2.3匀变速直线运动位移与时间的关系 课件-2026-2027学年高一上学期物理教科版必修第一册

第二章 匀变速直线运动的规律 匀变速直线运动位移与时间的关系 2 知道v-t图像中的“面积”与位移的对应关系，并会用此关系推导位移和时间关系式。 1 理解匀变速直线运动位移与时间的关系，会用位移公式x=v0t+at2解决匀变速直线运动的相关问题。 重点 难点 匀变速直线运动位移与时间的关系 一 v/(m·s-1) t/s 0 4 5 匀速直线运动：速度保持不变 匀速直线运动位移与时间的关系 结论：匀速直线运动的位移就是v–t 图像中着色部分的矩形“面积”。 观察与思考 O v0 t vt v (m/s) t (s) 匀变速直线运动：速度随时间均匀变化 匀加速直线运动 怎么求一段时间内物体的位移？ 匀变速直线运动位移与时间的关系 位移？ 类比→猜想 vt=v0+at 观察与思考 v/(m/s) t/s O v1 v2 v3 t1 t2 t3 1.物体做匀速直线运动，其v-t图像与t轴围成的矩形面积有什么意义？ v/(m/s) t/s O vt t 做匀速直线运动的物体在时间t内的位移大小对应着v-t图线与t轴围成的矩形面积，即v-t图像中图线与t轴围成的矩形面积表示物体的位移大小。 物体位移 图线与时间轴所围的面积 若物体在不同的时间段，以不同的速度做匀速直线运动，如何求出在时间t内这辆汽车的位移？ 面积 观察与思考 2.如图是某物体以初速度v0做匀变速直线运动的v-t图像。 (1)如图甲所示，把物体的运动分成5段，每一段时间内，看成匀速直线运动，试着在图中画出这5小段的位移之和。 位移为图中矩形面积之和 (2)如图乙所示，如果把过程分割为更多的小段，和甲图相比，哪种情形更接近整个过程的位移？ 乙图的情形更接近整个过程中的位移。 v t O vt v0 t v t O vt v0 甲 t v t O vt v0 乙 t (3)依次类推，如果把过程分割成无数个小段，能否用梯形的面积代表物体在这段时间的位移？ (4)梯形面积为多少？试结合vt=v0+at推导出位移x与时间t的关系。 S=t=t=v0t+at2，则x=v0t+at2。 v t O v v0 丙 t 可以。 v-t图像的面积 1.利用v-t图像求位移(如图) v-t图像中，对应时间t的速度图像与两个坐标轴所围 成的“ ”，在数值上等于在时间t内的位移值。 2.匀变速直线运动的位移与时间的关系式(位移公式)： 。 注意：(1)公式只适用于匀变速直线运动。 (2)公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向。一般选v0的方向为正方向。当物体做匀减速直线运动时，a取负值，计算结果中，位移x的正负表示其方向。 3.当v0=0时，x=，即由静止开始的匀加速直线运动 的位移公式，位移x与t2成 比。 面积 x=v0t+at2 at2 正 要点归纳 根据前面已学公式证明：做匀变速直线运动的物体，某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，即==。 答案　方法一：公式法 设初始时刻速度为v0，加速度为a，在一段时间t内，根据速度公式，在时刻，速度为=v0+a· 根据位移公式，时间t发生的位移x=v0t+at2，这段时间内的平均速度===v0+at，因此得证==。 思考与讨论 方法二：图像法 初速度为v0，加速度为a的匀变速直线运动的v-t图像如图所示，时间t内的位移x在数值上等于图中梯形OABD的“面积”。时刻的速度为，若以此速度做匀速运动，时间t内的位移在数值上等于矩形OEFD的“面积”。由几何关系可知，图中△BCF与△ECA全等，可以设想把△BCF割下补到△ECA处，从而梯形OABD变成了矩形OEFD，二者“面积”相等，因此这段时间内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度的结论成立。 1. (1)以36 km/h的速度行驶的列车开始加速下坡，在下坡路上的加速度等于0.2 m/s2，经过30 s到达坡底，求坡路的长度和列车到达坡底时的速度大小； 答案　 (1)390 m　16 m/s　　 (2)250 m (2)若列车从36 km/h的速度开始减速，经过50 s停下来，列车在此过程的运动视为匀减速运动，求列车在此过程中运动的距离。 例题 (1)设坡路的长度为x，列车到达坡底时的速度大小为v， 初速度v0=36 km/h=10 m/s，加速度a=0.2 m/s2，时间t=30 s， 根据x=v0t+at2，得x=10×30 m+×0.2×302 m=390 m 根据vt=v0+at，得vt=10 m/s+0.2 m/s2×30 s=16 m/s。 (2)设列车减速过程的加速度为a′，在此过程的位移为x′ a′== m/s2=-0.2 m/s2 x′=v0t′+a′t′2=10×50 m+×(-0.2)×502 m=250 m。 2.一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0=5 m/s，加速度大小为 0.5 m/s2，求： 答案　 (1) 12.75 m； (2) 3.75 m (1)物体在前3 s内的位移大小； (2)物体在第3 s内的位移大小。 (2)同理，前2 s内物体的位移x2=v0t2+a=5×2 m+×(-0.5)×22 m=9 m 因此第3 s内物体的位移x=x3-x2=12.75 m-9 m=3.75 m。 (1)取初速度方向为正方向v0=5 m/s，a=-0.5 m/s2 前3 s内物体的位移x3=v0t3+a=5×3 m+×(-0.5)×32 m=12.75 m。 例题 应用位移与时间的关系式解题的步骤： (1)规定正方向(一般以初速度的方向为正方向)。 (2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负号的数值表示。 (3)根据位移与时间的关系式或其变形公式列式、求解。 (4)根据计算结果说明所求量的大小和方向。 总结提升 刹车中的位移问题 二 3.以18 m/s的速度行驶的汽车，制动后做匀减速直线运动，在3 s内前进36 m (3 s末汽车未停止运动)。求汽车的加速度及制动后5 s内发生的位移大小。 答案　4 m/s2，与初速度方向相反　40.5 m 初速度v0=18 m/s，时间t=3 s，位移x=36 m 根据x=v0t+at2，得a== m/s2=-4 m/s2， 则加速度大小为4 m/s2，方向与初速度方向相反。 根据v=v0+at， 汽车停止运动的时间t′== s=4.5 s 故汽车在制动后5 s内的位移与4.5 s内的位移相等x′=v0t′+at′2=18 m/s×4.5 s+×(-4 m/s2)×(4.5 s)2=40.5 m。 例题 1.汽车刹车、飞机降落后在跑道上滑行等都可简化为单方向的匀减速直线运动。刹车问题的思路： (1)首先计算出速度减小到零所用的时间t0。 (2)①如果t0<t，加速度的大小为a，则不能用题目所给的时间t求解位移，此时运动的最长时间为t0=，则要计算t0时间内减速行驶位移，用x=·t0或x=v0t0-a计算位移。 ②如果t0>t，说明经过时间t运动还没有停止，则应用题目所给的时间t直接求解位移。 总结提升 2.逆向思维法的应用 物体做匀减速运动，末速度为零时，可以采用逆向思维法，将物体匀减速到零的运动看成是初速度为零的匀加速运动，从而使问题的解答更简便。 v-t图像求位移 三 通过的位移为时间轴上、下“面积”绝对值之差，通过的路程为时间轴上、下“面积”绝对值之和。 当“面积”在t轴上方时，位移取正值，这表示物体的位移与规定的正方向相同； 当“面积”在轴下方时，位移取负值，这表示物体的位移与规定的正方向相反. v0 t /s t O v /(m/s) x 4.(2023·廊坊市高一期末)一个质量为m的物体沿直线运动，其v-t图像如图所示，下列说法正确的是 A.0~2 s与2~3 s内物体运动方向相反 B.1~2 s与2~3 s内物体加速度方向相反 C.0~2 s内物体的位移是4 m D.0~3 s内物体的位移是4 m √ 例题 匀变速直线运动位移与时间的关系 刹车中的位移问题 匀变速直线运动位移与时间的关系 公式 x=v0t+at2 的推导：分割累加 适用范围：匀变速直线运动 矢量式：x、v0、a的方向 v－t图像求位移 图线与t轴围成面积就是位移 最长时间t0=，最大距离为x0= 逆向思维法的应用 v-t图像速度的正负表示速度的方向，在0~2 s与2~3 s内物体速度方向相反，则物体在这两个时间段运动方向相反，故A正确； v-t图像的斜率表示加速度，则在1~3 s内物体的加速度相同，故B错误； v-t图像中图线与横轴围成的面积表示位移， 则在0~2 s内物体的位移x1＝×(1+2)×2 m=3 m， 0~3 s内物体的位移x2=×(1+2)×2 m-×1×2 m＝2 m， 故C、D错误。 Keep Thinking! $VT图像的斜率表示物体的加速度，那VT图像的面积表示什么含义呢？先来看匀速直线运动，它的图像与零时刻纵轴T1时刻纵轴和水平的T轴围成了一个矩形，根据矩形面积公式，面积等于底乘高，也就是S等于VT，这恰好就是物体在这一段时间的位移。看来匀速直线运动的VT图像与T轴围成的面积等于位移。那如果换成变速直线运动也有这个特点吗？比如这个匀加速直线运动，它的图像跟T轴围成的面积是三角形，这个三角形的面积是不是也等于位移呢？为了研究这个问题，首先得知道变速直线运动的位移怎么算。位移等于速度乘时间，但是速度一直在变化，所以不能直接用这个公式，那怎么办呢？整个运动中速度变化非常大，但如果把运动切割成很多小段，让每一段时间德耳塔T非常短，那就可以认为在这一小段时间中，物体的速度几乎没有发生变化。即每一段的速度分别是V1、V2一直到VN那第一段的位移就是V一德耳塔T第二段的位移就是V2德耳塔T一直到最后一段的位移就是VN德耳塔T把它们加起来就是运动的总位移了。现在看看图像，如果我们把图像也按照德耳塔T进行分割，因为德耳塔T非常小，每一小段可以近似看成一个瘦高的长方形。第二段的底边就是德耳塔T而高度就是VI面积就是VI德耳塔T因此第一段的面积就是V一德耳T第二段的面积就是V2德耳塔T类似的最后一段的面积就是VN德耳塔T把它们都加起来就是三角形的面积了。发现没？这个三角形的面积和物体的位移也是相等的，也就是说匀变速直线运动的VT图像与T轴围成的面积也等于位移。一般的这个结论不光对匀速直线和匀变速直线运动成立，对于变加速直线运动也成立的。我把它再重复一遍，从VT图像上两点向X轴做垂线，则VT图像T轴和两条垂线之间的面积表示这一段时间内物体的位移。刚才的推导中用到了分割累加的方法，这其实是一种微积分思想。咱们最早接触这个思想是在小学时学习圆儿的面积公式，把圆切割成很多小披萨饼，然后拼成一个长方形，这也是分割累加的方法。 先来看这个运动，在前一段时间物体速度为正，也就是在正向运动。这个蓝色的面积在T轴上方，表示物体正向位移的大小。第二段时间物体速度为负，也就是在反向运动，因此绿色的面积表示物体反向位移的大小，这就是T轴上方和T轴下方面积的含义特别大。如果蓝色面积等于绿色面积，也就是正向位移等于反向位移，在整个过程中物体的位移为零，也就是回到了出发点。 用这个公式一定要注意，XV0A都是矢量。一般规定速度V0的方向是正的，那么加速时A大于0，减速时A小于0。如果物体做减速运动的时间很长，那么有可能造成X小于0，这就表示物体最终的位移与初速度反向了。比如有这样一个例子，一个物体做匀变速直线运动，初速度V0等于10米每秒，加速度大小A等于201每2次方秒，方向与初速度反向。咱算一下经过5秒以及经过10秒，它距出发点分别多远，初速度和加速度都有了。那么根据这个关系，位移就有时间唯一确定了。先把V0和A带入进去，因为A与为零反向，所以必须写成负的。于是你可以自己算一下，T等于50，X就是25，T等于十时X就是0，这也说明物体做了折返运动，从A点出发，先到达右边某点B后速度减到0，又反向加速10秒时回到出发点。这里要提醒你，千万别认为物体到达B点之后位移开始反向，这也是不对的。到达B点后，物体的速度开始反向。而当我们谈位移都是从出发点A开始计算，因此是十秒后物体回到出发点并继续向左运动，位移才开始反向。 你有没有做过这样的事情，将一个视频倒着放，看着上面人物倒着走，然后哈哈大笑？你有没有想过将一个匀变速直线运动的时间轴反过来，它将变成一个什么运动呢？看看这个VT图像，把它左右翻转过来，你就能发现匀变速直线运动。按时间倒着看，依然是匀变速直线运动，加速度大小不变，只是方向反过来了，也就是匀减速变成了云加速，匀加速变成了匀减速。不过这么倒过来到底有啥用呢？因为很多时候要研究刹车问题的最后几秒，把问题倒过来就能看成是汽车匀加速启动的前几秒。从静止开始匀加速运动的物体初速度为零，因此问题就变得方便多了。比如咱来看这么一个例子，一辆汽车刹车，刹车时的加速度大小是2米每2次方秒，若汽车经过5秒停下，第二秒末速度是多少？后3秒位移是多少？常规解法是这么做的，画出一个线段图标，出时刻所求为两秒末速度和2秒末到5秒末位移。首先计算汽车的初速度，按照5秒停下列方程，零等于V0减AT变形，代入数据得10米每秒。然后计算第两秒末速度就是这样。在之后计算前两秒的位移和整个5秒的位移，X2就是这样得16米，X5就是这样得25米。做差得到后三秒的位移，X等于25减16得9米，实在是非常麻烦。但是如果把这个过程倒过来看，就变得很简单了。匀减速过程的5秒看作汽车从静止开始匀加速启动的5秒，加速度大小为2毫米2次方秒。刹车开始的第两秒末就是匀加速启动的第三秒末刹车的后3秒就是匀加速启动的前三秒。这样利用匀加速运动公式，第一个问题初速为零，此时的速度就是AT加速度是2，时间是三，结果就是6米每秒。第二个问题，此时的位移就是二分之AT方带入加速度和时间，结果就是9米怎么样？是不是要快得多了？