精品解析：内蒙古包头市第一中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题

包头市第一中学2025～2026学年第二学期高二期中考试 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章～第七章7.3.1． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. 14 C. 28 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率的概念，可得结果. 【详解】由平均变化率定义得. 故选：C. 2. 某校举办运动会，某班级打算从5名男生与4名女生中选两名男生和两名女生去参加跑步接力比赛，则不同的选派方法数为（ ） A. 20 B. 35 C. 50 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步乘法原理结合条件即得. 【详解】根据分步乘法原理由题可得不同的选派方法数为(种). 故选：D. 3. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助导数定义计算即可得. 【详解】因为，即， ，则． 4. 若随机变量的分布列如表，则的值为（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率分布列的性质求出a的值，由求得结果． 【详解】根据题意可得， 所以. 故选：A. 5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求导，再根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式方程可求. 【详解】因为，所以，则， 所以函数在处的切线方程为，即. 故选：B. 6. 已知某班级中，喜欢科幻小说的学生占，喜欢科幻小说且喜欢推理小说的学生占，若从这个班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢科幻小说的条件下，该学生也喜欢推理小说的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，从这个班级的学生中任意抽取一人，记事件 “抽到的学生喜欢科幻小说”， “抽到的学生喜欢推理小说”，分析、的值，计算可得答案． 【详解】根据题意，从这个班级的学生中任意抽取一人， 记事件 “抽到的学生喜欢科幻小说”， “抽到的学生喜欢推理小说”， 则，， 故． 故选：D． 7. 已知，则（ ） A. 8 B. 5 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】取代入等式可得，分别取，代入等式，组成方程组，联立即可得，代入即可求得结果. 【详解】解：因为， 取代入可得：， 取代入可得：①， 取代入可得：②， ①+②再除以2可得：，所以， ①-②再除以2可得：， 所以. 故选：D 8. 在平面坐标系中，一个质点从原点出发，每次移动一个单位长度，且上下左右四个方向移动的概率相等，若该质点移动6次后所在坐标为，则该质点移动的方法总数为（ ） A. 120 B. 135 C. 210 D. 225 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可分为质点往右移动4次，往左移动2次；质点往右移动3次，往左移动1次，往上移动一次，往下移动一次；质点往右移动2次，往上移动2次，往下移动2次，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，可分为三种情况： ①质点往右移动4次，往左移动2次，， ②质点往右移动3次，往左移动1次，往上移动一次，往下移动一次，， ③质点往右移动2次，往上移动2次，往下移动2次，， 所以质点移动的方法总数为225. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图象如图所示，若为的导函数，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义结合图象即可判断各选项. 【详解】对于AB，由图可知，，所以，A错B对； 对于CD，由图可知，，所以C错D对. 故选：BD 10. 某单位安排甲、乙、丙3人在5月1日到5月5日这5天假期中值班，要求每天只有1人值班，每个人至少值1天班，则（ ） A. 一共有种安排方法 B. 若每个人最多值2天班，一共有种安排方法 C. 若甲值2天班并且连续值2天，一共有种安排方法 D. 若甲、乙均值2天班，丙值1天班，但甲、乙均不连续值班，则有种安排方法 【答案】BD 【解析】 【分析】先分析可能的分组方案和，再分别计算每组的排法，进而判断选项A；根据已知条件得出符合的分组方法为，进而计算判断选项B；先安排甲，再将剩下的3天分成2组，最后由分步乘法计数原理计算判断选项C；利用树形图枚举所有符合的排班方法，判断选项D． 【详解】对A，将5月1日~5月5日这5天分成三组，然后再将一个组分给1个人： （1）分成3，1，1时，则有种安排方法； （2）分成2，2，1时，则有种方法， 共有种安排方法，故A错误； 对B，若每个人最多值2天班，将5天分成2，2，1三组，然后再将1个组分给1个人， 则有种安排方法，故B正确； 对C，因为甲连续值2天班，先安排甲，共有4种方法； 然后将剩下的3天分成2组，即分成2，1， 然后再将这两个组分给乙、丙两人，一组分给1个人，则有种安排方法， 由分步乘法计数原理得，共有种方法，故C错误； 对D，由树形图： 共有种方法，故D正确． 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的减区间为 B. 当时，函数的图象是中心对称图形 C. 若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为 D. 若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】对函数求导根据可判断A正确，由中心对称图形定义可判断B正确，利用极值点定义与导函数零点之间的关系即可判断C错误，将切线条数转化成方程根的个数，再构造函数求得函数图象交点个数可判断D错误. 【详解】由， 对于A选项，当时，，可得函数的减区间为，增区间为，故A选项正确； 对于B选项，当时，， 又由， 可得函数的图象关于点对称，是中心对称图形，故B选项正确； 对于C选项，由A选项可知，当时，是函数的极小值点； 当时，令，可得或， 若是函数的极大值点，必有，可得，故C选项错误； 对于D选项，设切点为（其中）， 由切线过原点，有，整理为， 令，有， 可得函数的减区间为，增区间为， 又由时，；时，；及， 可知当时，关于m的方程有且仅有3个根， 可得过原点可作三条直线与曲线相切，故D选项错误， 故选：AB． 【点睛】关键点点睛：在求解D选项切线条数时，关键是将切线条数转化成方程根的个数，再构造函数求得函数图象交点个数即可得出结果. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的常数项为______． 【答案】240 【解析】 【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数，再代入得结果 【详解】， 令得，， 所以的展开式中的常数项为. 【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项，考查基本分析求解能力，属基础题. 13. 某市举办花展，园方挑选红色、黄色、白色鲜花各1盆，分别赠送给甲、乙、芮三人，每人1盆，则甲没有拿到白色鲜花的概率是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意甲、乙、丙三人拿到白色鲜花的概率相等，都为，进而求出甲没有拿到白色鲜花的概率． 【详解】设事件为甲拿到白色鲜花， 根据题意有红色、黄色、白色鲜花各1盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人1盆， 甲、乙、丙三人拿到白色鲜花的概率相等，都为， 所以，则甲没有拿到白色鲜花的概率． 故答案为：． 14. 已知函数的导函数为，若对任意的，都有成立，且，则不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，即， 设，求导可得在上恒成立，所以函数在上单调递增， 因为，所以， 不等式，因为，所以化简可得， ，， 即可转化为， 因为在上单调递增，所以，解得， 即不等式的解集为． 四、解答题；本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数， （1）求a的值; （2）求函数的极小值. 【答案】（1） （2）极小值 【解析】 【分析】（1）求导函数，结合解方程即可； （2）令进而分析单调性，即可求出极值． 【小问1详解】 由题意可得，故， 【小问2详解】 由（1）得，所以，令，解得，因为 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值． 16. 现有4名男生、3名女生站成一排照相．（用数字作答） （1）两端是男生，有多少种不同的站法？ （2）任意两名男生不相邻，有多少种不同的站法？ （3）男生甲要在女生乙的右边（可以不相邻），有多少种不同的站法？ 【答案】（1）1440 （2）144 （3）2520 【解析】 【分析】（1）特殊位置特殊考虑，先取两位男生放置在两端，另5位全排列，列出等式，计算即可； （2）不相邻问题插空，先将另3名女生全排列，空出4个位置，让男生插空站入， 列出等式，计算即可； （3）排序问题，先在7个位置中找到5个位置，让除甲乙外的另5人排列，后将甲乙站入， 列出等式，计算即可. 【小问1详解】 解：先选2名男生排两端有种方法，再排其余学生有种方法， 所以两端是男生的不同站法有（种）； 【小问2详解】 先排3名女生有种方法，再将4名男生插入4个空隙中有种方法， 所以任意两名男生不相邻的不同站法有（种）； 【小问3详解】 先在7个位置中找到5个位置，让除甲乙外的另5人排列共有：种方法， 再将甲乙按照甲在乙右边的顺序，放置另两个位置中共1种， 所以男生甲要在女生乙的右边的不同站法有（种）． 17. 设甲袋中有4个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球（每个球除颜色以外均相同）． （1）从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有3个红球的概率； （2）先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用组合数公式求出从个球中取个球，个球中恰好有个红球、个白球的取法数，再利用古典概型概率计算公式进行计算即可; 从乙袋中取2个球放入甲袋，分两种情况进行考虑，再利用条件概率公式及全概率公式进行计算即可. 【小问1详解】 依题意，从甲袋8个球中取4个球有种取法， 其中4个球中恰好有3个红球， 即恰好有3个红球、1个白球，有种取法， 所以4个球中恰好有3个红球的概率； 【小问2详解】 记为从乙袋中取出1个红球、1个白球，为从乙袋中取出2个红球， 为从甲袋中取出2个红球， 则， ， 所以． 18. 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为． （1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率； （2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算全为小集团的概率值； （2）由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值． 【小问1详解】 由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是大集团的情况有，故全是大集团的概率是， 整理得到，解得． 若2个全是大集团，共有种情况； 若2个全是小集团，共有种情况； 故全为小集团的概率为． 【小问2详解】 由题意知，随机变量的可能取值为， 计算，，， ，； 故的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为． 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）极小值为1，无极大值. （2） （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值. （2）分离参数并构造函数，再求出函数的最小值即可. （3）利用（2）的结论可得，再利用赋值法结合数列求和即得. 【小问1详解】 当时，，定义域为，则， 当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. 【小问2详解】 因为恒成立，得，，令，，求导的， 当,,当时，， 即函数在上递减，在上递增， 因此，则，所以的取值范围. 【小问3详解】 证明：由（2）知，时，即， 于是， ，， ， 因此 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包头市第一中学2025～2026学年第二学期高二期中考试 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章～第七章7.3.1． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. 14 C. 28 D. 56 2. 某校举办运动会，某班级打算从5名男生与4名女生中选两名男生和两名女生去参加跑步接力比赛，则不同的选派方法数为（ ） A. 20 B. 35 C. 50 D. 60 3. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若随机变量的分布列如表，则的值为（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某班级中，喜欢科幻小说的学生占，喜欢科幻小说且喜欢推理小说的学生占，若从这个班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢科幻小说的条件下，该学生也喜欢推理小说的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. 8 B. 5 C. 2 D. 4 8. 在平面坐标系中，一个质点从原点出发，每次移动一个单位长度，且上下左右四个方向移动的概率相等，若该质点移动6次后所在坐标为，则该质点移动的方法总数为（ ） A. 120 B. 135 C. 210 D. 225 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图象如图所示，若为的导函数，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某单位安排甲、乙、丙3人在5月1日到5月5日这5天假期中值班，要求每天只有1人值班，每个人至少值1天班，则（ ） A. 一共有种安排方法 B. 若每个人最多值2天班，一共有种安排方法 C. 若甲值2天班并且连续值2天，一共有种安排方法 D. 若甲、乙均值2天班，丙值1天班，但甲、乙均不连续值班，则有种安排方法 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的减区间为 B. 当时，函数的图象是中心对称图形 C. 若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为 D. 若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的常数项为______． 13. 某市举办花展，园方挑选红色、黄色、白色鲜花各1盆，分别赠送给甲、乙、芮三人，每人1盆，则甲没有拿到白色鲜花的概率是____________. 14. 已知函数的导函数为，若对任意的，都有成立，且，则不等式的解集为_____． 四、解答题；本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数， （1）求a的值; （2）求函数的极小值. 16. 现有4名男生、3名女生站成一排照相．（用数字作答） （1）两端是男生，有多少种不同的站法？ （2）任意两名男生不相邻，有多少种不同的站法？ （3）男生甲要在女生乙的右边（可以不相邻），有多少种不同的站法？ 17. 设甲袋中有4个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球（每个球除颜色以外均相同）． （1）从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有3个红球的概率； （2）先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率． 18. 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为． （1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率； （2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列和数学期望． 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $