=1时，y=x-1与∫(x)有两个交点， 所以y=x-1与f(x)的函数图像有4个交点，即0<k<1,故答案为：(0,1) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分)己知数列{a}的首项a=1,且满足4.-4-1=n(n≥2，neN) (1)求{a}的通项公式： (2)证明： L+L++<2 【答案】(1)a= n(n+1) 2 (2)证明见解析 【分析】(1)根据累加法及等差数列的前项和公式求解即可. (2)结合裂项相消法证明即可。 【详解】(1)当n≥2时，a.-a-1=n,则4-4=2,4-4=3，，a-a-1=n, 所以(a3-4)+(4-a)++(,-an-1)=2+3++n,即g-4=2+3+.+n 所以a=4+2+3++n=1+2+3++n= n(n+1) 2 当儿=1时，4=1满足上式，故a,}的通项公式为=m+ 2 *这女-动日- aa 因为N,所以，则11因t2做 12 16.(15分)如图，在四棱台ABCD-ABC1D中，上、下底面均为正方形，AA⊥底面ABCD, AB=2,AB=1,A4=2,点E为棱CC1的中点. A B E B (1)求证：AC1/I平面BDE; (2)求平面ABC与平面BDE夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (210 【分析】(1)利用三角形中位线性质以及线面平行的判定定理证明即可： (2)建立空间直角坐标系求出相应的向量坐标，再求出两个面的法向量，用平面夹角的向 量公式即可求出余弦值，进而求得正弦值 【详解】(1)证明：连接AC交BD于M点，如图所示： B 由ABCD是正方形得M为AC的中点， 因为E为CC的中点，所以ME为△ACC1的中位线， 于是ME/IAC1,又因为MEc平面BDE,AC1C平面BDE,所以AC1II平面BDE (2)由已知，AA⊥平面ABCD,AB⊥AD, 所以以A为原点，AB,AD,A4所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 如图所示， D B D 因为AB=2,AB=1,A4=2,所以A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),C1(1,1,2), 因为点上为能化的中点，所以器设平面4C的个法向量为后-（低，房2）。 4AB=0 2x=0 又AB=(2,0,0),AC1=1,1,2),则{ ，即 44C=0’5+y+25=0' 令31=-1，则x=0,片=2，则%=(0,2，-1)， 设平面BD驱的-个法向量为%=(s,4,2),又8D=(22.0),B驱=（221 13, 1hBD=0 -2x3+2y2=0 即 13 1BE=0 2名+2+=0令61→%=1,1，则%=(11，-0} 记平面ABC1与平面BDE的夹角的大小为日，则： n 'n 0×1+2×1+-1)×1月 3 cos e=cos() vi5 V02+22+(1)×2+12+(1 5x35 由图可知平面4BG与平面BDB的夹角为锐角，故sin8=VM-cos'日= 5 7.(15分)已知4B分别为双曲线B:年花 -=1(a>0,b>0)的左，右顶点，M为双曲 3 线B上异于AB的任意一点，直线M,MB斜率之积为子，B的焦距为2W7. (1)求E的方程： (2)过点(4,0)作直线I与双曲线E交于C,D两点(C,D不与A,B重合)，记1，AC,AD的斜 率分别为k,k,飞，证明： kk 为定值、 【路10片-号1 (2)证明见解析 【分析】(1)先设点，再应用斜率公式结合点在双曲线上计算得出=4，b2=3即可求解双 曲线方程 (2)设直线，再联立方程得出韦达定理，再应用斜率公式计算求解 【详解】(1)设M(6⅓），4(-a0),B(a0),且兰-发=1， a b2 则kuko=为为-(G-d)B3 6+a-ar(6-aa241 又焦距为2√7，则c2=d2+b2=7,.2=4,b2=3, “双曲线B的标准方程为：父-上-1 43 (2)由(1)知A(-2,0),设C(5,),D(x,乃) 因为C,D不与A,B重合，所以可设直线CD:x=y+4. 联立 -3=1,消x得：(3-4y2+24+36=0 x=y+4 2 故t≠士 -24t 36 :△=144+576>0，为+为=34'4=32-4' 5+6=当+低+2任2，k=盖上 x+2x2+2B+2)62+2) x1+2x2+2 可得+点=西+2)+%低+2）.为：+6H为+6)2%+6+）-21 k·k2 2 VV 4y2 k+飞=kk+飞=x（ǔ上-2. kk3“kk3t 18.(17分)某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的 概率为0.6，选择乙餐厅的概率为0.4，甲餐厅的准时送达率为0.95，乙餐厅的准时送达率 为0.9.已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立. (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率。 (2)在该用户的N次外卖点餐中，记准时送达的次数为X,若X的方差大于0.7，求N的最 小值， (3)平台推出“准时保”，每单需支付0.5元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元： 若外卖准时送达，则平台不赔付.该用户愿意购买准时保”的条件是亏损期望不超过0.3元， 试问他是否愿意购买准时保？说明你的理由. 【答案】(1)0.93： (2)11: (3)他愿意购买“准时保” 【分析】(1)根据给定条件，利用全概率公式列式求解 (2)由(1)的结论，利用二项分布的方差公式列式求解， (3)由(1)的结论，求出购买准时保”的期望，与给定条件比对即可， 【详解】(1)令事件B=“外卖点餐准时送达”，A=“选择甲餐厅”，A=“选择乙餐厅”， 依题意，P(A)=0.6,P(A)=0.4,P(B|A)=0.95,P(B|A①=0.9， 由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+PAP(BA)=0.6×0.95+0.4×0.9=0.9:, 所以该用户每次外卖点餐准时送达的概率为0.93. (2)依题意，X的所有可能取值为0,1,2，，N,X~B(N,0.93), 则D(X)=N×0.93×1-0.93)=0.0651N,由X的方差大于0.7，得0.0651N>0.7, 7 解得N> 065≈108，所以N的最小值为11 (3)他愿意购买“准时保 设他购买“准时保的净收益为Y元，则Y的所有可能取值为-0.5,2.5， P(Y=-0.5)=0.93,PY=2.5)=1-0.93=0.07,E(Y=0.93×(-0.5)+0.07×2.5=-0.29, 显然E(Y)=-0.29>-0.3,即亏损期望不超过0.3元，所以他愿意购买“准时保’. 19.(17分)己知函数f(x)=2nx-x. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性： (3)若a>0,f(x)≤e-x2恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)x-y-2=0 (2)答案详见解析 (3) -,+00 【分析】(1)由题可得切线方程斜率与切线所过点，据此可得答案： (2)分类讨论a≤0，a>0两种情况下，f()=2-匹的正负性可得单调区间： (3)由题可得e+nr≤e+心，结合份=g+x单调性，可得sg,最后由)= 10 单调性可得答案 【详解】(1)若a=1,则f(x)=2lnx-x,f0)=-1. 又f)=2-1,所以f0=2-1=1, 1 故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-(-1)=1×(x-1),即x-y-2=0: (2)f)的定义域为0，+四），f)=2-a=2= 当a50时，f)=2-匹>0，故f)在0，+四上单调递增； 当a>0时，令f=2-匹>0，解得0<x< 0 故了)在0)上单调递增，在(：m上单调递减： 2 (3)由f)≤e-x2,可得x2+2nx≤e"+ar,即e+hx2≤em+ar, 令g)=e+x,易知g(x)单调递增，由er+hx2≤em+ar,可得g(nx2)≤8(ax), 则lnr2s,即血xs 设)=.则)-.当>e时，0，h)单调通成 当0<x<e时，h>0,)单调递增，所以a(am-ne-, ee 所以因此a的取值范国为[尽- 「2 e 2026年高考数学模拟预测卷2（全国二卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B．2 C．9 D．21 5．已知单位向量，，满足，则向量，的夹角为（   ） A． B． C． D． 6．已知三棱锥，平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，设为的内切圆圆心，若的面积为，且，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．设函数，记，则（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．样本相关系数越接近0，则成对样本数据的线性相关性越强 B．1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15 C．某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.8 D．随机变量的方差，期望，则 10．已知抛物线的焦点为，，，是E上不同的三个点，AB的中点为P，O为坐标原点，直线l是E的准线，且l与x轴的交点为M，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若点P的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为 D．若F是的重心，则点P的纵坐标不可能大于 11．如图，在长方体中，P为线段上一动点（含端点），则下列说法正确的是（   ） A．若长方体的长宽高确定，则四面体的体积为定值 B．存在点P，使得 C．若底面为正方形，则过点P有且只有一条直线与，所成的角均为 D．若，，则平面截长方体的外接球所得截面的面积是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．一袋中有大小相同的4个球，其中3个红球和1个黑球．从该袋中随机取2个球，则取到2个红球的概率是______． 13．已知为偶函数，则不等式的解集为______． 14．已知函数.若恰有4个零点，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列的首项，且满足． (1)求的通项公式； (2)证明：． 16．（15分）如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 17．（15分）已知分别为双曲线的左，右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线，斜率之积为，的焦距为． (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线交于，两点（不与重合），记的斜率分别为，证明：为定值． 18．（17分）某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为，选择乙餐厅的概率为，甲餐厅的准时送达率为，乙餐厅的准时送达率为．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． (2)在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于，求的最小值． (3)平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 19．（17分）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，恒成立，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $