精品解析：青海西宁市大通回族土族自治县第二完全中学2025～2026学年第二学期期中教学质量检测高二数学试题

大通县第二中学2025～2026学年第二学期期中教学质量检测 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片､2部文艺片､3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（ ） A. 18 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】由分类加法计数原理，得不同的选法种数为. 故选：C 2. 已知，则（ ） A. 12 B. 9 C. 1 D. －5 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，代入数值即可求解. 【详解】由，得， 所以． 3. （ ） A. 84 B. 112 C. 168 D. 224 【答案】B 【解析】 【详解】. 4. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，故A错误；，故B错误； ，故C正确；，故D错误. 5. 若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数之和求出，结合二项式系数的特征可求答案. 【详解】因为二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则，解得， 所以二项式的展开式中，最大的二项式系数是，即二项式系数最大的项是第6项． 6. 已知为函数的导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，再代入求值即可． 【详解】由，得， 所以，解得. 7. 从由0，1，2，3，4所组成的无重复数字的三位数中随机抽取一个数，则该数为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】0，1，2，3，4所组成的无重复数字的三位数首位不能是0，根据分步计数原理计算，偶数的个数用分类计数原理，末位是0或不是0分别计算，然后古典概型求解. 【详解】由0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位数的个数为个， 若个位为0，有个 ；若个位为2或4，有为个. 故偶数共有 个， 故所求概率为. 故选：D. 8. 已知正四棱柱的体积为1000，则其所有棱长的和的最小值为（ ） A. 120 B. C. 144 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合棱柱的体积列出棱长的和的关系式，根据导数与最值的关系求解即可. 【详解】设正四棱柱的底面边长为，高为，则，即， 正四棱柱的棱长之和，定义域为， 则，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以时，取到极小值，也是最小值， 即正四棱柱的所有棱长的和的最小值为120. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递增 C. 在处，函数取得极值 D. 在处，函数取得极值 【答案】BC 【解析】 【分析】结合图象，根据导数与单调性、极值的关系依次判断求解. 【详解】对于A，由图象知，当时，， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，当时，， 所以函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C，是导函数的一个变号零点， 故当时，函数取得极值，故C正确； 对于D，不是导函数的一个变号零点， 故当时，函数不能取得极值，故D错误. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，令可求；B选项令可求；C选项，令可求；D选项，把和时的展开式相加可求. 【详解】令，得，故A错误； 令，得，故B正确； 令，得，故C正确； 将与这两式的左右两边分别相加， 得，解得，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当且时， B. 若，则 C. 若只有1个零点，则 D. 若的一个极值点为，且，其中，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求导确定函数单调区间，即可判断，对于B，由解析式代入化简即可判断，对于C，通过取，可判断，对于D，由，确定，再结合列出等式化简即可. 【详解】， 令，得或． 对于A，因为，所以，当时，单调递增， 因为，所以，，故A正确； 对于B，因为， 所以，所以，故B正确； 对于C，， 当时，单调递增，只有1个零点， 此时， 当时，，故C错误； 对于D，因为的一个极值点为，所以，即， 由，得， 即，因为，所以，即，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在区间上的平均变化率为______． 【答案】4 【解析】 【详解】函数在区间上的平均变化率为． 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用在上恒成立，再转化为求函数的最值得出结论. 【详解】因为函数在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立, 又在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围是. 14. 为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“拔草”“翻土”“播种”“浇水”这四个项目的劳动技能比赛．某小组7名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，每个项目至少有1人参加，则这7名同学有______种不同的参加方法． 【答案】8400 【解析】 【分析】先按人数拆分7名同学为4组（满足每组至少1人），再将分好的4组对应分配到4个不同项目中，最后汇总所有分组情况的方法数即可. 【详解】先将7名同学分成四组，有1，1，1，4；1，1，2，3和1，2，2，2这三种情况， 当分组为1，1，1，4时，不同的参加方法有； 当分组为1，1，2，3时，不同的参加方法有； 当分组为1，2，2，2时，不同的参加方法有． 综上所述，满足题意的不同的参加方法有种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求的值； （2）求的二项展开式中的常数项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用组合数计算公式求出； （2）利用通项公式求出，可得答案. 【小问1详解】 由，得，即，解得， 由，得且，所以； 【小问2详解】 由（1），得， 的二项展开式中通项公式为， 令，得， 所以的二项展开式中，常数项为. 16. （1）2名女生和4名男生排成一排，若女生不相邻，有多少种排法？ （2）从5名男生和4名女生中选出4人参加一项无人机表演赛，如果这4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？ 【答案】（1）480；（2）120 【解析】 【分析】（1）通过插空法即可求解； （2）分1个男生，3个女生；2个男生，2个女生；3个男生，1个女生；三类情况计算求解即可. 【详解】（1）先排4名男生，有种排法， 这4名男生之间和两端有5个位置，从中选取2个位置排女生，有种排法， 因此共有种不同排法． （2）若这4人中有1个男生，3个女生，则有种选法； 若这4人中有2个男生，2个女生，则有种选法； 若这4人中有3个男生，1个女生，则有种选法． 综上，一共有种选法． 17. 已知函数在处取得极小值. （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先通过，求出的值，再分类讨论是否在处取得极小值，从而求出的值； （2）代入端点值，再比较端点值和极值的大小，从而求出最大值和最小值. 【小问1详解】 解：（1）由题意知， 又在处取得极小值，所以， 解得或. 当时，，令，解得或， 令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，不符合题意； 当时，，令，解得或， 令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，符合题意. 综上，. 【小问2详解】 由（1）知，又，， ，， 所以，. 18. 已知的展开式中第3项与第项的二项式系数之和为30. （1）求的值； （2）记，从中任取两个相乘，求积为负数的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，可得，根据组合数的求法，列式计算，即可得答案. （2）由（1）得，进而可得的通项公式，即可求出，分析可得当时，，当时，，根据古典概型概率公式，列式计算，即可得答案. 【小问1详解】 第3项与第项的二项式系数之和为， 即，解得或， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）得，则的通项公式为， 所以， 所以当时，，当时，， 所以从中任取两个相乘，积为负数的概率为. 19. 已知函数. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，求证： . 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出切点坐标和切线的斜率，从而求出切线的方程. （2）通过，，这三类进行分类讨论. （3）第三问，通过隐零点的设而不求，整理代入，从而证明. 【小问1详解】 当时， ，所以，， 所以 ， 所以的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，若，即，，所以在上单调递增； 若，即，令，解得或， 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 当时，，要证 ，即证. 令，则，易得在上单调递增， 又 ，， 所以，使得，故， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以 ，所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大通县第二中学2025～2026学年第二学期期中教学质量检测 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片､2部文艺片､3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（ ） A. 18 B. 9 C. 8 D. 7 2. 已知，则（ ） A. 12 B. 9 C. 1 D. －5 3. （ ） A. 84 B. 112 C. 168 D. 224 4. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 6. 已知为函数的导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 从由0，1，2，3，4所组成的无重复数字的三位数中随机抽取一个数，则该数为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四棱柱的体积为1000，则其所有棱长的和的最小值为（ ） A. 120 B. C. 144 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递增 C. 在处，函数取得极值 D. 在处，函数取得极值 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当且时， B. 若，则 C. 若只有1个零点，则 D. 若的一个极值点为，且，其中，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在区间上的平均变化率为______． 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 14. 为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“拔草”“翻土”“播种”“浇水”这四个项目的劳动技能比赛．某小组7名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，每个项目至少有1人参加，则这7名同学有______种不同的参加方法． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求的值； （2）求的二项展开式中的常数项. 16. （1）2名女生和4名男生排成一排，若女生不相邻，有多少种排法？ （2）从5名男生和4名女生中选出4人参加一项无人机表演赛，如果这4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？ 17. 已知函数在处取得极小值. （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. 18. 已知的展开式中第3项与第项的二项式系数之和为30. （1）求的值； （2）记，从中任取两个相乘，求积为负数的概率. 19. 已知函数. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，求证： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $