河南周口市第一高级中学等校2026届高三5月考前自测数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1,已知复数之=6i(一1+i),则乏= A.6+6i B.6-6i C.-6-6i D.-6+6i 2 2已知命题p:x<3,z二2>2，命题g:3x<0,x2=一z,则 A.力和q都是真命题 B.力和g都是真命题 C.一p和q都是真命题 D.一p和g都是真命题 3.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有60%的学生喜欢足球，80%的学生喜欢篮球，50% 的学生既喜欢足球又喜欢篮球.若对只喜欢足球和只喜欢篮球的学生用等比例分层随机抽样 的方法进行抽样调查，抽取的样本中只喜欢足球的学生有3人，则抽取的样本中只喜欢篮球 的学生有 A.3人 B.4人 C.6人 D.9人 4.若cos(a+)=3,则sin2a= A② C、42 9 9 D、 9 5.已知点（一23），(-2，-3)，(4，w⑤)，(4,3)中有3个点在双曲线C:之2=1(a> 0,b>0)上，则双曲线C的渐近线方程为 A.y=士x B.y=士√2x C.y=士√3x D.y=±√/15x 6.已知函数f(x)的定义域为R,f(3十x)+f(一1一x)=0,且f(x)在(2，+∞)上单调递增，则 A.f(-ln6)>-f(3)>f(-2-c) B.f(-2-c)>-f(3)>f(-ln6) C.f(-2-)>f(-ln6)>-f(3) D.-f(3)>f(-ln6)>f(-2-) 【高三数学第1页（共6页）】 ·HEN· 7、某社区使用无人机配送生活物资，配送站A的位骚为A(4,3)(单位，千米)，小区B的位留为 B(3,)、若无人机飞行过程中存在恒定风力干扰，对应位移偏移单位向徽为0= (受，一受)，即无人机每主动飞行1千米，会额外叠加®的偏移位移目标位移对应的向经 是无人机主动飞行对应的向量与风力偏移对应的向量之和.若无人机要从A沿直线匀速精 准到达B,则其主动飞行的方向向量为 A(-》 B(-,》 c(-89》 D(-》 8.若a2-b>26一2al,则 A.ab B.a<b C.2ln a<ln b D.ln(a2+1)>ln(b+1)≥0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知a,b,c,d成等比数列，则下列三个数一定可以构成等比数列的是 A.a+6,6+c,c+d B.ab,bc,cd C.a-b,b-c,c-d D.a2+b2,b2+c2,c2+d2 0.已知函数fz)=tanx士则 Af(x)是奇函数 B.f(x)在(0，牙)上单调递减 C.f(x)的值域为[2，+∞) D.f(x)的最小正周期为π 11.如图，在该九面体中，六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，△BCH,△EFG均为正三 角形，且平面BCH,平面EFG均垂直于平面ABCDEF,则下列结论正确的是 AGH平面ABCDEF B.该九面体的体积为8 C该九面体外接球的表面积为5码 2√5 D.二面角A-BH-C的正弦值为 【高三数学第2页（共6页）】 ·HENs 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.2026人形机器人半程马拉松于4月19日开跑，共有300多台机器人参赛.某人形机器人在 加速奔跑时，电机转速逐秒依次构成等差数列，已知第3秒转速为240r/min,第7秒转速为 360r/min,则第4秒转速为▲r/min. 13.若函数f(x)=x3一ax2+4有且仅有2个零点，则a=▲ 14已知圆0，x+y=经过描圆C:+芳-1a>6>0)的焦点，P为桶圆C上的动点，过 点P作圆O的切线，切点为A,B,若存在点P,使得四边形OAPB为矩形，则椭圆C的离 心率的取值范围是▲· 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin2A十sin2B=sin2C. (1)求△ABC的内角中最大的角的大小； (2)延长BC至点D,使得BD=2BC,连接AD,若5b=3a,AD=2√13，求△ABC的面积. 【高三数学第3页（共6页）】 ·HEN· 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,△PAD为等边三角形，四边形 ABCD为等腰梯形，AD∥BC,AB=CD=4,BC=8,E为PB的中点. (1)若AD=4,证明：AE/平面PCD (2)若直线AE与平面PAD所成的角为，求AD的长度。 B 17.(15分) 为了调查某疾病的预防及患病情况，从甲、乙两个社区各随机抽取500人，甲社区有50人患 该疾病，乙社区有25人患该疾病，用频率估计概率， (1)从甲社区随机抽取1人，求这个人患该疾病的概率. (2)从甲、乙两个社区各随机抽取1人，设X为患该疾病的人数，求X的分布列及数学 期望， (3)若接种了预防该疾病的疫苗，则只有5%的概率患该疾病；若没有接种预防该疾病的疫 苗，则有50%的概率患该疾病.从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的 疫苗的概率 【高三数学第4页（共6页）】 、 ·HEN· 18.(17分) 已知函数f(x)=x-1 -aln x. (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论f(x)的零点个数： (3)若f(x)有3个零点x1,x2,x3（x1<x2<x3),证明：x1十x2十x3>3. 【高三数学第5页（共6页）】 ·HE 19、(17分) 已知O为坐标原点，抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与C交于P,Q 两点，|PQ|的最小值为4. (1)求C的方程， (2)记过点P且与C相切的直线为l,过点P作直线l的垂线交C于另一点H,求|PH|的 最小值、 (3)是否存在定圆M,使得以PQ为直径的圆始终与M相切？若存在，求圆M的方程；若不 存在，说明理由、 【高三数学第6页（共6页）】 ·HEN·高三数学参考答案 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 D C D B A B A D BD ABD ACD 270 3 「321 L3’2 【评分细则】 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分 【2】第9题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分；第10,11题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分 【3第12,13,14题，凡与答案不符的均不得分 1.D【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养 z=6i(-1+i)=-6-6i,x=-6+6i. 2.C【解析】本题考查常用逻辑用语，考查逻辑推理的核心素养. x一2>2，解得2<<3，所以p是假命题，p是真命题， 当x=一1时，x2=√一x显然成立，所以q是真命题，一q是假命题. 3.D【解析】本题考查统计，考查逻辑推理的核心素养 由题意可得，有10%的学生只喜欢足球，有30%的学生只喜欢篮球，抽取的样本中只喜欢篮 球的学生有3×8说9人 4.B【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养 因为os(2a+》=2os(o+9)-1=号，所以s如2a=-o(2a+》-子 5.A【解析】本题考查双曲线，考查直观想象、数学运算的核心素养. [43 a2 b2 =1, 根据双曲线的对称性可得点(4，一√3)不在双曲线C上.由 得a2=b2=1,所以 1615 (a262=1, 双曲线C的渐近线方程为y=士x. 6.B【解析】本题考查函数，考查逻辑推理的核心素养 因为f(3+x)+f(-1一x)=0,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称.因为f(x)在(2，+∞) 上单调递增，所以f(x)在(-o∞，0)上单调递增.因为一f(3)=f(-1),一2->-1>-ln6, 所以f(-2e)>-f(3)>f(-ln6). 7.A【解析】本题考查平面向量，考查应用意识 【高三数学·参考答案第1页（共9页）】 ·HEN· AB=(-1,一2).设无人机主动飞行的方向向量为v=(xy),则无人机主动飞行的距离d= V+y,风力偏移对应的向量为V十y0=(②立，②+立).由题意可得 2 2 2d=-1, 2 √2d y =-2,解得y=2 则=(-) 5w2 d=√x2+y, d= 2 8.D【解析】本题考查函数，考查逻辑推理的核心素养， 因为a2-b>25-2a,所以a2+2a>b+25,即|a2+2a>(b)2+25.令f(x)=x2+ 2,则f(a|)>f(6).因为f(x)是定义在[0，十∞)上的增函数，所以|a|>6,即a2>b≥ 0,a2+1>b+1≥1，ln(a2+1)>ln(b+1)≥0. 9.BD【解析】本题考查等比数列，考查逻辑推理的核心素养 设a,b,c,d的公比为q.若q=一1，则A选项无法构成等比数列.同理，若q=1,则C选项无 法构成等比数列.对于B,D选项，能构成公比为q的等比数列. 10.ABD【解析】本题考查三角函数，考查逻辑推理的核心素养， fx)的定义域为{xz≠受∈Z,关于原点对称f(一z)=an(一x) 'tan(-x)= 1 一tanx一 =一f(x),f(x)是奇函数，A正确. tan x 当x∈(0，牙)时，tanx∈(0,1)，函数y=tanx在(0，平)上单调递增，函数y=x+在(0， 1)上单调递减，所以f(x)在(o,牙)上单调递减，B正确.当x∈（牙，）时，tanx∈(1， 十o),函数)y=tanx在（牙，）上单调递增，函数y=x+上在(1，十o∞)止单调递增，所以 f(x)在（不，）上单调递增，f(x)的值域为(-∞，一2]U[2,十∞)，C错误。 1 f(x十π)=tan(x十π) tan(x+)=tanx十anx=f(x),所以f(x)的最小正周期为元， D正确. 11.ACD【解析】本题考查立体几何，考查直观想象、数学运算的核心素养 对于A,分别取线段BC,EF的中点J,K,连接KJ,HJ,GK,在△BCH中，HJ⊥BC,因为 平面BCH⊥平面ABCDEF,平面BCH∩平面ABCDEF=BC,所以HJ⊥平面 ABCDEF,同理GK⊥平面ABCDEF.因为HJ=GK=√3，所以四边形GHJK是平行四 边形，所以GHJK,所以GH∥平面ABCDEF,A正确.对于B,该九面体可分成四棱锥 【高三数学·参考答案第2页（共9页）】 ·HEN· A-BHGF,四棱锥D-CEGH,三棱柱BCH-FEG三部分，且四棱锥A-BHGF与四棱锥 D-CEGH的体积相等.记点A到平面BHGF的距离为h.三棱锥GABF的体积为 局5a·Gk=吉5·h,即宁×何X5=号×号×2,5×2h,解得h- ·四棱锥 A-BHGF的体积为×43×号-2，三棱柱BCH-FBG的体积为9×2×2v3=6,所以 该九面体的体积为2×2十6=10，B错误， 对于C,记该九面体外接球的半径为r,该九面体外接球的球心到平面ABCDEF的距离为 ,则2-(-十6y-,解得红- 3,所以该九面体外接球的表面积 为心-，C正确， 对于D,(解法一)作CM⊥BH,垂足为M,作NM⊥BH,NM∩AH=N,连接CN,AJ. ∠CMN为二面角A-BH-C的平面角.CM=√3.在△ABH中，AB=BH=2,BM=HM= AH 1,AH=√HJ+AJ=√0，cos∠AHB BH=4=R,所以HN=2 2√10_MH 5,MN= V15AN_310.在△ACH中，AC=2W3,CH=2,cos∠CAH=2AC二CH 2AH·AC 3√3 ,CV2=AN2+AC2-2AN·ACcos∠CAH= 2 MN2+MC2-CN2 20 5,Cos∠CMIN= 2MN·MC ，sin∠CMN-25 √ ,所以二面角ABH-C的正弦值为，D正确. (解法二)连接BF,AD,记BF∩AD=O,以O为 坐标原点，OB,OD所在直线分别为x,y轴，建立 如图所示的空间直角坐标系，则A(0,一1,0)， B(W3,0,0),H(√3,1，W3),AB=(3,1,0),Bi =(0,1,w3) 设平面ABH的法向量为m=(x,y,之)， m·AB=√3x十y=0, 则 取m=(1,-√3,1). m·BH=y+√3z=0, 易知平面BCH的一个法向量为O=(W3,0,0). cos(m,OB)= m.OB5 ImB5,sin(m,OB)=2v5 ,所以二面角A-BH-C的正弦值为5，D 正确. 【高三数学·参考答案第3页（共9页）】 ·HEN· 12.270【解析】本题考查等差数列，考查应用意识. 由题意可得a3=240,a7=360,则4d=a7-a3=120,所以d=30,a4=a3+d=270. 13.3【解析】本题考查函数与导数，考查逻辑推理、数学运算的核心素养」 f'(x)=3x2-2a.x=x(3x-2a).若a=0,则f'(x)≥0，f(x)是增函数，f(x)只有1个零 点，不符合题意.若a<0,则当x∈(-，)U(0,+o)时，f'(x)>0,当x∈(2,0)时， f'()<0,所以f(x)在(-，号)，(0，十∞)上单调递增，在（号，0）上单调递减因为 f(x)的极小值为f(0)=4,所以f(x)只有1个零点，不符合题意.若a>0,则当x∈（一∞， 0U(号，+∞)时，f'x)>0,当x∈(0，号)时，(x)<0,所以f(x)在(-o,0U(号， +∞)上单调递增，在(o,)上单调递减.要使得f(x)有且仅有2个零点，则f(x)的极小 值f(2)=(2）)3-a(2)+4=0,解得a=3. 4] 【解析】本题考查椭圆，考查直观想象、逻辑推理的核心素养 记椭圆C的焦距为2c.因为圆O经过椭圆C的焦点，所以r=c.因为四边形OAPB为矩 形，且|PA=PB|,所以四边形OAPB为正方形，△OAP为等腰直角三角形，|OP|= V厄0A1-2.因为P为椭圆C上的动点，所以C1OP<a,即6<区：<a,解得'写<合 ≤号.即精圆C的离心率的取值范阀是[得号] 15.【解析】本题考查解三角形，考查直观想象、数学运算的核心素养， (1)sin 2A+sin 2B=sin[(A+B)+(A-B)+sin(A+B)-(A-B)] =2sin(A十B)cos(A-B)=2 sin Ccos(A一B).…2分 Sin2C=2 sin Cco0sC.…3分 因为sin2A+sin2B=sin2C,所以2 sin Ccos(A-B)=2 sin Ccos C. 因为sinC≠0，所以cos(A一B)=cosC.… …4分 因为A,B,C∈(0，π)，所以A一B=C或A一B+C=0,…5分 所以A=》或B三7， 6分 所以ABC的内角中最大的角的大小为受 …7分 (2)因为5b=3a,所以A>B,结合(1)可得A= 21 …8分 设a=5x,则b=3z,c=4,BD=10x,60sB=合-号，inB=号 3 …10分 【高三数学·参考答案第4页（共9页）】 ·HEN· 在△ABD中，AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B=52, 即16x2+100x2-2X4×10x×号=52解得x=1(x=-1舍去），… 12分 =4,BC=5,SA4c三)AB·BCsin B-=6。 16.【解析】本题考查空间向量与立体几何，考查直观想象、数学运算的核心素养， 解：取AD的中点O,作OG⊥BC,垂足为G,连接OP.以O为原点，OA,OG,OP所在直线 分别为x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系.…1分 (1)证明：若AD=4,则A(2,0,0),P(0,0,2√3)，E(2w√3，√3)，D(-2,0,0),C(一4,23， …3分 Ai=(0,W3,3),DC=(-2,23,0),Dp=(2,0,23).…4分 n.DC=-2x+2√3y=0, 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则 n·DP=2x+25z=0, 取x=√3，得n=(W3,1,-1). …5分 因为n·AE=0,所以n⊥AE,所以AE/平面PCD.… …6分 (2)设OA=a,OG=b,则(4-a)2+b2=16,即b2=8a-a2.… …7分 Aa00E(会，2）)a店-(8-a92) 。…9分 E 易得平面PAD的一个法向量为n=(0,1,0).…11分 直线AE与平面PAD所成的角为0，则sin0=sinT=cos(n,A正) 6 b n·AE 13分 nAE √(2a)2+613a 2 4 4 -4a+4. 结合6=8-a,解得a=2士2压，所以AD=4士4 51 ………15分 【评分细则】 第(1)问还可以这样证明： 取PC的中点F,连接EF,DF(图略).…1分 在△PBC中，E,F分别为PB,PC的中点，所以EFBC,EF= …2分 因为AD/BC,AD=2BC=4,所以AD/EF,AD=EF,… 3分 【高三数学·参考答案第5页（共9页）】 ·HEN· 所以四边形AEFD为平行四边形，所以AEFD.…4分 因为AE中平面PCD,FDC平面PCD,所以AE平面PCD.…5分 17.【解析】本题考查随机变量及其分布，考查逻辑推理、数学运算的核心素养 解：(1)设A=“从甲社区随机抽取1人，且这个人患该疾病”，用频率估计概率，则P(A)= 501 50010 …3分 （②)结合1得P)=品 设B=“从乙社区机抽取1人，且这个人患该疾病”，则P(B)=石-则P(B)9 201 …5分 X的所有可能取值为0,1,2. P(X=0)=P(AB)=171 200 6分 1 P(X=2)= 200 …7分 P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2) 50 8分 X的分布列如下表： 0 1 2 171 7 1 P 200 50 200 E(X)=1X0十2X,、3】 20020 10分 (3)从甲社区随机抽取1人，设这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率为P, 则5%P+50%1-P)=0解得P- . 15分 18.【解析】本题考查函数与导数，考查逻辑推理、数学运算的核心素养。 (1)解：当a=2时，f()=x-1-2nx,f(1)=0, ……1分 f)=1-是f0)=0, 2分 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=0.…3分 (2)解：f'(x)=1+1-a=x2-ax+1 22 x2 ,x>0 二次函数y=x2-ax十1的图象过点(0,1)，对称轴为直线x=g, 当号≤0或 【高三数学·参考答案第6页（共9页）】 ·HEN· &0, 时，y=x2-ax十1≥0在(0，十∞)上恒成立，此时a≤2. …5分 △=a2-4≤0 故当a≤2时，f(x)=一a+1≥0，f(r)在0，十o)上单调递增 x2 因为f(1)=0,所以f(x)只有1个零点.… 6分 当a>2时，方程x-au十1=0有2个正根，记为4-0-4<1，x,-Q十V@4 2 2 1, …7分 所以当x∈(0，x4)U(x5,十∞)时，f'(x)>0,当x∈(x4,x5)时，f'(x)<0 f(x)在(0，x4),(x5,十∞)上单调递增，在(x4,x5)上单调递减. 因为f(1)=0,所以f(x)在(x4,xs)上有1个零点，且f(x4)>0,f(x5)<0.…8分 f(e-1 …9分 令g(a)=e-a2-l,a>2,g'(a)=e-2a. 令h(a)=g'(a),a>2,则h'(a)=e-2>0,所以h(a)=g'(a)在(2，十o∞)上单调递增. g(a)>g'(2)=e2-4>0,所以g(a)在(2，十o∞)上单调递增，g(a)>g(2)=e2-5>0, 所以f(e)>0,e>x5,f(x)在(x5,e)上有1个零点，即f(x)在(x5,+∞)上有1个 零点 …11分 同理可得f()<0,f(x)在0，x4)上有1个零点. 故当a>2时，f(x)有3个零点.… …12分 综上，当a≤2时，f(x)只有1个零点；当a>2时，f(x)有3个零点. …13分 (3)证明：结合(2)可得，0<x1<1,x2=1,x3>0,所以>1. f)=-1 -aln x1-0, x1 当x>1时，有且仅有f(x)=0,所以上 15分 十十=+1+221云+1=3，当且仪当=1时，等号成立， 但0<x1<1,取不到等号，所以x1十x2十x3>3.…17分 19.【解析】本题考查抛物线，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养 解：(1)当|PQ取最小值时，PQ⊥x轴，…1分 此时P(2,士p）,PQ=2p=4,解得p=2,… 2分 【高三数学·参考答案第7页（共9页）】 ·HEN· 所以抛物线C的方程为y2=4x.…3分 (2)根据对称性，不妨设点P在第一象限，直线1的方程为y=x十b(k>0). (y=kx+b, 由 得x2+(2b-4)x十b2=0. y2=4x, 由4-(2h-0-级6-0，得幼-1，则x-是y-名，所以P(侵2)】 设过点P且与直线1垂直的直线的方程为y=一(x一)十名， …5分 4 与y=4x联立可得y+4ky一2-8=0. 4 设P(x1y),H(x2y),则1十y2=-4k,y1y=一e-8, 1PH=√1+&/+2)-4g-42+1W原+I (2+1) 2 ,…7分 k 令-x>0,f)-a少，则re)-+2-山 当x∈(o,号)时，f'(x<0,当x∈（号，+∞）时，f'x)>0,所以f(x)在(0,2)上单调递 减，在（分，十∞）上单调递增，所以fx)≥(3)27 8分 PH4kD63,当且仅当三号时，等号成立，所以PH的最小值为6 ……9分 (3)设直线PQ:x=my十1，P(x1,y1),Q(x3,y3). (x=my+1, 由 y2=4x, 得y2-4my-4=0,△=16m2+16>0,y1+y3=4m,y1y3=-4, 工十x_m（31士)+2=2m+1,y业=2m,则PQ的中点N(2m2+1,2m).… 2 …11分 |PQ=√m2+1·√y1+y3)2-4y1y3=√m2+1·√16m2+16=4m2+4, 则以PQ为直径的圆的圆心为N(2m2+1,2m),半径R=2m2+2.…12分 假设存在符合题意的定圆M,设M(s,t),半径为r,则有MN=|R士r|, 即(2m2+1-s)2+(2m-t)2=(2m2+2-r)2恒成立， 或(2m2+1-s)2+(2m-t)2=(2m2+2+r)2恒成立.… 13分 若(2m2+1-s)2+(2m-t)2=(2m2+2-r)2, 化简得4m2(r-s)-4m+s2+t2-r2+4r-2s-3=0, 【高三数学·参考答案第8页（共9页）】 ·HEN· r一s=0, 则一4t=0, 解得t=0, s2+t2-r2+4r-2s-3=0, 3 故存在定园M:(红一)}+y-},符合题意。 9 15分 若(2m2+1-s)2+(2m-t)2=(2m2+2+r)2, 化简得4m2(r+s)+4tm-s2-t2+r2+4r+2s十3=0， r十s=0, 则4t=0, 解得t=0, 舍去 16分 -s2-t2+r2+4r+2s+3=0, r=-3 2 综上，存在定圆M:(x一多)》+y2-号，使得以PQ为直径的圆始终与M相切.…17分 回▣回 【高三数学·参考答案第9页（共9页）】 ·HEN·