吉林长春市第二实验中学2025-2026学年下学期期中考试高二数学试题

2025-2026学年度下学期期中考试 装春书资班中学 高二数学试题 CHANGCHUN SECOND EXPERIMENTAL HRGH SCHOOL 本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共3页。考试时间为120分钟。考试 结束后，只交答题卡。 第1卷客观题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 的二项展开式中的常数项为( A.-20 B.20 C.-15 D.15 2.已知某校4000名学生的体能测试得分X(单位：分)服从正态分布X~N80,o2)(o>0),若 P(X<65)=0.1,P(x≥85)=0.4，则得分在区间(75,95]内的人数约为 A.1500 B.1800 C.2000 D.2600 3.如图，要让电路从A处到B处只有一条支路接通，则不同的路径有( A.5种 B.6种 C.7种 D.9种 4. 随机变量X的分布列如表所示，若E(K)=,则D(K)等于( b 6 高二数学试题 A.1 B. 2-3 C. D. 5.长时间玩手机会影响视力.据调查，某学校学生中，大约有二的学生每天玩手机超过1 小时，这些人近视率约为。，其余学生的近视率约为 现从该校随机调查一名学生，他近 视的概率大约是( C.6 D. 6.（x-2y+3)°的展开式中y的系数为() A.480 B.160 C.-160 D.-480 7.若f'()=2,则m+)-f(( →0 △x A.月 B.2 C.-2 D.0 8.已知函藏f倒=血2当0<0<登时，f0mn0++0-n网>0恒成立，则实数m的 取值范围是( A.(-1,1) B.（-1,0) C.(0,1) D.(0,1) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列结论正确的是（) A.一组样本数据通过计算得到线性回归方程为y=0.5x+a,若()=(1,1)，则a=0.05 B.一组数据8,9,10,11,12的第80百分位数是11.5 已知随机变量5~B3》,若5=2勿+1，则D()-} C D.在2x2列联表中，若每个数据a,b,c,d均变成原来的2倍则x2不变 n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 其中n=a+b+c+d) 式题 第1页共3页 10.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表 中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是《) 第0行(a+b)° 1 第1行(a+b)l 11 第2行(a+b)2 121 第3行(a+b)3 1331 第4行(a+b) 14641 第5行(a+b)的 15.101051 第6行(a+b)1615201561 第7行(a+b)7172135352171 第8行(a+)818285670562881 A.第10行的第7个数、第10行的第8个数之和等于第11行的第8个数 B.第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C.第34行中第15个数与第16个数之比为2：3 D.记杨辉三角第n行的第i个数为4，则2(2a)=3 11.已知定义在R上的函数f(x)>0,函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)+a时(x)>0,则 A.当a=1时，ef(2)>f). B.当a=-1时，f(2)>efI). C.当a=2时，2+nf(2)<mf(1) D.当a<0时，f(x)在R上单调递增 高二数学试题 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.若x,,xn的方差为4，则2(x-2)2(2-2),,2(x-2)的方差为 13.某实验中学第一党支部拟选5名党员到A、B、C三个社区做志愿服务，要求每个社区 至少有一名党员，则不同的安排方法共有种 14.在某次“一带一路”知识竞赛中，主办方为所有参赛者设计了一个抽奖活动：在抽奖箱中 放置3个黑球和7个黄球（除颜色外完全相同），采用不放回模球的方式，每位参赛者摸3 次球，每次摸1个球，第k(k=1,2,3)次摸球，若摸到黑球，则得50k元奖金，若摸到黄球， 则没有奖金，现甲参加了这次竞赛，记他获得的奖金为X元，则E(X)= 第Ⅱ卷主观题 四、解答题：本题共5小题，共T7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知函数f(x)=ae*-x-2. (1)若f(x)在[0,1]上单调递增，求a的取值范围； (2)若关于x的不等式f(x)<x-1有解，求a的取值范围. 16.已知f(x)=(2x-3(n23,n∈N),其展开式中的第2,3,4项的二项式系数依次成等 差数列， ()求展开式中奇数次项的系数的和； (2)若(2x-3)=a+a(x-1)+a2(x-1)2++a.（x-1)，求a+2a2++n, 夏第2页共3页 17.甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题 机会，甲答对每道题目的概率都是子，乙答对每道题日的概率都是宁，若答对第一次抽到的墨目， 则面试通过，结束答题：否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两 人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响、 (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率： (②)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为X,求X的分布列 18.芯片产业对于国家的科技安全与经济发展具有不可估量的战略意义，近些年来，国家和企业纷 纷加大对芯片的投入力度.国内某芯片公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入 量x(单位：亿元，下同)对年销售额y（单位：亿元，下同)的影响，该公司收集了最近10年的 年研发资金投入量x和年销售额y,（i=1,2,…,10)的数据：已知第1年的研发资金投入量x为2 亿元，每年的年研发资金投入量比上一年增长4亿元，随着年研发资金投入量的增长，公司的年销 售额也在增长.公司对数据进行了初步处理，得到如下数据（其中4=x，i=1,2,…,10);)=32, 4-可=247168，分u-0y-列)=12848.公司甲、乙两个研究团队用年研发资金投入量 为解释变量，年销售额y为响应变量建立经验回归方程.已知甲研究团队用函数模型 y=bx+a+e ①{区(e)=0,D⊙)=心（a,b为常数，e为随机误差）得到的经验回归方程为y=2.2x-12乙研究 y=ax2+B+e 团队用函数模型② E(e)=0,D(e)=o2（a,B为常数，e为随机误差). (1求乙研究团队建立的一元非线性经验回归方程： (2)现已知第11年公司投入研发资金40亿元，公司的年销售收入为91亿元.根据以上信息，请你 对这两个团队的模型优劣进行比较，并说明理由： (3)研究发现，这两个模型均满足：对于每一个解释变量t,得到响应变量为，且年研发资金投入 为t亿元时，年销售额y服从正态分布N(4,7.7952）,公司为了保证有97.725%的把握获得年销售额 100亿，请你根据你得到的较好模型，问公司预计至少需要投入研发资金约为多少亿元？（保留到 高二数学试是 0.01) 参考公式与数据： ①成对数据(x,）(i=12,3n)的经验回归直线方程为y=x+a,其系数为 2(x-0%-列 4妙 ，a=了-版.@参考数据：假设X~N40）,则 p(u-o<x<u+o）≈0.6827，p(u-2o<x<u+2o)≈0.9545 pu-3g<x<u+3o=0973.③2 2-na+02n+ 6 ,④v1726.5≈41.55. 669×532≈30.41 V2136.75≈46.22，√5≈2.237,11704 l9.已知函数f(x)=e{a∈R), (I)若函数f(x)过原点(0,0)的切线为y=ex,求实数a的值： (2)若函数f(x)的图象与⊙0：x+y=r2(r>0)相交于两个不同点A,B,记直线AB的斜率为 k. (i)当r=互时，求实数a取值范围； ()当=时，证明：k<5 3 3 -(参考公式：s咖a-s加B=2cos“牛里sina2,osa-osf=-2sing+Psm,￡) 。2 2 2 2 题 第3页共3页 2025-2026学年度下学期期中考试 装春市为贵影中学 高二数学答案及评分标准 CHANGCNUN-SEGOHD EXPEAMENTAL HIGH SCHOOL 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C B D B B 二、 题号 9 10 11 答案 AB ABD ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 61 12.-113.1 14. 1296 四、解答题：本题共5小题，共7？分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【共13分】1)(1)由题可知了()=ae-1≥0在[上恒成立，所以a≥号 因为xe,所以[]， 则a≥1，所以a的取值范围为[，+o). ,.5分 2)由（创<x-1有解，可得a<2+有解，令8倒-2，则g-1。之产 令g(≥0，可得x≤分令g因<0，可得x≥号 1 所以g()在（一引上单调递增，在[2+上单调遥减， .10分 所以g(以-8引2E 所以a<26, 26 故a的取值范围为 e .13分 16.【共15分】(1)由题意可知第2,3,4项的二项式系数依次为C,C2,C, 所以2C=C+C,即2×nm-1=n+包-1a-2） 2×1 3×2×1 化简得n2-9n+14=0,因为n≥3，解得n=7,. 4分 设f(x)=(2x-3)7=b。+五x+b2x2+…+b,x y 令x=1,得-1=b。+b,+b2+…+b,① 令x=-1,得-5=b-A+b2--b,② 6+6+6+6,=四-2.5-1-39062 .10分 2 2 (2)f'(x)=4+2a2(x-1)+…+na,(x-). 12分 f'(2)=a+2a2+…+nan 又因为f(x)=(2x-3)” 所以f'(x)=7×2-(2x-3)°，.J3分 所以f'(2)=7×2×(2×2-3)°=14所以4+2a+…+74,=14…15分 17.【共15分】(1)设事件A为“甲通过面试”，事件B为“乙通过面试”， P④=号号-号明 22241 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率： P-8-引-}-%7分 (2)随机变量X的可能取值为2,3,4. P(X=2)= 对--列引发引x=到--)（引-日 所以X的分布列为： 6 15分 18.【共17分】(1)已知x是首项为2、公差为4的等差数列，山，=， 则由等差数列前n项和公式得， -2-212r-1240 =16×10×11×216×10)1+40=5320,故2=5320 6 10 =532,对于模型y=2+B+e, 令u=x2,转化为线性回归y=au+B+e. 根据线性回归系数公式：α= 兑4-y-列 2w可 12848≈0057，B=万-a7=32-0.057×532≈1.61 2247168 因此，乙团队回归方程为y=0.057x2+1.6:.6分 2 (2)甲团队（线性模型）：当x=40时，p=2.2×40-12=76,残差的绝对值91-76=15； 乙团队（非线性模型)：当x=40时，yz=0.057×402+1.6=92.8,残差的绝对值91-92.8=1.8， 因为乙团队模型预测值与实际值的残差的绝对值更小， 所以乙团队的模型更优，能更好地拟合数据，反映年研发资金投入量与年销售额的关系；12分 (3)已知y-N(u,7.7952),要保证97.725%把握（对应4-2o分位数)， 需u-2o≥100.代入乙模型u=0.057x2+1.6,g=7.795, 得：0.057x2+1.6-2×7.7952100,解得x2≥1999.82， 即x≥V1999.82≈44.72（亿元)..17分 19.【共17分】(1)设切点为(，e*-),f'()=e*, 所以f()=e“=e,所以x。-a=l,所以函数f(x)在x=处的切线为y-e-=e(x-xo), 将(0,0)代入得0-e=e(0-x),解得=1，a=0.3分 (2)(i)当r=√2时，函数f(x)的图象与⊙0相交于两个不同点A,B, 所以+6=2有两个不等实极，则6-二之（一万<x<回有两个不等实根， 5<r0,则因22-到.2-2 e2x 当-2<x<-1时，()<0，当-1<x<2时，(x)>0 u(x)在(2，-递减，（-1，V2递增， u()展t=u(-1）=-62,(±2)=0， 六.-e20e(e2,0）,a>-1 10分 (i)设A(x,乃)，B(2,y2),不妨设<x3,则0<e-<e，即0<为<2，∴k>0 「2 .2 ￥=5cos8 =3os 令12 (8,6∈(0，) 2 sing 则n后ng小-号og-at=l2. 4,4是方程a-号oax-后n的两个根 (3 又：k=simg-sing 2cos 0+8sin(9-8） 2 2 、2 欲证k< ,只微证 tan (8+0 ，即证-=m(9生)5， （2 -2 即证号<4牛9<号，即正a<风+8 4 2 2 设4-号oasx-h(后n水cea, 则分6-号如r-m￥-2-co3ce:包esr+cx-2, sinx 3sinx 3sinx 当0<x<子时，N()<0;当号<x<元时，H(创>0： 3 网在号]道减，（后造增， 设-aA-台-后<< 下面证明p倒=H)+行-小>0 p-+借-( 5 34sinxsin cos 5 2sinxsinx- 26 3 则血a传 4sinxsin =4sina iinsina(n3 故>0p网在后适增，p>9行]=0， pa)>0,h=h(@)>h-4 又在(0号到递减，9<号-8→日+8<季红，散< 3 17分 4