安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高二下学期春季联赛数学试题

姓名 座位号 (在此卷上答题无效) 绝密★启用前 安徽省示范高中培优联盟2026年春季联赛（高二） 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，选择题第1至第3页，非选择题第4至第6页。全卷满 分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项： 1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自已的姓名、座位号，并认真核对答题卡 上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。 2.答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔 迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水 签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在 试题卷、草稿纸上答题无效。 4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。) 1.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则SUT= A.0 B.Z C.S D.T 第1页（共6页） 2.从1,2,4,8,16这五个数中随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为 B号 c 0.6 3.若复数之1，之2为满足之1十之2=之1之2=1，则之1之2十之1之2= A.-1 B.1 C.i D.-i 4.已知平面向量a=(1,3),b=(一2,4)，则a在b上的投影向量为 86 1 C.- a D.- 6 5.已知ab<0,则下列不等式中一定成立的是 A.a+b<0 B.a+b>1 a-b c.2-1>0 a b n+-1 6.已知xy>0,若(1+√x2+1)(W4y+1-2y)=x,则1og2x·logy的最大值为 A.0 B c D.1 7.若(x十1)2026=a1.x202s+a2x2025十a3x2024+…十a2026.x十a2027,则a2十2a3十…十2025a2026 +2026a2027= A.2025×2202 B.2025X22026 C.2026×22025 D.2026×22026 8.如图，设曲线y=】上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB1A1△A,B2A, …,直角顶点在曲线y=上，则点A1m的横坐标为 A.20 B.21 B B C.100 D.101 0 A A2 第8题图 第2页（共6页） 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9.已知随机变量X服从正态分布N(0,1),定义函数f(x)为X取值不超过x的概率，即f(x)= P(X≤x).若x>0,则 A.f(2x)=2f(x) B.f(-x)=1-f(x) C.f(x)在(0，十∞)上是减函数 D.P(|X|≤x)=2f(x)-1 10.已知点F是抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点，设直线l:y=kx十b(k≠0)与抛物线C有 唯一公共点P,过点P作直线L的垂线交x轴于点R,则 A.p=2kb B.b=2kp C.PF=PR D.PF=RF 11.已知正方体ABCD-A1B,C1D1的棱长为1，点E,F分别是棱AD,AB上的动点，G是棱AA1 的中点，以△EFG为底面作三棱柱EFG-E1F,G1,顶点E1,F1,G1也在正方体的表面上.设 FE=tAD+(t-1)AB,t∈[0,1]，则 A.Ht∈[0,1]，直线B1E与直线D1F所成的角均为90 B31∈[0,1]，使得四面体A,EFC,的体积为号 C.当：=子时，直线C,F与平面CDD,C,所成角的正切值为3国 13 D,当上三号时，若三棱柱EFG-EF,G,为正三棱柱，则其为号 第3页（共6页） (在此卷上答题无效) 考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.乘积式(a1十a2十a3)(b1十b2)(c1十c2十c3)展开后的项数是 13.函数fx)=sinx十sinx+智）-sinsin(x+）的最大值为 14.如图，圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的正六边形 G ABCDEF的中心为O,G、H、M、N、P、Q为圆O上的点，△GAB,Q 0 △HBC,△MCD,△NDE,△PEF,△QAF分别是以AB,BC,CD, DE,EF,FA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB,BC, W CD,DE,EF,FA为折痕折起△GAB,△HBC,△MCD,△NDE, 第14题图 △PEF,△QAF,使得G、H、M、N、P、Q重合，得到六棱锥.当正六边形 ABCDEF的边长变化时，所得六棱锥体积（单位：cm3)的最大值为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.(13分) F1=F2=1 已知数列{Fn}的递推关系式为 Fn=Fm1十Fn-2,n≥3 (1)记{F2m1}的前n项和为Tn,证明：T1o13=F202s; (2)若数列{Fn}各项除以2后所得到的余数构成{an},记{am}前n项和为Sm,求So27· 第4页（共6页） 16.(15分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PB=3. (1)证明：∠PAD=∠PBC; (2)当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角P-AB-C的大小. 第16题图 17.(15分) 在平面直角坐标系xOy中，设A,B两点的坐标分别为（一3,0），(3,0)，直线AM,BM相交于 点M,且它们的斜率之积是一号，设点M的轨速为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)点P,Q在C上，E是平面上不同于P,Q的动点，且满足OE=入OP+OQ. 从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①E在曲线C上：②A2+u2-1;③kpkQ=-5 91 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 第5页（共6页） 18.(17分) (1)证明：当x>-1且x≠0时，(1+x)p≥1+p.x,p∈N*； (2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取10 次设抽得的10个号码互不相同的概率为力.证明：p<28 19.(17分) 已知点S为直线PQ外一点（点M,N与点P,Q任一点不重合）.若点M在线段PQ上，记 (P,Q;M)=ISP|sin∠PSM TSQs乙MSO若点M在线段PQ外，记(P,Q:MD=、n二RS设 记P,Q:M,N)P:8:记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,已知b2 A=,点D是线段BC上一点，且(B,CD)=分 (1)若AD=√3+1，求∠ADC的值： (2)射线BC上的点MM1M2,…满足(B,C;MD)=-1+5 ,n∈N. 2 (i)当n=0时，求AM。十8AD的最小值； (i)当n≠0时，过点C作CPm⊥AM,于Pm,记am= Cp,,证明：数列(a,)的前n项和 n Sm<2十√2. 第6页（共6页）高二数学参考答案 1 2 4 5 6 8 9 10 11 C D A BD AD ACD 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.【答案】C 【解析】集合S表示所有奇数，集合T表示所有除以4余1的整数，由于除以4余1的整数都是奇数，所以TsS, 因此SUT=S 2.【答案】B 【解析】从5个数中取两个数，总共有C=10种取法，满足“其中一个数是另一个的两倍”的数对有：(1,2)，(2,4)， 48),(⑧，1可，共4对，所以概率为4-2 105 3.【答案】A 【解析】由名+2=1和z2=1可知，z,32是方程x2-x+1=0的两个根，解得z2= 1±V3i ，它们互为共轭复数， 2 设32=，则五2+2=z+z好=(31+2)2-232=12-2×1=-1. 4.【答案】B 【解析】根据投影向量公式为：b,计算-b=1×(2)+3×4=-2+12=10,1b=（←2y2+4 1b12 ∈4+16=20，所以系数为28=，投影向量为6， 5.【答案】D 【解析】对于A:取a=2,b=-1,则a+b=1>0,故A不一定成立，A错： 对于B:不等式0+也1可化为。b之0，由于a与b异号，所以2b与a-b符号相反，故该不等式恒不成立，B错： a-b 对打c:会君0后号取a6-2.虎边为质，布为江术等大立，放c不定立，c#, a b 对于D: 名+<-1，设x=名，则x<0,且，不等式转化为x+<-1,由基本不等式，当x<0时，x+上≤-2， a b a b x 而-2<-1，因此不等式恒成立，故选D. 6.【答案】B 202+21,又y1+F有在0+o),放}2即w号 1 1 于是1g,1g:yse:3-(;y-有当且仅当x=y- 1取等。 2 2 7.【答案】C 【解析】由二项式定理，(x+1)2026= C,对比系数得a=C即%-C02 2027 2026 …,2027)，则所求表达式为4+24+…+2025a026+2026427= 0-a,宫C，利用组合恒等式 2 2026 定iC=2,得2iC6=2026×2m5 i0 8.【答案】A 【解析】因为△4B4,(n≥2)是等腰三角形，可设A,(,0),B,(色+⊥，)，代入y=1可得， 2 2 +1.占山=1，即飞2-x=4,再结合y=x与y=的图象交点可知B,0,1山，4(2,0)，所以数列 2 2 1 {x2}是以x2=4为首项，4为公差的等差数列，所以有x2=x2+(n-1)4=4n,故A,(2Vn,0),即点Am的横 坐标为20. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.【答案】BD 【解析】由题意，X~N(0,1),f(x)=P(X≤x).A:f(2x)=P(X≤2x),而2f(x)=2P(X≤x),由于正态分布概率 非线性，一般不相等，故A错误；B:由正态分布的对称性，f(-x)=P (X≤-x)=P(X≥x)=1-P(X<x)=1-f(x),故B正确：C:f(x)是累积分布函数，在R上单调递增，所以在(0，+w) 上也是增函数，故C错误；D:P(X|≤x)=P(-x≤X≤x)=f(x)-f(-x) =f(x)-[1-f(x)]=2f(x)-1,故D正确，因此答案为BD. 10.【答案】AD 【解析】抛物线C:y2=2pr,焦点F号，O),直线1：y=:+b(k≠0)与抛物线C有唯一公共点，即相切，将y=+b 代入抛物线得k2x2+(2励-2p)x+b2=0,由△=0得(2b-2p)2-4k2b2 b卫 =0,化简得刀=2幼，故A正确，B错误切点坐标：名京，-办=关，过点P作直线1的垂线，斜率 k 为方程为是)，令0得p+是+)即 =n,一京，1Rn+是一号号0+白9，数刻PR1恒成立，放C标误，D瑞，因此答案为An 11.【答案】ACD 【解析】不难知AE+AF=1,A、C:建系易算；B:'4=V正方体-(VA1-AEF+VC1-BCDF)- (We-4Br+Ve1-4BD)=1-青-号=古，或考虑AC∩EF=P,则S4GP=9,点E,F到面ACP的距离之和h为号， 于是VarS=号S△4Sh=言：D:不难知E,耳，G分别为面DCCD,BCCB,ABCD的中心，从而高EE,=AG=V5. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.【答案】18 【解析】根据分步乘法计数原理，乘积式(4+4马+4)+b)(G+C2+c3)展开后的项数等于各括号内项数的乘积， 即3×2×3=18. 13.【答案】1 【解折】f0树=smK+5es-m2m+5os-5nk+马-1-cos25m2 2 2 2 4 4 -5a+百+o2x9}m+月m+月-分当爱-9时1 61 14.【答案】85 3 【解折】由题，连接OM,交CD与点K,由意，Ou1CD,设oK=x,则cD=25 x,KM=5-x,六棱锥的 3 高h=√MP-OK2=√25-10.x+X2-x=√25-10x，S正六边形BcDF= 5.4x.6=25x2, 43 则v-A292s1-3255010， 3 令f(x)=25x4-10x5,x∈(0，)，f'(x)=100r3-50r4,令f(x)>0,即x-2x2<0,x<2,则 f(田≤f(2)=80,则r≤2W5 x80-8/15 所以体积最大值为85。 cm3 3 3 3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)因为Fn=1+Fn2,所以Fm-1=Fm-m-2,则有耳=4-耳，，=E。-,,P2s=P6-4, 以上各式相加得耳+R+…F5=6-耳，又耳=乃， (3分) 所以T1013=F026: .6分 (2)根据递推关系及每一项的奇偶性可知，数列{F}各项除以2后所得余数构成新数列1,1,0,1,1,0 …………………………………………7分 即T=3,1,1,0为一个周期， 10分 所以S027=675×Q+1+0)+1+1=1352.… .13分 16.(15分) 解：(1)分别取AB,CD的中点E,F,连接PE,EF,PF, 因为PA=PB,所以PE⊥AB, 又因为AB∥CD,所以CD⊥PE. 又因为CD LEF,PE∩EF=E,所以CD⊥平面PEF.…2分 因为PFc平面PEF,所以CD⊥PF. …3分 在△PCD中，因为PF垂直平分CD,所以PC=PD. 又因为PA=PB,AD=BC,所以△PAD=△PBC, 从而可得∠PAD=∠PBC.. …5分 (2)由(1)可知，∠PEF是二面角P-AB-C的平面角， 设∠PEF=a,则a∈(0，). 在△PEF中，PF2=PE2+EF2-2PE.EF.coSa=12-8√2coSa. 过点E作PF的垂线，垂足为G, 则EG2=(PE-Bsin凸=、8sina …8分 3-2v2cosa 因为CD⊥平面PEF,CDC平面PCD,所以平面PCD⊥平面PEF. 又因为平面PCD∩平面PEF=PF,EG⊥PF，,EGC平面PEF, 所以EG⊥平面PCD. 因为AB∥平面PCD,所以点A到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，即为EG,设直线PA与平面 PCD所成角为6，所以sin0=BC-BG.…1分 PA 3 令t=3-2W2cos,t∈(3-2W2,3+2W2), 则EG2= 8sm2u-8-6--6-t+月≤4， 3-2v2 cosa t 所以当且仅当t=1,即a=亚时，BG有最大值2， 此时直线PA与平面PCD所成角为9的正弦值sim9G2G最大 所以当直线PA与平面P心D所成角的正弦值最大时，二面角P-A6-C的大小为牙15分 17.(15分) 解：（1)设点M的坐标为(x,),由题意可得之，=-。(x≠±3)，化简得，点M的轨迹方程为兰+二-1 x+3x-39 95 （x≠±3). (5分) (2)设P(飞，y),0(x2),E(x。,%),由OE=0P+u00可得， [=2x1+Lx2 ,.(7分) yo=Ay +uv 若由O②推③：当E在曲线C上，则有2+，)+2+》-1，化简得+心+2u5+兰)=1，又 9 05 2=1,所以的+2=0，即koko0三 9 5 .(15分) 若由O③推@：当B在酯线c上，测有2匹)，心=1，化简科+2+2号+)-1，再由 9 0k2三-。得+业=0，从而可得永+心=1. (15分) 95 若击②0抛①：由=多得受+警-0，结合+公- 9 5 +。_2+》+2+,）-2++2+2)=1,所以五在曲线C上.…(15分) 95 9 5 5 18.(17分) 解：(1)当p=1时，(1+x)P=1+px: 当p≥2，p∈N时，构造函数f(x)=(I+x)P-1-px,其中x>-1, f(x)=p1+x)-1-p,f(0)=0, 所以当x∈(-1，O)时，f'(x)<0,此时f(x)单调递减： 当x∈(0，+o)时，f'(x)>0,此时f(x)单调递增， 所以f(x)mim=0,故当x>-1且x≠0时，(1+x)P>1+px 综上，当x>-1且x≠0时，1+x)P≥1+px,p∈N；.......(6分) (2)由题意，从100张卡片中有放回地抽取10次，每次抽取相互独立，总可能结果为1000， 要使10个号码互不相同，相当于从100个号码中选取10个进行排列，共有4种方式. 因此概率为p= 4品_99×98x97×96×95x94×93×92×91 10010 (10分) 100 对分子中的因数配对并放缩： 99×91<(95+4)(95-4)<952 98×92<952 97×93<952 96×94<952 于是p<95x95 1009 (13分) 100 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。… 山a)可.对=合1H0,kp9cN,有0-1+古器 即 19919 ，两边取倒数得（ 20 <28 因此p<9 28 原不等式得证. (17分) 19.(17分) 解：(1)因为(B,C,D)=S>0,D是线段BC上一点，b=2 2 所以(B,C,D)=csin∠BMD_-csim∠BADc .2分 bsim∠CAD2sin∠CAD2 故Sin∠BAD=Sin∠CAD,所以AD为∠BAC的角平分线..3分 又A=子所以∠AMD-CMD- 6 ……4分 又AD=√3十1，所以CD=√2（余弦定理）.5分 所以in∠CDA=2 (正弦定理)，又AD为最大边，所以∠CDA=卫 .6分 (2)(1)因为n=0,(B,C4,D)=<0,所以M,于BC延长线上，设∠C44=0, 2 所以 60*符2m图+勿=m0,解容 .7分 又Sk-Sac+5a6:再ADA4m号-ADH4 C +|ACAM,所以一1+ 25 .8分 AMAD 2 2 所以8到AD+4,后8ADI+AMX,iHD 281AD2A+12 2 (2 SL4D.2w+17)-50 3AMADI .10分 VAMAD 当且仅当8AD2引AM时取得等号1分 AMAD (I)证明：当n￥0时，(B,C,M,D)=-1+5<0 2 所以M在线段2c的延长线上，同军可存2n0+孕-0+50n013分 解得tan9=,所以CPH4Csin6= 2 2 .14分 v1+n n1+n 当n=1时，S1=4,=√2<2+V2 图22行》5酚 所以以4+a…a+a0…+动 n-1 n 反+20-马<2+万，综上，Sn<2+反17分安徽省示范高中培优联盟2026年春季联赛（高二） 数学答题卡 贴 条形码区 考号 姓名 考生须知 10 101 101 1 考生答题前，在规定的地方准确填写考号和姓名 121 21 21 21 2 2选择题作答时，必须用2B铅笔填涂，如需要对答案进行修改，应使用绘图橡 【3 131 31 31 皮轻擦干净，注意不要擦破答题卷 [4 41 4 [4 41 4 4 非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答严格按照答题要求，在答题 [s 卷对应题号指定的答题区域内答题，切不可超出黑色边框，超出黑色边框的 161 1列 1 答案无效 [R) I .作离题可先用铅笔绘出，确认后，再用05毫米黑色墨水签字笔描清楚 1川 5保持卷面清洁，不要将答题卷折叠、弄破， 装 此栏考生禁填 缺考标记 缺考考生由监考员贴条形码·并用2B铅笔填涂左边的缺考标记。 单项选择题（每小题5分，共40分。）（用2B铅笔填涂） 5 1.[A][B]IC][D] 5.[A][B][C][D] ◆ 蜘 2.[A][B][C][D 6.[A][B][C][D] ◆ 3.[AJ[B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] ◆ 订 长 二、多项选择题（每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。)（用2B铅笔填涂】 都 9.[A]IB][C][D 10.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][D] 线 非选择题（用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写） 三、填空题（体题共3小题，每小题5分，共15分。） 12. 13. 器 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 四.15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 四.16.(15分) A....... 第16题图 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 四.17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 四.18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 四.19.(17分) 装 订 熘 閭 线 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效