20.2勾股定理的逆定理及其应用 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

20.2勾股定理的逆定理及其应用 八年级下册 RJ 初中数学 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. Rt△ABC ，a，b为直角边，c为斜边.   A C B a b c 知识回顾       A C B a b c (1)经测量发现：②5、12、13； ③7、24、25; 8、15、17. 均为直角三角形. ④ (2)在数量上： 52+122=132， 72+242=252， 82+152=172. a2 + b2 = c2 猜想：如果三角形的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形 是直角三角形. 活动2：找出下面两个命题的题设与结论，说说两个命题之间有什么关系. 命题1：如果一个三角形是直角三角形，两直角边长为a，b，斜边长为c，那么 a2+b2=c2.（勾股定理） 命题2：如果三角形的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是 直角三角形. 题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个就是它的逆命题.  新知生成 1.请举出互逆命题的例子. 2.如果原命题正确,那么逆命题也正确吗?举例说明. 合作交流 3. 结合你判断直角三角形的经验，尝试说明命题2的真假性. 命题2：如果三角形的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2，那么 这个三角形是直角三角形. A　 B　 C　 a b c 探究新知 据说，古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距的 13 个结，然后以 3 个结间距，4 个结间距，5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. 3 4 5 上述三角形的三边满足什么数量关系？ 32 + 42 = 52 这种做法真的可以得到一个直角三角形吗？ 探究新知 （1）2.5，6，6.5； （2） 4，7.5，8.5. 以下面各组数为边长画三角形，所画三角形是直角三角形吗？(单位：cm) 2.5 6 6.5 4 7.5 8.5       a b     A C B a b c           a b A C B a b c 3. A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地 的正东方向，C 地在 B 地的什么方向？ 解：由图知：△ABC 中，AB = 12，BC = 5，AC = 13. ∵ AB2 + BC2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169，∴AB2 + BC2 = AC2， 由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形，且∠B = 90°. ∵A 地在 B 地的正东方向， ∴C 地在 B 地的正北方向. 复习巩固 1. 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）a = 7，b = 24，c = 25； ∵ a2 + b2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625，c2 = 252 = 625， ∴ a2 + b2 = c2. 由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形. 习题 勾股定理是正确的，其逆命题也是正确的，是不是说明原命题成立，其逆命题一定成立呢？有没有反例说明？ 不一定.比如命题“对顶角相等”成立，而它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立. 例 1　判断由线段 a，b，c 组成的三角形 是不是直角三角形： （1）a = 15，b = 8，c = 17； （2）a = 13，b = 14，c = 15. 解：（1）因为 152 + 82 = 225 + 64 = 289， 172 = 289， 所以 152 + 82 = 172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形. （2）因为 132 + 142 = 169 + 196 = 365， 152 = 225， 所以 132 + 142 ≠ 152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形. 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 知识点四 勾股定理及其逆定理的综合应用 例3 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积. A D B C 3 4 13 12 解：连接AC.在Rt△ABC中， 在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°. ∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36. 针对练习 解：由题意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0，∴a-b=0或a2+b2-c2=0. 1.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足 ，试判断△ABC的形状. 当a=b时，△ABC为等腰三角形; 当a≠b时，△ABC为直角三角形. 5. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，CD = 12， AD = 13，∠B = 90°. 求四边形 ABCD 的面积. 解：AB = 3，BC = 4，∠B = 90°， ∴ 由勾股定理得 AC2 = AB2 + BC2， 得 AC = = 5. 又 CD =12，AD = 13， ∴ AC2 + CD2 = AD2，∴△ACD为直角三角形， ∴ S四边形ABCD = S△ABC + S△ACD = AB·BC + AC·CD = ×3×4 + ×5×12 = 36. 6. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，且 CF = CD. 求证∠AEF = 90°. 证明：设 CF = x，则 EC = BE = 2x，DF = 3x， AD = AB = 4x. 由勾股定理得：EF2 = EC2 + FC2 = 5x2， AE2 = AB2 + BE2 = 20x2，AF2 = AD2 + DF2 = 25x2 = 25x2， ∴EF2 + AE2 = 25x2 = AF2. 由勾股定理的逆定理知，∠AEF = 90°. 当堂检测 7.△ABC中A， B， C的对边分别是a，b，c，则 下列命题中的假命题是( ) A.如果CBA，则△ABC是直角三角形； B.如果c2=b2a2，则△ABC是直角三角形，且C90°； C.如果(ca)(ca)=b2，则△ABC是直角三角形； D.如果A  B  C=5  2  3，则△ABC是直角三角形. B 8.下列四组线段，不能构成直角三角形的是( ) A. a8，b15，c17； B. a9，b12，c15； C. a ，b ，c ； D. a  b  c2  3  4. D 当堂检测 9.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是否成立. (1)全等三角形的对应角相等. (2)两直线平行，内错角相等. (3)互为相反数的两个数的绝对值相等. 解：(1)对应角相等的两个三角形是全等三角形； (2)内错角相等，两直线平行； (3)绝对值相等的两个数互为相反数. 不成立 成立 不成立       两个数的积为0，则这两个数中至少有一个数等于0.         练习3 校园内有一处池塘,数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端A,B两点之间的距离,他们的操作过程如下：①沿 延长线的方向,在池塘边的空地上选点C,使 米；②在 的一侧选点D,恰好使 米, 米；③测得 米.请根据他们的操作过程,求出A,B两点间的距离. 解： 米, 米, 米, , , , 是直角三角形,其中 , , 米, 在 中,由勾股定理得, 米, 答：A,B两点间的距离为15米. $