河北保定市第三中学2025-2026学年第二学期高一（“1+3”贯通实验班）期中学业素养评估创新项目数学试题

保定三中2025—2026学年第二学期期中学业素养评估 2024级创新项目数学试题 时间：120分钟 分值：150分 命题人：王平平 审题人：刘少平 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在空间直角坐标系Oxyz中，点在平面Oxy上的射影点的坐标为（ ） A. B. C. D. 不确定 2. 某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层随机抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则两班分别被抽取的人数是（ ） A. 8，8 B. 10，6 C. 9，7 D. 12，4 3. 一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5cm，高为10cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5cm，则溶液体积为（ ） A. B. C. D. 4. 在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为（    ） A. B. C. D. 5. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A. B. C. D. 6. 已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 7. 如图，正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱AD，BC的中点，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 2 8. 在平面直角坐标系中，过原点的直线l交曲线于点A，B，沿x轴把平面直角坐标系折成大小为的二面角，则线段长度的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数满足，其中为虚数单位，则下列说法正确的有（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 11. 在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时，点P在棱上 C. 当时，三棱锥的体积为定值 D. 时，存在两个点P，使得 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知空间向量，若，则实数的值为__________. 13. 如图，在棱长为2的正方体中，E为中点，则点C到平面的距离为______ 【原创题】 14. 已知点P为边长为2的等边外接圆⊙O上的一个动点，则的取值范围是______ 四、解答题（本题共5小题共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知与的夹角是. （1）计算； （2）当为何值时，？ 16. 已知分别为三个内角的对边，满足 （1）求; （2）若的周长为，面积为 求. 17. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 由甲、乙两个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，规则如下： ①一共2道相同的密码锁，每一道密码锁都必须在1分钟以内解锁完毕才算解锁成功，否则视为解锁失败； ②第一关开始前，2人需决定由谁先开始解锁，且第一位解锁人有2次连续解锁机会，第二位解锁人也有2次连续解锁机会，第一位用完2次机会后若仍然有密码锁未被解锁成功，则替换为下一位解锁人解锁； ③若2道密码锁均被解锁成功，团队立刻进入下一关，否则视为该团队失败，淘汰出局.现根据以往100次的测试，分别获得如下甲、乙解开1道密码锁所需时间的频率分布直方图，其中 （1）求a、b的值，并求出甲解开1道密码锁的时间在1分钟以内的频率； （2）以甲、乙解开1道密码锁所需时间位于各区间的频率代替概率，且甲、乙2人每次是否成功解开密码锁相互独立，解答下列问题： （i）若2人决定由甲先开始解锁，求团队使用的解锁机会不超过3次就进入下一关的概率； （ii）你认为甲、乙两人进入下一关的概率是否与他们的出场顺序有关?试通过计算说明理由. 19. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC，的中点，D为棱上的点，． （1）证明：AB⊥平面； （2）证明：BF⊥DE； （3）当为何值时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大？并求出这个最大值． 保定三中2025—2026学年第二学期期中学业素养评估 2024级创新项目数学试题 时间：120分钟 分值：150分 命题人：王平平 审题人：刘少平 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【原创题】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5小题共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1）；（2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【18题答案】 【答案】（1）；； （2）（i）（ii）无关，理由见解析. 【19题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）当时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $