2.2 单调性与最大(小)值讲义-2027届高三数学一轮复习

2.2 单调性与最大(小)值 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y＝f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D,都有 f(x)≤M; (2)∃x0∈D,使得 f(x0)＝M (1)∀x∈D,都有 f(x)≥M; (2)∃x0∈D,使得 f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 常用的结论 1.函数单调性的常用结论 (1)若f(x),g(x)均在区间A上单调递增(减),则y＝f(x)＋g(x)也在区间A上单调递增(减). (2)函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x),y＝的单调性相反. 2.函数最值的结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值;当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取得. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. 考点一　判断函数的单调性 考点二　利用定义证明函数的单调性 考点三　已知单调性求参数 考点四　复合函数的单调区间 考点五　复合函数的单调性求参数 考点六　利用函数单调性比较大小 考点七　利用函数单调性求参数 考点八　利用函数单调性求最值(值域) 考点九　利用函数最值求参数 考点十　复合函数求最值 考点一　判断函数的单调性 1．（25-26高二上·贵州安顺·期中）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算判断并证明即可； （2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可； 【详解】（1）函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域， 因为任意，都有， 又，所以函数是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． 2．（25-26高三上·上海杨浦·期中）设为常数，且函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并给出证明； 【答案】(1) (2)函数在上严格递增，证明见解析 【分析】（1）根据奇函数的定义，将代入函数求得； （2）利用定义法判断和证明函数的单调性即可； 【详解】（1）函数为奇函数，则满足， 所以，解得，则. 因为，所以当时，为奇函数，满足题意. （2）函数在上严格递增.证明如下： 当时，， 则， 又因为，所以，，， 所以，即， 故函数在上严格递增． 3．（25-26高三上·北京·月考）已知是奇函数. (1)求的值； (2)若的定义域为，判断的单调性并证明； 【答案】(1)或 (2)函数是上的增函数，证明见解析 【分析】（1）由函数是奇函数，分和不存在，两种情况讨论，结合，即可求解； （2）由（1）得到函数，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解； 【详解】（1）解：由函数是奇函数， ①若，解得，所以， 则， 又由，可得，解得，所以， 经验证：， 所以函数是定义在上的奇函数，所以； ②若不存在时，可得，此时， 由，可得，解得，所以， 经验证：， 所以函数是定义在上的奇函数，所以； （2）解：函数是上的增函数. 证明如下：由（1）知：函数，其定义域为， 任取且， 则， 因为，可得， 所以，即，所以是上的增函数. 4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式，并用函数单调性的定义证明在区间上为增函数； 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义可求得，根据可求得，进而根据函数单调性的定义判断的符号即可； （2）根据函数的奇偶性将已知不等式等价转化，再利用单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）∵函数在上是奇函数， ∴，即，∴，. 又∵，即，解得， ∴的解析式为. 函数在区间上为增函数，证明如下： 证明：任取，且， 则， ∵，∴，，， ，，故， ∴，即， ∴函数在区间上为增函数. 考点二　利用定义证明函数的单调性 5．（25-26高三上·上海·期中）函数的单调减区间是____________． 【答案】 【分析】先确定对数真数大于的定义域，再根据复合函数同增异减，结合外层对数函数为减函数，将原函数的减区间转化为内层余弦函数在真数大于条件下的单调增区间，解不等式得到结果. 【详解】由 解得， 外层函数是减函数（底数），要求的单调减区间，根据同增异减，等价于求内层函数的单调增区间（同时满足）。 的单调增区间为， 由，可得 解得， 即函数的单调递减区间是. 6．（25-26高三上·浙江杭州·期中）函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 【答案】 6 【分析】根据对勾函数的图像及基本不等式即可求解． 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 由对勾函数的图像可知，函数在上的单调增区间是，最小值是6． 7．（2026·河北沧州·一模）已知函数，则函数的单调递增区间为（   ） A．， B．，， C．， D．，， 【答案】B 【分析】求导后可得函数的单调区间，再求出函数定义域及其奇偶性，设，则，求出时的单调性即可得解. 【详解】，则当或时，，单调递减区间为， 当时，，单调递增， 对，有且， 则， 又，故为偶函数，故只需分析时的单调性， 令，则， 当时，，当时，，，故， 在上单调递减，则单调递增； 当时，，，故， 在上单调递减，上单调递增， 则当时，单调递减，时，单调递增； 故当时，单调递增区间为、， 单调递减区间为， 由偶函数性质可知，当时，单调递增区间为， 故函数的单调递增区间为，，. 8．（25-26高三上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数化为分段函数，作图即可求解. 【详解】， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 考点三　已知单调性求参数 9．（2026·河北保定·二模）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，求导得， 在上单调递增； 当时，，函数单调递增，则， 当时，，当时，， 则，解得， ，即． 10．（25-26高二下·黑龙江·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解. 【详解】由题意可知，函数在上单调递增，需同时满足以下三个条件： ①在上单调递增； ②在上单调递增； ③当时，，因此. 对于①，要使在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立， 所以，因为，所以，解得； 对于②，因为在上单调递增，所以在上单调递增时，； 对于③，，所以. 综上所述，实数的取值范围是，故D正确. 11．（25-26高三上·贵州毕节·期中）已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】由指数函数和分段函数的单调性求解即可. 【详解】因为（且）在上单调递减， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 12．（2026高二下·福建·学业考试）已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【详解】的对称轴为，开口向上，递减区间为. 所以，所以. 13．（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】按函数类型分类讨论，结合一次函数、二次函数的单调性列式求得. 【详解】当时，是R上的减函数，符合题意，则； 当时，函数在上单调递减，因此，解得； 当时，函数在上单调递减，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14．（2026高三·全国·专题练习）形如的函数，我们称之为“对勾函数”，考虑“对勾函数”的单调性，若函数在上单调，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】易知函数在区间和上单调递减，在和上单调递增， 从而当函数在上单调递减时，，则，得， 当函数在上单调递增时，，则，得， 综上，a的取值范围为． 考点四　复合函数的单调区间 15．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的定义域、单调性以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】函数有意义，则，解得. 令，开口向下，对称轴为. 则函数在上单调递增，在上单调递减. 函数关于是单调递减，根据复合函数"同增异减"，要求原函数的增区间，等价于求内层 的减区间， 即. 16．（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 是指数函数，且在上单调递增， 是二次函数，图象开口向下，对称轴为，且在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，的单调递增区间为．. 17．（25-26高三上·辽宁沈阳·月考）函数的单调递增区间是______． 【答案】和. 【分析】根据复合函数的单调性即可求出答案. 【详解】令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时， 函数在上单调递减， 在上单调递增， 当时， 函数在上单调递增， 在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为和. 18．（25-26高三上·安徽六安·月考）函数的单调递减区间为________ 【答案】 【分析】先求得函数的定义域，根据复合函数单调性求解. 【详解】，解得， 函数的定义域为， 令， 当时，单调递减，单调递增， 函数在上单调递减， 函数的单调递减区间为． 19．（25-26高三上·天津河东·期末）已知函数则函数的单调增区间为______ 【答案】 【分析】设，分别判断函数与的单调性，利用复合函数的同增异减原则即得原函数的单调增区间. 【详解】设，因是上的减函数， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的同增异减原则，可得该函数的单调增区间为. 故答案为：. 考点五　复合函数的单调性求参数 20．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数定义域与复合函数单调性计算即可得. 【详解】令， 由题意知，在上单调递减，且在上恒成立. 所以，解得. a的取值范围是. 21．（25-26高二下·宁夏银川·期中）函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由内层函数为减函数推出对数底数，再结合真数在区间上恒正，得到，最终即可得到的取值范围. 【详解】根据题意，对于函数， 令，则， 又由且，则为减函数， 若函数在上是减函数， 必有，解可得， 即的取值范围为. 22．（25-26高三下·河北沧州·月考）已知函数在区间存在单调递增区间，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数（型）复合函数单调性分析求解即可. 【详解】由，解得：，所以函数的定义域为， 令，二次函数开口向下，对称轴为， 由，所以， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以要使函数在区间上存在单调递增区间， 则且 即且，解得，即正数的取值范围是. 23．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合复合函数单调性、对数函数的定义域来求得 a 的取值范围. 【详解】函数是开口向上的二次函数，其对称轴为； 因为函数在区间上单调递增， 所以内层函数在区间上单调递增且在区间上恒成立 即，即实数的取值范围是. 故选：B. 考点六　利用函数单调性比较大小 24．（25-26高二下·河南信阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 设，则. 当时，，则，所以在上单调递减； 当时，则，所以在单调递增. 所以，即. 25．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于，通过构造函数，求导确定单调性可判断，对于，通过构造，求导确定单调性可判断，进而可解题. 【详解】由，构造， 则，， 所以在上单调递增， 故，即，故. 由， 构造， 则，， 所以在上单调递增， 故，即，故. 综上，. 26．（2026·湖南湘潭·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可判断大小，构造函数，求导确定单调性，可判断大小，即可求解. 【详解】因为，所以，则． 令，则， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 则， 则，即．故． 27．（25-26高二下·广东广州·期中）设，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目条件和作差法比较大小，构造函数，根据函数导数判定函数单调性，进而判定函数值的正负，判定各数值的大小. 【详解】由题可知， 设函数，则， 在上，即函数在单调递减， 可知，当时，恒成立， 所以，即， 设函数，则， 在上，即函数在单调递增， 可知，当时，恒成立， 所以，即， 综上所述，可知. 考点七　利用函数单调性求参数 28．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知函数为奇函数，且在定义域内单调递增，根据单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】因为函数的定义域为， 且，可知函数为奇函数， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可知函数在定义域内单调递增， 若，则， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 29．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，则满足的实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，根据解不等式，当时，即时根据函数的单调性求解, 【详解】当时，即时，， 故满足题意； 当时，即时，令，则+1在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又， 所以由可得，解得， 又，故. 综上，实数a的取值范围为. 30．（2026·贵州贵阳·二模）已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由条件判断在上单调递减，结合偶函数的性质可得在上单调递增，从而，利用函数单调性得，求解该不等式即得. 【详解】因对任意，总有，可知在上单调递减， 又因是定义在上的偶函数，故在上单调递增， 故， 两边取平方得，即，解得或， 故不等式的解集为. 31．（2026·安徽芜湖·二模）已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上均为增函数， 则在上为增函数， 由，得，即， 则不等式的解集为. 32．（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数得函数在上单调递增，由单调性可得，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意可得函数的定义域为，， 因为，，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以恒成立，函数在上单调递增， 则不等式，解得， 所以不等式的解集为. 33．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助导数可研究函数在上的单调性及其最小值，结合时，，可得，解出即可得. 【详解】当时，， 令，则恒成立， 故在上单调递增，则， 则在上单调递减，则， 又当时，， 则有，解得， 故满足的实数的取值范围是. 34．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性即可求解. 【详解】令， 因为函数在定义域上单调递增， 则在区间上单调递增， 函数的图象开口向上，对称轴为， 所以， 则实数a的取值范围是. 故选：A. 考点八　利用函数单调性求最值(值域) 35．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 【答案】(1)的减区间为，增区间为 (2) 【分析】本题考查复合函数的性质，通过分析内层函数与外层函数的单调性与值域，即可求得函数的单调区间与值域. 【详解】（1）， 在上单调递增，在上单调递减， 又因为在上单调递减， 所以根据复合函数单调性判断法则：的减区间为，增区间为. （2）令，则， 则，即的值域为. 36．（24-25高三上·上海·期中）函数的值域为_____． 【答案】 【详解】使用二倍角公式 ，将原函数化为 ， 整理为关于 的二次函数， 令 ，可知 ， 因此， 易知该抛物线的对称轴为， 因此函数 在区间 上是单调递减的， 所以函数最大值在 处取得，即 ， 最小值在 处取得，即 ， 因此，该函数的值域为 ． 37．（25-26高二下·北京·期中）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有最大值也有最小值 B．有最大值无最小值 C．无最大值有最小值 D．无最大值也无最小值 【答案】A 【分析】通过求导法分析函数单调性，进而判断最值. 【详解】函数的分母恒成立，定义域为. 根据除法求导法则，， 令，得极值点和. 时，，单调递减； 时，，单调递增； 时，，单调递减； 则极小值，极大值；且当时，， 因为极小值，极大值，所以函数的最小值为，最大值为. 因此既有最大值，也有最小值. 38．（25-26高三上·四川成都·期中）已知函数. (1)指出的定义域； (2)求的最小值与最大值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）要使函数有意义，根号内的表达式非负即可；（2）用三角换元法求解. 【详解】（1）由题可知，解得，即的定义域为. （2）令，，则， 代入原函数得. 令，由得， 代入得函数化为， ，由得， 因此，即. 是开口向上的二次函数，对称轴为，在区间上单调递增， 因此最小值， 最大值， 因此的最小值为，最大值为. 39．（25-26高二下·江苏·期中）已知函数，求其最值． 【答案】最大值为20，最小值为． 【分析】利用求导思想来判断三次函数的单调性，再结合闭区间求最值即可. 【详解】因为， 所以求导得：， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为．， 即取到最大值为20，最小值为． 考点九　利用函数最值求参数 40．（25-26高三上·山东日照·月考）已知函数，若在上既有最大值，也有最小值，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】求出函数的单调区间及对应的函数值集合，再由给定条件列出不等式组求解. 【详解】函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 由函数在上既有最大值，也有最小值，得， 因此，解得，所以实数a的取值范围是. 41．（25-26高三上·上海浦东新·月考）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数的单调性，结合因式分解法进行求解即可； （2）利用换元法，结合常数分离法、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 由 ，所以不等式的解集为； （2）令，因为，所以， ，因为， 所以由， 因为，所以，当且仅当时取等号，即时，取等号， 所以在单调递减，则， 因此当时，恒成立，只需， 所以实数的取值范围为. 42．（25-26高三上·安徽合肥·期末）设函数． (1)判断函数的单调性，并求不等式的解集； (2)若在上的最小值为11，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单调性的性质判断函数的单调性，分析可知函数是奇函数，结合单调性和奇偶性整理可得，运算求解即可； （2）换元令，可得，结合二次函数性质讨论最值，进而分析求解. 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为R， 且在定义域R上单调递增，则函数在定义域R上单调递增， 又因为，所以函数是奇函数， 则不等式可化为， 可得，即，解得， 所以不等式的解集为. （2）因为， 则， 又因为，则， 令，可得， 因为的图象开口向上，对称轴为直线， 当，即时，则在内单调递增， 可得，解得m＝； 当，即时，则， 整理得到，无解； 综上所述：当m＝时，在上的最小值为11. 43．（25-26高三上·湖北·期末）已知函数有最小值，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分、、、四种情况讨论，分别求出每段的值域即可求最值. 【详解】①若，则， 因为的图象的对称轴为， 故该函数在上单调递增，所以， 若，则，当时，，则有最小值； 若，因为在上单调递减，所以， 若存在最小值，则，得，舍去； 若，因为在上单调递增，所以， 若存在最小值，则，得； ②若，因为在上单调递增，所以， 因为，则的最小值必在上取得，符合题意； 综上，的取值范围是. 故答案为：. 考点十　复合函数求最值 44．（25-26高三上·贵州遵义·开学考试）已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数及二次函数的值域求解方法求解； （2）根据复合函数的单调性判断方法，结合二次函数在给定区间上的最小值求法，可求得函数的解析式. 【详解】（1）若，则. 因为，所以， 所以，所以， 所以若，则的值域为. （2）. 令，. 当时，在上单调递增， 因为是增函数，所以在上单调递增. 所以. 当时，在上单调递减， 因为是增函数，所以在上单调递减. 所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 因为是增函数， 所以当时，取得最小值，即. 综上，. 45．（25-26高三上·辽宁盘锦·开学考试）（多选）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的单调递增区间为 C．当时， D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】确定函数定义域，利用定义判断奇偶性，结合复合函数单调性的分析方式逐项判断即可． 【详解】解：定义域为， ，则为偶函数，故A正确； 当时，，令， 为增函数，在单调递减，在单调递增， 时，的单调递增区间为， 又为偶函数， 则函数在和单调递减，在和单调递增， 所以的单调递增区间为，故B正确； 当时，，且函数在单调递减， ，故C错误； 函数在和单调递减，在和单调递增， ，故D正确． 46．（25-26高三上·河北唐山·月考）设定义在上的函数，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】令，，分析的单调性，即可求得的最小值，即的最小值. 【详解】令，. 设， . 因为，所以，所以，所以，即. 所以在上单调递增，所以． 故答案为：. 47．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数． (1)求的最小值，并求出当取得最小值时的值； (2)求的单调递减区间． 【答案】(1)最小值为，； (2) 【分析】（1）令，结合二次函数性质求解即可； （2）利用复合函数的单调性列不等式求解可得. 【详解】（1）因为的定义域为， 所以， 令，，则， 当，即，即时，取得最小值，最小值为. （2）因为在上单调递增，在上单调递减， 令，解得， 所以的单调递减区间为. 1．（25-26高三上·陕西汉中·月考）（多选）下列命题中正确的是（ ） A．函数的最大值为 B．已知，，，则的最小值为9 C．已知函数的定义域为，则定义域为 D．若函数，则 【答案】AD 【分析】A：令，求在上的最大值；B：利用基本不等式求解；C：计算即可；D：令，利用换元法求解. 【详解】A选项，令，则， 因在上单调递减，则的最大值为，故A正确； B选项，由题意得，， 等号成立时，故B错误； C选项，由题意得，，得， 故定义域为，故C错误； D选项，令，则， 则，故D正确. 故选：AD 2．（25-26高三上·山东滨州·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求函数单调区间. 【详解】函数，设，由得或， ∴函数定义域为  . 当时，是减函数；而为增函数， ∴为减函数． 当时，为增函数，为增函数， ∴为增函数． ∴的减区间为. 故选：C. 3．（25-26高三上·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数用分段函数表示出来，进而求出其单调递减区间. 【详解】函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：C 4．（24-25高三上·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． 5．（2026·广东东莞·模拟预测）已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从而得到相应的不等式组，进而求解即可． 【详解】由在上单调递减，而在上单调递增， 所以在上单调递减， 想要函数 在上单调递减， 即要在上单调递减，且， 即，解得， 所以的取值范围是． 故选：D 6．（2026·天津和平·一模）“”是“函数在区间上为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增. 所以“”可以得到“函数在区间上为减函数”， 但“函数在区间上为减函数”可得 “”. 故“”是“函数在区间上为减函数”的充分不必要条件. 7．（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察值之间的关系，可作差构造函数，通过求导分析函数单调性，确定大小关系. 【详解】设（）， 则，在上单调递增， 所以， 当时，，取，得，即； 设（）， 则，在上单调递减， 所以， 所以当时，， 取，得，即. 故. 8．（25-26高三上·江苏连云港·期末）函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于函数， 令，解得，所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 9．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）函数在区间上的奇偶性和最小值分别是（    ） A．奇函数､ B．偶函数 C．奇函数､6 D．既不是奇函数也不是偶函数､6 【答案】D 【详解】因为不关于原点对称，所以在区间上既不是奇函数也不是偶函数， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以其最小值为. 10．（25-26高二下·四川成都·期中）（多选）下列不等关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】通过构造函数，借助导数研究单调性，代特殊值，即可比较大小. 【详解】对于A选项，构造函数，其中，则， 故函数在上单调递减，所以， 即，即，即， 故，A对； 对于B选项，构造函数，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以当且时，， 令，可得，即，B错； 对于D选项，因为当且时，，故， 所以当且时，， 令，得，即，D对； 对于C选项，构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递减， 所以，即，故，C错. 11．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）已知，则（   ） A．的解集为 B．的解集为 C．当时，的最小值为1 D．，恒成立 【答案】AC 【分析】根据分式不等式的解法、均值不等式求最值、作差法比较大小等方法逐一验证选项判断正误. 【详解】对于A：等价于，解得或，故A正确， 对于B：等价于，即， 整理得，解得，且，故B错误； 对于C：当时，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D：，，即，故D错误. 12．（25-26高二下·江苏镇江·期中）已知函数，若，都有，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】以，和分段求解，分离参数后构造函数，用导数求出函数最值求解. 【详解】当时，，符合题意； 当时，恒成立，即，随着的增大而减小，当时，，； 当时，恒成立，即， 令，，令，即，解得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的最大值为，， 综上，，即实数a的取值范围是. 13．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，且在上恒成立，则实数的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用所给定义域构造基本不等式求最值 【详解】当时，，当且仅当时等号成立 ．又，即实数的最小值为-3． 14．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为，在上均为减函数，所以在上为减函数. 所以不等式等价于， 整理得，解得或. 故该不等式的解集为. 15．（25-26高三上·河南·月考）已知a为实数，函数，若，则______． 【答案】 【分析】根据，构造函数，可得存在唯一，使得,且即可求解. 【详解】， 令，由于当时，，当时，，且在上单调递增， 则存在唯一，使得，且, 若，则，得，可得． 16．（25-26高三上·海南海口·期中）已知函数. (1)设. （i）计算的值，并求的最小值； （ii）求的单调递减区间. (2)对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii）的单调递减区间为 (2) 【分析】（1）（i）换元令将原函数化为二次函数，代入计算函数值，通过二次函数配方求最小值. （ii）利用复合函数单调性法则，结合二次函数与对数函数的单调区间，求解原函数的单调递减区间. （2）换元转化为区间上的二次函数，根据对称轴与区间的位置分类讨论最值，由最值差≤8解出的范围. 【详解】（1）（i）将代入得. 令，则. . 因为，，当且仅当即时取等号，所以. （ii）在上单调递增. 在上单调递减，在上单调递增. 由得. 所以由复合函数“同增异减”可知的单调递减区间为. （2）对任意，恒成立，求的取值范围. 令，，，即，. 题意等价于在上恒成立. 函数图像开口向上，对称轴为. ①当时，在上单调递增，，，，与矛盾，舍去. ②当时，，. 若，，. 若，，. ③当时，在上单调递减，，，，与矛盾，舍去. 综上，的取值范围是. 17．（25-26高三上·上海·期末）已知． (1)当时，若，判断的单调性并给出证明； (2)若在上有解，求实数a的取值范围； (3)若在区间上是增函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用单调性的定义可证函数的单调性. （2）不等式等价于，根据题意只需即可求解. （3）法一：由题意可得0在上恒成立，进而可得在上恒成立，可求得实数a的取值范围.法二：由在区间上是增函数，在上任取，则，进而计算可求得实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，在上单调递增. 证明：设，则 因为，所以，则， 所以，那么0， 即，所以在上单调递增. （2）由在上有解，可得在上有解， 即在上有解. 令，函数的图象开口向下，对称轴为， 所以在处取得最大值. 因为在上有解，所以，即实数的取值范围是. （3）法一：对求导，根据求导公式， 可得.因为在区间上是增函数， 所以0在上恒成立，即在上恒成立， 因为，所以在上恒成立，即在上恒成立. 令，因为，所以在上单调递减， 则，所以，即实数的取值范围是. 法二：因为在区间上是增函数， 所以在上任取， 所以， 因为，所以，，所以， 所以对恒成立， 所以对恒成立， ，所以， 所以实数的取值范围是. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 单调性与最大(小)值 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y＝f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D,都有 f(x)≤M; (2)∃x0∈D,使得 f(x0)＝M (1)∀x∈D,都有 f(x)≥M; (2)∃x0∈D,使得 f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 常用的结论 1.函数单调性的常用结论 (1)若f(x),g(x)均在区间A上单调递增(减),则y＝f(x)＋g(x)也在区间A上单调递增(减). (2)函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x),y＝的单调性相反. 2.函数最值的结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值;当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取得. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. 考点一　判断函数的单调性 考点二　利用定义证明函数的单调性 考点三　已知单调性求参数 考点四　复合函数的单调区间 考点五　复合函数的单调性求参数 考点六　利用函数单调性比较大小 考点七　利用函数单调性求参数 考点八　利用函数单调性求最值(值域) 考点九　利用函数最值求参数 考点十　复合函数求最值 考点一　判断函数的单调性 1．（25-26高二上·贵州安顺·期中）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； 2．（25-26高三上·上海杨浦·期中）设为常数，且函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并给出证明； 3．（25-26高三上·北京·月考）已知是奇函数. (1)求的值； (2)若的定义域为，判断的单调性并证明； 4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式，并用函数单调性的定义证明在区间上为增函数； 考点二　利用定义证明函数的单调性 5．（25-26高三上·上海·期中）函数的单调减区间是____________． 6．（25-26高三上·浙江杭州·期中）函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 7．（2026·河北沧州·一模）已知函数，则函数的单调递增区间为（   ） A．， B．，， C．， D．，， 8．（25-26高三上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 考点三　已知单调性求参数 9．（2026·河北保定·二模）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·黑龙江·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·贵州毕节·期中）已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为__________． 12．（2026高二下·福建·学业考试）已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 13．（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为______. 14．（2026高三·全国·专题练习）形如的函数，我们称之为“对勾函数”，考虑“对勾函数”的单调性，若函数在上单调，则a的取值范围为______． 考点四　复合函数的单调区间 15．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 16．（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高三上·辽宁沈阳·月考）函数的单调递增区间是______． 18．（25-26高三上·安徽六安·月考）函数的单调递减区间为________ 19．（25-26高三上·天津河东·期末）已知函数则函数的单调增区间为______ 考点五　复合函数的单调性求参数 20．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高二下·宁夏银川·期中）函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高三下·河北沧州·月考）已知函数在区间存在单调递增区间，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点六　利用函数单调性比较大小 24．（25-26高二下·河南信阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 25．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 26．（2026·湖南湘潭·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高二下·广东广州·期中）设，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 考点七　利用函数单调性求参数 28．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，则满足的实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（2026·贵州贵阳·二模）已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 31．（2026·安徽芜湖·二模）已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 33．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点八　利用函数单调性求最值(值域) 35．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 36．（24-25高三上·上海·期中）函数的值域为_____． 37．（25-26高二下·北京·期中）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有最大值也有最小值 B．有最大值无最小值 C．无最大值有最小值 D．无最大值也无最小值 38．（25-26高三上·四川成都·期中）已知函数. (1)指出的定义域； (2)求的最小值与最大值. 39．（25-26高二下·江苏·期中）已知函数，求其最值． 考点九　利用函数最值求参数 40．（25-26高三上·山东日照·月考）已知函数，若在上既有最大值，也有最小值，则实数a的取值范围是______． 41．（25-26高三上·上海浦东新·月考）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围． 42．（25-26高三上·安徽合肥·期末）设函数． (1)判断函数的单调性，并求不等式的解集； (2)若在上的最小值为11，求实数m的值． 43．（25-26高三上·湖北·期末）已知函数有最小值，则的取值范围是__________. 考点十　复合函数求最值 44．（25-26高三上·贵州遵义·开学考试）已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 45．（25-26高三上·辽宁盘锦·开学考试）（多选）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的单调递增区间为 C．当时， D．的最小值为 46．（25-26高三上·河北唐山·月考）设定义在上的函数，则的最小值是______． 47．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数． (1)求的最小值，并求出当取得最小值时的值； (2)求的单调递减区间． 1．（25-26高三上·陕西汉中·月考）（多选）下列命题中正确的是（ ） A．函数的最大值为 B．已知，，，则的最小值为9 C．已知函数的定义域为，则定义域为 D．若函数，则 2．（25-26高三上·山东滨州·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·广东东莞·模拟预测）已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 6．（2026·天津和平·一模）“”是“函数在区间上为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·江苏连云港·期末）函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）函数在区间上的奇偶性和最小值分别是（    ） A．奇函数､ B．偶函数 C．奇函数､6 D．既不是奇函数也不是偶函数､6 10．（25-26高二下·四川成都·期中）（多选）下列不等关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 11．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）已知，则（   ） A．的解集为 B．的解集为 C．当时，的最小值为1 D．，恒成立 12．（25-26高二下·江苏镇江·期中）已知函数，若，都有，则实数a的取值范围是________. 13．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，且在上恒成立，则实数的最小值为___________． 14．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，则不等式的解集为__________. 15．（25-26高三上·河南·月考）已知a为实数，函数，若，则______． 16．（25-26高三上·海南海口·期中）已知函数. (1)设. （i）计算的值，并求的最小值； （ii）求的单调递减区间. (2)对任意恒成立，求的取值范围. 17．（25-26高三上·上海·期末）已知． (1)当时，若，判断的单调性并给出证明； (2)若在上有解，求实数a的取值范围； (3)若在区间上是增函数，求实数a的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $