精品解析：重庆市长寿中学校2026-2026学年下学期期 中 期质量监测 八年级 数学试题

长寿中学2026年春期初中半期质量监测 八年级数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，在草稿纸、试题卷上答题无效； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用铅笔完成，确保无误后再用黑色字迹签字笔描一遍． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，判断每个选项是否满足“被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式”两个条件，即可得到答案. 【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； 选项A，，被开方数是小数，不是最简二次根式； 选项B，，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项C，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 选项D，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件. 故选：D. 2. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握定义是解题关键．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 3. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的四则运算法则，根据运算规则逐一判断选项即可. 【详解】解：∵ 与不是同类二次根式，不能合并，∴ A错误. ∵ ，∴ B错误. ∵ 根据二次根式乘法法则，==，∴ C正确. ∵ ==，∴ D错误. 4. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，6，8 C. ，， D. 5，12，15 【答案】C 【解析】 【分析】若三角形三边满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，据此逐一验证即可. 【详解】解：根据勾股定理的逆定理，逐一验证各组边长： A选项 ， ， ，∴ 不能构成直角三角形； B选项 ， ， ，∴ 不能构成直角三角形； C选项 ， ，即 ，∴ 能构成直角三角形； D选项 ， ， ，∴ 不能构成直角三角形. 5. 平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相平分且相等 C. 对角线互相垂直平分且相等 D. 四条边相等，四个角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形，菱形，矩形，正方形的基本性质，只需对比各图形的性质，找出四个图形共同具备的性质即可. 【详解】解：∵ 平行四边形的对角线互相平分，对角线不相等也不垂直，四条边不都相等； 菱形的对角线互相垂直平分，对角线不相等，四个角不都相等； 矩形的对角线相等且互相平分，对角线不垂直，四条边不都相等； 正方形的对角线互相垂直平分且相等，四条边相等，四个角相等； ∴ 四个图形都具有的性质只有对角线互相平分，因此选项A正确. 6. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的估算，根据，，可得，结合不等式的基本性质，即可求得答案． 【详解】先展开原式，得 ． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴ 的值在和之间． 7. 如图1的玻璃莲花托盏，出土于甘肃省定西市漳县徐家坪，由普蓝色玻璃制成，半透明，造型优美，色彩艳丽，工艺精湛，是迄今为止中国出土最完整的一套元代玻璃托盏．如图2是玻璃莲花托盏茶托边沿的平面示意图，可抽象为正八边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数． 【详解】解：该正八边形内角和， 则每个内角的度数． 8. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，以及点的坐标的特征进行解答即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，． ，， ，轴． 又， 点的坐标为，即． 9. 如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据矩形的性质和勾股定理，得出，，再根据相似三角形的判定和性质，得到和的长，从而可得结果． 【详解】解：四边形为矩形， ，，，，， ， ． ， ， ． 又， ， ， ， ，， ． 同理可证，， ， ， ， ． 10. 如图，边长为2的正方形中，对角线上有一个动点，连接，过点作的垂线交直线于点，点是的中点．下列结论：①；②；③当点是的中点时，；④的最小值是．其中正确结论是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】因为四边形是正方形，所以点B关于的对称点为点D，结合勾股定理得，证明④是正确的，然后证明，得出，因为四边形内角和360度，得出，等角对等边，则，故②是正确的；因为点N是动点，不是的中点，无法证明全等，则①是错误的；先证明四边形，四边形是矩形，再得出，然后，即，则，故③正确． 【详解】解：如图：连接，且交于一点，即点， ∵四边形是正方形， ∴，点B关于的对称点为点D， ∴ 当点运动到点时， 此时， ∴的最小值是， ∵点M是的中点，边长是2， ∴；故④正确； ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故②正确； 依题意，点N不是的中点， ∴， ∵， ∴无法证明与全等， ∴不成立；故①错误； 当点N是的中点时， 如图：过点作， ∵四边形是正方形， ∴，，， 设， ∵， ∴，四边形，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 故③当点N是的中点时，是正确的． 综上，②③④正确． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若与最简二次根式能合并，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】能合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式的定义为：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．本题中已经是最简二次根式，因此令被开方数相等，即可求出． 【详解】解：与最简二次根式能合并， 与是同类二次根式， 根据同类二次根式的定义，可得． 12. 如图，在中，，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点．点为原点，点所表示的数为，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出的长，进而可求出A点表示的数． 【详解】解：∵， ∴． ，， ∴， ， 点表示的数是． 13. 如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬行到点的最短路程为____________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为， 则． 又因为，所以． 故蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是． 故答案为：25． 14. 如图，在中，，分别是边，的中点，是延长线上一点，且．若，则的长为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】先得到是的中位线，即可求解，再根据是斜边上的中线求解即可． 【详解】解：∵D，E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴ ∵，点E是边的中点， ∴． 15. 如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连接，则等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】先连接，再根据菱形的性质和线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，得出，最后根据全等三角形的判定和性质，得出，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，， ，． 垂直平分， ， ， ． ，，， ， ， ． 16. 如图，在矩形中，．，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点重合），过点作于点，连接．如图1，当与重合时，___________；如图2，若四边形为正方形，则___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①设，则，利用勾股定理可得，解方程即可求出的长度； ②连接、，可证，根据正方形的性质和矩形的性质可知，设，由折叠可知，由勾股定理可得，解方程即可求出的长度． 【详解】①解：四边形是矩形， ，， 设，则， 由折叠可知， 在中，, ， 解得：， ； ②解：如下图所示，连接、， 由折叠可知是的垂直平分线， ， 四边形是正方形， ， 在和中，， ， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设， 由折叠可知， 在中，， ， 解得：， ． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 如图，在四边形中，平分． （1）尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）根据（1）中作出的图，求证：四边形为平行四边形．（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后，不写证明理由） 证明： ___________①， ， ___________②， 平分， ， ， ， 同理可得， ， ___________③ ， ．即． 又___________④， 四边形为平行四边形． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图步骤作图即可； （2）根据题干证明思路，结合平行四边形的判定与性质可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问2详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∵， ∴．即． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，在四边形中，．对角线相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明它的对角线相等即可得出平行四边形是矩形． （2）先利用矩形的性质得出，，从而可得，再利用含度角的直角三角形的性质求得，进一步求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 平行四边形是矩形． 【小问2详解】 解：在矩形中，，， 则， ， ， ， ∴四边形的周长为． 20. 若，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）28 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据已知求得，再代入求解即可； （2）先根据已知求得，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 21. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求证：； （2）海港受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）见解析 （2）海港C受到台风影响，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）过点C作于D．根据直角三角形的面积，可得，即可求解； （3）在线段上取点E，F，使，，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口．根据等腰三角形的性质可得，然后根据勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵km，km，km， ∴． ∴是直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：海港C受台风影响．理由如下： 如图，过点C作于D． ∵， ∴． ∵， ∴海港C受到台风影响． 【小问3详解】 解：如图，在线段AB上取点E，F，使，，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口． ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∵台风的速度为， ∴． ∴台风影响该海港持续的时间为． 22. 定义：若两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． （1）若与是关于的共轭二次根式，则___________； （2）若与是关于4的共轭二次根式，求的值； （3）若与是关于24的共轭二次根式，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是新定义的含义，二次根式的乘法与除法运算； （1）由新定义可得，再计算即可； （2）由新定义可得，再计算即可； （3）由新定义可得，再进一步计算即可； 【小问1详解】 解：， ∴； 【小问2详解】 解：， ； 【小问3详解】 解：与是关于24的共轭二次根式， ． ． 23. 国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的具身智能新时代．如图，两江新区某湿地公园的一角，江江同学和机器人正准备从点处同时出发前往处．江江打算沿的路线前往，机器人打算沿的路线前往，已知点在点的南偏西方向上，且米，米，米． （1）求的长度（结果保留根号）； （2）若江江的速度是2.5米/秒，机器人的速度是3米/秒，请通过计算说明，谁先到达处？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】（1）的长度为米 （2）机器人先到达处 【解析】 【分析】（1）过点作于点，分别求出米，米，从而可求出的长； （2）先由勾股定理求出米，再求出江江的总路程和机器人的总路程，根据“时间=路程÷速度”求解各自所需时间，再进行比较即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 由题意得，在中，，米， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 在中，米，米， ∴（米）， ∴米， 答：的长度为米； 【小问2详解】 解：在中，米，米， ∴（米）， 江江的路程：（米）； 机器人的路程：（米）； 江江所需时间：（秒）； 机器人所需时间：（秒）； ∵， ∴机器人先到达处． 答：机器人先到达处． 24. 如图，矩形中，垂直平分对角线，垂足为，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）取边中点，连接，若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用对角线垂直的平行四边形是菱形进行论证即可； （2）先利用三角形中位线定理得出，设，利用勾股定理列方程求出的值，则面积可求. 【小问1详解】 证明：∵垂直平分， ∴，， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； 【小问2详解】 解：设， ∵是菱形， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴即：， 解得：， ∴， ∴. 25. 正方形中，点在上，且与交于点． （1）如图1，求证； （2）如图2，在上截取，连接，的平分线交于点，交的延长线于点，连接， ①判断的形状，并证明； ②求证：． 【答案】（1）见解析 （2）①等腰直角三角形，理由见解析； ②见解析 【解析】 【分析】（1）根据四边形 是正方形得到，结合，即可得到答案； （2）①根据即可得到，结合，可得，结合平分即可得到，即可证明是等腰直角三角形；②过点作交的延长线于点，易得是等腰直角三角形，从而得到，易证 ，进而，等量代换后即可得到答案； 【小问1详解】 证明：∵四边形 是正方形， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ①是等腰直角三角形； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴即：， ∵， ∴即：， ∴， ∴是等腰直角三角形； ②如图所示， 过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴ ， ∴                   ∴是等腰直角三角形 ， ∴，  ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长寿中学2026年春期初中半期质量监测 八年级数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，在草稿纸、试题卷上答题无效； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用铅笔完成，确保无误后再用黑色字迹签字笔描一遍． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，6，8 C. ，， D. 5，12，15 5. 平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相平分且相等 C. 对角线互相垂直平分且相等 D. 四条边相等，四个角相等 6. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 7. 如图1的玻璃莲花托盏，出土于甘肃省定西市漳县徐家坪，由普蓝色玻璃制成，半透明，造型优美，色彩艳丽，工艺精湛，是迄今为止中国出土最完整的一套元代玻璃托盏．如图2是玻璃莲花托盏茶托边沿的平面示意图，可抽象为正八边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，边长为2的正方形中，对角线上有一个动点，连接，过点作的垂线交直线于点，点是的中点．下列结论：①；②；③当点是的中点时，；④的最小值是．其中正确结论是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③④ 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若与最简二次根式能合并，则___________． 12. 如图，在中，，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点．点为原点，点所表示的数为，则的值是___________． 13. 如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬行到点的最短路程为____________． 14. 如图，在中，，分别是边，的中点，是延长线上一点，且．若，则的长为___________． 15. 如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连接，则等于___________． 16. 如图，在矩形中，．，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点重合），过点作于点，连接．如图1，当与重合时，___________；如图2，若四边形为正方形，则___________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在四边形中，平分． （1）尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）根据（1）中作出的图，求证：四边形为平行四边形．（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后，不写证明理由） 证明： ___________①， ， ___________②， 平分， ， ， ， 同理可得， ， ___________③ ， ．即． 又___________④， 四边形为平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，在四边形中，．对角线相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的周长． 20. 若，求下列各式的值： （1）； （2）． 21. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求证：； （2）海港受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 22. 定义：若两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． （1）若与是关于的共轭二次根式，则___________； （2）若与是关于4的共轭二次根式，求的值； （3）若与是关于24的共轭二次根式，求的值． 23. 国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的具身智能新时代．如图，两江新区某湿地公园的一角，江江同学和机器人正准备从点处同时出发前往处．江江打算沿的路线前往，机器人打算沿的路线前往，已知点在点的南偏西方向上，且米，米，米． （1）求的长度（结果保留根号）； （2）若江江的速度是2.5米/秒，机器人的速度是3米/秒，请通过计算说明，谁先到达处？（结果保留整数，参考数据：） 24. 如图，矩形中，垂直平分对角线，垂足为，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）取边中点，连接，若，求四边形的面积． 25. 正方形中，点在上，且与交于点． （1）如图1，求证； （2）如图2，在上截取，连接，的平分线交于点，交的延长线于点，连接， ①判断的形状，并证明； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $