2026年山东省济南市市中区数学二模试卷

九年级二模测试数学答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 A B C C D C 二、填空题 11.x≥1即可（答案不唯一）12. 2-5 13.63°14.115. 7 三、解答题 16.(本小题满分7分) D+(2026-xr-周+5-2斗-2os30 原式=25+1-5+2-5-2×3 5分 =-27分 17.(本小题满分7分) 2(x-3)<-x+6① 2x-1<5x+3② 3 2 解：解不等式①得，x<42分 解不等式②得，x≥-14分 所以不等式组的解集为：-1≤x<46分 则该不等式组的正整数解为：1,2,3.7分 18.(本小题满分7分) 证明：四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD,∠A=∠C, 又：DE=DF,.AD-DE=CD-DF,即AE=CF,5分 △ABE≌△CBF,6分 ∴.∠ABE=∠CBF.7分 2 Q m 四 m 19.(本小题满分8分) 解：(1)：AM⊥MD,.∠AMC=90°， 在Rt△ACM中，∠AMC=90° sin∠ACM=AM Ac AM=AC·sin∠ACM=130×sin67°2分 ≈130×0.92=119.6(m) 答：无人机的飞行高度AM为119.6m;3分 (2)过点B作BN⊥MD于点N ∴.∠BND=∠BNM=90°， 'AFIIMD,.∠ABN=∠BND=90°，∠FBD=∠BDN=33°， ∴.∠AMC=∠MNB=∠ABN=90°， ∴.四边形AMNB为矩形，4分 .AM=BN,AB=MN, 在Rt△ACM中，∠AMC=90° cos∠ACM=MC AC ∴.MC=AC.cos∠ACM=130×cos67°≈130×0.39=50.7,5分 在Rt△BDN中，∠BND=90° tan∠BDN= BN DN BN .DN= 119.6119.6=184.0,7分 tan∠BDN tan33°0.65 .CD=MD-MC=MN+DN-MC≈30+184.0-50.7=163.3(m) 答：CD的长为163.3m.8分 D 20.(本小题满分8分)解：(1)如图，连接OD, :FD为⊙O的切线，∠ODF=90°，1分 .∠ADF+∠ADO=90°， 由题可知AB是⊙O的直径 ∴.∠ADB=90°，2分 ∴.∠ADO+∠ODB=90°，.∴∠ADF=∠ODB OD=OB,.∠ODB=∠OBD,3分 :AD=AD,∴.∠ACD=∠OBD,∴.∠ACD=∠ADF.4分 D (2)连接DG .CG是⊙O的直径，.∠CDG=∠ADB=90°， CD=CD,∴.∠DAE=∠DGC,5分 .△DAE∽△DGC,∴.∠AED=∠GCD.6分 在Rt△GCD中，∠CDG=90° sin∠Gcp=DG、Vf3 CG 5 设DG=V13x,CG=5x DG2+CD2=CG2,即(W13x)2+62=(5x)27分 解得x=V3 CG=53. 8分 D 21.(本小题满分9分) 解：(1)15÷25%=60（人） 答：随机抽取的学生人数为60人.2分 (2)12,184分 (3)补全频数分布直方图为： 人数（频数） 30--------------- 25 20 20 16 15 12 12 5分 10 306090120 t/分钟 (4)627分 20+12 (5)4200× 8分 60 =2240(人) 答：估计该校全体学生中每周体育锻炼时间不少于60分钟的学生人 22.(本小题满分10分) 解：(1)设A型网箱的单价是x万元，则B型机器人的单价是x+ 180300 由题意得： 3分 x+40 解得：x=60,4分 经检验x=60是原方程的根，且符合题意5分 ∴.x+40=60+40=100 答：A型网箱的单价是60万元，B型机器人的单价是100万元. (2)设购买A型网箱n个，则购买B型机器人(20-m)个， 由题意得：20-m≥。m, Γ3 解得：m≤15,7分 数是2240人.9分 40万元1分 6分 设投资总额为w万元， 由题意得：w=60m+100(20-m)=-40m+2000,8分 .-40<0,.w随m的增大而减小， ∴.当m=15,w有最小值9分 此时w=-40×15+2000=1400(万元) 答：采购A单元15个时总投资总额最少，最少投资总额为1400万元. 23.(本小题满分10分) 解：(1)正比例函数y=r经过点A2,a,∴a=2,1分 点A2,2), :反比例函数y=k经过点A(2,2),k=2x2=4,2分 一次函数y=mx+3经过点A2,2),.2=2m+3,.m=- 2 (2).OA沿AP方向平移得到PQ,∴.OAIIPO且OA=PQ, ∴.四边形OAPQ为平行四边形 连接OP .·平行四边形OAPQ为的面积为6，.△OPA的面积为3,4分 .SACOP-SACOA=3, 1 一次函数y=-二x+3,C(0,3). 4 设PPp 则二×3×p-二×3×2=35分 2 解得p=4 .P(4,16分 (3)过点B作BG⊥BC,交CQ的延长线于点G 过点B作y轴的平行线I,过点C和点G,分别作CM⊥I,GN⊥l .∴.∠CMB=∠GNB=90°，∴.∠MCB+∠MBC=90°， 10分 3分 又.∠GBN+∠MBC=90°，.∠MCB=∠GBN, BN GN BG ∴.△MCB∽△NBG, CM MB BC 1 BG 1 :tan∠BC0=3'÷Bc=3' 次函数y三二)x+3,B6,0,BNG 63 .BN=2,GN=1,.G(5-2),7分 又C0,3,.CQ解析式：y=-x+3,8分 设Q(t,-t+3) ,四边形OAPQ为平行四边形，.Pt+2,-t+5), :P在反比例函数上，.t+2)(-t+5)=4,9分 解得t,= 3+V333-√33 ,t2 (舍去) 2 2 10分 0 B 6 24.(本小题满分12分) 解答：(1)：y=x2+bx+c过A-1,0),B(3,0): 0=1-b+c b=-2 0=9+3b+c 解得 c=-3 2分 ∴.抛物线的表达式y=x2-2x-3.3分 (2).直线y=mx+n过点A-1,0,.m=n,∴. 1 三 3 y=mx+m, 抛物线的对称轴为直线x=1 .E(1,2m,4分 点B(3,0和C0,-3),.BE2=4+4m2,BC2=18,CE2=1+(2m+3)2, 若△CBE是直角三角形，则只能∠CBE=90°或∠CEB=90° 若∠CBE=90°，则BE2+BC2=CE2,解得m=16分 若∠CEB=90°，则BE2+CE2=BC,解得m=-3+7 4 :△CBE是锐角三角形，∴综合得-3+V7 <m<1.8分 4 (3)连接BC,由点B(3,0和C0,-3,则直线BC的解析式为y=x-3, 过点M作MQy轴，交BC于点Q, 设点M的坐标为a,a2-2a-3,∴点2的坐标为(a,a-3), .MQ=a-3-a2-2a-3=-a2+3a, 5aw-+3ax3=引。-名.9分 20-2+8 2 8 :当a=3时，△BCP的面积最大，最大值为 7 ,10分 .n=1, .直线AD的解析式为y=x+1,∴.AD/BC, ∴.N到BC的距离=A到BC的距离（或D到BC的距离） SnCw=Sa4c=2×4×3=6,为定值， 2775 :.△BMN面积的最大值为6+ .12分 88 25.(本小题满分12分) 解：(1)判断：AE=2BD1分 证明：：在Rt△ABC中，BC=4,AC=8, BC 1 AC2' CD 1 .CE =2CD,.. CE 2 CD BC ，2分 CE AC .∠DCE=∠ACB=90°，∴.∠ECD-∠BCE=∠ACB-∠BCE, ∴.∠DCB=∠ECA,3分 ∴.△DCB∽△ECA, “AECE2,即AE=2BD,4分 BD CD 1 D (2)由(1)得△DCB∽△ECB,AE=2BD ∴.∠CAE=∠CBD, 又.∠CHA=∠DHB,∠ADB=∠ACB=90°，5分 :DB=DE,AE=2BD,A、E、D三点共线， D E .AD=3BD,6分 ,在Rt△ABC中，BC=4,AC=8, 由勾股定理得AB=4V5 .在Rt△ABD中 BD2+(3BD)2=(4V5)2 .BD=22,.AE =2BD=42.8 (3)过点P作PQ⊥AE交AB于点Q C E D 0 ∴.∠AFE=∠APQ=90°， ∠PAQ=∠FAE, △APQ∽△AFE,9分 ..40 AP1 AE AF 2 :BD=2,:AE=2BD=4,.AQ=2,10分 :∠APQ=90°， .点P在以AQ为直径的圆周上运动（一段圆弧），记圆心为O,半径= 当OP⊥AB时，△ABP取最大值，11分 AB=4V5,.OB=4N5-1. 所以此时BP2=(4V5-1)2+12=82-8V5.12分 40=1, 2 2026年九年级学业质量检测 数学试题 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1．在，0，，1中，最小的数是 A． B．0 C． D．1 2．下列几何体中，左视图和俯视图相同的是 A． B． C． D． 3．根据国家统计局的数据，2025年11月中国生产芯片约431840000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据431840000000用科学记数法可以表示为 A． B． C． D． 4．如图，，，，则的度数是 A． B． C． D． 5．下列各式计算正确的是 A． B． C． D． 6．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是 A． B． C． D． 7．如图，在正五边形中，连接对角线，，则的度数是 A． B． C． D． 8．不透明的盒子中有三张卡片，上面分别印有2026年米兰-科尔蒂纳冬奥会的金、银、铜奖牌图案，除图案外三张卡片无其他差别．从中随机摸出一张卡片，记录其图案，放回并摇匀，再从中随机摸出一张卡片，记录其图案，那么两次记录的图案是相同奖牌图案的概率是 A． B． C． D． 9．如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，再以点为圆心，以的长为半径作弧交直线于点，连接交于点，连接．以下结论不一定正确的是 A． B． C． D．平分 10．在平面直角坐标系中，已知二次函数，将其图象在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形．，是图形上两点，若对于，，都有，则的取值范围是 A．或 B． C． D．或 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11．若二次根式在实数范围内有意义，写出一个符合要求的的值：__________． 12．在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为__________． 13．将一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置．若，那么的度数是__________． 14．共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有A，B两种品牌的共享电动车，图象反映了收费（元）与骑行时间（分钟）的关系，其中A品牌共享电动车的收费方式对应，B品牌共享电动车的收费方式对应．当骑行时间为25分钟时，A品牌共享电动车比B品牌共享电动车收费少__________元． 15．如图，在矩形纸片中，，是上一点，将纸片沿过点的直线翻折，使点落在点处，点恰好落在延长线上的点处，折痕交于点．若，，则__________． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分7分）计算：． 17．（本小题满分7分）解不等式组，并写出所有正整数解． 18．（本小题满分7分）如图，在菱形中，点，分别在，边上，，求证：． 19．（本小题满分8分）数学兴趣小组借助无人机开展实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组令一架无人机从河岸边的处，沿仰角方向飞行130米到达点处，然后无人机沿水平线方向继续飞行30米至处，测得此时河对岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上． （1）求无人机的飞行高度； （2）求的长． （结果精确到0.1 m．参考数据：，，，，，） 20．（本小题满分8分）如图，是四边形的外接圆，点在上，过点作的切线交延长线于点，对角线，交于点，是的直径． （1）求证： （2）若，，求直径的长． 21．（本小题满分9分）某校举行校园体育文化节，体育社团为了解学生日常体育锻炼的情况开展了统计活动． 【收集数据】体育社团设计了如下调查问卷，在全校随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据．（被调查学生两个问题全部按要求作答并提交） 调查问卷 问题1：你日常体育锻炼的主要项目是（ ）．（单选） A．跑步类 B．球类 C．健身操类 D．其他 问题2：你每周体育锻炼的时间是_______分钟． 【整理和表示数据】 第一步：将“问题1”的数据进行整理后，绘制成如下的人数统计表和扇形统计图； 第二步：将“问题2”中每周体育锻炼的时间（分钟）整理分成4组：①，②，③，④，并绘制成如下的频数分布直方图． 学生体育锻炼项目的人数统计表和扇形统计图 学生每周体育锻炼时间的频数直方图 项目 人数 A 30 B C 15 D 3 （1）求随机抽取的学生人数； （2）统计表中的________，扇形统计图中D项目所对应扇形的圆心角为_______度； （3）补全频数分布直方图； 【分析数据，解答问题】 （4）已知“”这组的数据是：60，61，63，63，64，65，65，65，70，70，75，75，75，75，75，80，80，80，80，85．被调查的全部学生每周体育锻炼时间的中位数为________分钟； （5）若该校共有4200名学生，请你估计该校全体学生中每周体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数． 22．（本小题满分10分）为构建蓝色粮仓，某沿海新区启动“深蓝计划”，在远海部署两种新型智能养殖单元：型深海网箱与型水下机器人．已知用180万元购买型网箱的数量与用300万元购买型机器人的数量相等，且型机器人的单价比型网箱的单价多40万元． （1）求型网箱和型机器人的单价； （2）若该海域计划共采购，两种单元共20个（两种单元均需采购），且采购型机器人的数量不少于型网箱数量的，则采购单元多少个时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 23．（本小题满分10分）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，一次函数的图象经过点，交轴于点，交轴于点．为反比例函数图象上点右侧一动点，连接，将沿着的方向平移，的对应点为，的对应点为，连接． （1）求，的值； （2）如图1，若四边形的面积为6，求坐标； （3）如图2，连接，若，求的坐标． 24．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．直线经过点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，为直线与抛物线对称轴在第一象限的交点，连接，，，若是锐角三角形，求的取值范围； （3）如图2，若，点是抛物线第四象限图象上一点，连接并延长，交直线与点，连接，，求面积的最大值． 25．（本小题满分12分）在中，，，，在中，，且，连接，． 【初步感知】 （1）如图1，判断线段与的数量关系并给出证明； 【深入探究】 （2）如图2，点在在内部，若，，共线，且，求线段的长； （3）如图3，点在在内部，，过点作于点，点为线段上一点，且，连接，当的面积取最大值时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $