第2章 第3节 匀变速直线运动位移与时间的关系-【优学精讲】2024-2025学年高中物理必修第一册教用Word(教科版)

第3节　匀变速直线运动位移与时间的关系 1．知道匀变速直线运动的位移与v－t图像中图线与坐标轴围成面积的关系。 2．了解利用极限思想解决物理问题的方法。 3．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系并会用来分析、解决问题。 一、匀速直线运动的位移 1．做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x＝____________。 2．做匀速直线运动的物体，其v－t 图像如图甲所示。根据位移计算公式，在图甲中，图线与对应的时间轴所包围的____________可以表示物体运动的位移。 二、匀变速直线运动的位移 1．位移在v－t图像中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图像中的图线和________包围的“面积”。 2．位移公式的推导 (1)图乙中CB斜线下梯形的面积表示位移，面积S＝______________，其中OC表示________，AB表示t时刻的________，OA表示____________，代入上式得位移x＝________________； (2)将速度公式vt＝v0＋at代入上式得x＝____________。 三、平均速度公式 1．公式：＝＝________。 2．中间时刻的瞬时速度：v＝＝＝。 3．适用条件：________直线运动。 判断下列说法是否正确。 (1)只有匀变速直线运动的v－t图像与t轴所围的面积才等于物体的位移。(　　) (2)位移公式x＝v0t＋at2适用于匀变速直线运动。(　　) (3)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大。(　　) (4)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关。(　　) 提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ [答案自填] vt　矩形的面积　坐标轴　(OC＋AB)×OA　初速度v0　速度vt　时间t (v0＋vt)t　v0t＋at2　　匀变速 知识点一　匀变速直线运动的位移 请用“无限分割”“逐渐逼近”的思想说明v－t图像与t轴所围面积表示位移。 提示：把物体的运动分成几个小段，如图甲，每段位移大小约等于每段起始时刻速度大小与每段时间的乘积，该乘积对应矩形面积。所以，整个过程的位移大小约等于各个小矩形面积之和。 把运动过程分为更多的小段，如图乙，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移大小。 把整个过程分得非常细，如图丙，小矩形合在一起成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移大小。 1．对vt图像的理解 vt图像与时间轴所围的面积表示位移，做匀变速直线运动的物体的位移对应着vt图像中的图线和时间轴包围的“面积”。在图甲中，物体在0到t时间内的位移大小等于矩形的面积；在图乙中，物体在0到t时间内的位移大小等于梯形的面积。 2．位移公式 (1)位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动。 (2)公式x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。一般选v0的方向为正方向。 (3)当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)。 角度1　用vt图像求位移 　(2024·北京丰台统考期末)一个质量为m的物体沿直线运动，vt图像如图所示，下列说法正确的是(　　) A．前2 s内与第3 s内物体运动方向相反 B．第2 s内与第3 s内物体加速度方向相反 C．前2 s内物体的位移是4 m D．前3 s内物体的位移是4 m [解析]　vt图像速度的正负表示速度的方向，在前 2 s 内与第3 s内物体速度方向相反，则物体在这两个时间段运动方向相反，故A正确；vt图线的斜率表示加速度，则在1 s 到3 s内物体的加速度相同，故B错误；vt图线与横轴围成的面积表示位移，则在前2 s内物体的位移是x1＝×(1＋2)×2 m＝3 m，前3 s内物体的位移是x2＝×(1＋2)×2 m－×1×2 m＝2 m，故C、D错误。 [答案]　A 角度2　位移公式的理解和应用 　某辆电动汽车在一次刹车测试中刹车后位移与时间的关系式是x＝12t－3t2(t的单位是 s，x的单位是m)，则它运动的初速度和加速度分别为(　　) A．12 m/s；6 m/s2 B．12 m/s；－6 m/s2 C．6 m/s；－6 m/s2 D．6 m/s；6 m/s2 [解析]　位移与时间的关系式是x＝12t－3t2，结合匀变速直线运动位移与时间关系式x＝v0t＋at2，可知初速度和加速度分别为v0＝12 m/s，a＝－6 m/s2。 [答案]　B 　一物体做匀加速直线运动，初速度v0＝5 m/s，加速度a＝2 m/s2，求： (1)物体在前3 s内通过的位移大小； (2)物体在第3 s内通过的位移大小。 [解析]　(1)前3 s内的位移大小 x＝v0t＋at2＝5×3 m＋×2×32 m＝24 m。 (2)前2 s内的位移大小 x′＝v0t′＋at′2＝5×2 m＋×2×22 m＝14 m 第3 s内的位移大小 x″＝x－x′＝(24－14) m＝10 m。 [答案]　(1)24 m　(2)10 m 知识点二　“刹车类”问题 1．刹车类问题一般认为汽车做匀减速直线运动且停下后不能做反向的运动。 2．处理该类问题时，首先要判断刹车后经多长时间速度变为零(即刹车时间)。 (1)若所给时间大于刹车时间，则vt＝0，x＝v0t0＋at，t0为刹车时间。 (2)若所给时间小于刹车时间，则vt＝v0＋at，x＝v0t＋at2，t为所给时间。 　一辆汽车在高速公路上以20 m/s的速度匀速行驶，由于在前方出现险情，司机采取紧急刹车，刹车时加速度的大小为 5 m/s2，求： (1)汽车刹车后10 s内滑行的距离； (2)从开始刹车汽到车滑行30 m所经历的时间； (3)在汽车停止前3 s内汽车滑行的距离。 [解析]　(1)由速度时间公式vt＝v0＋at 可知，汽车的刹车时间为t0＝＝ s＝4 s 由于t0<t，所以刹车后10 s内滑行的距离为汽车停止运动时滑行的距离x＝v0t0＋at＝40 m。 (2)设从开始刹车到滑行30 m所经历的时间为t′，由位移公式x′＝v0t′＋at′2，代入数据得t′＝2 s。 (3)此时可将运动看成反向的初速度为零的匀加速运动，则有 x1＝a′t2＝×5×32 m＝22.5 m。 [答案]　(1)40 m　(2)2 s　(3)22.5 m 知识点三　平均速度公式和位移差公式 1．平均速度公式 做匀变速直线运动的物体在一段时间t内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度代数和的一半，即＝v＝(v0＋vt)＝。 (1)推导过程 设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t时刻的速度为vt。 由x＝v0t＋at2得，① 平均速度＝＝v0＋at② 由vt＝v0＋at′知， 当t′＝时，v＝v0＋a·③ 由②③式得＝v④ 又vt＝v＋a·⑤ 联立以上各式解得v＝ 所以＝v＝。 (2)适用条件：仅适用于匀变速直线运动。 (3)匀变速直线运动的位移又可表示为x＝ t＝t。此式不涉及加速度，可灵活运用，简化运算。 2．位移差公式 匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒定值，即Δx＝x2－x1＝aT2，xm－xn＝(m－n)aT2。 (1)推导：时间T内的位移x1＝v0T＋aT2， 在时间2T内的位移 x2＝v0·2T＋a·(2T)2， 在时间3T内的位移 x3＝v0·3T＋a·(3T)2， 则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1，xⅢ＝x3－x2， 由以上三式得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2， xⅢ－xⅠ＝2aT2。 (2)应用 ①判断物体是否做匀变速直线运动 如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。 ②求加速度 利用Δx＝aT2，可求得a＝，经常在根据纸带求物体的加速度时使用。 角度1　平均速度公式 　一个物体做匀加速直线运动，初速度为v0＝2.0 m/s，在第2 s内通过的位移是5 m，则它的加速度为(　　) A．2.0 m/s2　　　　　　 B．1.5 m/s2 C．1.0 m/s2 D．0.5 m/s2 [解析]　第2 s内的位移为5 m，则第2 s内的平均速度为5 m/s，1.5 s末的瞬时速度为5 m/s，则加速度a＝＝ m/s2＝2.0 m/s2，故A正确。 [答案]　A 角度2　位移差公式的应用 　(多选)(2024·广东清远校联考期中)假设短跑运动员在某次百米训练时从静止开始做匀加速直线运动，第 2 s 内的位移为4.5 m，第3 s内的位移为7.5 m，加速 4 s 后达到最大速度，然后一直做匀速运动到达终点。下列对运动员上述运动的分析正确的是(　　) A.运动员做匀加速运动的加速度大小为3 m/s2　 B．运动员加速第4 s内的位移大小为10.5 m C．运动员奔跑的最大速度为13 m/s D．运动员这次训练的成绩为9.69 s [解析]　由位移差公式x3－x2＝aT2，代入x2＝4.5 m，x3＝7.5 m，T＝1 s，解得a＝3 m/s2，A正确；第4 s内的位移x4＝x3＋aT2＝10.5 m，B正确；运动员奔跑的最大速度v＝at＝3×4 m/s＝12 m/s，C错误；匀加速运动的位移x加＝t＝×4 m＝24 m，匀速运动的位移x＝100 m－24 m＝76 m，则匀速运动的时间t＝＝≈6.3 s，总成绩t总＝4 s＋6.3 s＝10.3 s，D错误。 [答案]　AB 　(多选)(2024·广东广州科学城中学期中)物体沿一直线做匀加速直线运动。已知它在第2 s内的位移为4.0 m，第3 s内的位移为6.0 m，则下列说法正确的是(　　) A.它在第2 s初到第3 s末的平均速度的大小是5.0 m/s B．它在第1 s内的位移是2.0 m C．它的初速度为零 D．它的加速度大小是2.0 m/s2 [解析]　根据平均速度的定义可得物体在第2 s初到第3 s 末的平均速度的大小＝＝ m/s＝5.0 m/s，故A正确；根据逐差法可得物体的加速度a＝＝＝ m/s2＝2.0 m/s2，则第1 s内的位移x1＝x2－aT2＝4.0 m－2.0×1 m＝2.0 m，故B、D正确；根据匀变速直线运动某段时间中间时刻的瞬时速度等于平均速度，可得第2 s末的速度v2＝＝ m/s＝5.0 m/s，则根据匀变速直线运动速度与时间的关系可得初速度v0＝v2－at＝5.0 m/s－2.0×2 m/s＝1.0 m/s，故C错误。 [答案]　ABD 1．(匀变速直线运动的位移)一辆从静止开始做匀加速直线运动的汽车，第1 s内的位移是2 m，则该汽车(　　) A．加速度大小是2 m/s2 B．第2 s内的位移是4 m C．第3 s末的瞬时速度是12 m/s D．前4 s内的位移为14 m 解析：选C。根据匀变速直线运动的位移公式可得x1＝at，解得物体的加速度大小a＝＝4 m/s2，A错误；前2 s 内的位移x2＝at＝8 m，故第2 s内的位移是6 m，B错误；第3 s末的速度v3＝at3＝12 m/s，C正确；前4 s内的位移x4＝at＝32 m，D错误。 2．(平均速度公式和位移差公式)(多选)(2024·天津滨海新期中)一小球从静止开始做匀加速直线运动，在第15 s内的位移比前1 s内的位移多0.2 m，则下列说法正确的是(　　) A．小球加速度为0.2 m/s2 B．小球前15 s内的平均速度为3 m/s C．小球第14 s内的位移为2.7 m D．第15 s内的平均速度为0.2 m/s 解析：选AC。根据匀变速直线运动的规律Δx＝aT2可知a＝0.2 m/s2，故A正确；在匀变速直线运动中，一段运动过程的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，在前15 s过程中，中间时刻t1＝7.5 s时的速度v1＝at1＝0.2×7.5 m/s＝1.5 m/s，故B错误；第15 s内的平均速度等于中间时刻t2＝14.5 s时的瞬时速度，则此时的速度v2＝at2＝0.2×14.5 m/s＝2.9 m/s，故D错误；第15 s内的位移x2＝v2t＝2.9 m，小球第14 s内的位移x1＝x2－0.2 m＝2.7 m，故C正确。 3．(“刹车类”问题)(多选)一辆汽车开始刹车后运动的位移随时间变化的规律是x＝10t－2t2，x和t的单位分别是m和s，以下说法正确的是(　　) A．初速度v0＝10 m/s，加速度大小a＝4 m/s2 B.初速度v0＝4 m/s，加速度大小a＝10 m/s2 C.汽车刹车到停止所用时间为5 s D．汽车刹车后4 s内的位移是12.5 m 解析：选AD。根据x＝v0t＋at2＝10t－2t2可得v0＝10 m/s，a＝－4 m/s2，即初速度为10 m/s，加速度大小为4 m/s2，故A正确，B错误；汽车速度减为零的时间为t0＝＝ s＝2.5 s，则刹车后4 s内的位移为x＝v0t0＋at＝(10×2.5－×4×6.25) m＝12.5 m，故C错误，D正确。 4．(“刹车类”问题)(2024·四川遂宁射洪中学期中)沿直线运动的汽车刹车后做匀减速运动，经过3.5 s停止，它在刹车开始后的第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为(　　) A．3∶2∶1　　　　　　　　 B．1∶3∶5 C．9∶4∶1 D．3∶5∶6 解析：选A。设加速度大小为a，根据速度公式v0－a·3.5＝0，得汽车的初速度v0＝3.5a，则第1 s内的位移x1＝v0t1－at＝3a，第2 s内的位移x2＝v0t2－at－x1＝2a，第3 s内的位移x3＝v0t3－at－(v0t2－at)＝a，由此可知x1∶x2∶x3＝3∶2∶1。 5．(平均速度公式和位移差公式的应用)(2024·河北沧州统考期中)一个小球沿斜面向下运动，用每间隔0.1 s曝光一次的频闪相机拍摄不同时刻小球位置的照片，如图所示，即照片上出现的相邻两个像之间的时间间隔为0.1 s，测得的数据如下：x1＝7.21 cm，x2＝8.30 cm，x3＝9.40 cm，x4＝10.50 cm。 (1)小球通过A点时的瞬时速度值为__________m/s(结果保留3位有效数字)。 (2)小球的加速度值为__________m/s2(结果保留2位有效数字)。 解析：(1)小球通过A点时的瞬时速度值 v＝＝×10－2 m/s＝0.885 m/s。 (2)小球的加速度值 a＝＝×10－2 m/s2≈1.1 m/s2。 答案：(1)0.885　(2)1.1 6．(用v－t图像求位移)一质点的v－t图像如图所示，求它在前2 s内和前 4 s 内的位移大小。 解析：位移大小等于图线与时间轴t所围成的面积，在前2 s 内的位移x1＝2×5× m＝5 m；在后2 s内的位移x2＝(4－2)×(－5)× m＝－5 m，所以质点在前4 s内的位移x＝x1＋x2＝5 m－5 m＝0。 答案：5 m　0 学科网（北京）股份有限公司 $