第七章 认识概率重难点检测卷（提高卷）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

**基本信息** 本卷为初中数学第七章“认识概率”单元提高卷，满分100分，27题覆盖全章内容，以真实情境（如视频平台推荐算法、布丰投针试验）和梯度问题设计，适配单元复习，培养数据意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|必然事件、概率意义、频率稳定性|结合生活实例（抛硬币、生日问题），考查数学眼光| |填空题|8/16|不可能事件、频率与概率关系、古典概型|融入成语文化（水中捞月）、历史试验（布丰投针），体现文化传承| |解答题|11/68|概率计算、频率估计概率、实际应用|设计分层问题（苹果树苗成活率、产品合格率），综合考查数据分析与模型意识，贴合核心素养中“用数学语言表达现实世界”要求|

第七章 认识概率重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：认识概率全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）从2，3，4，5，6这五个数中，随机选取三个不重复的数字构成一个三位数，下列事件是必然事件的是（  ） A．三位数是2的倍数 B．三位数是奇数 C．三位数大于230 D．三位数大于700 2．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 3．（2025·山东聊城·一模）下列说法正确的是（    ） A．367人中至少有2人生日相同 B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是 C．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨 D．某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中 4．（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）下列说法正确的是（    ） A．在小明，小红，小月三人中抽2人参加比赛，小刚被抽中是随机事件 B．预防“新冠病毒”期间，有关部门对某商店在售口罩的合格情况进行抽检，抽检了20包口罩，其中18包合格，该商店共进货100包，估计合格的口罩约有90包 C．要了解学校2000学生的体质健康情况，随机抽取100名学生进行调查，在该调查中样本容量是100名学生 D．了解某班学生的身高情况适宜抽样调查 5．（25-26八年级下·河北衡水·期中）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 6．（25-26九年级上·贵州黔西南·月考）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 7．（25-26九年级上·北京门头沟·期末）在大力发展现代化农业的形势下，现有、两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下： 种子数量 100 300 500 1000 3000 出芽率 0.99 0.94 0.96 0.98 0.97 出芽率 0.99 0.95 0.94 0.97 0.96 下面有三个推断： ①当实验种子数量为100时，两种种子的出芽率均为0.99，所以、两种新玉米种子出芽的概率一样； ②随着实验种子数量的增加，种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.97； ③在同样的地质环境下播种，种子的出芽率可能会高于种子．其中合理的是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 8．（2026·浙江杭州·一模）某视频平台会根据用户的观看情况推荐相应的视频，其算法是，如果某类视频一天内观看次数达到5次以上，平台就会重点关注，然后计算完播率（完播率），完播率越高的视频类别，会被重点推荐．下表是大滨某一天的观看情况： 类别 航空航天 科学实验 电影评论 排球技巧 观看视频次数 18 10 14 18 完整观看视频次数 15 1 4 5 根据该算法，平台会给大滨重点推荐（   ）类视频 A．航空航天 B．科学实验 C．电影评论 D．排球技巧 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26九年级上·四川广安·期末）“成语”具有结构固定、意义整体、历史悠久等特点，承载着丰富的历史和文化内涵；①水中捞月；②守株待兔；③百步穿杨；④瓮中捉鳖；上述成语描述的场景为不可能事件的是____________．（填序号） 10．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为______． 11．（25-26八年级下·山西运城·期末）下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 12．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在，，三地之间的电缆有一处断点，断点出现在两地之间的可能性为，断点出现在两地之间的可能性为，则_____．（填“”“”或“”） 13．（25-26八年级下·江苏常州·单元测试）指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件：   （1）掷一枚硬币，出现正面朝上； （2）买一张彩票中一百万； （3）； （4）任意买一张电影票，座位号是双号； （5）向空中抛一枚硬币，硬币从空中不往下掉． 必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________．（填序号） 14．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为l（）的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值，某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 可以估计出针与直线相交的概率为________（精确到0.001），由此估计的近似值为________（精确到0.001）． 15．（25-26八年级下·北京海淀·期末）小黑和小白妈妈特别喜欢和他们做游戏，有一次他们玩扑克牌游戏，妈妈从图中扑克牌中拿了一张牌，告诉了儿子小黑数字，女儿小白花色，以下是、两个人的对话： A：我不知道这张牌 B：我早知道你不知道 A：我现在知道这张牌了 B：我也知道了． 请问小黑和小白妈妈拿的那张牌是 _____． 16．（2025·北京丰台·一模）某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示： 项目奖项 九连环 七巧板 五子棋 二十四点 魔方 华容道 数独 参与奖 2 7 5 7 4 7 4 优秀奖 5 10 9 9 7 8 7 卓越奖 9 12 13 15 12 10 9 小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为___________，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为___________ 三、解答题（11小题，共68分） 17．（24-25九年级上·贵州黔东南·月考）下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）太阳从西边落下；（2）某人的体温是；（3）（a，b都是实数）；（4）四边形的内角和是；（5）投一次篮球，命中；（6）下雨后出现彩虹． 18．（24-25八年级下·河北石家庄·月考）一个不透明的袋子中装有个红球、个黑球，这些球除颜色外都相同． (1)若从中任意摸出一个球，则摸到____球的可能性大； (2)能否通过改变某种颜色球的数量使摸到红球和摸到黑球的可能性相同？ 19．（25-26八年级下·江苏镇江·单元测试）计算下列事件发生的概率并将你算出的概率标在下图中．（标序号）   (1)十五的月亮就像一个弯弯细勾； (2)正常情况下，气温低于零摄氏度，水会结冰； (3)任意掷一枚六面分别写有、、、、、的均匀骰子，“”朝上； (4)从装有个红球，个白球，个黄球的口袋中任取一个球，恰好是白球（这些球除颜色外完全相同）． 20．（24-25八年级下·江苏扬州·课后作业）你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 21．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 22．（25-26八年级下·陕西西安·期中）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称，韩叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 800 1000 2000 成活数 47 90 183 362 724 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.905 0.902 0.901 (1)上表中，________，________； (2)根据上表的数据，请你估计该种苹果树苗成活的概率是多少？（精确到0.1） 23．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）苏州园林的窗花图案精美绝伦，某校开展“园林文化进校园”活动．一个不透明的纸盒中装有若干枚印有“沧浪亭”“狮子林”图案的纪念卡片，每枚卡片除图案外无其他差别．现从纸盒中随机摸出一枚卡片，记下图案后放回并搅匀，经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.25附近． (1)估计摸到“沧浪亭”卡片的概率是__________； (2)如果纸盒中原有3枚“狮子林”卡片，现又放入枚“狮子林”卡片，再经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.5附近，求的值． 24．（25-26八年级下·安徽宿州·期中）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球． (1)先从袋子里取出个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值是多少？ ②如果事件A是随机事件，则m的值是多少？ (2)先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个红球的频率在附近摆动，求m的值． 25．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）小明家打算到徐州旅游，他们计划其中的三天用来游玩云龙湖、方特乐园、徐州博物馆，每天一个景点．临行前小明查阅了前后五天的天气预报： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 温度 天气 降水概率 根据天气预报情况，请帮小明家规划在徐州旅行的这三天行程，并说出依据． 26．（25-26八年级下·广东茂名·期中）某工厂3月份共生产了26000件工艺品，为了检测该产品的合格率，工厂质检员对产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 48 98 194 490 980 合格频率 0.96 0.98 0.97 0.98 0.98 (1)求表格中，的值； (2)若该工厂每生产一件不合格产品将损失20元，求3月份该工厂因不合格产品所造成的损失大约为多少元？ (3)如果重新抽取1000件产品进行质检，对比上表记录的数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 27．（2025·上海杨浦·模拟预测）数学活动小组的小杨和小浦在研究“两件事关联的数学运算”这一数学课题时，了解到了以下内容： ①卡方检验（也叫检验）是一种统计方法，用来判断两件事是否存在关联． ②如何判断事件A与事件B存在关联呢？小杨和小浦的老师告诉他们： （）假设事件A与事件B无关联 （）列表（如表1） （）根据公式计算卡方值 （）根据得到的，得出无关性假设可靠的概率p（当时，） （）若事件A与事件B无关性假设不可靠的概率大于0.95，即有95%的把握，则否定原假设③卡方值越大，无关性假设可靠的概率p越小 事件A发生 事件A不发生 总计 事件B发生 a b 事件B不发生 c d 总计 n 其中 表1 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 b 283 患慢性气管炎者 c d 总计 134 339 表2 (1)小杨的爸爸是一位疾控中心的医护人员，他随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎的关系，测得数据如表所示（表2） ①估算样本中患有慢性支气管炎的频率 ②是否有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)小浦是一位勤奋学习的人，也是一位游戏迷，他八年级开始玩游戏，也开始努力学习，他利用平时测验，经过计算（计算完全无误），得出有的把握认为事件“玩游戏”与事件“数学考试年级第一”有关联，于是他将这件事告诉小杨，并声称可以提升数学成绩．假如你是小杨，你认为小浦的观点对吗？若不对，说明小浦导致出错的步骤，并写出计算卡方值时需注意的要点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 认识概率重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：认识概率全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）从2，3，4，5，6这五个数中，随机选取三个不重复的数字构成一个三位数，下列事件是必然事件的是（  ） A．三位数是2的倍数 B．三位数是奇数 C．三位数大于230 D．三位数大于700 【答案】C 【分析】根据必然事件的定义，结合五个数字的取值范围，判断每个事件是否一定发生即可求解． 【详解】解：A．当三位数个位为3或5时，不是2的倍数，故该事件是随机事件，不符合要求； B．当三位数个位为2，4或6时，三位数是偶数，不是奇数，故该事件是随机事件，不符合要求； C．最小三位数，所有组成的三位数都大于230，该事件是必然事件，符合要求； D．最大三位数，不可能得到大于700的三位数，该事件是不可能事件，不符合要求． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 【答案】D 【分析】根据等可能事件的意义解答即可． 【详解】解：抛硬币正面朝上和反面朝上的概率相同， 每一次抛都是有可能正面朝上也有可能反面朝上， 故选：D． 【点睛】本题考查了等可能事件的定义，能够正确判断事件发生的概率是解本题的关键． 3．（2025·山东聊城·一模）下列说法正确的是（    ） A．367人中至少有2人生日相同 B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是 C．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨 D．某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中 【答案】A 【分析】根据概率的含义和随机事件的定义即可得出答案． 【详解】解：A. 一年有365天，则367人中至少有两人生日相同，故该选项正确； B.任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，故该选项错误； C.天气预报说明天的降水概率为90%，则明天不一定会下雨，故该选项错误； D.某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票不一定有1张中奖，故该选项错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了概率的含义，关键是要牢记概率表示事件发生的可能性大小． 4．（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）下列说法正确的是（    ） A．在小明，小红，小月三人中抽2人参加比赛，小刚被抽中是随机事件 B．预防“新冠病毒”期间，有关部门对某商店在售口罩的合格情况进行抽检，抽检了20包口罩，其中18包合格，该商店共进货100包，估计合格的口罩约有90包 C．要了解学校2000学生的体质健康情况，随机抽取100名学生进行调查，在该调查中样本容量是100名学生 D．了解某班学生的身高情况适宜抽样调查 【答案】B 【分析】根据随机事件、不可能事件的概念、样本容量的概念、全面调查和抽样调查判断即可． 【详解】解：A、在小明、小红、小月三人中抽2人参加比赛，小刚被抽中是不可能事件，故本选项说法错误，不符合题意； B、预防“新冠病毒”期间，有关部门对某商店在售口罩的合格情况进行抽检，抽检了20包口罩，其中18包合格，该商店共进货100包，估计合格的口罩约有90包，故本选项说法正确，符合题意； C、要了解学校2000名学生的体质健康情况，随机抽取100名学生进行调查，在该调查中样本容量是100，故本选项说法错误，不符合题意； D、了解某班学生的身高情况适宜全面调查，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是随机事件、全面调查和抽样调查、样本容量的概念，掌握相关的概念是解题的关键． 5．（25-26八年级下·河北衡水·期中）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 【点睛】本题考查数学演绎推理，结合数学知识，进行正确的演绎推理是解决本题的关键， 6．（25-26九年级上·贵州黔西南·月考）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：折线图显示概率约， 选项A：掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率为，不符合题意； 选项B：在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯，不符合题意； 选项C：掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数，其概率为，符合题意； 选项D：一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球的概率为，不符合题意； 故选C． 7．（25-26九年级上·北京门头沟·期末）在大力发展现代化农业的形势下，现有、两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下： 种子数量 100 300 500 1000 3000 出芽率 0.99 0.94 0.96 0.98 0.97 出芽率 0.99 0.95 0.94 0.97 0.96 下面有三个推断： ①当实验种子数量为100时，两种种子的出芽率均为0.99，所以、两种新玉米种子出芽的概率一样； ②随着实验种子数量的增加，种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.97； ③在同样的地质环境下播种，种子的出芽率可能会高于种子．其中合理的是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】D 【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答可得． 【详解】①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种子数量为100，数量太少，不可用于估计概率，故①推断不合理； ②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.97，故(②推断合理； ③在同样的地质环境下播种，A 种子的出芽率约为0.97，B种子的出芽率约为0.96，种子的出芽率可能会高于种子，故正确， 故选：D． 【点睛】此题考查利用频率估计概率，理解随机事件发生的频率与概率之间的关系是解题的关键． 8．（2026·浙江杭州·一模）某视频平台会根据用户的观看情况推荐相应的视频，其算法是，如果某类视频一天内观看次数达到5次以上，平台就会重点关注，然后计算完播率（完播率），完播率越高的视频类别，会被重点推荐．下表是大滨某一天的观看情况： 类别 航空航天 科学实验 电影评论 排球技巧 观看视频次数 18 10 14 18 完整观看视频次数 15 1 4 5 根据该算法，平台会给大滨重点推荐（   ）类视频 A．航空航天 B．科学实验 C．电影评论 D．排球技巧 【答案】A 【分析】根据题意，先确定所有满足观看次数5次以上的类别，再根据完播率公式计算每个符合条件类别的完播率，然后比较大小后即可解答． 【详解】解：算法要求观看次数达到5次以上才会计算完播率并推荐，四个类别的观看次数分别为18，10，14，18，均大于5，全部符合计算条件． 分别计算各类别完播率如下： 航空航天：； 科学实验：； 电影评论：； 排球技巧：； ∵， ∴航空航天类完播率最高，即平台会重点推荐航空航天类视频． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26九年级上·四川广安·期末）“成语”具有结构固定、意义整体、历史悠久等特点，承载着丰富的历史和文化内涵；①水中捞月；②守株待兔；③百步穿杨；④瓮中捉鳖；上述成语描述的场景为不可能事件的是____________．（填序号） 【答案】① 【分析】本题主要考查了事件的分类，熟知不可能事件的定义是解题的关键．根据不可能事件的定义进行逐一判断即可：在一定条件下，一定不会发生的事件是不可能事件． 【详解】解：①水中捞月指从水中捞取月亮，月亮不在水中，只是倒影，因此不可能捞到，为不可能事件； ②守株待兔描述兔子偶然撞树，虽概率小但可能发生； ③百步穿杨描述射箭技术高超，可能发生； ④瓮中捉鳖描述一定完成的事情，必然发生． 故答案为：①． 10．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为______． 【答案】0.2/ 【分析】首先计算出第4组的频数，然后再计算出第4组的频率即可． 【详解】解：第4组的频数为：40-6-12-14=8， 频率为：=0.2， 故答案为：0.2． 【点睛】此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频率=频数÷总数． 11．（25-26八年级下·山西运城·期末）下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 【答案】③ 【分析】由概率和频率的有关概念逐个分析． 【详解】解：①：频率不是概率，频率会随着重复试验的次数变化而变化，而概率是固定的，故①错误； ②：频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故②错误 ③：由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故③正确； ④：概率是客观的，在试验前能确定，故④错误． 故答案为：③． 【点睛】本题考查概率与频率的概念，以及它们之间的关系，难度不大，属于基础题，解题关键是要记住相关概念． 12．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在，，三地之间的电缆有一处断点，断点出现在两地之间的可能性为，断点出现在两地之间的可能性为，则_____．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】由线段来判断断点出现的可能性大小． 【详解】解：由题意得，， 因为， 所以，即． 13．（25-26八年级下·江苏常州·单元测试）指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件：   （1）掷一枚硬币，出现正面朝上； （2）买一张彩票中一百万； （3）； （4）任意买一张电影票，座位号是双号； （5）向空中抛一枚硬币，硬币从空中不往下掉． 必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________．（填序号） 【答案】 （3） （5） （1）（2）（4） 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，根据概念逐一判断，即可解题． 【详解】解：（1）掷一枚硬币，不一定出现正面朝上；故（1）是随机事件； （2）买一张彩票有可能中一百万；故（2）是随机事件； （3）；故（3）是必然事件； （4）任意买一张电影票，座位号不一定是双号；故（4）是随机事件； （5）向空中抛一枚硬币，硬币一定会从空中往下掉．故（5）是不可能事件； 综上所述：必然事件有（3），不可能事件有（5），随机事件有（1）（2）（4）， 故答案为：（3）；（5）；（1）（2）（4）． 14．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为l（）的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值，某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 可以估计出针与直线相交的概率为________（精确到0.001），由此估计的近似值为________（精确到0.001）． 【答案】 【分析】根据频率估计概率即可；然后将其代入公式计算即可． 【详解】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，相交频率接近与0.318， ∴相交的概率为0.318； ∵， ∴， ∴， 解得： 故答案为：①；② 【点睛】题目主要考查利用频率估计概率及近似数的计算，理解题意是解题关键． 15．（25-26八年级下·北京海淀·期末）小黑和小白妈妈特别喜欢和他们做游戏，有一次他们玩扑克牌游戏，妈妈从图中扑克牌中拿了一张牌，告诉了儿子小黑数字，女儿小白花色，以下是、两个人的对话： A：我不知道这张牌 B：我早知道你不知道 A：我现在知道这张牌了 B：我也知道了． 请问小黑和小白妈妈拿的那张牌是 _____． 【答案】方块 【分析】根据题目条件，进行推理，逐一排除，即可． 【详解】∵我不知道这张牌可知：在所有牌中，这张牌为数字且不同花色的不止一张； ∴仅剩与 ， ∵我早知道你不知道可知，牌的花色为方块， ∴只能是方块， 故答案为：方块． 【点睛】本题考查了概率的知识，灵活运用排除法是解题的关键． 16．（2025·北京丰台·一模）某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示： 项目奖项 九连环 七巧板 五子棋 二十四点 魔方 华容道 数独 参与奖 2 7 5 7 4 7 4 优秀奖 5 10 9 9 7 8 7 卓越奖 9 12 13 15 12 10 9 小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为___________，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为___________ 【答案】 16 58 【分析】此题考查了事件的可能性，首先求出魔方获得优秀奖的积分为7分，然后分两种情况讨论：华容道和数独都获得优秀奖和华容道获得参与奖，数独获得卓越奖，即可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高得分，然后按照获得卓越奖的项目分4种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖， ∴小明在“九连环”项目中可能获得参与奖或优秀奖 ∵小明在“魔方”项目中获得了优秀奖， ∴魔方获得优秀奖的积分为7分 ∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖 ∴当华容道和数独都获得优秀奖时，得分为（分）， 当华容道获得参与奖，数独获得卓越奖时，得分为（分）， ∴可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为16分； ∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖， ∴①当只七巧板获得卓越奖时，九连环获得参与奖，其他项目获得优秀奖， ∴总积分为（分）； ②当七巧板，二十四点获得卓越奖， ∴九连环，五子棋获得参与奖， ∴总积分为（分）； ③当五子棋获得卓越奖，二十四点获得优秀奖， ∴九连环获得优秀奖，七巧板获得参与奖， ∴总积分为（分）； ④当二十四点获得卓越奖，九连环，七巧板获得优秀奖， ∴五子棋获得参与奖， ∴总积分为（分）； 综上所述，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为58分． 故答案为：16，58． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（24-25九年级上·贵州黔东南·月考）下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）太阳从西边落下；（2）某人的体温是；（3）（a，b都是实数）；（4）四边形的内角和是；（5）投一次篮球，命中；（6）下雨后出现彩虹． 【答案】（1）（4）是必然事件，（2）（3）是不可能事件，（5）（6）是随机事件 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解∶ （1）（4）是必然事件，（2）（3）是不可能事件，（5）（6）是随机事件． 18．（24-25八年级下·河北石家庄·月考）一个不透明的袋子中装有个红球、个黑球，这些球除颜色外都相同． (1)若从中任意摸出一个球，则摸到____球的可能性大； (2)能否通过改变某种颜色球的数量使摸到红球和摸到黑球的可能性相同？ 【答案】(1)黑 (2)可以，取出个黑球或放入个红球就可以使摸到红球和摸到黑球的可能性相同 【分析】（）根据两种球的数量即可判断求解； （）使两种球的数量相同即可使摸到红球和摸到黑球的可能性相同； 本题考查了可能性大小，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵黑球的数量大于红球的数量， ∴从中任意摸出一个球，摸到黑球的可能性大， 故答案为：黑； （2）解：取出个黑球或放入个红球，使得两种球的数量相同，就可以使摸到红球和摸到黑球的可能性相同． 19．（25-26八年级下·江苏镇江·单元测试）计算下列事件发生的概率并将你算出的概率标在下图中．（标序号）   (1)十五的月亮就像一个弯弯细勾； (2)正常情况下，气温低于零摄氏度，水会结冰； (3)任意掷一枚六面分别写有、、、、、的均匀骰子，“”朝上； (4)从装有个红球，个白球，个黄球的口袋中任取一个球，恰好是白球（这些球除颜色外完全相同）． 【答案】(1)0，标序号见解析 (2)1，标序号见解析 (3)，标序号见解析 (4)，标序号见解析 【分析】根据随机事件的概率问题，正确理解概率的性质就能很快的得到答案． 【详解】（1）解：十五的月亮就像一个弯弯细勾，不可能发生，故概率为0； （2）正常情况下，气温低于零摄氏度，水会结冰，一定发生，故概率为1； （3）任意掷一枚六面分别写有1、2、3、4、5、6的均匀骰子，“3”朝上的概率为； （4）从装有6个红球，20个白球，4个黄球的口袋中任取一个球，恰好是白球的概率为． 【点睛】本题主要考查了随机事件的概率问题，难度适中． 20．（24-25八年级下·江苏扬州·课后作业）你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 【答案】(1)不同意，见解析 (2)不同意，见解析 【分析】本题考查的是频率和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键． （1）根据“频率”和“概率”的定义即可判断； （2）根据“频率”和“概率”的定义即可判断． 【详解】（1）解：不同意，小丽混淆了“频率”和“概率”．做了20次试验，发现硬币落地后共有11次正面朝上，只能确定在这20次试验中，正面朝上的频率是． （2）解：不同意，对于一个随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，是独立的，并不受其他事件的干扰，也就是说，第6次抛掷这枚硬币的概率不会受到前5次抛掷结果的影响． 21．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 【答案】(1)⑤；② (2) 【分析】（1）分别求出各个事件的概率，即可比较出对应事件可能性大小关系； （2）根据所求的概率，即可得出答案． 【详解】（1）∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴①指针指向红色的概率为； ②指针指向绿色的概率为； ③指针指向黄色的概率为； ④指针不指向黄色的概率为， ⑤指针不指向绿色的概率为， ∴可能性最大的是⑤，可能性最小的事件是②； （2）解：由（1）得：． 【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 22．（25-26八年级下·陕西西安·期中）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称，韩叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 800 1000 2000 成活数 47 90 183 362 724 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.905 0.902 0.901 (1)上表中，________，________； (2)根据上表的数据，请你估计该种苹果树苗成活的概率是多少？（精确到0.1） 【答案】(1)，1802 (2) 【分析】1）根据成活率成活数移植棵数，可算出a，根据成活数移植棵数成活率，可算出b； （2）利用频率估计概率即可； 【详解】（1）解：∵成活率成活数移植棵数，成活数移植棵数成活率， ∴，， （2）解：∵随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近，显示出一定的稳定性， ∴可以估计该种苹果树苗成活的概率是0.9． 23．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）苏州园林的窗花图案精美绝伦，某校开展“园林文化进校园”活动．一个不透明的纸盒中装有若干枚印有“沧浪亭”“狮子林”图案的纪念卡片，每枚卡片除图案外无其他差别．现从纸盒中随机摸出一枚卡片，记下图案后放回并搅匀，经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.25附近． (1)估计摸到“沧浪亭”卡片的概率是__________； (2)如果纸盒中原有3枚“狮子林”卡片，现又放入枚“狮子林”卡片，再经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.5附近，求的值． 【答案】(1)0.75 (2) 【分析】（1）利用频率估算概率，再根据概率之和为1，进行求解即可； （2）根据概率求出总数，再利用频率估算概率，利用概率求出数量即可． 【详解】（1）解：∵经过大量重复试验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.25附近， ∴摸到“狮子林”卡片的概率为0.25， ∴摸到“沧浪亭”卡片的概率是； （2）解：由（1）知，原来摸到“狮子林”卡片的概率为0.25， ∴原来卡片的总数量为（张）； ∵放入枚“狮子林”卡片，再经过大量重复试验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.5附近， ∴现在摸到“狮子林”卡片的概率为0.5， ∴， 解得； 故． 24．（25-26八年级下·安徽宿州·期中）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球． (1)先从袋子里取出个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值是多少？ ②如果事件A是随机事件，则m的值是多少？ (2)先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个红球的频率在附近摆动，求m的值． 【答案】(1)①3②2或1 (2)1 【分析】（1）①在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球，要使“摸出红球”是必然事件，则袋子中必须全是红球，故需将3个白球全部取出，所以． ②要使“摸出红球”是随机事件，则袋子中必须既有红球又有白球，故取出的白球个数需满足，因为为整数，所以的值是1或2； （2）先从袋子中取出个白球，再放入个一样的红球，此时袋中有个红球，个白球，球的总数为个，随机摸出一个红球的概率为，因为随机摸出一个红球的频率在附近摆动，所以，解得． 【详解】（1）解：①如果事件A是必然事件，则m的值为3； ②如果事件A是随机事件，则m的值为2或1； （2）解：根据题意，可得袋子里共有10个球， 则， 解得， 故的值为1． 25．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）小明家打算到徐州旅游，他们计划其中的三天用来游玩云龙湖、方特乐园、徐州博物馆，每天一个景点．临行前小明查阅了前后五天的天气预报： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 温度 天气 降水概率 根据天气预报情况，请帮小明家规划在徐州旅行的这三天行程，并说出依据． 【答案】见解析 【分析】根据降雨的概率，温度结合景点类型分析即可． 【详解】解：第一天去云龙湖：云龙湖为户外自然景观，晴天(降水概率) 游玩视野佳、体验好；当日温度，温暖舒适，适合户外活动与观景； 第二天去徐州博物馆：博物馆为室内场馆，不受天气影响；当日降水概率 (大雨)，安排室内参观，可避免雨天户外出行不便，保障行程不受影响； 第三天去方特乐园：方特乐园以户外游乐项目为主，阴天(降水概率) 几乎无降水，可正常游玩各类设施；当日温度，体感舒适，无暴晒困扰． 26．（25-26八年级下·广东茂名·期中）某工厂3月份共生产了26000件工艺品，为了检测该产品的合格率，工厂质检员对产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 48 98 194 490 980 合格频率 0.96 0.98 0.97 0.98 0.98 (1)求表格中，的值； (2)若该工厂每生产一件不合格产品将损失20元，求3月份该工厂因不合格产品所造成的损失大约为多少元？ (3)如果重新抽取1000件产品进行质检，对比上表记录的数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 【答案】(1) ， (2)3月份该工厂因不合格产品所造成的损失大约为10400元 (3)结果不一定一样，原因见解析 【分析】（1）根据频数除以总数等于频率，列式计算即可求解； （2）用乘以不合格品的概率再乘以20即可求解； （3）根据频率估计概率作答即可． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：（元）， 答：3月份该工厂因不合格产品所造成的损失10400元； （3）解：结果很可能会不一样，但随着抽取产品数量的增加，它们的合格率都会稳定在左右． 27．（2025·上海杨浦·模拟预测）数学活动小组的小杨和小浦在研究“两件事关联的数学运算”这一数学课题时，了解到了以下内容： ①卡方检验（也叫检验）是一种统计方法，用来判断两件事是否存在关联． ②如何判断事件A与事件B存在关联呢？小杨和小浦的老师告诉他们： （）假设事件A与事件B无关联 （）列表（如表1） （）根据公式计算卡方值 （）根据得到的，得出无关性假设可靠的概率p（当时，） （）若事件A与事件B无关性假设不可靠的概率大于0.95，即有95%的把握，则否定原假设③卡方值越大，无关性假设可靠的概率p越小 事件A发生 事件A不发生 总计 事件B发生 a b 事件B不发生 c d 总计 n 其中 表1 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 b 283 患慢性气管炎者 c d 总计 134 339 表2 (1)小杨的爸爸是一位疾控中心的医护人员，他随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎的关系，测得数据如表所示（表2） ①估算样本中患有慢性支气管炎的频率 ②是否有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)小浦是一位勤奋学习的人，也是一位游戏迷，他八年级开始玩游戏，也开始努力学习，他利用平时测验，经过计算（计算完全无误），得出有的把握认为事件“玩游戏”与事件“数学考试年级第一”有关联，于是他将这件事告诉小杨，并声称可以提升数学成绩．假如你是小杨，你认为小浦的观点对吗？若不对，说明小浦导致出错的步骤，并写出计算卡方值时需注意的要点． 【答案】(1)①；②有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关 (2)错误，理由见解析 【分析】本题考查了求某事件的频率，由频率估计概率，用频率估计概率的综合应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）①根据表2，列出关于b，c，d的方程组求解，再估算样本中患有慢性支气管炎的频率； ②先求出卡方，再通过比较后得出结论； （2）根据卡方检验是判断关联性的重要工具，但应用时需谨慎区分“相关”与“因果”，并结合实际背景分析可能存在的偏差，由此作答即可． 【详解】（1）①解：由表2可知，， 解得：， 所以患病人数为56，总人数为339， 因此频率为：； ②， 所以， 所以有的把握认为吸烟与慢性气管炎有关； （2）解：小浦的错误在于： 卡方检验仅表明“玩游戏”与“数学考试年级第一”在统计上有关联，但无法证明因果关系． 可能存在的第三变量（如个人学习能力、时间管理、学习动机等）同时影响玩游戏频率与数学成绩，导致虚假相关． 即使有关联，也可能是“数学成绩好的人更爱玩游戏”（反向因果）或纯属巧合． 计算卡方值时需注意的要点：卡方检验需注意样本代表性、变量定义清晰、避免混淆因果． 学科网（北京）股份有限公司 $