2.4 函数的对称性讲义-2027届高考数学一轮复习

2.4 函数的对称性 1.奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称. (2)若f(x＋a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x＝a;若f(x＋a)是奇函数,则函数f(x)的图象的对称中心为(a,0). 2.若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x),则函数的图象关于直线x＝a对称; 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x),则函数的图象关于点(a,0)对称. 3.两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称; (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称; (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称. 常用的结论 对称性的四个常用结论 (1)y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于x＝a对称. (2)y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称. (3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. 特别地,当a＝b时,即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时,则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b,则y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称.特别地,当b＝0时,即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时,则y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称. 考点一　判断或证明函数的对称性 考点二　由对称性求函数的解析式 考点三　由对称性研究单调性 考点四　由函数对称性求函数值或参数 考点一　判断或证明函数的对称性 1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选）定义在上的函数满足为偶函数，且，则下列说法中正确的有（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于成中心对称 D． 2．（2026·吉林延边·三模）已知函数，． (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)证明：函数的图象是中心对称图形； 3．（2026·辽宁锦州·二模）（多选）函数，则（    ） A． B． C．存在对称轴 D．存在对称中心 4．（25-26高二下·江苏苏州·月考）已知函数. (1)若为中心对称图形，求a的值以及对称中心坐标； (2)当时，，求a的取值范围. 5．（25-26高三下·安徽芜湖·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得曲线关于某点对称 B．存在，使得曲线关于某直线对称 C．存在，使得曲线关于某点对称 D．存在，使得曲线关于某直线对称 考点二　由对称性求函数的解析式 6．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数． (1)若函数与的图象关于点对称，求的解析式； (2)当时，求的最大值； 7．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数满足． (1)证明：； (2)判断的单调性，并写出推理过程； (3)若函数的图象与函数的图象关于点对称，求的解析式． 8．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，与函数关于原点对称 (1)求函数的解析式 (2)已知，求的最大值及取最大值时的值． 9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数与的图象关于点对称，求的解析式. 10．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数与的图象关于点对称，则______． 考点三　由对称性研究单调性 11．（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·湖南郴州·月考）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·广东惠州·月考）（多选）已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．在上单调递增 14．（25-26高三上·广东·阶段检测）已知函数的定义域为，图象关于对称，且，对于任意的，都有成立，则（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高三上·安徽阜阳·期中）已知函数，使得成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点四　由函数对称性求函数值或参数 17．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线关于直线对称，则（    ） A． B．2 C．0 D．1 18．（2026·山东·二模）已知函数的图象关于点对称，则_______________． 19．（25-26高二下·浙江·期中）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C．5 D．6 20．（2026·湖北·一模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ） A．2025 B． C． D． 21．（25-26高二下·广西来宾·月考）若函数的图像关于点中心对称，则有序数对为________. 22．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数的图象关于坐标原点对称，则的值为（   ） A．20 B．50 C．70 D．90 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）若函数的定义域为，则“函数的图象关于点中心对称”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三下·北京·阶段检测）设函数，下列说法正确的是（   ） A．存在实数，使得曲线为轴对称图形； B．存在实数，使得曲线为中心对称图形； C．存在实数，使得曲线为轴对称图形； D．存在实数，使得曲线为中心对称图形. 3．（2026·北京东城·二模）已知函数与的图象关于轴对称，则（   ） A．-2 B． C． D．2 4．（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 5．（2026·河北唐山·二模）（多选）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．在上单调递增 C．的最小正周期是 D．的一条对称轴为 6．（25-26高一下·贵州遵义·月考）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．在上单调递增 B．为奇函数 C．的一条对称轴为 D．的一个对称中心为 7．（2026·陕西榆林·三模）已知直线经过函数的图象的对称中心，则的最小值为__________. 8．（2026·河南商丘·模拟预测）若函数，其中，则曲线的对称中心的坐标为______. 9．（2026·河北张家口·一模）已知函数满足，当时，，则不等式的解集为______． 10．（2025高三·全国·竞赛）设实数满足：函数图象的对称中心为，则________. 11．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)证明：曲线是中心对称图形； 12．（2026·四川泸州·模拟预测）已知，函数. (1)当时，函数为减函数，求实数的最小值; (2)证明：曲线是中心对称图形； 13．（25-26高一下·河南·月考）已知函数． (1)当时，用定义法证明：是增函数； (2)当时，曲线与曲线的图象关于直线1对称，求的值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 函数的对称性 1.奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称. (2)若f(x＋a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x＝a;若f(x＋a)是奇函数,则函数f(x)的图象的对称中心为(a,0). 2.若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x),则函数的图象关于直线x＝a对称; 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x),则函数的图象关于点(a,0)对称. 3.两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称; (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称; (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称. 常用的结论 对称性的四个常用结论 (1)y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于x＝a对称. (2)y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称. (3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. 特别地,当a＝b时,即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时,则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b,则y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称.特别地,当b＝0时,即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时,则y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称. 考点一　判断或证明函数的对称性 考点二　由对称性求函数的解析式 考点三　由对称性研究单调性 考点四　由函数对称性求函数值或参数 考点一　判断或证明函数的对称性 1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选）定义在上的函数满足为偶函数，且，则下列说法中正确的有（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于成中心对称 D． 【答案】BCD 【分析】先根据为偶函数，可得到的图象关于直线对称，再根据可得到的图象关于直线对称，进而可得到的周期，再判断各个选项的正确性. 【详解】为偶函数，， 即，的图象关于直线对称， 即函数的图象关于直线对称，故A错误； 又，， 故函数关于中心对称，故C正确； 而函数有对称轴，有对称中心点，由对称性可得函数关于直线对称，故B正确； 又，， 所以函数为周期函数，周期是，故D正确． 2．（2026·吉林延边·三模）已知函数，． (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)证明：函数的图象是中心对称图形； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）当时，求得，求得，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，求得，求得，即可得证； 【详解】（1）解：当时，，可得， 又由，可得， 所以函数的图象在处的切线方程，即. （2）解：由函数， 可得， 所以 ， 即，即， 所以函数的图象关于点中心对称. 3．（2026·辽宁锦州·二模）（多选）函数，则（    ） A． B． C．存在对称轴 D．存在对称中心 【答案】ABC 【分析】通过可发现函数具有对称轴及最大值，再利用函数对称中心的特点去分析是否具有对称中心，将化为，通过构造函数，结合导数与单调性得到，都有，进一步证明即可. 【详解】函数解析式可化为：， 则，选项A正确； 因为函数的图象关于直线对称，且函数的图象也关于直线对称， 故曲线也关于直线对称，选项C正确； 要证，即证. 当时，左右两边均为0，等式成立. 令，则，则在上单调递增. 当时，，所以. 当时，，所以，所以. 因此，，都有，当时等号成立. 所以，当时，有， 又， 所以成立， 综上，成立，选项B正确； 对于D选项，若存在一点使得关于点对称，则， 通过分析发现不可能为常数，故选项D错误. 4．（25-26高二下·江苏苏州·月考）已知函数. (1)若为中心对称图形，求a的值以及对称中心坐标； (2)当时，，求a的取值范围. 【答案】(1)，对称中心 【分析】（1）求出的定义域，根据中心对称性可得对称中心的横坐标必为，结合中心对称的定义求解； 【详解】（1）由，则，即，得或， 所以函数的定义域为， 所以， 若为中心对称图形，其对称中心的横坐标必为，设对称中心为， 则满足， ， 所以，得， 当时，，因此对称中心的坐标为. 5．（25-26高三下·安徽芜湖·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得曲线关于某点对称 B．存在，使得曲线关于某直线对称 C．存在，使得曲线关于某点对称 D．存在，使得曲线关于某直线对称 【答案】D 【详解】由，得或， 则函数的定义域为 若曲线存在对称轴或对称中心，则对称轴或对称中心必在直线上. 因为， 当时，，所以此时关于直线对称. 又因为不可能恒等于某个常数， 所以不可能关于某个点对称. 考点二　由对称性求函数的解析式 6．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数． (1)若函数与的图象关于点对称，求的解析式； (2)当时，求的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由对称性可得，计算即可得； （2）求导后可得函数单调性，即可得其最大值； 【详解】（1）由题意得，； （2）由题意得，，，令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为； 7．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数满足． (1)证明：； (2)判断的单调性，并写出推理过程； (3)若函数的图象与函数的图象关于点对称，求的解析式． 【答案】(1)证明见解析； (2)在上单调递增，在上单调递减，理由见详解； (3). 【分析】（1）在条件式中将用替代，联立方程组求得，计算得证； （2）先判断是偶函数，再根据复合函数的单调性判断； （3）设函数图象上任意一点的坐标为，点关于点的对称点的坐标为，可得，由运算得解. 【详解】（1）在中，将用替代， 则，即. 联立和， 解得. 因此. （2）因为函数的定义域为，， 所以是偶函数， 又， 因为在内单调递增， 所以在内单调递减，因此在内单调递减. 由于是偶函数，所以在内单调递增. （3）设函数图象上任意一点的坐标为，点关于点的对称点的坐标为. 由，得. 因为点在函数的图象上，所以. 即，. 故. 8．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，与函数关于原点对称 (1)求函数的解析式 (2)已知，求的最大值及取最大值时的值． 【答案】(1)； (2)时，取得最大值13 【分析】（1）在任取一点，则在函数上，代入化简后即得函数的解析式； （2）由题可得，结合题意可得，利用二次函数的性质即可求得函数最大值. 【详解】（1）由题可得函数与函数关于原点对称， 则在任取一点，则在函数上， 则得，故. （2）由题 函数的定义域为，要使函数有意义， 需使，解得，即， 所以， 当，即时，. 故当时，函数取得最大值. 9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数与的图象关于点对称，求的解析式. 【答案】 【分析】在函数上取点，设为关于点的对称点，利用对称关系列出变换方程组，求得，代入，整理即得的解析式. 【详解】设为上任一点，为关于点的对称点， 则解得 因为点在的图象上，所以. 把代入上式，可得，整理得， 即. 10．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数与的图象关于点对称，则______． 【答案】 【分析】设是上一点，关于点的对称点为，得到，将其代入函数的解析式，即可求得的解析式. 【详解】设是图象上任意一点，且点关于点的对称点为， 可得，解得， 将其代入函数，可得，所以， 即. 故答案为：. 考点三　由对称性研究单调性 11．（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可. 【详解】，即， ， 令，解得：， 当时，，，则在区间单调递增； 当时，，在区间单调递减； ， 即， 关于对称， ， ，即， 两边平方得， 解得， 则实数的取值范围是. 12．（25-26高二下·湖南郴州·月考）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义，结合对称性及已知确定函数的单调性，再将不等式转化为不等式组求解. 【详解】由函数是定义在上的偶函数，得，即函数的图象关于直线对称， 由函数在上单调递增，得函数在上单调递减， 且，则当或时，；当时，， 不等式等价于或， 即或，解得或， 所以的解集为. 13．（25-26高三上·广东惠州·月考）（多选）已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】由奇函数的定义判断A，由函数解析式判断B，由奇函数及周期求得判断C选项，由函数在的解析式得函数的单调区间，结合对称性得到函数在上单调性，判断D选项. 【详解】∵函数是定义在R上的奇函数， ∴且，A选项正确； ∵，，B选项正确； ∵， ∴当时，，C选项错误； ∵， ∴，即， ∴函数关于点中心对称， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，∴， 又∵函数关于点中心对称， ∴在上单调递增，D选项正确. 故选：ABD. 14．（25-26高三上·广东·阶段检测）已知函数的定义域为，图象关于对称，且，对于任意的，都有成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数的单调性，对称性进行判断即可. 【详解】由题可知，在上单调递增，又因为关于对称， 在上单调递减. ，关于对称，. 对于A、B、C：在上单调递减，， ，故A正确，B、C错误； 对于D：在上单调递增，， ，故D错误. 故选：A. 15．（25-26高三上·安徽阜阳·期中）已知函数，使得成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数解析式得到函数的对称轴，以及函数的单调区间，利用函数的对称性和单调性得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵， ， 即，所以函数图象关于直线对称， 当时，，函数在内单调递增， ∵，∴， 解得. 故选：C. 16．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到函数的图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，结合函数的单调性和对称性，即可求解. 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于对称， 又由，都有， 根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减， 结合对称性知：函数在上单调递增， 因为，所以， 又因为，所以. 故选：B. 考点四　由函数对称性求函数值或参数 17．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线关于直线对称，则（    ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】C 【分析】先求出函数定义域，再根据对称性得出，再代入解析式得出，最后代回验证即可. 【详解】令，由，得或，故函数的定义域为． 由曲线关于直线对称，得定义域关于直线对称，则， 此时必有，即，解得， 此时， 因此函数的图象关于直线对称，即，满足题意，故． 18．（2026·山东·二模）已知函数的图象关于点对称，则_______________． 【答案】2 【详解】，关于点对称， 由题意可知函数关于点对称，所以解得. 19．（25-26高二下·浙江·期中）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】分别化简计算，再由对称性，列出关于的方程组，求解即得. 【详解】对于函数, 由 , 而 , 由该图象关于直线对称,可得, 则对应项系数相等,即, 解得,则. 20．（2026·湖北·一模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出函数的周期，结合可求的值. 【详解】因为为奇函数，故， 因为为偶函数，故， 故，所以， 故是周期函数且周期为4，而， 故， 而，故. 21．（25-26高二下·广西来宾·月考）若函数的图像关于点中心对称，则有序数对为________. 【答案】 【分析】根据中心对称的定义可得，代入运算求解即可. 【详解】因为函数的图像关于点中心对称， 则，即， 整理可得， 结合的任意性可知，可得， 所以有序数对为. 22．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数的图象关于坐标原点对称，则的值为（   ） A．20 B．50 C．70 D．90 【答案】D 【分析】先利用二项式定理化简，再根据函数奇偶性的定义求解即得. 【详解】依题意，可知函数为奇函数，满足. 因， ， 则， 由 ，因不恒为0，故得，即. 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）若函数的定义域为，则“函数的图象关于点中心对称”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由已知条件，看“的图象关于点中心对称”与“”是否可以互相推导，进而判断前者是后者的什么条件. 【详解】若定义域为函数的图象关于点中心对称，则， 当时，，则， 但不能推出函数的图象关于点中心对称， 所以“的图象关于点中心对称”是“”的充分不必要条件. 2．（25-26高三下·北京·阶段检测）设函数，下列说法正确的是（   ） A．存在实数，使得曲线为轴对称图形； B．存在实数，使得曲线为中心对称图形； C．存在实数，使得曲线为轴对称图形； D．存在实数，使得曲线为中心对称图形. 【答案】C 【分析】由函数的对称性进行判断求解． 【详解】对于A，B两项，函数的定义域为，则曲线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A，B都是错误； C.令（或）， 由对称性知，若存在对称轴或对称中心，必在直线上， 考虑 （或）， 当时，， 所以， 所以关于对称，故C正确； D.考虑 （或）， 所以不存在实数，使得， 即不存在实数，使得曲线为中心对称图形，故D错误. 3．（2026·北京东城·二模）已知函数与的图象关于轴对称，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】A 【详解】函数图象上任意一点关于轴对称的点为， 代入中得，即，得. 4．（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】根据两个函数图象关于直线对称，得出它们互为反函数，进一步求出反函数表达式，并作为的解析式，最后根据题意得到关于的方程，求解. 【详解】因为两个函数图象关于直线对称， 所以是的反函数， 对整理得：，， 交换可得反函数：， 又因为，所以 ， 化简可得：，即， 两边取以3为底的对数，则. 5．（2026·河北唐山·二模）（多选）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．在上单调递增 C．的最小正周期是 D．的一条对称轴为 【答案】BD 【分析】A利用奇偶性的定义求证；B利用在上的单调性判断；C举反例；D求证即可. 【详解】令，得，故的定义域为，关于原点对称， 因为，所以为奇函数，故A错误； 因为在上单调递增，且， 所以在上单调递减，故在上单调递增，故B正确； 因为，，所以，故C错误； ， 所以的一条对称轴为，故D正确. 6．（25-26高一下·贵州遵义·月考）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．在上单调递增 B．为奇函数 C．的一条对称轴为 D．的一个对称中心为 【答案】ABD 【分析】对A，根据复合函数单调性判断；对B，利用奇函数定义判断；对C，举反例说明；对D，利用函数对称性定义判断. 【详解】对于A，，单调递增，，则单调递增， 所以在上单调递增，故A正确； 对于B，因为，， 所以函数为奇函数，故B正确； 对于C，因为，，所以， 所以不是函数的对称轴，故C错误； 对于D，因为， 所以函数的一个对称中心为，故D正确. 7．（2026·陕西榆林·三模）已知直线经过函数的图象的对称中心，则的最小值为__________. 【答案】4 【分析】求出函数的对称中心并代入直线中得，化为并结合，利用基本不等式即可求得最值. 【详解】因为， 所以函数的图象的对称中心为， 将点代入直线，得， 则， 当且仅当时取等号， 故的最小值为4. 8．（2026·河南商丘·模拟预测）若函数，其中，则曲线的对称中心的坐标为______. 【答案】 【详解】依题意，，， 令，则， 令，解得， 而，故， 验证为函数的对称中心： 因为 ， 所以函数的对称中心的坐标为． 9．（2026·河北张家口·一模）已知函数满足，当时，，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】根据函数的对称性与单调性的关系列不等式组求解即可. 【详解】根据题意，因为函数满足，所以函数的对称轴为直线， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 则函数在上单调递减， 由得，等价于或， 解得或，所以不等式的解集为. 10．（2025高三·全国·竞赛）设实数满足：函数图象的对称中心为，则________. 【答案】1 【分析】根据题意可知在函数的图象上，又根据对称性可知也在函数图象上，代入函数解析式可解得的值，从而得解. 【详解】由题可知点在函数的图象上， 设关于对称中心对称的点为， 则，得， 所以点也在函数图象上， 则， 解得. 故答案为：1 11．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)证明：曲线是中心对称图形； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）直接求出导函数，计算和，由点斜式得直线方程并整理为一般式； （2）利用中心对称的定义结合对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）令，解得， 则的定义域为， 当时，，可得， 而，又， 所以切线方程为，即； （2）由题意得，， 则 ， 可得关于中心对称，即曲线是中心对称图形. 12．（2026·四川泸州·模拟预测）已知，函数. (1)当时，函数为减函数，求实数的最小值; (2)证明：曲线是中心对称图形； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将原函数单调性问题转化为导函数恒成立问题，再求出，进而建立不等式求解参数范围，最后得到最值即可； （2）利用函数的对称性证明即可； 【详解】（1）当时，记， 其中，则， 因为函数为减函数，所以恒成立 因为，当且仅当时等号成立，故， 而成立，可得，解得，故的最小值为. （2）令，解得，则函数定义域为， 因为 ， 所以关于点中心对称，即曲线是中心对称图形. 13．（25-26高一下·河南·月考）已知函数． (1)当时，用定义法证明：是增函数； (2)当时，曲线与曲线的图象关于直线1对称，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用增函数的定义证明即可； （2）根据对称的性质可得与值域相同，且即可求解. 【详解】（1）当时，函数， 任意取，且，则， 因为，，故， 所以是增函数． （2）因为曲线与曲线的图象关于直线1对称， 则与值域相同，所以， 由于曲线与曲线在处的函数值相同， 则，解得，， 故． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $