平面向量的基本定理及坐标表示 课件-2027届高三数学一轮复习

平面向量的基本定理及坐标表示 不共线 (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) (x2－x1，y2－y1) x1y2－x2y1＝0 D C C D C D C (2，4) C A [知识梳理] 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ， a－b＝ ， λa＝ (λ∈R)，|a|＝ ． (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ ， ||＝ ． 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔ ． 4．常用结论 (1)若a与b不共线，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，则λ＝μ＝0. (2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为. (3)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. [热身训练] 1．平行四边形ABCD三个顶点的坐标分别为A(－2，1)，B(1，3)，C(3，2)，则顶点D的坐标为( ). A．(－2，3)　　　 B．(1，1) C．(0，－1)　　　 D．(0，0) 2．已知向量a＝(m，2)，b＝(2，－1)，若a∥b，则实数m的值为( ). A.4　　　 B．1 C．－4　　　 D．－1 3．在矩形ABCD中，点E为边AD的中点，点M为对角线AC上一点，且AM＝2MC，记＝p，＝q，则＝( ). A．－p－q　　　 B．p＋q C．p－q　　　 D．－p＋q 4．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝，设＝λ＋(λ∈R)，则λ的值为 ． 5．如图5.2­1，在平行四边形ABCD中，＝，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝ ． 图5.2­1 题型1　平面向量基本定理的应用 【例1】(1)(2024·北京海淀高三期末)在平行四边形ABCD中，E是边CD的中点，AE与BD交于点F.若＝a，＝b，则＝( ). A．a＋b　　　 B．a＋b C．a＋b　　　 D．a＋b 【解析】＝＋＝＋.设＝λ(0<λ<1)，则＝－＝λ－＝λ＋，又＝－，且B，F，D三点共线，所以，共线，所以∃μ∈R，使得＝μ，即λ＋＝μ－μ，又，不共线，所以解得所以＝＝＝＋＝a＋b. (2)(2025·甘肃高三联考)已知平行四边形ABCD，若P是边AD的中点，＝3，直线AC与PQ相交于点M，则＝ ． 【解析】如答图5.2­1，设＝a，＝b，则＝2a＋b，＝b－a.设＝λ，＝μ，则＝2λa＋λb，＝μb－μa.因为＝＋＝a＋μb－μa＝(1－μ)a＋μb，所以解得λ＝，μ＝，所以＝，即＝＝. 应用平面向量基本定理的注意事项 (1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一个基底表示出来． (2)加强几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等． (3)强化共线向量定理的应用． 【变式】(1)(2024·湖南株洲高三联考)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E为CD的中点，AE与BD交于点F，若＝a，＝b，则＝( ). A．a＋b　　　 B．a＋b C．a＋b　　　 D．a＋b 【解析】由题意知＝＝a，＝＝b，因为E为CD的中点，所以＝＝(－)＝a－b，由DE∥AB，得＝＝，所以＝＝b，所以＝＋＝b＋a－b＝a＋b. (2)(2025·江西南昌高三检测)在平行四边形ABCD中，＝，＝.若＝λ＋μ，则λ＋μ＝ ． 题型2　向量的坐标表示及运算 【例2】已知点A(－1，0)，B(3，－1)，C(1，2)，＝，＝. (1)求点E，F及向量的坐标； (2)求证：∥. (1)【解析】设点E(a，b)，＝，即(a＋1，b)＝(2，2)，解得故E.设点F(c，d)，＝，即(c－3，d＋1)＝(－2，3)，解得故F，＝. (2)【证明】因为＝(4，－1)，＝，故＝，所以∥. 求解向量坐标运算问题的一般思路 (1)巧借方程思想求坐标 向量的坐标运算主要利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则先求出相应向量的坐标再进行求解，求解过程中要注意方程思想的应用． (2)妙用待定系数法求系数 利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数． 【变式】我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图5.2­2，若E为AF的中点，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝( ). 图5.2­2 A．　　　 B． C．　　　 D． 【解析】以E为坐标原点，EF所在直线为x轴，ED所在直线为y轴，建立如答图5.2­2所示的直角坐标系，设EF＝1.因为E为AF的中点，所以E(0，0)，G(1，1)，A(－1，0)，B(1，－1)，D(0，2)，则＝(1，1)，＝(2，－1)，＝(1，2)，由＝λ＋μ，得(1，1)＝λ(2，－1)＋μ(1，2)，所以解得 则λ＋μ＝. 题型3　向量共线的坐标表示 【例3】已知向量a＝(1，0)，b＝(2，1). (1)当k为何值时，ka＋b与a－2b共线； (2)若＝a＋3b，＝a－mb(m∈R)且A，B，C三点共线，求m的值． 【解析】(1)因为a＝(1，0)，b＝(2，1)，所以ka＋b＝(k＋2，1)，a－2b＝(－3，－2)，又ka＋b与a－2b共线，所以－2(k＋2)－1×(－3)＝0，解得k＝－. (2)＝a＋3b＝(7，3)，＝a－mb＝(1－2m，－m)，因为A，B，C三点共线，所以－7m－3(1－2m)＝0，解得m＝－3. 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1. (2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R). 【变式】(1)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(2m，m＋1).若∥，则实数m的值为( ). A． 　 B．－　　　 C．－3 　 　 D．－ (2)已知梯形ABCD中，AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为 ． 平面向量与三角形的“四心” 设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则 (1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝. (2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0. (3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·. (4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0. 【例题】已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)·＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过( ). A.△ABC的内心　　　 B．△ABC的垂心 C．△ABC的重心　　　 D．AB边的中点 【解析】取AB的中点D，则2＝＋，因为＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，所以＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)·]＝＋.又＋＝1，所以P，C，D三点共线，所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心． 解决三角形的“四心”问题时，要结合平面向量基本定理及“四心”的定义去探究． 【变式】在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝4，|BC|＝5，M为BC的中点，O为△ABC的内心，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝( ). A．　　　 B． C．　　　 D．1 $