第八章 立体几何初步（基础巩固卷）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高一下·湖南邵阳·月考）如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积是（    ） A．4 B． C． D．6 2．（25-26高三上·浙江温州·开学考试）设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（25-26高一下·江苏徐州·期中）圆木长1丈5尺，圆周为4尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺? 这个问题的答案为（注:1丈等于10尺） （　　） A．18尺 B．17尺 C．16尺 D．15尺 4．（24-25高一下·北京平谷·期末）玩陀螺不仅可以释放往日情怀，找回童年的乐趣，也可锻炼人体协调性和腕部力量，培养敏锐观察力．如图，一个实木陀螺近似的看成同底的一个圆柱和一个圆锥构成．已知这个陀螺是由一个底面直径为6cm．高也为6cm的圆柱实木制成的，为了陀螺旋转的稳定性，设计圆柱部分与圆锥部分的高比为，则这个陀螺的体积最大约为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·山西太原·月考）如图，平面与平面相交于，，，点，点，则下列叙述中错误的是（    ） A．直线与是异面直线 B．过只能作一个平面与平行 C．直线不可能与垂直 D．过只能作唯一平面与垂直，但过可作无数个平面与平行 6．（25-26高二上·河南·期中）已知正方体的棱长为2，点在正方形内，点在正方形内，且直线平面.若三棱柱的侧面积为12，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在长方体中，，，点，分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（    ） A．2 B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高一下·云南红河·期中）下列说法错误的是（    ） A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 C．底面是矩形的四棱柱是长方体 D．三棱台有8个顶点 10．（2026·福建莆田·二模）在直三棱柱中，各棱长均为2，分别为线段的中点，则（    ） A．平面平面 B． C．直线和所成角的余弦值为 D．该棱柱外接球的表面积为 11．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（    ） A．直线与直线所成的角的正切值为 B．直线与平面平行 C．点与点到平面的距离相等 D．平面截正方体所得的截面面积为 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高二上·上海浦东新·期末）在正三棱锥中，异面直线PA与BC所成角的大小为_____. 13．（25-26高三上·福建厦门·期末）《九章算术》将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.如图所示，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某一阳马的正视图和侧视图，则该阳马中，最长的棱的长度为___． 14．（25-26高二上·江苏南通·期末）一个球的直径为2，则它的内接正四棱柱侧面积的最大值为______. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二下·陕西宝鸡·期中）如图，在三棱锥中，底面分别是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面． 16．（25-26高一下·河南商丘·月考）已知在正方体中，是中点. (1)求证：平面； (2)设正方体棱长为，求三棱锥的表面积和体积. 17．（25-26高一下·安徽合肥·期中）某工件是一个组合体，如图所示，它由两个半球和一个圆柱组成．已知球的直径是4cm，圆柱的高是2cm． (1)求这种工件的体积； (2)现要在这种工件的表面电镀一层防锈金属膜，每平方厘米需要花费20元，共需多少费用？ 18．（25-26高一下·河北衡水·期中）如图，在正方体中为的中点，为棱的中点，为棱的中点． (1)求证：四点共面； (2)求证：平面； (3)求正方体的外接球的表面积和体积． 19．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 立体几何初步（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高一下·湖南邵阳·月考）如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积是（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】C 【分析】先求出平行四边形面积，再根据斜二测画法的原图形面积与直观图面积比为计算即可. 【详解】在平行四边形中，作. 在中，. 所以平行四边形面积为. 所以原图形面积为. 故选:C 2．（25-26高三上·浙江温州·开学考试）设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理，可以判断命题的真假. 【详解】对于A，若，，则与可能平行、相交或异面，故A为假命题； 对于B，若，，则有可能或，故B为假命题； 对于C，若，则垂直于面内两条相交直线，又，则必能在面内找到一条直线，故也垂直于面内两条相交直线，所以，又，所以，故C为真命题； 对于D，若，，则有可能、或与相交，故D为假命题. 故选：C． 3．（25-26高一下·江苏徐州·期中）圆木长1丈5尺，圆周为4尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺? 这个问题的答案为（注:1丈等于10尺） （　　） A．18尺 B．17尺 C．16尺 D．15尺 【答案】C 【分析】此题考察几何体侧面路径的最值求法，根据题意对侧面进行展开，利用两点之间线段最短求解. 【详解】如图为圆柱的侧面展开图，其中，，    所以， 因为，故A，B，D错误. 故选：C. 4．（24-25高一下·北京平谷·期末）玩陀螺不仅可以释放往日情怀，找回童年的乐趣，也可锻炼人体协调性和腕部力量，培养敏锐观察力．如图，一个实木陀螺近似的看成同底的一个圆柱和一个圆锥构成．已知这个陀螺是由一个底面直径为6cm．高也为6cm的圆柱实木制成的，为了陀螺旋转的稳定性，设计圆柱部分与圆锥部分的高比为，则这个陀螺的体积最大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆锥部分的高为,则圆柱部分的高为,得,则这个陀螺的体积为:,进行求解即可. 【详解】设圆锥部分的高为,则圆柱部分的高为, 依题意得,得, 则这个陀螺的体积为:, 因为,则, 得这个陀螺的体积最大约为: . 故选:C 5．（25-26高一下·山西太原·月考）如图，平面与平面相交于，，，点，点，则下列叙述中错误的是（    ） A．直线与是异面直线 B．过只能作一个平面与平行 C．直线不可能与垂直 D．过只能作唯一平面与垂直，但过可作无数个平面与平行 【答案】C 【分析】利用异面直线的判定定理判断选项A；根据异面直线的性质判断选项B；举反例否定选项C；利用线面垂直与平行的判定定理判断选项D. 【详解】根据异面直线的判定定理知，直线与是异面直线，∴A正确； 由上可知直线与是异面直线，则根据异面直线的性质知， 过只能作一个平面与平行，∴B正确； 当恰好为平面的垂线时，由，可得，∴C错误； 根据线面垂直的判定定理知，过点只能作唯一平面与垂直， 根据线面平行的判定定理知过点可作无数个平面与平行，∴D正确． 故选：C． 6．（25-26高二上·河南·期中）已知正方体的棱长为2，点在正方形内，点在正方形内，且直线平面.若三棱柱的侧面积为12，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三棱柱的侧面积求得，中，由余弦定理结合基本不等式，求的最大值. 【详解】由题意三棱柱为直三棱柱， 其侧面积为12，有，    由，则有， 设，， 即， 则有，当且仅当时等号成立， 中，由余弦定理，， 即， ，则， 点在正方形内，，所以的最大值为. 故选：C. 7．（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，取的中点，连接，通过证明可得，即得为异面直线与所成的角或其补角，利用余弦定理即可. 【详解】 如图，连接，取的中点，连接. 因点，，分别为，，的中点，则，即得， 则，易证，即得， 则，故得，即得，从而， 即为面直线与所成的角或其补角. 设正方体棱长为2，则，， 在中，由余弦定理，， 即异面直线与所成的角的余弦值为. 故选：C. 8．（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在长方体中，，，点，分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，过点作出与平面平行的长方体部分截面，确定点的轨迹即可. 【详解】在长方体中，取的中点，连接, 由点为的中点，得，则四边形是平行四边形， ，又，则四边形是平行四边形， 于是，取中点，在上取点，使得，连接， 而，则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 于是平面，由为的中点，得，而平面，平面， 则平面，又平面，因此平面平面， 由直线平面，点平面，则点在平面与平面的交线上， 从而点的轨迹是线段，而， 所以点的轨迹长度为. 故选：C 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高一下·云南红河·期中）下列说法错误的是（    ） A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 C．底面是矩形的四棱柱是长方体 D．三棱台有8个顶点 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用三棱锥、圆台、长方体、三棱台的结构特征依次判断各选项作答. 【详解】对于A，如图几何体是三棱锥与三棱锥组合而成，各个面都是三角形，但不是三棱锥，A错误； 对于B，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台，B正确； 对于C，底面是矩形的四棱柱，当侧棱不垂直于底面时，该几何体不是长方体，C错误； 对于D，三棱台有6个顶点，D错误. 故选：ACD 10．（2026·福建莆田·二模）在直三棱柱中，各棱长均为2，分别为线段的中点，则（    ） A．平面平面 B． C．直线和所成角的余弦值为 D．该棱柱外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】证明，，由面面平行的判定定理可判断选项A；证明面，即可判断选项B；由可得即为异面直线和所成角，在中计算即可判断选项C；根据三棱锥的对称性以及等边三角形的性质求出外接圆的半径，由求得面积公式计算面积即可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】 对于A：在直三棱柱中，各棱长均为2，分别为线段的中点， 所以且，所以四边形是平行四边形，所以， 因为面，面，所以面， 因为且，所以四边形是平行四边形，所以，因为面，面，所以面， 因为，所以平面平面，故选项A正确； 对于B：因为是等边三角形，是线段的中点，可得，因为三棱柱为直棱柱，可得面，面，所以，由，所以 面，因为面，所以，故选项B正确； 对于C：因为所以即为异面直线和所成角，，，，由余弦定理可得： ，故选项C不正确； 对于D：设上下底面的中心分别为，，则三棱锥的外接球的球心为的中点， 设外接圆的半径为，三棱锥的外接球的半径为，则， 所以，所以外接球的表面积为 ，故选项D正确， 故选：ABD. 11．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（    ） A．直线与直线所成的角的正切值为 B．直线与平面平行 C．点与点到平面的距离相等 D．平面截正方体所得的截面面积为 【答案】ABD 【分析】.根据，得到直线与直线所成的角求解； .取中点，连接，，利用面面平行的判定定理和性质定理判断；.假设与到平面的距离相等，转化平面是否过的中点判断； .根据，把截面补形为等腰梯形判断. 【详解】如图所示： .因为，所以直线与直线所成的角，，故正确； .取中点，连接，， 在正方体中，，， 平面，平面， 所以平面，同理可证平面，， 所以平面平面， 平面，所以平面，故正确； .假设与到平面的距离相等，即平面将平分， 则平面必过的中点，连接交于，而不是中点， 则假设不成立，故错误； .在正方体中，， 把截面补形为等腰梯形，易知， 之间的距离为， 所以其面积为，故正确， 故选：ABD 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高二上·上海浦东新·期末）在正三棱锥中，异面直线PA与BC所成角的大小为_____. 【答案】 【分析】利用线面垂直即可求得PA与BC垂直，进而得到异面直线PA与BC所成角的大小 【详解】正三棱锥中，取BC中点D连接AD、PD， 则，， 又，平面，平面， 则平面，又平面，则 则异面直线PA与BC所成角的大小为 故答案为： 13．（25-26高三上·福建厦门·期末）《九章算术》将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.如图所示，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某一阳马的正视图和侧视图，则该阳马中，最长的棱的长度为___． 【答案】 【分析】根据三视图画出原几何体，再根据三视图中的数据，即可求解最长的棱的长度，得到答案. 【详解】由题意，根据三视图可得该几何体为一个四棱锥，（如图所示） 其中侧棱底面，底面为长方形， 在该“阳马”点最长的棱长为. 【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图，以及几何体的结构特征的应用，，其中解答中根据空间几何体的三视图得到该几何体的直观图，以及相应的线面位置关系是解答本题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力. 14．（25-26高二上·江苏南通·期末）一个球的直径为2，则它的内接正四棱柱侧面积的最大值为______. 【答案】 【解析】设底面正方形的边长为，棱柱高为，则棱柱侧面积．根据．化简得，进而结合基本不等式可得的最值． 【详解】设底面正方形的边长为，棱柱高为，则棱柱侧面积． 正四棱柱为半径为的球的内接正四棱柱， ． 即， 由基本不等式得：， 即， ， 即内接正四棱柱的侧面积的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是球的内接多面体和基本不等式，由基本不等式得到是解答的关键． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二下·陕西宝鸡·期中）如图，在三棱锥中，底面分别是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由分别为的中点得，然后根据线面平行的判断定理即可证明； （2）由底面，得，且，然后根据线面垂直的判断定理即可证明. 【详解】（1）因为分别为的中点， 则， 所以 因为平面平面 所以平面. （2）因为底面，且平面， 所以， 因为， 且平面，平面， 所以平面． 16．（25-26高一下·河南商丘·月考）已知在正方体中，是中点. (1)求证：平面； (2)设正方体棱长为，求三棱锥的表面积和体积. 【答案】(1)证明见解析； (2)表面积为，体积为. 【分析】（1）连接BD交AC于O，连接OE，即可得到，从而得证. （2）根据正方体的结构特征及计算可得. 【详解】（1）在正方体中，是中点， 连接BD交AC于O，连接OE，显然O是的中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）显然两两垂直，而，则， 又是的中点，则，， 所以三棱锥的表面积为； 体积为 17．（25-26高一下·安徽合肥·期中）某工件是一个组合体，如图所示，它由两个半球和一个圆柱组成．已知球的直径是4cm，圆柱的高是2cm． (1)求这种工件的体积； (2)现要在这种工件的表面电镀一层防锈金属膜，每平方厘米需要花费20元，共需多少费用？ 【答案】(1) (2)元. 【分析】（1）根据圆柱和球的体积公式，分别求得圆柱的体积和上下两个半球的体积之和，即可求解； （2）根据圆柱的侧面积和球的表面积公式，分别求得圆柱的侧面积和上下两个半球的表面积之和，结合题意，即可求解. 【详解】（1）解：由题意知，球的直径为，所以球的半径为， 则圆柱的体积为， 上下两个半球的体积之和为， 所以该几何体的体积为. （2）解：根据题意，中间圆柱的侧面积为， 上下两个半球的表面积之和为， 所以该几何体的表面积为， 因为电镀一层防锈金属膜每平方厘米需要花费20元，所以共花费元. 18．（25-26高一下·河北衡水·期中）如图，在正方体中为的中点，为棱的中点，为棱的中点． (1)求证：四点共面； (2)求证：平面； (3)求正方体的外接球的表面积和体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)； 【分析】（1）只需证明即可证明四点共面； （2）先由中位线定理得，再由线面平行的判定定理可得； （3）根据正方体的体对角线即为外接球的直径，进而可得外接球的表面积和体积. 【详解】（1）如图：连接. 因为分别是线段的中点，所以. 又因为在长方体中，且，所以四边形是平行四边形， 所以，因此，根据平面的性质，四点在同一个平面内， 所以四点共面. （2）连接，交于点，因为是正方形，对角线互相平分，所以是的中点. 又是的中点，因此在​中，是中位线，故. 因为平面，平面，且， 由线面平行判定定理得：平面. （3）因为正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长， 正方体棱长，体对角线长，因此外接球半径. 所以外接球的表面积：， 外接球的体积： 19．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得到平面； （2）求出三棱锥的体积，再由等体积法求出点到平面的距离，最后利用锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接、，则，且. 因为，，所以且. 所以四边形为平行四边形. 所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为底面为梯形，，，， 所以，， ， 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以， 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，所以， 设直线与面所成的角为，则， 直线与面所成的角的正弦值为. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $