精品解析：河北沧州市南皮县第一中学2026届高三下学期3月阶段检测数学试题

2026届高三下学期3月阶段检测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线C：的离心率为2，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 若函数的极值点为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点是圆上的动点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值是（    ） A. B. C. D. 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在世界无烟日，小华所在的学习小组为了解本地区大约有多少成年人在吸烟，随机调查了50个成年人，结果其中有15个成年人吸烟.对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（　　） A. 调查的方式是抽样调查 B. 本地区只有35个成年人不吸烟 C. 样本是15个吸烟的成年人 D. 样本容量是50 10. 已知抛物线的焦点为，动点在抛物线上，点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 有最小值无最大值，且最小值为5 C. 有最大值和最小值，若在点处，取到最大值，在点处，取到最小值，则的中点为 D. 有最大值，且此时的坐标为 11. 已知的内角所对的边分别为，，.则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知为锐角，且，则______． 13. 若函数在区间单调递增，则的取值范围是________. 14. 口袋中有编号分别为1，2，3，…，10的10个小球，所有小球除了编号外无其他差别．从口袋中任取5个小球，设其中编号的最小值为，则____________，期望___________． 四．解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 据市场调查，某厂生长的某种产品的广告费用支出（万元）与销售额（万元）之间有如下的对应数据，由散点图知，销售额（万元）与广告费用支出（万元）呈线性相关. 2 4 5 6 8 10 20 40 30 50 （1）求销售额（万元）与广告费用支出（万元）的线性回归方程； （2）据（1）的结果，如果厂家准备投入广告费用为10万元时，预测销售额是多少万元？ （3）据（1）的结果，如果该厂的广告费用每增加投入2万元，销售额估计能平均增加多少万元？ 附：参考公式：， 参考数据：， 16. 如图，已知长方体 （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知离心率为的椭圆过点． （1）求椭圆的标准方程． （2）过点引出两条相交直线和，分别交椭圆于四点，若两条直线斜率互为相反数，判断是否为定值？如果是定值，求出其定值． 18. 已知数列，其前项和分别为， （1）若，，求证：是等比数列并求； （2）若数列满足，，，则称为斐波那契数列. ①求是数列中的第几项； ②证明： 19. 已知函数. （1）若（为自然对数的底数），求函数的极值； （2）若，函数有两个零点，. ①求的取值范围； ②当不等式恒成立时，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三下学期3月阶段检测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将集合化简，再利用交集定义求解出. 【详解】由题得集合， 又，所以. 故选：D. 2. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先应用复数的乘法和除法计算化简，最后应用共轭复数的定义求解. 【详解】复数， 则. 故选：C. 3. 已知双曲线C：的离心率为2，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线的概念和性质，结合题意即可求解. 【详解】设双曲线C的半焦距为c． ∵椭圆的焦点为，∴． 又双曲线C：的离心率为， ∴，即，解得，则， 故双曲线C的方程为． 故选：． 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直得到方程，求出，进而得到，求出答案. 【详解】因为，所以，可得， 因为向量，， 所以和， 所以，解得. 故选：A. 5. 若函数的极值点为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，再求出极值点即可. 【详解】函数，求导得， 由，得，当时，，当时，， 因此是函数的极小值点，无极大值点， 所以函数的极值点为. 故选：C 6. 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易得函数关于对称，且在上单调递减，在单调递增，将原不等式转化为求解即可. 【详解】因为，所以， 即函数关于对称， 当时，单调递增， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 因为，所以，解得， 即的取值范围是， 故选：B. 7. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用圆柱的体积公式，求得四片瓦需要的粘土量，进而求得800片瓦需要的粘土量，得到答案. 【详解】由圆柱的体积公式，可得四片瓦需要的粘土量为， 所以800片瓦需要的粘土量为． 故选：D． 8. 已知点是圆上的动点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图象，过点作，垂足为，连接，则有，从而得点D的轨迹方程为²，由向量的加法法则可得，根据圆与圆的位置关系求出即可得答案. 【详解】解：圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为2， 如图，过点作，垂足为，连接， 为中点，即， 又， ， 点D的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆， 点D的轨迹方程为²， 是AB中点， ， ， 所以的最大值为 故选： 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在世界无烟日，小华所在的学习小组为了解本地区大约有多少成年人在吸烟，随机调查了50个成年人，结果其中有15个成年人吸烟.对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（　　） A. 调查的方式是抽样调查 B. 本地区只有35个成年人不吸烟 C. 样本是15个吸烟的成年人 D. 样本容量是50 【答案】AD 【解析】 【分析】根据普查和抽样调查的特点分析判断即可 【详解】对于A，随机调查了50个成年人，是属于抽样调查，所以A正确， 对于B，这50个中有35个人不吸烟不代表本地区只有35个成年人不吸烟，所以B错误， 对于C，样本是50个成年人，所以C错误， 对于D，因为随机调查了50个成年人，所以样本容量是50，所以D正确， 故选：AD 10. 已知抛物线的焦点为，动点在抛物线上，点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 有最小值无最大值，且最小值为5 C. 有最大值和最小值，若在点处，取到最大值，在点处，取到最小值，则的中点为 D. 有最大值，且此时的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，利用数形结合，转化为三点共线问题，即可判断选项. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，故A选项错误； 根据抛物线定义，等于点到准线的距离，设为，， 当垂直于准线时，最小，此时最小值为， 因为可无限远离，所以无最大值，故B选项正确； 根据三角形三边关系（共线时取等号）， 而，当且仅当在直线上时取等号（如图1）， 在处取得最大值，在处取得最小值， 设，直线的方程为：， 联立消得， 则的中点为，即，故C选项正确； 根据三角形三边关系（共线时取等号），， 当且仅当在直线的延长线上时取最大值（如图2），故D选项错误. 故选：BC 11. 已知的内角所对的边分别为，，.则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两角和差正弦公式和诱导公式可推导得到，讨论角的关系可确定A正确；利用正弦定理边化角、角之间的关系、诱导公式及二倍角公式可将转化为方程，令，，利用导数可确定的范围，进而确定、的范围，得到BCD正误. 【详解】对于A，，， ， ，，又， 或，即或； 当时，，此时，不合题意， ，A正确； 对于BCD，，， ，， 即， 整理可得：， 令，，，，即， 令，则， 在上单调递减，又，， ，； 由得：， ，，又， ，，，，B正确，C错误； ，，即， ，即，D正确. 故选：ABD. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知为锐角，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式可求得的值，再由同角的三角函数值的平方关系可求得. 【详解】由． 所以． 由于为锐角，所以，则，结合， 所以，因此． 故答案为：． 13. 若函数在区间单调递增，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据单调性得出，最后结合基本不等式计算求解. 【详解】， 令，则当时，， 又因为， 当且仅当时等号成立，且当时，不恒为0， 故的取值范围是. 故答案为：. 14. 口袋中有编号分别为1，2，3，…，10的10个小球，所有小球除了编号外无其他差别．从口袋中任取5个小球，设其中编号的最小值为，则____________，期望___________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】利用组合知识求出从口袋中任取5个小球，共有情况数，再求出编号的最小值为2的情况数，相除求出概率；再求出的可能取值和对应的概率，利用数学期望公式进行求解. 【详解】从口袋中任取5个小球，共有种情况， 其中编号的最小值为2，则不含有1，从剩余8个数中选择4个，共有种情况， 故； 的可能取值为1,2,3,4,5,6， 其中，，， ，，， 所以 故答案为：， 四．解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 据市场调查，某厂生长的某种产品的广告费用支出（万元）与销售额（万元）之间有如下的对应数据，由散点图知，销售额（万元）与广告费用支出（万元）呈线性相关. 2 4 5 6 8 10 20 40 30 50 （1）求销售额（万元）与广告费用支出（万元）的线性回归方程； （2）据（1）的结果，如果厂家准备投入广告费用为10万元时，预测销售额是多少万元？ （3）据（1）的结果，如果该厂的广告费用每增加投入2万元，销售额估计能平均增加多少万元？ 附：参考公式：， 参考数据：， 【答案】（1） （2）万元 （3）万元 【解析】 【分析】（1）利用表中数据求出，的值，再利用公式即可求出结果； （2）利用（1）中所求回归方程即可求出结果. （3）利用的意义求解即可. 【小问1详解】 因为， ，， 所以，， 故回归方程为 【小问2详解】 由（1）知，所以当时，代入得到， 即估计销售收入的值为万元. 【小问3详解】 由回归方程为可知，斜率，表示该厂的广告费用每增加投入1万元，销售额估计能平均增加万元，所以该厂的广告费用每增加投入2万元，销售额估计能平均增加万元. 16. 如图，已知长方体 （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用空间向量法来计算异面直线所成角的余弦值即可； （2）利用空间向量法来计算两平面所成角的余弦值即可. 【小问1详解】 如图建立空间直角坐标系， 因为 所以 则， 即异面直线与所成角的余弦值为； 【小问2详解】 由（1）知， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以平面的法向量为， 又由， 设平面的法向量为， 则， 令，可得， 所以平面的法向量为， 即平面与平面所成角的余弦值为． 17. 已知离心率为的椭圆过点． （1）求椭圆的标准方程． （2）过点引出两条相交直线和，分别交椭圆于四点，若两条直线斜率互为相反数，判断是否为定值？如果是定值，求出其定值． 【答案】（1） （2）是定值，定值为0． 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程，求解可得椭圆的标准方程； （2）设，设直线的方程为，直线的方程为，联立椭圆的方程，可用表示，即可得，从而判断是否为定值. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为. 因为椭圆的离心率为，且过点， 所以，解得， 则椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 易知直线的斜率均存在， 设直线的方程为， 所以直线的方程为． 设， 此时，， 联立，消去y并整理得， 此时，解得或， 由韦达定理得，， 所以 ， 联立，消去y并整理得， 此时，解得或， 由韦达定理得，， 所以 ． 综上所述，或. 所以是定值，定值为0． 18. 已知数列，其前项和分别为， （1）若，，求证：是等比数列并求； （2）若数列满足，，，则称为斐波那契数列. ①求是数列中的第几项； ②证明： 【答案】（1） 若，，可得， 又，则是首项和公比均为的等比数列； 由等比数列的通项公式可得，可得， 则； （2）①第项； ②∵， ∴， 又∵，∴. 【解析】 【分析】（1）由数列的递推式可得，结合等比数列的定义可得证明；再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和； （2）①由斐波那契数列和累加法，可得所求；②由斐波那契数列和累加法，可得证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①的分子为 ， 则，即为数列中的第项； ②略 19. 已知函数. （1）若（为自然对数的底数），求函数的极值； （2）若，函数有两个零点，. ①求的取值范围； ②当不等式恒成立时，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）直接求导得，再对分子求导即可得到的单调性和极值； （2）①问题化为在上有两个不同的根，利用导数研究右侧的值域范围，即可得参数范围； ②利用同构思想进行整体换元，转化为有两个不同正根，最后利用比值换元 化为时恒成立求参数范围. 【小问1详解】 由题设，且，则， 令，则， 所以在上单调递增，且， 在上，即，在上递减； 在上，即，在上递增； 所以极小值为，无极大值； 【小问2详解】 由题设，且， 令有两个不同的正根，且， ①由上有，令且， 所以， 令，则，即在上递增， 由趋向于0，趋向于，时， 所以使，即， 故时，即在上递减， 当时，即在上递增， 又趋向于0或，都趋向于，且， 综上，； ②令，等价于有两个不同正根， 而，即在上递增，又， 所以，且，则， 令，可得，故， 所以，等价于时，，即恒成立， 令，则， 而，则，即， 当，令，则， 所以在上递增，则， 即时恒成立，故在上递增，则，满足； 综上，. 【点睛】关键点点睛：第二问，通过等价转化得有两个正根，然后再设，利用比值换元法转化问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $