8.1成对数据的统计相关性4题型分类(讲+练）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 8.1成对数据的统计相关性4题型分类 一、相关关系 1．两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 2．两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系． 二、正相关、负相关 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这个两个变量负相关． 三、线性相关 1．一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条线附近，我们就称这两个变量线性相关． 2．一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 四、相关系数r的计算 假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，变量x和变量y的样本相关系数r＝. 五、相关系数r的性质 1．当r>0时，称成对样本数据正相关； 当r<0时，成对样本数据负相关； 当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系． 2．样本相关系数r的取值范围为[－1，1]． 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 六、样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系 r＝x′·y′＝|x′||y′|cos θ＝cos θ(其中x′＝(x1′，x2′，…，xn′)，y′＝(y1′，y2′，…，yn′)，|x′|＝|y′|＝，θ为向量x′和向量y′的夹角)． （一） 相关关系的理解 函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 题型1：相关关系与函数关系的概念及辨析 1．（2026高二·浙江绍兴·期中）在下列两个量之间的关系中，属于相关关系的是（    ） A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成绩和身高 C．一块农田的小麦产量与施肥量 D．正n边形的边数与内角度数之和 【答案】C 【详解】A、D是函数关系；B是不相关关系，也不是函数关系； C是相关关系，一般来说，农田的施肥量越大，小麦产量一般会越多. 2．（2026高二·全国·单元测试）下列变量之间的关系不是相关关系的是（   ） A．已知二次函数，其中是常数，取为自变量，因变量为这个函数对应方程的判别式 B．光照时间和果树产量 C．降雪量和交通事故的发生率 D．土地施用肥料量和粮食产量 【答案】A 【分析】根据相关关系的定义可得. 【详解】选项B，C，D中的两个变量都具有相关性，且都是一种不确定的关系，是相关关系. 而A中判别式和变量是一种确定的表达式，是一种函数关系，即一种确定的关系，所以不是相关关系. 故选：A 3．（2026高二·全国·课后作业）下面变量之间是相关关系的是（   ） A．出租车费与行驶的里程 B．正方形面积与边长 C．人的身高与体重 D．铁的体积与质量 【答案】C 【分析】根据相关关系的概念逐项判断即可. 【详解】由相关关系可知C选项是相关关系，ABD选项都是函数关系. 故选：C. 4．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）在下列各变量之间的关系中，属于相关关系的是（    ） A．汽车的重量和百公里耗油量 B．正n边形的边数与内角度数之和 C．一块农田的小麦产量与施肥量 D．家庭的经济条件与学生的学习成绩 【答案】AC 【分析】根据相关关系与函数关系的概念，可得答案. 【详解】汽车的重量越大，百公里耗油量会越多．一般来说，农田的施肥量越大，小麦产量一般会越多． 可得A、C是相关关系．B是函数关系．D中家庭的经济条件与学生的学习成绩之间不是相关关系，也不是函数关系． 故选：AC. 5．（2026高二·全国·课堂例题）下列两个变量之间，是相关关系的有（    ） ①角度与它的余弦值；②人的体重与视力；③正n边形的边数和它的内角度数之和；④圆心角的大小与所对的圆弧长；⑤光照时间和果树亩产量；⑥收入水平与购买能力；⑦正方体的棱长与体积． A．①④⑥ B．②⑤⑥⑦ C．⑤⑥ D．③⑤⑦ 【答案】C 【分析】根据相关关系的概念判断即可. 【详解】①③④⑦是函数关系；②没有关系；⑤⑥是相关关系． 故选：C 6．（2026高二·全国·课堂例题）下列关系中，属于相关关系的是________．（填序号） ①扇形的半径与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③出租车费与行驶的里程； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． 【答案】②④ 【分析】利用相关关系的定义求解. 【详解】在①中，扇形的半径与面积之间的关系是函数关系； 在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系； ③为确定的函数关系； 在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系． 故答案为：②④. 7．【多选】（2026高二·全国·课后作业）下列两个变量之间的关系，是函数关系的有（    ） A．球的体积和它的半径 B．人的身高和体重 C．底面积为定值的长方体的体积和高 D．城镇居民的消费水平和平均工资 【答案】AC 【分析】根据函数的概念及相关关系的特征进行判断. 【详解】球的体积公式为，长方体的体积，都是确定的关系， 因此A、C中两个变量为函数关系，而B、D中的两个变量，不是函数关系而是相关关系. 故选：AC. （二） 散点图与相关性 1.判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响． 2．画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论． 3．在这里利用散点图直观感知事物的形态与变化，理解事物间的关联及变化规律，是数学核心素养直观想象的具体体现． 题型2：判断正负相关 8．（2026高二·全国·课后作业）观察下列散点图，有三种情况：①正相关，②负相关，③不相关．与散点图的位置相对应的序号依次是______．    【答案】①③② 【分析】由图象分析即可得到答案. 【详解】第一个图大体趋势从左向右上升，故是正相关， 第二个图不相关， 第三个图大体趋势从左向右下降，故是负相关． 故答案为：①③②． 9．（2026高二·重庆·期末）下图是两个分类变量x，y取值绘制成的散点图，则图中变量x，y具有负相关关系的是（    ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】根据散点图的特征得到答案. 【详解】A中的散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性； B中呈正相关关系，C中两个变量具有负相关关系； D中两个变量具有相关性，但不是正相关，也不是负相关. 故选：C． 10．（2026·天津河西·模拟预测）对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（   ） A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 【答案】B 【分析】根据散点图点的变化关系确定正负相关性即可. 【详解】由变量，的散点图，知随增大，也增大，变量与正相关， 由变量，的散点图，知随增大，减小，与负相关. 故选：B 11．（2026高三·湖南岳阳·开学考试）在以下4幅散点图中，对于图中的y和x之间的关系判断不正确的是（    ） A．图（2）（3）（4）中的y和x之间存在相关关系 B．图（2）（4）中的y和x之间呈现正相关关系 C．图（2）（3）中的y和x之间呈现线性相关关系且（2）的相关性一定比（3）强 D．图（4）中的y和x之间呈现非线性相关关系 【答案】C 【分析】根据散点图中点集的分布变化趋势判断正负相关性、是否为线性关系，但从点的分布密度无法判断（2）（3）的相关性强弱，即可得答案. 【详解】由题图，（1）中点没有明显的变化趋势， （2）中点有从左下向右上的线性变化趋势，y和x之间呈现正相关且为线性关系， （3）中点有从左上向右下的线性变化趋势，y和x之间呈现负相关且为线性关系， （4）中点有从左下向右上的非线性变化趋势，y和x之间呈现正相关且为非线性关系， 但（2）（3）相关性强弱不能从图中点的分布密度直接分析得出，故（2）的相关性不一定比（3）强， 综上，A、B、D对，C错. 故选：C 12．（2026高二·广西桂林·期末）根据如下两组数据，下列说法正确的是（    ） 5 6 7 8 9 10 Y 5 4.8 3.5 4 3 2 2 4 6 7 9 3 4 9 7 11 A．和呈正相关，和呈正相关 B．和呈负相关，和呈负相关 C．和呈正相关，和呈负相关 D．和呈负相关，和呈正相关 【答案】D 【分析】由正、负相关的概念得解. 【详解】由所给数据可知，当增大时减小，和呈负相关；当增大时和增大，和呈正相关. 故选：D （三） 线性相关的强弱 相关系数r 1．当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系． 2．样本相关系数r的取值范围为[－1，1]． 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 3．相关系数r＝. 4.当相关系数|r|越接近1时，两个变量的相关关系越强，当相关系数|r|越接近0时，两个变量的相关关系越弱． 题型3：线性相关的强弱 13．（2026高二·辽宁铁岭·期中）已知四个点，，，得到的线性相关系数为，去掉后得到的线性相关系数为，则（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】注意到，，均在直线上．故， 而不在该直线上，即四点不共线，故．于是． 14．（2026高二·河南南阳·期中）已知，，，四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为-0.95，-0.82，0.86，0.93，则线性相关程度最弱的是（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】由线性相关系数的性质判断即可得. 【详解】因为，所以线性相关程度最弱的是组. 15．（2026·天津河西·模拟预测）某研究小组为了探究变量x与y之间的线性相关关系，收集了5组数据，（），并绘制成如图所示的散点图（点A，B，C，D，E）.经计算，这5组数据的样本相关系数为r.若去掉点后，剩余4组数据的样本相关系数为，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，所以去掉点后，回归效果更好，结合相关系数的性质判断． 【详解】从散点图中可知，样本数据的两变量是正相关， 由于点较其他点偏离程度大，删除点后，回归效果更好， 从而相关系数的绝对值更接近于1，所以 16．（2026高三·上海·阶段检测）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】图①，数据点呈正线性相关，且相关性很强，所以接近1； 图②，数据点呈负线性相关，且相关性很强，所以接近； 图③，数据点呈正线性相关，且相关性比图①弱，所以； 图④，数据点呈负线性相关，且相关性比图②弱，所以； 所以. 17．（2026·四川·模拟预测）对于变量有观测数据，得散点图1；对于变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据散点图及相关系数的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由图1和图2可得，随的增大而增大，随的增大而减小， 所以，所以，故B正确； 因为图1的数据点比图2的更集中，所以， 所以，，故A错误，C正确； ，故D正确. 18．（2026高三·青海西宁·月考）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的样本相关系数分别为，，，，则这四人中，研究的两个随机变量的线性相关程度最高的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】因为， 所以这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 19．（2026高二·陕西渭南·期末）已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，则线性相关程度最强的是（    ） A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 【答案】D 【分析】根据相关系数的性质即可得到答案. 【详解】相关系数的绝对值越大，则其相关程度越强， 又因为，所以线性相关程度最强的是丁组. 故选：D. 20．（2026高三·上海·阶段检测）下图是某城市在2025年元月至十月的最低气温（单位：℃）和最高气温（单位：℃）的散点图．定义各月的温差为该月的最高气温减去最低气温．若最低气温和最高气温的线性相关系数为，最低气温和温差的线性相关系数为，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据线性相关系数的性质与线性相关程度判断即可. 【详解】由散点图可得，随着最低气温的升高，最高气温也升高，所以最低气温和最高气温成正相关，故. 因温差最高气温最低气温，由图知，随着最低气温不断升高，最高气温升高幅度相对较小， 故温差逐渐减小，即最低气温和温差成负相关，故. 由散点图可以看出，最低气温与最高气温的线性相关程度较强，最低气温与温差的线性相关程度较弱， 根据线性相关系数的性质，值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强；值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越弱.由上分析，可得. 题型4：相关系数的计算 21．（2026·湖南岳阳·模拟预测）某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据： 天数(序号)x 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 (1)计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)； (2)从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望. 注: （1）样本的相关系数 （2）参考数据： 【答案】(1)；变量x与y之间具有很强的线性相关关系 (2)分布列见解析；期望：1.8 【分析】（1）使用相关系数计算公式求相关系数，根据求解结果判断线性相关关系的强弱； （2）结合超几何分布的概率公式求分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1），， ， ， ， 样本相关系数： ， 因为非常接近1，所以变量x与y之间具有很强的线性相关关系. （2）5天中取件人数小于100的天数有3天， 从这5天中随机选取3天，的可能取值为1，2，3. ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 的数学期望 22．（2026高三·重庆·阶段检测）具有相关关系的变量x与y的一组样本数据如下，若已求得线性回归方程为，则去掉其中某对样本数据，样本相关系数r不会发生改变的是（   ） （参考公式：相关系数 x 1 2 3 4 5 y 6 10 11 12 16 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得样本中心点，再结合相关系数公式判断即可. 【详解】由题知，， 所以数据的样本中心点为 所以去掉其中样本数据，样本相关系数r不会发生改变. 23．（2026高三·全国·一轮复习）为考察两个变量x，y的相关性，搜集数据如表，则两个变量的线性相关程度（　　） x 5 10 15 20 25 y 103 105 110 111 114 （参考数据：，，，≈15.8，≈9.01） A．很强 B．很弱 C．无相关 D．不确定 【答案】A 【分析】先计算线性相关系数 ，再通过 ()的绝对值判断相关强度（ 越接近1，线性相关程度越强）. 【详解】解析：由题可知样本量 ，所以： ＝15， ＝108.6， 又因为：，，，，≈15.8， 所以： ＝， 因为相关系数很接近于1，故两个变量的线性相关程度很强. 答案：A. 24．（2026高三·全国·月考）研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量．若的样本相关系数为，的样本相关系数为，则的样本相关系数的最大值为（    ） 附：样本相关系数 A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】设，，，，，，与的夹角为，与的夹角为，再由相关系数可知，则与夹角的余弦值的最大值为，利用余弦差角公式求值即可. 【详解】设，，， ，，， 由样本相关系数公式可知，， 设与的夹角为，与的夹角为，则有， 易知均为锐角且， 与夹角的余弦值的最大值为，此时与样本相关系数最大， ， 故的样本相关系数的最大值为. 故选：B． 25．（2026高二·全国·单元测试）最近7年，我国生活垃圾无害处理量如下表： 年份序号 1 2 3 4 5 6 7 处理量 通过计算得，，，，则样本相关系数（    ） A．0.99 B．0.95 C．0.9 D．0.85 【答案】A 【分析】根据相关系数公式计算即可求解. 【详解】，， ， ． 故选：A. 26．（2026·江西·模拟预测）随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得， . (1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列． 附：相关系数． 【答案】(1)，具有很强的正相关性 (2) 0 1 2 【分析】（1）由条件结合相关系数公式求出相关系数，根据相关系数性质判断结论； （2）由条件确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【详解】（1）样本的相关系数为： 由于相关系数，故销售金额（单位：万元）和月份编号具有很强的正相关性； （2）由题意得：的可能取值为0，1，2， 18个月中有10个月的销售金额高于平均数， 所以， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 27．（2026高三·全国·专题练习）我国新能源汽车迅速崛起，成为推动绿色革命的核心引擎．某品牌新能源汽车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，．现有①和②两种模型作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中均为常数．请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ 参考数据：，. 相关系数. 【答案】模型②的拟合程度更好 【分析】比较相关系数的大小即可得到结论. 【详解】设模型①和②的相关系数分别为， 由题意可得：， ， 所以，由相关系数的意义可得，模型②的拟合程度更好. 28．（2026高三·贵州贵阳·月考）近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，． 【答案】(1)，很强的线性正相关关系 (2) X 80 150 210 P 【详解】（1）由题意，，， 则， 由， 同理， 则， 则， 由接近1且为正，故变量x与y之间有很强的线性正相关关系. （2）由题意，X的可能取值为80、150、210， 则，， ， 故X的分布列为： X 80 150 210 P 则. 1．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） A．相关关系是一种非确定性关系 B．圆的周长与该圆的半径具有相关关系 C．某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系 D．根据散点图可判断两变量是否具有线性相关关系 【答案】ACD 【分析】由非确定性关系、相关关系的概念逐个判断即可； 【详解】相关关系是一种非确定性关系，A正确； 圆的周长与该圆的半径是确定关系，B错误； 某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系，C正确； 根据散点图可判断两变量是否具有线性相关关系，D正确； 故选：ACD 2．（2026·宁夏）对变量x, y 有观测数据（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断． A．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 B．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 C．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 D．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 【答案】C 【详解】变量x 与中y随x增大而减小，为负相关；u 与v中，u 随v的增大而增大，为正相关． 3．（2026高二·湖北·期末）在下列所示的四个图中，两个变量间具有较强线性相关关系的是（    ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】由散点图可得答案. 【详解】对于A，散点落在某条曲线上，两个变量具有函数关系； 对于B，散点落在某条直线附近，这两个变量具有线性相关关系； 对于C，散点落在某条曲线附近，这两个变量具有非线性相关关系； 对于D，散点杂乱无章，无规律可言，这两个变量无相关性，不具有相关关系． 故选：B． 4．（2026高一·河南南阳·月考）对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是__________．（填序号） ①都可以分析出两个变量的关系； ②都可以用一条直线近似地表示两者的关系； ③都可以作出散点图； ④都可以用确定的表达式表示两者的关系． 【答案】③ 【分析】辨析两个变量的相关关系、函数关系与线性相关的概念，结合散点图的特点，对四个说法进行判断即可. 【详解】给出一组样本数据，总可以作出相应的散点图，故③正确， 但不一定能分析出两个变量的关系，故①不正确， 更不一定符合线性相关，不一定用一条直线近似的表示，故②不正确， 两个变量的统计数据不一定有函数关系，不一定可以用确定的表达式表示两者的关系，故④不正确． 故答案为：③． 5．（河南省洛阳市第一高级中学2025-2026学年高二学期3月月考数学（文）试题）下列说法正确的是（    ） A．任何两个变量都具有相关关系 B．球的体积与该球的半径具有相关关系 C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系 D．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系 【答案】D 【分析】根据相关关系是一种不确定关系，函数关系是一种确定关系，可判断A；根据球的体积与半径之间的关系，可判断该关系为函数关系，可判断B；根据农作物的产量与施化肥量之间的关系可得该关系为一种相关关系，可判断C；根据学生的数学成绩与物理成绩之间是一种相关关系可判断D. 【详解】解：当两个变量之间具有确定的关系时，两个变量之间是函数关系，而不是相关关系，故A错误； 球的体积与该球的半径之间是函数关系，故B错误； 农作物的产量与施化肥量之间的关系是相关关系，是非确定性关系，故C错误； 学生的数学成绩与物理成绩之间的关系是相关关系，是非确定性关系，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查的知识点是变量间的相关关系，熟练掌握相关关系与函数关系之间的区别是解答的关键. 6．（2026高二·全国·课堂例题）下列关系中，是相关关系的有______． ①正方形的边长与面积之间的关系； ②广告费支出与销售额之间的关系； ③人的身高与体重之间的关系. 【答案】②③ 【分析】由相关关系的概念即可判断； 【详解】①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系； ②广告费支出与销售额之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系； ③人的身高并不能确定体重，但一般来说“身高者，体也重”，我们说身高与体重这两个变量具有相关关系． 故答案为：②③． 7．（2026高二·江苏·课后作业）某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 (1)请作出这些数据的散点图； (2)你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？ 【答案】(1)答案见解析 (2)木材的体积与树龄线性近似成线性相关关系且呈正相关． 【分析】（1）根据数据画出散点图即可; （2）根据散点图判断近似成线性相关关系且呈正相关. 【详解】（1）以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的体积，可得相应的散点图如图所示：    （2）由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势，且散点落在一条直线附近，所以木材的体积与树龄线性近似成线性相关关系且呈正相关． 8．（2026高二·全国·课堂例题）某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 若近似成线性相关关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系. 【答案】作图见解析 【分析】由数据得到散点图，即可解题； 【详解】做出散点图，近似拟合直线如图所示： 9．（2026高二·全国·课堂例题）某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 若该种木材每单位体积的价值是元，作出木材的价值与树龄之间关系的散点图. 【答案】图象见解析 【分析】根据题设得到木材的价值与树龄之间的关系，利用这个关系作出图象即可求解. 【详解】木材的价值与树龄之间的关系如表所示： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 价值 2400 2720 3200 4800 4400 4960 5600 以轴表示树木的树龄，轴表示树木的价值，可得相应的散点图如图所示： 10．（2026高二·全国·课堂例题）5名学生的数学和物理成绩（单位：分）如下： 学生成绩 A B C D E 数学成绩 80 75 70 65 60 物理成绩 70 66 68 64 62 判断它们是否具有线性相关关系. 【答案】具有 【分析】画出散点图，即可判断； 【详解】以轴表示数学成绩，轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示． 由散点图可知，各点分布在一条直线附近， 故两者之间具有线性相关关系． 11．（2026高一·全国·专题练习）下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据（单位：千克/亩）： 施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 （1）将上述数据制成散点图； （2）你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？ 【答案】（1）见解析（2）见解析 【详解】试题分析：（1）根据描点法画散点图，（2）从图中发现数据点大致分布在一条直线附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量不会一直随化肥量的增加而增长． 试题解析：（1）散点图如下图所示： ， （2）从图中发现数据点大致分布在一条直线附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系， 施化肥量由小到大时，水稻产量由小到大，但水稻产量不会一直随化肥量的增加而增长． 12．【多选】（2026高二·全国·课后作业）某校地理学兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的各组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是（    ）． A．沸点与海拔高度呈正相关 B．沸点与气压呈正相关 C．沸点与海拔高度呈负相关 D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强 【答案】BCD 【分析】利用散点图的规律分析气压与高度、沸点与气压、沸点与海拔高度的相关性即可判定. 【详解】由图1知气压随海拔高度的增加而减小， 由图2知沸点随气压的升高而升高， 所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关． 由于两个散点图中的点都呈线性分布， 所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强， 故B，C，D正确，A错误． 故选:BCD. 13．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）下列变量之间的关系是相关关系的是（   ） A．二次函数中，，是已知常数，取为自变量，因变量是判别式 B．光照时间和果树亩产量 C．降雪量和交通事故发生率 D．每亩田施肥量和粮食亩产量 【答案】BCD 【分析】由相关关系的概念逐个判断即可； 【详解】在A中，由于取为自变量，因变量是判别式，判别式与是函数关系，两者不是相关关系； 一般来说，光照时间越长，果树亩产量越高； 降雪量越大，交通事故发生率越高； 施肥量越多，粮食亩产量越高，所以B，C，D是相关关系． 故选：BCD． 14．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）以下两个变量呈负相关的是（   ） A．学生的学籍号与学生的数学成绩 B．坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数 C．气温与冷饮销售量 D．变量和变量对应的成对数据关于均值平移后的散点大多数分布在第二象限、第四象限，则变量和变量是负相关 【答案】BD 【分析】A选项，无相关关系；B选项，具有负相关关系；C选项，具有正相关关系；D选项，由题意得到与具有负相关关系，不妨设，，得到，，所以变量和变量具有负相关关系，D正确. 【详解】A选项中学生的学籍号与学生的数学成绩，两个变量无相关关系； B选项中坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数，两个变量具有负相关关系； C选项中气温与冷饮销售量，两个变量具有正相关关系； D选项中成对数据，以为零点平移， 即均值平移后的散点坐标为， 由于大多数分布在第二象限，第四象限， 故与具有负相关关系，不妨设，， 则，， 则变量和变量具有负相关关系，D正确． 综上可知，两个变量呈负相关的是B，D． 故选：BD 15．（2026·北京）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班的3位学生．    从这次考试成绩看， ①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是___； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是___. 【答案】 乙 数学 【详解】①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙. ②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学. 16．（2026高二·全国·专题练习）某男孩的年龄与身高的统计数据如下. 年龄／岁 1 2 3 4 5 6 身高／cm 78 87 98 108 115 120 画出散点图，并判断它们是否有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？ 【答案】答案见解析 【分析】根据题目提供的数据，绘制了男孩年龄与身高的散点图；并根据散点图分析. 【详解】散点图是分析变量相关关系的重要工具．作出散点图如图： 由图可见，具有线性相关关系，且是正相关． 17．（2026高二·甘肃临夏·期中）下面对相关系数描述正确的是（   ） A．表明两个变量负相关 B．表明两个变量正相关 C．只能大于零 D．越接近于0，两个变量相关关系越弱 【答案】D 【分析】根据相关系数的定义与概念对各项进行判断即可. 【详解】因表示两个变量正相关，故A错误； 又因，故B，C错误， 两个变量之间的相关系数，的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关，故D正确， 故选：D． 18．【多选】（2026高二·江苏·课后作业）下面的各图中，散点图与相关系数r符合的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】ACD 【分析】根据相关系数的定义，结合选项中的散点图，逐项判定，即可求解. 【详解】因为相关系数r的绝对值越接近1，线性相关程度越强，且时正相关，时负相关， A中，变量的散点图是一条斜率小于0的直线上，所以相关系数，所以A正确； B中，变量的散点图是一条斜率大于0的直线上，所以相关系数，所以B不正确； C中，变量的散点图从左到右是向下的带状分布，所以相关系数，所以C正确； D中，变量的散点图中，之间的样本相关关系非常不明显，所以相关系数接近于0，所以D正确. 故选：ACD. 19．（2026·河南洛阳·模拟预测）甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行线性相关试验，并分别计算出相关系数，则线性相关程度最高的是（    ） 甲 乙 丙 丁 0.87 0.91 0.58 0.83 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据相关系数的定义判断即可. 【详解】因为相关系数越大，线性相关程度越强， 所以线性相关程度最高的是乙. 故选：B 20．（2026高二·河北沧州·阶段检测）变量与相对应的一组数据为；变量与相对应的一组数据为表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正相关，负相关判断的正负，即可比较大小. 【详解】由变量与相对应的一组数据为，， 可得变量与正相关，所以. 而由变量与相对应的一组数据为，， 可知变量与负相关，所以，所以与的大小关系是. 故选：C. 21．（2026高二·全国·课后作业）现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩X与入学后第一次考试的数学成绩Y如下表: 学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 Y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 请问:这10名学生的两次数学成绩是否具有线性相关关系? 【答案】这名学生的两次数学成绩线性相关. 【分析】利用样本相关系数的计算公式求解即可. 【详解】因为， ， ， ， ， 所以样本相关系数为 . 由此可看出这名学生的两次数学成绩线性相关. 22．（2026高二·全国·课后作业）假设关于某种设备的使用年限(年)与所支出的维修费用(万元)有如下统计资料： 2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 已知，，，，. (1)求，； (2)对，进行线性相关性检验. 【答案】(1)， (2)具有很强的正线性相关关系 【分析】（1）根据表格数据直接求解即可； （2）根据题意，结合参考数据和相关系数的计算公式，求出，即可判断与之间是否具有线性相关关系. 【详解】（1）依题意可得， . （2）又， ， ， 所以. 所以有把握认为与之间具有很强的正线性相关关系. 23．（2026高二·全国·课堂例题）为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了，，三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成绩，其统计表如下： A类 第次 1 2 3 4 5 分数（满分150） 145 83 95 72 110 ，； B类 第次 1 2 3 4 5 分数（满分150） 85 93 90 76 101 ， C类 第次 1 2 3 4 5 分数（满分150） 85 92 101 100 112 ，； 经计算已知A，B的相关系数分别为．请计算出C类学生的的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定（结果保留两位有效数字，越大认为成绩越稳定）. 附：相关系数． 【答案】0.98，从C类学生中抽到的学生的成绩最稳定. 【分析】根据相关数据代入相关系数公式求出，然后比较其绝对值大小即可. 【详解】由表可得， 则， 所以， 因为，所以从C类学生中抽到的学生的成绩最稳定． 24．（2026高二·全国·课堂例题）某食品加工厂新研制出一种袋装食品（规格：500g/袋），下面是近六个月每袋的出厂价格（单位：元）与销售量（单位：万袋）的对应关系表： 月份序号 1 2 3 4 5 6 每袋的出厂价格（元） 10.5 10.9 11 11.5 12 12.5 月销售量（万袋） 2.2 2 1.9 1.8 1.5 1.4 (1)计算该食品加工厂这六个月内这种袋装食品平均每袋的出厂价格、平均月销售量和平均月销售收入； (2)求每袋的出厂价格与月销售量的样本相关系数（精确到0.01）； (3)若，则认为相关性很强，试判断该食品加工厂研制的袋装食品每袋的出厂价格与月销售量是否有较强的相关性. 附：样本相关系数． 【答案】(1)11.4（元），（万元）． (2)-0.98 (3)该食品加工厂研制的袋装食品每袋的出厂价格与月销售量有较强的相关性． 【分析】（1）由表格中的数据求相应的平均值； （2）利用样本相关系数公式计算； （3）由样本相关系数的值判断相关性的强弱. 【详解】（1）由题表得，该食品加工厂这六个月内这种袋装食品平均每袋的出厂价格为（元）． 平均月销售量为（万袋）， 平均月销售收入为（万元）． （2）由题表及（1）得， 所以样本相关系数 ． （3）因为，所以该食品加工厂研制的袋装食品每袋的出厂价格与月销售量有较强的相关性． 25．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）关于回归分析，下列说法正确的是（   ） A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定 B．线性相关系数可以是正的也可以是负的 C．在回归分析中，如果或，说明与之间完全线性相关 D．样本相关系数 【答案】ABC 【分析】根据回归分析的性质进行解答即可. 【详解】在回归分析中，变量间的关系非函数关系， 因变量不能由自变量唯一确定， 故A正确； ，正相关；，负相关，故B正确； 时，完全相关，故C正确； 样本的相关系数应满足，故D错误． 故选：ABC． 26．（第9章第3讲统计模型-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019））对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据散点图判断相关变量的正负相关性及相关性强弱判断相关系数的大小即可. 【详解】由图知：（1）（3）变量呈正相关，且（1）的相关性比（3）要强，则， （2）（4）变量呈负相关，且（2）的相关性比（4）要强，则， 所以. 故选：A 27．（2026高二·全国·课后作业）调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是（    ） A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 【答案】C 【分析】根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D选项. 【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误 散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，C选项正确； 由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是，D选项错误 故选：C 28．（2026高二·全国·课堂例题）为了对2020年某校月考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽取8位，他们的数学、物理成绩对应如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩 68 72 78 81 85 88 91 93 物理成绩 70 66 81 83 79 80 92 89 用变量与的样本相关系数（精确到0.01）说明物理成绩与数学成绩的线性相关程度的强弱，并说明它们的变化趋势特征. 参考数据：，. 【答案】答案见解析 【分析】分别计算出、，然后求出相关系数说明物理与数学的相关程度. 【详解】因为：， ， 所以． 所以，由样本估计总体，可知物理成绩与数学成绩的线性相关程度较强，且呈正相关，它们的变化趋势相同． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 8.1成对数据的统计相关性4题型分类 一、相关关系 1．两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 2．两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系． 二、正相关、负相关 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这个两个变量负相关． 三、线性相关 1．一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条线附近，我们就称这两个变量线性相关． 2．一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 四、相关系数r的计算 假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，变量x和变量y的样本相关系数r＝. 五、相关系数r的性质 1．当r>0时，称成对样本数据正相关； 当r<0时，成对样本数据负相关； 当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系． 2．样本相关系数r的取值范围为[－1，1]． 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 六、样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系 r＝x′·y′＝|x′||y′|cos θ＝cos θ(其中x′＝(x1′，x2′，…，xn′)，y′＝(y1′，y2′，…，yn′)，|x′|＝|y′|＝，θ为向量x′和向量y′的夹角)． （一） 相关关系的理解 函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 题型1：相关关系与函数关系的概念及辨析 1．（2026高二·浙江绍兴·期中）在下列两个量之间的关系中，属于相关关系的是（    ） A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成绩和身高 C．一块农田的小麦产量与施肥量 D．正n边形的边数与内角度数之和 2．（2026高二·全国·单元测试）下列变量之间的关系不是相关关系的是（   ） A．已知二次函数，其中是常数，取为自变量，因变量为这个函数对应方程的判别式 B．光照时间和果树产量 C．降雪量和交通事故的发生率 D．土地施用肥料量和粮食产量 3．（2026高二·全国·课后作业）下面变量之间是相关关系的是（   ） A．出租车费与行驶的里程 B．正方形面积与边长 C．人的身高与体重 D．铁的体积与质量 4．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）在下列各变量之间的关系中，属于相关关系的是（    ） A．汽车的重量和百公里耗油量 B．正n边形的边数与内角度数之和 C．一块农田的小麦产量与施肥量 D．家庭的经济条件与学生的学习成绩 5．（2026高二·全国·课堂例题）下列两个变量之间，是相关关系的有（    ） ①角度与它的余弦值；②人的体重与视力；③正n边形的边数和它的内角度数之和；④圆心角的大小与所对的圆弧长；⑤光照时间和果树亩产量；⑥收入水平与购买能力；⑦正方体的棱长与体积． A．①④⑥ B．②⑤⑥⑦ C．⑤⑥ D．③⑤⑦ 6．（2026高二·全国·课堂例题）下列关系中，属于相关关系的是________．（填序号） ①扇形的半径与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③出租车费与行驶的里程； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． 7．【多选】（2026高二·全国·课后作业）下列两个变量之间的关系，是函数关系的有（    ） A．球的体积和它的半径 B．人的身高和体重 C．底面积为定值的长方体的体积和高 D．城镇居民的消费水平和平均工资 （二） 散点图与相关性 1.判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响． 2．画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论． 3．在这里利用散点图直观感知事物的形态与变化，理解事物间的关联及变化规律，是数学核心素养直观想象的具体体现． 题型2：判断正负相关 8．（2026高二·全国·课后作业）观察下列散点图，有三种情况：①正相关，②负相关，③不相关．与散点图的位置相对应的序号依次是______．    9．（2026高二·重庆·期末）下图是两个分类变量x，y取值绘制成的散点图，则图中变量x，y具有负相关关系的是（    ） A．B． C．D． 10．（2026·天津河西·模拟预测）对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（   ） A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 11．（2026高三·湖南岳阳·开学考试）在以下4幅散点图中，对于图中的y和x之间的关系判断不正确的是（    ） A．图（2）（3）（4）中的y和x之间存在相关关系 B．图（2）（4）中的y和x之间呈现正相关关系 C．图（2）（3）中的y和x之间呈现线性相关关系且（2）的相关性一定比（3）强 D．图（4）中的y和x之间呈现非线性相关关系 12．（2026高二·广西桂林·期末）根据如下两组数据，下列说法正确的是（    ） 5 6 7 8 9 10 Y 5 4.8 3.5 4 3 2 2 4 6 7 9 3 4 9 7 11 A．和呈正相关，和呈正相关 B．和呈负相关，和呈负相关 C．和呈正相关，和呈负相关 D．和呈负相关，和呈正相关 （三） 线性相关的强弱 相关系数r 1．当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系． 2．样本相关系数r的取值范围为[－1，1]． 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 3．相关系数r＝. 4.当相关系数|r|越接近1时，两个变量的相关关系越强，当相关系数|r|越接近0时，两个变量的相关关系越弱． 题型3：线性相关的强弱 13．（2026高二·辽宁铁岭·期中）已知四个点，，，得到的线性相关系数为，去掉后得到的线性相关系数为，则（   ） A． B． C． D．无法确定 14．（2026高二·河南南阳·期中）已知，，，四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为-0.95，-0.82，0.86，0.93，则线性相关程度最弱的是（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 15．（2026·天津河西·模拟预测）某研究小组为了探究变量x与y之间的线性相关关系，收集了5组数据，（），并绘制成如图所示的散点图（点A，B，C，D，E）.经计算，这5组数据的样本相关系数为r.若去掉点后，剩余4组数据的样本相关系数为，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 16．（2026高三·上海·阶段检测）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（   ） A． B． C． D． 17．（2026·四川·模拟预测）对于变量有观测数据，得散点图1；对于变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（2026高三·青海西宁·月考）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的样本相关系数分别为，，，，则这四人中，研究的两个随机变量的线性相关程度最高的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 19．（2026高二·陕西渭南·期末）已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，则线性相关程度最强的是（    ） A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 20．（2026高三·上海·阶段检测）下图是某城市在2025年元月至十月的最低气温（单位：℃）和最高气温（单位：℃）的散点图．定义各月的温差为该月的最高气温减去最低气温．若最低气温和最高气温的线性相关系数为，最低气温和温差的线性相关系数为，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 题型4：相关系数的计算 21．（2026·湖南岳阳·模拟预测）某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据： 天数(序号)x 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 (1)计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)； (2)从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望. 注: （1）样本的相关系数 （2）参考数据： 22．（2026高三·重庆·阶段检测）具有相关关系的变量x与y的一组样本数据如下，若已求得线性回归方程为，则去掉其中某对样本数据，样本相关系数r不会发生改变的是（   ） （参考公式：相关系数 x 1 2 3 4 5 y 6 10 11 12 16 A． B． C． D． 23．（2026高三·全国·一轮复习）为考察两个变量x，y的相关性，搜集数据如表，则两个变量的线性相关程度（　　） x 5 10 15 20 25 y 103 105 110 111 114 （参考数据：，，，≈15.8，≈9.01） A．很强 B．很弱 C．无相关 D．不确定 24．（2026高三·全国·月考）研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量．若的样本相关系数为，的样本相关系数为，则的样本相关系数的最大值为（    ） 附：样本相关系数 A． B． C． D．1 25．（2026高二·全国·单元测试）最近7年，我国生活垃圾无害处理量如下表： 年份序号 1 2 3 4 5 6 7 处理量 通过计算得，，，，则样本相关系数（    ） A．0.99 B．0.95 C．0.9 D．0.85 26．（2026·江西·模拟预测）随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得， . (1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列． 附：相关系数． 27．（2026高三·全国·专题练习）我国新能源汽车迅速崛起，成为推动绿色革命的核心引擎．某品牌新能源汽车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，．现有①和②两种模型作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中均为常数．请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ 参考数据：，. 相关系数. 28．（2026高三·贵州贵阳·月考）近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，． 1．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） A．相关关系是一种非确定性关系 B．圆的周长与该圆的半径具有相关关系 C．某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系 D．根据散点图可判断两变量是否具有线性相关关系 2．（2026·宁夏）对变量x, y 有观测数据（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断． A．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 B．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 C．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 D．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 3．（2026高二·湖北·期末）在下列所示的四个图中，两个变量间具有较强线性相关关系的是（    ） A．B． C．D． 4．（2026高一·河南南阳·月考）对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是__________．（填序号） ①都可以分析出两个变量的关系； ②都可以用一条直线近似地表示两者的关系； ③都可以作出散点图； ④都可以用确定的表达式表示两者的关系． 5．（河南省洛阳市第一高级中学2025-2026学年高二学期3月月考数学（文）试题）下列说法正确的是（    ） A．任何两个变量都具有相关关系 B．球的体积与该球的半径具有相关关系 C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系 D．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系 6．（2026高二·全国·课堂例题）下列关系中，是相关关系的有______． ①正方形的边长与面积之间的关系； ②广告费支出与销售额之间的关系； ③人的身高与体重之间的关系. 7．（2026高二·江苏·课后作业）某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 (1)请作出这些数据的散点图； (2)你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？    8．（2026高二·全国·课堂例题）某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 若近似成线性相关关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系. 9．（2026高二·全国·课堂例题）某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 若该种木材每单位体积的价值是元，作出木材的价值与树龄之间关系的散点图. 10．（2026高二·全国·课堂例题）5名学生的数学和物理成绩（单位：分）如下： 学生成绩 A B C D E 数学成绩 80 75 70 65 60 物理成绩 70 66 68 64 62 判断它们是否具有线性相关关系. 11．（2026高一·全国·专题练习）下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据（单位：千克/亩）： 施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 （1）将上述数据制成散点图； （2）你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？ 12．【多选】（2026高二·全国·课后作业）某校地理学兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的各组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是（    ）． A．沸点与海拔高度呈正相关 B．沸点与气压呈正相关 C．沸点与海拔高度呈负相关 D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强 13．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）下列变量之间的关系是相关关系的是（   ） A．二次函数中，，是已知常数，取为自变量，因变量是判别式 B．光照时间和果树亩产量 C．降雪量和交通事故发生率 D．每亩田施肥量和粮食亩产量 14．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）以下两个变量呈负相关的是（   ） A．学生的学籍号与学生的数学成绩 B．坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数 C．气温与冷饮销售量 D．变量和变量对应的成对数据关于均值平移后的散点大多数分布在第二象限、第四象限，则变量和变量是负相关 15．（2026·北京）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班的3位学生．    从这次考试成绩看， ①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是___； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是___. 16．（2026高二·全国·专题练习）某男孩的年龄与身高的统计数据如下. 年龄／岁 1 2 3 4 5 6 身高／cm 78 87 98 108 115 120 画出散点图，并判断它们是否有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？ 17．（2026高二·甘肃临夏·期中）下面对相关系数描述正确的是（   ） A．表明两个变量负相关 B．表明两个变量正相关 C．只能大于零 D．越接近于0，两个变量相关关系越弱 18．【多选】（2026高二·江苏·课后作业）下面的各图中，散点图与相关系数r符合的是（　　） A．   B．   C．   D．   19．（2026·河南洛阳·模拟预测）甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行线性相关试验，并分别计算出相关系数，则线性相关程度最高的是（    ） 甲 乙 丙 丁 0.87 0.91 0.58 0.83 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 20．（2026高二·河北沧州·阶段检测）变量与相对应的一组数据为；变量与相对应的一组数据为表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，则（    ） A． B． C． D． 21．（2026高二·全国·课后作业）现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩X与入学后第一次考试的数学成绩Y如下表: 学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 Y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 请问:这10名学生的两次数学成绩是否具有线性相关关系? 22．（2026高二·全国·课后作业）假设关于某种设备的使用年限(年)与所支出的维修费用(万元)有如下统计资料： 2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 已知，，，，. (1)求，； (2)对，进行线性相关性检验. 23．（2026高二·全国·课堂例题）为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了，，三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成绩，其统计表如下： A类 第次 1 2 3 4 5 分数（满分150） 145 83 95 72 110 ，； B类 第次 1 2 3 4 5 分数（满分150） 85 93 90 76 101 ， C类 第次 1 2 3 4 5 分数（满分150） 85 92 101 100 112 ，； 经计算已知A，B的相关系数分别为．请计算出C类学生的的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定（结果保留两位有效数字，越大认为成绩越稳定）. 附：相关系数． 24．（2026高二·全国·课堂例题）某食品加工厂新研制出一种袋装食品（规格：500g/袋），下面是近六个月每袋的出厂价格（单位：元）与销售量（单位：万袋）的对应关系表： 月份序号 1 2 3 4 5 6 每袋的出厂价格（元） 10.5 10.9 11 11.5 12 12.5 月销售量（万袋） 2.2 2 1.9 1.8 1.5 1.4 (1)计算该食品加工厂这六个月内这种袋装食品平均每袋的出厂价格、平均月销售量和平均月销售收入； (2)求每袋的出厂价格与月销售量的样本相关系数（精确到0.01）； (3)若，则认为相关性很强，试判断该食品加工厂研制的袋装食品每袋的出厂价格与月销售量是否有较强的相关性. 附：样本相关系数． 25．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）关于回归分析，下列说法正确的是（   ） A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定 B．线性相关系数可以是正的也可以是负的 C．在回归分析中，如果或，说明与之间完全线性相关 D．样本相关系数 26．（第9章第3讲统计模型-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019））对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 27．（2026高二·全国·课后作业）调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是（    ） A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 28．（2026高二·全国·课堂例题）为了对2020年某校月考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽取8位，他们的数学、物理成绩对应如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩 68 72 78 81 85 88 91 93 物理成绩 70 66 81 83 79 80 92 89 用变量与的样本相关系数（精确到0.01）说明物理成绩与数学成绩的线性相关程度的强弱，并说明它们的变化趋势特征. 参考数据：，. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $