第八章 立体几何初步（能力提升卷）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 第八章立体几何初步能力提升卷，120分钟150分，19题涵盖单选、多选、填空、解答，精选近年好题及真题，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习，培养空间观念、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|直观图面积、线面关系、正棱锥|结合古代建筑攒尖情境，基础题占比60%| |多选|3/18|面面平行、正方体线面角|融入《九章算术》文化素材，考查空间想象| |填空|3/15|四面体外接球、正四棱锥表面积|设置动态变化问题（如点移动体积变化）| |解答|5/77|圆锥表面积、线面垂直证明、二面角|分层设计：15题基础计算，19题综合论证，对接高考真题题型|

第八章 立体几何初步（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】作出的实物图，即可计算出的面积. 【详解】由斜二测画法可知，的实物图如下图所示： 可知，，且，因此，的面积为. 故选：B. 2．（24-25高一下·江西新余·期末）已知是三条不重合的直线，是两个不重合的平面，直线，则（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】A 【分析】在A中，由平行公理得；在B中，与相交、平行或异面；在C中，或；在D中，或． 【详解】由，，是三条不重合的直线，，是两个不重合的平面，直线，知： A：，，由平行公理得A正确； B:，与相交、平行或异面，故B错误； C:，或，故C错误； D:或，故D错误． 故选：A. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）在四面体中，，下列说法正确的是(    ) A．A在平面BCD内的投影是的重心 B．A在平面BCD内的投影一定在的内部 C． D． 【答案】C 【分析】结合题中条件画出图象，作平面BCD，连接OB，OC，OD，根据条件可知为的垂心，故可知A错误及C正确，D错误；若为钝角三角形可知B错误； 【详解】如图，    作平面BCD，连接OB，OC，OD，则， 又因为，由三垂线定理的逆定理可知， 同理，则O为的垂心，故A错误； 若为钝角三角形，则其垂心在三角形的外部，故B错误； 同理，由三垂线定理可知，故C正确，D错误． 故选：C. 4．（25-26高二上·重庆江北·期中）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱与底面外接圆半径的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据正六棱锥的底面为正六边形计算可得结果. 【详解】正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为，则底面正边形的边长为， 因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为， 所以侧棱长为， 所以侧棱与底面外接圆半径的比为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：掌握正六棱锥的结构特征是解题关键. 5．（24-25高一下·北京延庆·期末）如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，取正三棱台的上下底面中心为，连接并延长交于点，连接并延长交于点，分别计算的长，利用直角梯形即可求得答案. 【详解】    如图，取正三棱台的上下底面中心为，则即为棱台的高. 连接并延长交于点，连接并延长交于点. 依题意，，， 在直角梯形中，，即棱台的高为. 故选：D. 6．（2026·全国·二模）已知正方体的体积为，点在面上，且，到的距离分别为2，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易证平面，得到为直线与平面所成角求解. 【详解】如图所示: 设正方体的边长为，则，故，即， ∴，连接，， ∴，则点在上且为中点，连接与交于，连接， 可知平面，则为直线与平面所成角， 在直角三角形中，∴. 故选：B. 7．（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，取的中点，连接，通过证明可得，即得为异面直线与所成的角或其补角，利用余弦定理即可. 【详解】 如图，连接，取的中点，连接. 因点，，分别为，，的中点，则，即得， 则，易证，即得， 则，故得，即得，从而， 即为面直线与所成的角或其补角. 设正方体棱长为2，则，， 在中，由余弦定理，， 即异面直线与所成的角的余弦值为. 故选：C. 8．（24-25高一下·北京通州·期末）堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》.如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）.如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得到四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑.则在图2中，下列说法正确的个数为（    ）    ①阳马的四个侧面中恰有3个是直角三角形 ②鳖臑的四个面均为直角三角形 ③堑堵的表面积是阳马的表面积的2倍 ④堑堵的体积是鳖臑的体积的2倍 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】对于①，根据阳马的定义结合线面垂直的判定与性质分析判断；对于②，根据鳖臑的定义结合线面垂直的判定与性质分析判断；对于③，根据棱柱与棱锥的表面积公式结合已知条件分析判断；对于④，根据棱柱与棱锥的体积公式结合已知条件分析判断. 【详解】对于①，如图，由题意可知平面，平面，则， 因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以阳马的四个侧面都是直角三角形，故①错误； 对于②，如图，由题意可知平面，平面，则， 因为平面，平面，则， 所以鳖臑的四个面均为直角三角形，所以②正确； 对于③，设长方体的长，宽，高分别为，则， 所以堑堵的表面积， ， 阳马的表面积， ， 由于 ， 所以堑堵的表面积不是阳马的表面积的2倍，即③错误； 对于④，设长方体的长，宽，高分别为，则， 所以堑堵的体积，鳖臑的体积， 所以堑堵的体积是鳖臑的体积的三倍，所以④错误. 故选：B    2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高三上·福建三明·期末）设m，n是两条直线，α，β是两个平面，以下判断正确的是（    ） A．若m∥α，α∥β，则m∥β B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊥α，α∥β，则m⊥β 【答案】CD 【分析】利用直线与平面平行的性质定理判断A；用面面平行的判定定理判断B；用线面垂直的性质定理判断C；利用面面平行的性质定理和线面垂直的判定定理判断D. 【详解】对于A，若m∥α，α∥β，则m可能在β内，所以A不正确； 对于B，若m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确； 对于C，若m⊥α，n⊥α，则m∥n，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确； 对于D，若m⊥α，α∥β，则m⊥β，满足面面平行的性质定理和线面垂直的判定定理，所以D正确； 故选：CD 10．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，正方体的棱长为2，则（    ） A．平面 B．平面 C．异面直线与BD所成的角为60° D．三棱锥的体积为 【答案】ABC 【分析】对A：借助正方体的性质可得，结合线面平行的判定定理即可得；对B：借助线面垂直的判定定理可得平面，平面，再利用线面垂直的性质定理可得，，进而可得，，即可得证；对C：借助等角定理可得等于异面直线与BD所成的角，计算出即可得解；对D：借助体积公式计算即可得. 【详解】对A：在正方体中，， 又平面，平面，所以平面，故A项正确； 对B：连接，，在正方体中，，， 平面，平面，因为平面， 平面，所以，， 又，平面，平面， 所以平面，因此，同理，， 又，平面，平面， 所以平面，故B项正确； 对C：因为，所以等于异面直线与BD所成的角， 又，即为等边三角形， 所以异面直线与BD所成的角为60°，故C项正确； 对D：三棱锥的体积 ，故D项不正确. 故选：ABC. 11．（2026·福建福州·二模）在棱长为2的正四面体中，为的中点，为的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．正四面体外接球的表面积等于 C． D．正四面体外接球的球心在上 【答案】BCD 【分析】根据平行线的性质、正四面体的性质、球的性质，结合线面垂直的判定定理和性质、球的表面积公式进行求解判断即可. 【详解】取的中点F，连接，因为为的中点，所以， 假设，所以有，显然与矛盾，故假设不成立，因此A选项说法不正确； 设正四面体外接球的球心为， 因为，为的中点，所以， 因此，同理， 所以有，因为为的中点，所以直线是的垂直平分线，而是正四面体外接球的球心，所以， 因此正四面体外接球的球心在上，所以选项D说法正确， 设顶点在底面的射影为，显然在线段上，设该球的半径为， ，所以， 因此有：， 所以该球的表面积为：，故选项B说法正确； 由上可知：，，而平面， 所以平面，而平面，所以，因此选项C说法正确， 故选：BCD 【点睛】关键点睛：运用正四面体的性质通过计算确定该正四面体外接球的球心位置是解题的关键. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高二上·四川成都·开学考试）已知四面体ABCD的四个顶点A，B，C，D均在半径为的球面上，且，，，则四面体ABCD的体积是______．（用含m的代数式表示） 【答案】 【分析】将四面体补全为长方体，设长方体的长宽高分别为，，则外接球的直径即为该长方体的体对角线，从而可求得，再利用勾股定理可求得长宽高，再根据锥体与柱体的体积公式即可得解. 【详解】解：由题意，将四面体补全为长方体，如图所示， 设长方体的长宽高分别为，， 则， ， 故，解得， 则，解得， 所以四面体ABCD的体积为. 故答案为：. 13．（2026·全国·模拟预测）将一边长为的正方形纸片按照图中的虚线所示的方法剪开后拼接为一正四棱锥(底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心)，则该正四棱锥外接球和内切球的表面积之比为_____________. 【答案】 【分析】由题设可知正四棱锥底面边长为侧棱长为，进而求出外接球的半径，应用等体积法求内切球的半径，即可求外接球和内切球的表面积之比. 【详解】按图中的虚线所示的方法剪开后拼接为正四棱锥，如图所示， 则剪开后拼接为底面边长为侧棱长为的正四棱锥. 设底面中心为，外接球的球心为，外接球的半径为则， ∴，即，解得 ， ∴四棱锥的外接球的半径， 设内切球的半径为，且四棱锥表面积为，由，即， ∴，则外接球和内切球的表面积之比. 故答案为：. 14．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图所示，直线垂直于圆所在的平面，内接于圆，且为圆的直径，.现有以下命题：    ①； ②当点在圆周上由点逐步向点移动过程中，二面角会逐步增大； ③当点在圆周上由点逐步向点移动过程中，三棱锥的体积的最大值为. 其中正确的命题序号为______. 【答案】①③ 【分析】由线面垂直的判定定理可判断①；由面面垂直的判定定理可判断②；由等体积法可判断③. 【详解】因为平面，平面，所以， 又因为为圆的直径，所以，平面， 所以平面，而平面，所以，故①正确； 因为平面，而平面，所以平面平面， 故当点在圆周上由点逐步向点移动过程中，二面角恒为，故②不正确； 因为， 所以三棱锥的体积, 过点作交于点， 所以，所以， 所以求三棱锥的体积的最大值，即求的最大值， 当点在圆周上由点逐步向点移动过程中，当为中点时， 最大，且的最大值为，所以三棱锥的体积的最大值为，故③正确； 故答案为：①③.    4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，一个圆锥的底面半径为1，高为4，在圆锥中有一个内接圆柱. (1)求圆锥的表面积与体积； (2)设圆柱的底面半径为，当为何值时，圆柱的表面积最大，最大表面积为多少. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据圆锥的表面积及体积公式计算即可； （2）根据相似计算出圆柱的高，再写出表面积公式再结合二次函数得出最大值. 【详解】（1）如图：圆锥的母线； ； （2）记圆柱的表面积为，圆柱高为，则. ，即， 解得，其中； 所以， 当时，. 16．（25-26高一下·广东惠州·期中）如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点． (1)求证：平面． (2)求异面直线与所成的角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用四棱锥的几何形状，结合已知条件，运用线面垂直判定定理证明结论； （2）连接交于点，连接，利用几何法得出即为异面直线与所成的角，再利用勾股定理求出的各边边长，进而求出角． 【详解】（1）四棱锥的底面是正方形，， 底面，底面，， ，平面， 平面． （2）连接交于点，连接， 在中，分别是中点，则， 因此异面直线与所成的角即为或其补角， ，， ， ，故是等边三角形， ， 异面直线与所成的角为． 17．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)证明面； (2)当平面时，面与交于，求的值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明线线平行，从而证明线面平行； （2）通过相似三角形从而确定动点的位置，进而根据体积之间的比例进行求解； 【详解】（1）， 平面， 平面，面， 面，面面，， 面，面，面. （2）如下图所示，连接交于点，连接，作 交 于 ， 设， 平面，平面， 平面平面，， 在梯形 中，， ， ，， ，即， 可得 ，故. 18．（25-26高一下·山西运城·期中）如图，在正方体中，为棱的中点，为棱的中点. (1)连接并延长，交平面于点，求证：三点共线； (2)点在棱的延长线上，且，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）点直线，直线平面，所以点平面. 又因为点平面，所以点为平面与平面的公共点， 又因为平面平面，故点在直线上. 故三点共线. （2）取的中点，连接， 因为为棱的中点，所以， 又因为，所以. 又，所以四边形为平行四边形， 所以. 因为， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 又因为平面平面，所以平面. 因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面. 又因为平面，平面， 所以平面平面. 19．（2026·湖北武汉·二模）如图三棱锥中，，平面平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，证明出线面垂直； （2）作出辅助线，得到二面角的平面角，根据正切值得到各边长，求出三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：在内任取一点P，过点P作于， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 又平面，所以. 过作于，同理可得， 又平面，平面，， 所以平面. （2）过点作于，由平面平面， 平面平面知平面. 又平面，所以 再过点作于，连接， 因为 ， 平面， 则平面， 所以即为二面角的平面角. 所以， 又，故为等边三角形， 所以，， 故， 又中，，所以，故， 所以，又为等边三角形，故， 所以三棱锥的体积. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 立体几何初步（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25高一下·江西新余·期末）已知是三条不重合的直线，是两个不重合的平面，直线，则（    ） A．， B．， C．， D． 3．（25-26高二上·全国·课后作业）在四面体中，，下列说法正确的是(    ) A．A在平面BCD内的投影是的重心 B．A在平面BCD内的投影一定在的内部 C． D． 4．（25-26高二上·重庆江北·期中）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱与底面外接圆半径的比为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·北京延庆·期末）如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为（    ）    A． B． C． D． 6．（2026·全国·二模）已知正方体的体积为，点在面上，且，到的距离分别为2，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·北京通州·期末）堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》.如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）.如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得到四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑.则在图2中，下列说法正确的个数为（    ）    ①阳马的四个侧面中恰有3个是直角三角形 ②鳖臑的四个面均为直角三角形 ③堑堵的表面积是阳马的表面积的2倍 ④堑堵的体积是鳖臑的体积的2倍 A．0 B．1 C．2 D．3 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高三上·福建三明·期末）设m，n是两条直线，α，β是两个平面，以下判断正确的是（    ） A．若m∥α，α∥β，则m∥β B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊥α，α∥β，则m⊥β 10．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，正方体的棱长为2，则（    ） A．平面 B．平面 C．异面直线与BD所成的角为60° D．三棱锥的体积为 11．（2026·福建福州·二模）在棱长为2的正四面体中，为的中点，为的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．正四面体外接球的表面积等于 C． D．正四面体外接球的球心在上 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高二上·四川成都·开学考试）已知四面体ABCD的四个顶点A，B，C，D均在半径为的球面上，且，，，则四面体ABCD的体积是______．（用含m的代数式表示） 13．（2026·全国·模拟预测）将一边长为的正方形纸片按照图中的虚线所示的方法剪开后拼接为一正四棱锥(底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心)，则该正四棱锥外接球和内切球的表面积之比为_____________. 14．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图所示，直线垂直于圆所在的平面，内接于圆，且为圆的直径，.现有以下命题：    ①； ②当点在圆周上由点逐步向点移动过程中，二面角会逐步增大； ③当点在圆周上由点逐步向点移动过程中，三棱锥的体积的最大值为. 其中正确的命题序号为______. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，一个圆锥的底面半径为1，高为4，在圆锥中有一个内接圆柱. (1)求圆锥的表面积与体积； (2)设圆柱的底面半径为，当为何值时，圆柱的表面积最大，最大表面积为多少. 16．（25-26高一下·广东惠州·期中）如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点． (1)求证：平面． (2)求异面直线与所成的角． 17．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)证明面； (2)当平面时，面与交于，求的值； 18．（25-26高一下·山西运城·期中）如图，在正方体中，为棱的中点，为棱的中点. (1)连接并延长，交平面于点，求证：三点共线； (2)点在棱的延长线上，且，求证：平面平面. 19．（2026·湖北武汉·二模）如图三棱锥中，，平面平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $