精品解析：河北保定市第三中学2025-2026学年第二学期高一（“1+3”贯通实验班）期中学业素养评估创新项目数学试题

保定三中2025—2026学年第二学期期中学业素养评估 2024级创新项目数学试题 时间：120分钟 分值：150分 命题人：王平平 审题人：刘少平 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在空间直角坐标系Oxyz中，点在平面Oxy上的射影点的坐标为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点在平面Oxy上的射影点的坐标特征，对各选项进行分析即可. 【详解】在空间直角坐标系中，点在平面Oxy上的射影点的坐标，其竖坐标为，横坐标和纵坐标与该点的横坐标和纵坐标相同， 故点在平面Oxy上的射影点的坐标为. 故选：. 2. 某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层随机抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则两班分别被抽取的人数是（ ） A. 8，8 B. 10，6 C. 9，7 D. 12，4 【答案】C 【解析】 【分析】先计算每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，即得到该层应抽取的个体数． 【详解】抽样比为，则两班分别被抽取的人数是， . 故从一班抽出9人，从二班抽出7人. 故选：C． 【点睛】本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数． 3. 一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5cm，高为10cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5cm，则溶液体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出溶液的上底面半径为，再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】因为溶液高度恰为5cm，所以溶液的上底面半径为， 下底面半径为，高为， 所以溶液的体积. 故选：B 4. 在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出辅助线，得到即为和所成角，并由勾股定理求出各边长，利用余弦定理求出夹角余弦值. 【详解】连接，，因为，所以即为和所成角， 因为，， 由勾股定理得，， 因此. 故选：D． 5. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得． 详解：由题可知 所以 由余弦定理 所以 故选C. 点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理． 6. 已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意求出，，，，即可求出，再由面积公式计算可得. 【详解】因为，，，所以，， 则，，，所以， 又因为，所以， 则以，为邻边的平行四边形的面积. 故选：D 7. 如图，正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱AD，BC的中点，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的运算律即可结合数量积的定义即可求解. 【详解】， ． 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，过原点的直线l交曲线于点A，B，沿x轴把平面直角坐标系折成大小为的二面角，则线段长度的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】作垂直下半平面于点Q，作轴于H，设，由题意可得即为沿x轴把平面直角坐标系折成的二面角的平面角，故，进而求出，结合基本不等式即可得解． 【详解】作垂直下半平面于点Q，作轴于H，连接， 设， 因为平面，x轴在平面内，所以轴， 又轴，，平面，所以x轴平面， 又平面，所以轴， 则即为沿x轴把平面直角坐标系折成的二面角的平面角，故， 因为平面，平面，所以， 又，则， 又，则， 则， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以线段长度的最小值为2． 故选：D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数满足，其中为虚数单位，则下列说法正确的有（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的概念可判断A选项；利用共轭复数的定义可判断B选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用复数的几何意义可判断D选项. 【详解】因为复数满足，则， 对于A选项，的虚部为，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，D对. 故选：ACD. 10. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析A，由相互独立事件的定义分析B，由古典概型的计算公式分析C、D，综合可得答案． 【详解】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则 ， ， ， 所以有， ， 对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误； 对于B，，A、C相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误． 故选：BC． 11. 在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时，点P在棱上 C. 当时，三棱锥的体积为定值 D. 时，存在两个点P，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，当时，可得，所以点P与重合，即为，由利用线面平行的判定定理可判断；对于B，当时，由得，所以点P在线段上；对于C，当时，可得点P在线段上，利用线面平行以及棱锥的体积公式可判断；对于D，当时，取的中点E，的中点F，可得点P在线段上，设，根据勾股定理计算即可． 【详解】对于A，当时，，得，即， 所以点P与重合，即为， 因为，平面，平面， 所以平面，即平面，故A正确； 对于B，当时，，得，即， 因为，所以点P在线段上，故B错误； 对于C，当时，，得，则， 因为，所以点P在线段上， 平面，即平面， 所以， 所以三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D，当时，取的中点，的中点，则， 则， 则，则， 因为，所以点在线段上， 设，则， 则，， ， 若，则，则， 则，所以，即点为线段的中点， 即当时，存在一个点，使得，故D错误． 故选：AC． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知空间向量，若，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解. 【详解】因为，所以，解得， 故答案为: . 13. 如图，在棱长为2的正方体中，E为中点，则点C到平面的距离为______ 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， 设平面的一个法向量为， , 则， 令，则， 设点到平面的距离为， 则， 即点到平面的距离为. 【原创题】 14. 已知点P为边长为2的等边外接圆⊙O上的一个动点，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】利用恒等式，将与建立联系，再通过的范围求的取值范围. 【详解】连接并延长交于，同时交圆于，由等边的性质知是的中点，且， ， ， 当点P在圆上运动时，P位于C处时，有最大值为； 当P位于Q处时，有最小值为； 所以， 所以. 四、解答题（本题共5小题共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知与的夹角是. （1）计算； （2）当为何值时，？ 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】试题分析：先求得.（1）依题意有：.（2）两个向量垂直，数量积为零，即，展开化简后可得，解得. 试题解析：由已知得，. （1），； （2），,即解得. 故当时，与垂直. 16. 已知分别为三个内角的对边，满足 （1）求; （2）若的周长为，面积为 求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，得到，再由辅助角公式求出答案； （2）根据题中条件得到的关系式，结合余弦定理解得的值 【小问1详解】 由正弦定理得， 其中， 故， 因为，所以，故， 即，所以， 因为，所以， 故，解得； 【小问2详解】 因为的周长为，面积为 所以，即 由余弦定理得，即 结合方程化简得，解得 17. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图作出辅助线，根据中位线的性质，可得，根据线面平行的判定定理，即可得证. （2）如图建系，求得各点坐标和所需向量坐标，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法，即可得答案. 【小问1详解】 连接，交于F，连接EF，如图所示： 因为为矩形，所以F为的中点， 因为E是棱BC的中点，所以EF为的中位线， 则， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为底面ABCD是正方形，所以， 因为直四棱柱，所以平面ABCD，则， 则以D为原点，为轴正方向建系，如图所示， 所以， 则， 设平面的法向量，则， 所以，令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为 18. 由甲、乙两个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，规则如下： ①一共2道相同的密码锁，每一道密码锁都必须在1分钟以内解锁完毕才算解锁成功，否则视为解锁失败； ②第一关开始前，2人需决定由谁先开始解锁，且第一位解锁人有2次连续解锁机会，第二位解锁人也有2次连续解锁机会，第一位用完2次机会后若仍然有密码锁未被解锁成功，则替换为下一位解锁人解锁； ③若2道密码锁均被解锁成功，团队立刻进入下一关，否则视为该团队失败，淘汰出局.现根据以往100次的测试，分别获得如下甲、乙解开1道密码锁所需时间的频率分布直方图，其中 （1）求a、b的值，并求出甲解开1道密码锁的时间在1分钟以内的频率； （2）以甲、乙解开1道密码锁所需时间位于各区间的频率代替概率，且甲、乙2人每次是否成功解开密码锁相互独立，解答下列问题： （i）若2人决定由甲先开始解锁，求团队使用的解锁机会不超过3次就进入下一关的概率； （ii）你认为甲、乙两人进入下一关的概率是否与他们的出场顺序有关?试通过计算说明理由. 【答案】（1）；； （2）（i）（ii）无关，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由频率之和为，结合甲开锁1分钟时正好位于中间，从而可求解； （2）（i）若甲先开始解锁，求团队使用的解锁机会不超过3次就进入下一关总共有：，，共种情况，利用概率的乘法公式算出概率，从而可求解；（ii）假设甲先开锁乙后开锁进入下一关的情况有：，，，共种情况；假设乙先开锁甲后开锁进入下一关的情况有：，，，共种情况，利用概率的乘法公式算出每种情况的概率，从而可求解. 【小问1详解】 由，又，解得：，， 甲解锁试卷在分钟时正好位于中间， 所以甲在分钟内解开锁的频率为：. 【小问2详解】 由题可知乙在分钟内解开锁的频率为：， 设甲开锁成功为事件，则，乙开锁成功为事件，则， （i）若甲先开始解锁，求团队使用的解锁机会不超过3次就进入下一关总共有：，，共种情况， 所以其概率为：. （ii）假设甲先开锁乙后开锁进入下一关的情况有：，，，,共6种情况， 则甲先开锁乙后开锁进入下一关的概率为: ； 假设乙先开锁甲后开锁进入下一关的情况有：，，，共种情况， 则乙先开锁甲后开锁进入下一关的概率为： ， 因，所以与他们的出场顺序无关. 19. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC，的中点，D为棱上的点，． （1）证明：AB⊥平面； （2）证明：BF⊥DE； （3）当为何值时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大？并求出这个最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）当时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据条件，可得，根据线面垂直的判定定理，可证平面，即可得证. （2）如图作出辅助线，根据线面垂直的性质定理，可证，根据三角形全等，可证，根据线面垂直的判断及性质定理，可证平面，结合线面的位置关系，即可得证. （3）如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，分别求出平面DFE和平面的法向量，根据二面角的向量求法，可得二面角余弦值的表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【小问1详解】 因为为正方形，所以， 又，且，平面， 所以平面， 因为直三棱柱，所以，所以平面. 【小问2详解】 取BC中点G，连接，如图所示， 因为E、G分别为AC、BC的中点，所以， 则平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 则，则，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 因为D为棱上的点，所以平面， 所以. 【小问3详解】 由（1）得两两垂直，以B为原点，为轴正方向建系，如图所示， 设，则， 则， 设平面DEF的法向量，则， 所以，令，则，所以， 因为平面，所以平面的法向量为， 所以， 所以当时，有最大值， 所以当时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保定三中2025—2026学年第二学期期中学业素养评估 2024级创新项目数学试题 时间：120分钟 分值：150分 命题人：王平平 审题人：刘少平 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在空间直角坐标系Oxyz中，点在平面Oxy上的射影点的坐标为（ ） A. B. C. D. 不确定 2. 某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层随机抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则两班分别被抽取的人数是（ ） A. 8，8 B. 10，6 C. 9，7 D. 12，4 3. 一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5cm，高为10cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5cm，则溶液体积为（ ） A. B. C. D. 4. 在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为（    ） A. B. C. D. 5. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A. B. C. D. 6. 已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 7. 如图，正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱AD，BC的中点，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 2 8. 在平面直角坐标系中，过原点的直线l交曲线于点A，B，沿x轴把平面直角坐标系折成大小为的二面角，则线段长度的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数满足，其中为虚数单位，则下列说法正确的有（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 11. 在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时，点P在棱上 C. 当时，三棱锥的体积为定值 D. 时，存在两个点P，使得 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知空间向量，若，则实数的值为__________. 13. 如图，在棱长为2的正方体中，E为中点，则点C到平面的距离为______ 【原创题】 14. 已知点P为边长为2的等边外接圆⊙O上的一个动点，则的取值范围是______ 四、解答题（本题共5小题共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知与的夹角是. （1）计算； （2）当为何值时，？ 16. 已知分别为三个内角的对边，满足 （1）求; （2）若的周长为，面积为 求. 17. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 由甲、乙两个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，规则如下： ①一共2道相同的密码锁，每一道密码锁都必须在1分钟以内解锁完毕才算解锁成功，否则视为解锁失败； ②第一关开始前，2人需决定由谁先开始解锁，且第一位解锁人有2次连续解锁机会，第二位解锁人也有2次连续解锁机会，第一位用完2次机会后若仍然有密码锁未被解锁成功，则替换为下一位解锁人解锁； ③若2道密码锁均被解锁成功，团队立刻进入下一关，否则视为该团队失败，淘汰出局.现根据以往100次的测试，分别获得如下甲、乙解开1道密码锁所需时间的频率分布直方图，其中 （1）求a、b的值，并求出甲解开1道密码锁的时间在1分钟以内的频率； （2）以甲、乙解开1道密码锁所需时间位于各区间的频率代替概率，且甲、乙2人每次是否成功解开密码锁相互独立，解答下列问题： （i）若2人决定由甲先开始解锁，求团队使用的解锁机会不超过3次就进入下一关的概率； （ii）你认为甲、乙两人进入下一关的概率是否与他们的出场顺序有关?试通过计算说明理由. 19. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC，的中点，D为棱上的点，． （1）证明：AB⊥平面； （2）证明：BF⊥DE； （3）当为何值时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大？并求出这个最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $