7.5正态分布7题型分类(讲+练）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.5正态分布7题型分类 一、连续型随机变量 除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量. 二、正态曲线 函数，其中,为参数.显然对于任意，，它的图象在轴的上方，可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. 三、正态曲线的特点 1．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； 2．曲线在x＝μ处达到峰值； 3．当无限增大时，曲线无限接近x轴． 四、正态分布 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 五、正态分布的期望与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 六、3σ原则 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. （一） 正态曲线图象的应用 正态曲线的特点 1．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． 2．曲线在x＝μ处达到峰值． 3．当无限增大时，曲线无限接近x轴． 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式． 题型1：正态曲线与正态密度函数 1．【多选】（2026高二·全国·课后作业）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩（单位：分）服从正态分布，其概率密度函数为，则下列说法正确的是（   ） A．这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．这次考试的数学成绩的标准差为10 2．（2026高三·全国·专题练习）设，且总体密度曲线的函数表达式为，. (1)求； (2)求及的值. 3．（2026·上海浦东新·模拟预测）已知随机变量，其密度函数为，则__________. 4．（2026高二·全国·课堂例题）若一个正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态密度函数的解析式． 5．【多选】（2026高三·全国·专题练习）已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026高三·上海·课堂例题）根据正态密度函数的表达式，找出其均值和方差. (1)，； (2)，. 7．（2026高二·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（   ） A．  B．   C．  D．   8．（2026高二·全国·课后作业）若随机变量的概率分布密度函数是偶函数，且该函数的最大值为．求函数的解析式． 9．（2026高二·全国·课后作业）关于标准正态分布的概率密度函数的说法中： ①为偶函数；②的最大值是； ③在时是单调递减函数，在时是单调递增函数； ④关于对称． 正确说法的编号有__________． 题型2：正态曲线图象的应用 10．（2026高二·黑龙江佳木斯·期末）设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 11．【多选】（2026高二·福建三明·期中）已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（   ）（参考数据：若，则，） A．， B． C． D．对于任意的正数，恒有 12．（2026高三·云南·月考）通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中_________班获胜的可能性更大． 13．（2026高三·全国·课后作业）某校400名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩X位于区间的人数大约是_________． 14．（2026高二·江苏常州·期中）如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（    ）. A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 15．（2026高二·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 16．（2026高二·浙江温州·期中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（2026高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 18．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某市有甲乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为，已知均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 19．【多选】（2026·重庆·模拟预测）已知随机变量，均服从正态分布，它们的密度函数曲线大致如图所示，则以下说法正确的是（   ） A． B． C． D． （二） 由正态分布求概率 利用正态分布求概率的两个方法： (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解． 题型3：由正态分布求概率 20．（2026高二·湖南娄底·月考）设，则等于（    ） A． B． C． D． 21．（2026高二·山东滨州·期末）若随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 22．（2026高二·安徽滁州·期末）若随机变量，，则________． 23．（2026高二·广东佛山·期末）设随机变量，，则______. 24．（2026高二·陕西西安·期末）已知，且，则___________，___________． 25．（2026高二·云南·期中）已知随机变量，若，则（   ） A．0.6 B．0.2 C．0.3 D．0.4 26．【多选】（2026·山西晋城·模拟预测）已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 27．【多选】（2026高二·河北沧州·阶段检测）设随机变量，则（    ） A． B． C． D． 28．（2026高二·全国·课堂例题）设，试求： (1)； (2)； (3)； (4)． 29．（2026高二·全国·专题练习）已知. (1)求； (2)求； (3)设d满足，则d至少为多少？ 题型4： 利用正态分布对称性求参 30．（2026高二·山东临沂·期中）已知随机变量，，则值为（    ） A． B． C． D． 31．（2026高二·湖南邵阳·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 32．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 33．（2026高三·上海黄浦·月考）已知随机变量 服从正态分布 ，实数 满足 ，则 ___. 34．（2026高二·山东德州·期末）设随机变量，且，则______． 35．（2026高二·辽宁沈阳·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则__________. 36．（2026高二·天津·期末）设随机变量服从正态分布，且，若，则＝______． 37．（2026高二·陕西榆林·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．6 38．（2026高二·山东滨州·期中）已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为（    ） A． B． C．120 D．160 题型5： 标准正态分布应用 39．（2026高二·全国·课后作业）已知，那么下列变量服从标准正态分布的是（    ） A． B． C． D． 40．（2026高二·四川遂宁·月考）已知随机变量，，则______． 41．（2026高三·山东济南·月考）设随机变量，其中，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 42．【多选】（2026·江苏·模拟预测）已知随机变量，则（    ） A． B．是增函数 C． D． （三） 正态分布的实际应用 1．正态分布的期望与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 2．3σ原则 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827． (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545． (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973． 题型6：正态分布的实际应用 43．（2026高二·广西柳州·期中）某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在之间的考生约有（    ）（参考数据：若，则有， A．1359人 B．1569人 C．2719人 D．3409人 44．（2026高二·浙江台州·期中）某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．6636 B．8186 C．8400 D．9759 45．（2026高三·全国·一轮复习）某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，随机选择一名该市高二年级的男生，则其身高落在区间内的概率约为（    ）（附：若随机变量X服从正态分布，则，） A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3174 46．（2026高三·广东广州·专题练习）假设某次考试的成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为，，，四个等级，则等级的分数线约为（若，则，）（   ） A．76 B．88 C．94 D．103 47．（2026高二·福建福州·期末）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车 48．【多选】（2026·重庆渝中·模拟预测）芯片是信息时代的微观基石.国内某企业通过自主创新，其使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，其改进过程如下：部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.智能检测系统运行后，某芯片通过智能检测系统筛选合格的条件下，经人工抽检后合格的概率大于直接进入人工抽检合格的概率.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（   ） （参考数据：，） A． B． C． D．若，则M最有可能的取值为 49．【多选】（2026高三·河南·月考）某智能生产线对甲、乙两种型号的工业机器人进行单次标准作业耗时测试（单位：秒），作业时长分别服从正态分布，，则（    ） A． B． C． D． 50．【多选】（2026高二·黑龙江哈尔滨·月考）已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则（   ）（参考数据： A．该校学生成绩的均值为 B．该校学生成绩的标准差为 C．该校学生成绩的标准差为 D．该校学生成绩及格率超过 51．（2026高二·江西·期末）某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，规定：分数高于93分为优秀． (1)估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有60000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数． 参考数据： 若，则，． 题型7：正态分布与其他分布的结合 52．（2026高三·湖南娄底·期末）某企业车载电池LG型有A，B两条生产线，产品质检员随机从A，B两条生产线共抽取50件车载电池进行电量误差检测，误差（单位：kwh）统计的数据如下表： 生产线 抽取件数 平均误差 标准差 A 30 0.2 2.1 B 20 1.1 (1)若两条生产线的车载电池电量的误差X服从正态分布，以抽取样本的误差的平均数作为的估计值，并规定为特等品，其余为一等品或二等品，求两条生产线生产的LG型的件车载电池中特等品的件数的估计值； (2)某小型新能源汽车装配了特等品和一等品车载电池，该车载电池特等品的续航优秀率为60%，为了测试特等品车载电池的续航功能，从装配了特等品的该新能源汽车中随机抽取4辆进行测试，记续航优秀的台数为，求随机变量X的分布列和数学期望. 附：，若，则，，. 53．（2026高三·湖北·期中）已知某品牌新能源汽车的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布，其质保政策规定：电池寿命低于年可免费更换. (1)求任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率（精确到）； (2)某出租车公司购买了辆该品牌汽车，记为免费享受更换的车辆数，利用（1）的结果，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 54．（2026高三·江西赣州·期中）某药厂生产的一种药品，声称对某疾病的有效率为80%.若该药对患有该疾病的病人有效，病人服用该药一个疗程，有90%的可能性治愈，有10%的可能性没有治愈；若该药对患有该疾病的病人无效，病人服用该药一个疗程，有40%的可能性自愈，有60%的可能性没有自愈. (1)若该药厂声称的有效率是真实的，利用该药治疗3个患有该疾病的病人，记一个疗程内康复的人数为，求随机变量的分布列和期望； (2)一般地，当比较大时，离散型的二项分布可以近似地看成连续型的正态分布，若，则可以近似看成随机变量，，其中，，对整数，（），.现为了检验此药的有效率，任意抽取100个此种病患者进行药物临床试验，如果一个疗程内至少有人康复，则此药通过检验.现要求：若此药的实际有效率为，通过检验的概率不低于0.9772，求整数的最大值.（参考数据：若，则，，） 55．（2026高三·山东菏泽·月考）襄阳市某中学一研究性学习小组为了了解襄阳市民每年旅游消费支出费用单位：千元，寒假期间对游览某签约景区的名襄阳市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别 支出费用 频数 (1)从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于元的概率 (2)若襄阳市民的旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数同一组中的数据用该组区间的中间值代表，近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定襄阳市常住人口为万人，试估计襄阳市有多少市民每年旅游费用支出在元以上 （ii）若在襄阳市随机抽取位市民，设其中旅游费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若∽，则，，． 56．（2026高三·河南·专题练习）为了普及传染病防治知识，增强学生的健康意识和疾病防犯意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分分），竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其它学生不得奖.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图. (1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生恰有一名学生获奖的概率. (2)若该校所有参赛学生的成绩近似地服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①若该校共有名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中超过分的学生人数（结果四舍五入到整数）； ②若从所有参赛学生中（参赛学生人数大于）随机抽取名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在分以上的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 57．（2026高三·河北保定·开学考试）2015年5月，国务院印发《中国制造》，是我国由制造业大国转向制造业强国战略的行动纲领.经过多年的发展，我国制造业的水平有了很大的提高，出现了一批在国际上有影响的制造企业.我国的造船业､光伏产业､5G等已经在国际上处于领先地位，我国的精密制造也有了长足发展.已知某精密设备制造企业生产某种零件，根据长期检测结果，得知生产该零件的生产线的产品质量指标值服从正态分布，且质量指标值在内的零件称为优等品. (1)求该企业生产的零件为优等品的概率（结果精确到0.01）； (2)从该生产线生产的零件中随机抽取5件，随机变量表示抽取的5件中优等品的个数，求的分布列､数学期望和方差. 附：0.9973. 58．（2026高二·江苏盐城·期中）在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即．求： (1)试求考试成绩位于区间的概率． (2)若这次考试共有2000名学生，试估计考试成绩在的人数． (3)若从参加考试的学生中（参与考试的人数超过2000人）随机抽取3名学生进行座谈，设选出的3人中考试成绩在80分以上的学生人数为，求随机变量的分布列与均值． 附：若，，， 1．（2026·海南·模拟预测）已知随机变量服从正态分布且,则实数 A．1 B． C．2 D．4 2．（9-10高二·重庆·期末）若设随机变量，且 ，则c的值为（ ） A．0 B． C．－ D． 3．（9-10高二·江苏·期中）设随机变量X服从正态分布N(2,9)若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c等于________． 4．（2026高二·全国·课堂例题）设，试求： (1)； (2)． 5．（2026高二·全国·课堂例题）设，试求： (1)； (2)； (3)． 参考数据：， 6．（2026高二·全国·专题练习）某厂生产的圆柱形零件的外直径 (单位:cm)服从正态分布,质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查1件,测得它的外直径为5.7cm,试问该厂生产的这批零件是否合格? 7．（2026高二·全国·课堂例题）为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了名，统计出他们竞赛成绩分布如下： 成绩（分） 人数 (1)求抽取的名学生竞赛成绩的方差（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）； (2)以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均分近似为样本方差，若，则参赛学生可获得“参赛纪念证书”；若，则参赛学生可获得“参赛先锋证书”. ①若我校有名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数（结果保留整数）； ②试判断竞赛成绩为分的学生能否获得“参赛先锋证书”. 附：若，则，． 8．（2026·山东潍坊·模拟预测）某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)（σ>0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（　　） A．150 B．200 C．300 D．400 9．（2026高二·全国·课后作业）设随机变量，且，则实数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（2026高二·安徽亳州·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0.2 B．0.24 C．0.28 D．0.32 11．（2026高二·河北唐山·月考）设随机变量，若，则___________. 12．（2026高二·河南许昌·期中）某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 13．（2026·辽宁锦州·模拟预测）高尔顿钉板是英国统计学家高尔顿设计的一种概率模型，其结构如下，在一块竖直木板上钉有若干排等间距的钉子，每排钉子的数量比上一排多一枚，且相邻的两排钉子的位置相互错开，木板底部有若干个等宽的凹槽，用于收集下落的小球，小球从木板顶端的入口处自由下落，在下落过程中，小球每次遇到钉子时，向左或向右下落的概率均为0.5，且每次下落是相互独立的.现有一个高尔顿钉板，其设置排钉子，第排钉子下方有个凹槽.从左至右依次记为凹槽0，凹槽1，…，凹槽，当时，钉板如图所示.进行次独立重复试验，每次试验投放一个小球.设小球从入口下落最终落入凹槽的个数为. (1)若， （ⅰ）当时，求； （ⅱ）当时，求的数学期望与方差； (2)当足够大时，可以认为小球最终落入的凹槽标号服从正态分布，其中为的数学期望，为的方差.若，，试估计落在凹槽15到凹槽21（含15和21）内的小球总数. 参考数据：若随机变量，，，. 14．（2026·上海·模拟预测）班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布. (1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示） 参考数据:若，则. (2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值 表1 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 手机使用时长 20 18 22 16 14 练习得分 80 88 73 92 m (3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效. 15．（2026高二·山东滨州·期中）某科技公司生产精密零件，零件质量指标.规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立. 附：若，则. (1)现从该公司生产的零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该公司生产的零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与数学期望. 16．（2026·浙江·模拟预测）信息安全是互联网时代最重要的安全之一，我国自主研发的量子通信保密传输系统，依靠量子密钥分发实现信息安全传输，该系统采用量子信道和经典信道协同工作，某量子通信保密传输系统在单次密钥分发过程中，量子信道成功密钥生成的概率为，经典信道完成信息匹配的概率为，且两个信道工作相互独立．只有当量子信道密钥生成成功，且经典信道信息匹配成功，则本次有效密钥分发成功，否则本次有效密钥分发失败． (1)求该系统单次有效密钥分发成功的概率； (2)若该系统独立进行次密钥分发，记为有效分发成功的次数，求的数学期望； (3)科研人员对该系统连续传输的密钥准确率进行检测，发现密钥准确率（单位：）服从正态分布．若准确率不低于为“最优传输”，估算次密钥分发中，可用于“最优传输”的次数． 附：若，则，，． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.5正态分布7题型分类 一、连续型随机变量 除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量. 二、正态曲线 函数，其中,为参数.显然对于任意，，它的图象在轴的上方，可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. 三、正态曲线的特点 1．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； 2．曲线在x＝μ处达到峰值； 3．当无限增大时，曲线无限接近x轴． 四、正态分布 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 五、正态分布的期望与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 六、3σ原则 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. （一） 正态曲线图象的应用 正态曲线的特点 1．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． 2．曲线在x＝μ处达到峰值． 3．当无限增大时，曲线无限接近x轴． 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式． 题型1：正态曲线与正态密度函数 1．【多选】（2026高二·全国·课后作业）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩（单位：分）服从正态分布，其概率密度函数为，则下列说法正确的是（   ） A．这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．这次考试的数学成绩的标准差为10 【答案】ACD 【分析】首先根据正态密度函数解析式确定和，判断AD，再根据对称性判断BC. 【详解】由函数解析式知这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10，故A，D正确． 因为函数图象关于直线对称，所以分数在120分以上的人数与分数在40分以下的人数相同； 分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故B错误，C正确． 故选：ACD 2．（2026高三·全国·专题练习）设，且总体密度曲线的函数表达式为，. (1)求； (2)求及的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】根据正态分布函数的结构特征，对照已知函数求出和，利用一般正态总体与标准正态总体的概率间的关系，将一般正态总体划归为标准正态总体来解决. 【详解】（1）由于， 根据一般正态分布的函数表达形式，可知，，故. （2） . 又 . 3．（2026·上海浦东新·模拟预测）已知随机变量，其密度函数为，则__________. 【答案】 【分析】根据正态曲线的密度函数对应计算可得； 【详解】因为随机变量，其密度函数为， 所以，. 故答案为： 4．（2026高二·全国·课堂例题）若一个正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态密度函数的解析式． 【答案】 【分析】可根据正态密度函数的性质，结合偶函数的特点以及函数最大值来确定正态密度函数解析式中的参数. 【详解】由于该正态密度函数是一个偶函数， 所以正态曲线关于轴对称，即，又该函数的最大值是， 所以，解得． 故所求正态密度函数的解析式为. 5．【多选】（2026高三·全国·专题练习）已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据正态曲线对应的密度函数可确定中，继而结合方差的性质以及正态曲线的对称性意义判断各选项，即得答案. 【详解】由正态曲线对应的密度函数为，得，， 则，，A正确； 因为，所以，B错误； 因为，结合正态曲线可知，C正确； ，D错误． 故选：AC 6．（2026高三·上海·课堂例题）根据正态密度函数的表达式，找出其均值和方差. (1)，； (2)，. 【答案】(1)均值0，方差1 (2)均值1，方差2 【分析】将所给的函数表达式与正态密度函数的表达式对照即可求得. 【详解】（1）根据正态密度函数及对照得： ，所以所求的均值0，方差1； （2）根据正态密度函数及对照得： ，所以所求的均值1，方差2. 7．（2026高二·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（   ） A．  B．   C．  D．   【答案】A 【分析】函数图象的对称轴为直线，由判断各选项.. 【详解】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D； 又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确. 故选：A. 8．（2026高二·全国·课后作业）若随机变量的概率分布密度函数是偶函数，且该函数的最大值为．求函数的解析式． 【答案】 【分析】由是偶函数，求出；由函数的最大值为求出，即可得到的解析式． 【详解】因为是偶函数，所以其图像关于轴对称，即． 由，得．故． 9．（2026高二·全国·课后作业）关于标准正态分布的概率密度函数的说法中： ①为偶函数；②的最大值是； ③在时是单调递减函数，在时是单调递增函数； ④关于对称． 正确说法的编号有__________． 【答案】①②③ 【分析】根据正态分布密度函数的解析式，逐项判定，即可求解. 【详解】由正态分布密度函数，可得的图象关于对称， 所以为偶函数，所以①正确，④不正确； 根据正态分布曲线的性质得，当时，函数取得最大值，所以②正确； 根据正态分布曲线的性质，可得在上单调递增，在单调递减，所以③正确. 故答案为：①②③ 题型2：正态曲线图象的应用 10．（2026高二·黑龙江佳木斯·期末）设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从正态曲线关于直线对称，看的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．看出的大小即可解决． 【详解】从正态曲线的对称轴的位置看，显然， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小，则，所以A正确. 故选：A. 11．【多选】（2026高二·福建三明·期中）已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（   ）（参考数据：若，则，） A．， B． C． D．对于任意的正数，恒有 【答案】AB 【分析】对于A，由正态分布的高矮和对称轴的位置可判断其正误，对于B，根据正态分布的对称性可求给定区间上的概率，故可判断其正误，对于CD，根据面积的大小可判断它们正误. 【详解】对于A，因为的正态分布曲线高而廋，的正态分布曲线矮而胖，故， 由两条曲线的对称轴的位置可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A可得，故，C错误； 对于D，对于任意的正数t，由图象可知： 表示的面积始终小于表示的面积， 则恒有，D错误. 故选：AB 12．（2026高三·云南·月考）通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中_________班获胜的可能性更大． 【答案】B 【分析】根据均值和方差的大小可得正确的选项. 【详解】从分布密度曲线可以得到如下结论： （1）B班的平均成绩大于A班的平均成绩； （2）B的方差小于A的方差，故B发挥较为稳定， 故B班获胜的可能更大. 故答案为：B. 13．（2026高三·全国·课后作业）某校400名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩X位于区间的人数大约是_________． 【答案】273 【分析】由图知：，利用原则可求出成绩X位于区间的概率，进而可得出大约人数. 【详解】由题意可知：，由图象可得：， ∵，即， ∴成绩X位于区间的人数大约是. 故答案为：273. 14．（2026高二·江苏常州·期中）如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（    ）. A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 【答案】A 【分析】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定. 【详解】由题意，得，，， 因为当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且， 所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③. 故选：A. 15．（2026高二·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小. 【详解】由题图中的对称轴知：， 与(一样)瘦高，而胖矮， 所以. 故选：C 16．（2026高二·浙江温州·期中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布曲线的性质，确定出两个均值和方差的大小，然后结合图比较概率的大小 【详解】因为，，两曲线分别关于对称， 所以由图可知，，所以A错误， 因为的分布曲线“高瘦”，的分布曲线“矮胖”， 所以 ，所以B错误， 所以，， 所以C错误，D正确， 故选：D 17．（2026高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】A 【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得. 【详解】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 18．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某市有甲乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为，已知均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【答案】C 【分析】根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解. 【详解】由随机变量均服从正态分布，，， 结合正态概率密度函数的图象，可得，， 即甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值， 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性. 故选：C. 19．【多选】（2026·重庆·模拟预测）已知随机变量，均服从正态分布，它们的密度函数曲线大致如图所示，则以下说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对A：因为，所以，故A正确； 对B：，所以，又，所以，故B正确； 对C：因为， ， 所以，故C正确； 对D：根据正态分布的概念可知，故D错误. （二） 由正态分布求概率 利用正态分布求概率的两个方法： (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解． 题型3：由正态分布求概率 20．（2026高二·湖南娄底·月考）设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正态分布的对称性可求得结果. 【详解】因为，则. 故选：A. 21．（2026高二·山东滨州·期末）若随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】D 【分析】由对称性先得出，进而得出. 【详解】因为，所以，所以. 故选：D 22．（2026高二·安徽滁州·期末）若随机变量，，则________． 【答案】 【分析】根据正态分布的性质即可求解. 【详解】由题意知，，，所以， ， 故答案为： 23．（2026高二·广东佛山·期末）设随机变量，，则______. 【答案】0.15/ 【分析】根据正态分布的对称性得到答案. 【详解】因为，由对称性可知. 故答案为：0.15 24．（2026高二·陕西西安·期末）已知，且，则___________，___________． 【答案】 2 0.84 【分析】利用正态分布的三个常用数据可求出的值，再根据，借助常用数据和正态曲线的对称性，可求出概率值. 【详解】因为，且 又，故 又 故答案为：2；0.84 25．（2026高二·云南·期中）已知随机变量，若，则（   ） A．0.6 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【分析】根据题意，求得，结合正态分布的曲线的对称性，即可求解. 【详解】由随机变量，可得正态分布的均值为，其图象关于对称， 则，所以. 26．【多选】（2026·山西晋城·模拟预测）已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据正态分布的概率求解思路，以及方差的性质，结合已知条件，对选项逐一分析，即可选择. 【详解】对A：因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称，所以，故A正确； 对B：因为，且， 所以，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误． 故选：AC. 27．【多选】（2026高二·河北沧州·阶段检测）设随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据正态分布的性质判断A、B；由对称性及特殊区间的性质判断C、D. 【详解】由题设，则，，A对，B错； ，C对；，D对. 故选：ACD 28．（2026高二·全国·课堂例题）设，试求： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用正态分布三段区间的概率值求概率； （2）利用正态分布三段区间的概率值求概率； （3）利用正态分布三段区间的概率值结合对称性求概率； （4）利用正态分布三段区间的概率值结合对称性求概率. 【详解】（1），． 所以． （2）∵该正态曲线关于直线对称， 所以． （3）∵该正态曲线关于直线对称， ， . （4）因为该正态曲线关于直线对称， ， ． 29．（2026高二·全国·专题练习）已知. (1)求； (2)求； (3)设d满足，则d至少为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由正态分布的性质逐一求解即可. 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，故. 题型4： 利用正态分布对称性求参 30．（2026高二·山东临沂·期中）已知随机变量，，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正态密度曲线的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量，， 所以和的平均数为，即，解得. 31．（2026高二·湖南邵阳·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 则，解得. 32．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性可得. 【详解】因为，所以， 所以. 33．（2026高三·上海黄浦·月考）已知随机变量 服从正态分布 ，实数 满足 ，则 ___. 【答案】30 【详解】该正态曲线关于对称，所以，即. 34．（2026高二·山东德州·期末）设随机变量，且，则______． 【答案】3 【分析】根据正态分布的对称性列式计算即可求解. 【详解】由题意可得随机变量服从正态分布， 若，则，解得. 故答案为：3 35．（2026高二·辽宁沈阳·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则__________. 【答案】 【分析】根据条件，得到，再利用正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由，得到， 所以， 故答案为：. 36．（2026高二·天津·期末）设随机变量服从正态分布，且，若，则＝______． 【答案】0.5/ 【分析】根据正态分布的性质和对称性进行求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 所以. 根据正态分布的对称性，，所以. 故答案为：. 37．（2026高二·陕西榆林·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】D 【分析】通过正态分布的对称性来求解的值. 【详解】由题干知，随机变量服从正态分布， 正态分布的图像关于对称， 又， 即，解得． 故选：D． 38．（2026高二·山东滨州·期中）已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为（    ） A． B． C．120 D．160 【答案】A 【分析】先由正态分布的对称性得到a的值，然后写出二项展开式的通项公式，令x的指数为0即可求解. 【详解】随机变量，则，而， 由对称性，得，解得， 的通项公式为， 当时得到展开式的常数项为. 题型5： 标准正态分布应用 39．（2026高二·全国·课后作业）已知，那么下列变量服从标准正态分布的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，计算，从而判断得，可得答案. 【详解】由题意， 设，则， . ∴ 故选：D 40．（2026高二·四川遂宁·月考）已知随机变量，，则______． 【答案】0.7/ 【分析】利用正态分布的对称性，即可列式求解. 【详解】由题意可知，. 故答案为：0.7 41．（2026高三·山东济南·月考）设随机变量，其中，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据随机变量服从标准正态分布，得到正态曲线关于对称，再结合正态分布的密度曲线定义，由此逐一分析四个选项，即可得到答案． 【详解】解：因为随机变量， 所以正态曲线关于直线对称， 因为， 所以根据正态曲线的对称性可得，故选项B正确； 因为，，所以选项A错误； ，故选项C错误； 或，故选项D错误． 故选：B． 42．【多选】（2026·江苏·模拟预测）已知随机变量，则（    ） A． B．是增函数 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正态分布的对称性及条件，可判断A、C、D的正误；根据正态分布的性质及函数的性质，可判断B的正误； 【详解】因为随机变量，则正态分布的对称轴， 选项A：，故A正确； 选项B：随着x逐渐增大，逐渐增大且连续，所以是增函数，故B正确； 选项C：根据对称性可得， 又，所以，故C正确； 选项D： ，故D错误； （三） 正态分布的实际应用 1．正态分布的期望与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 2．3σ原则 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827． (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545． (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973． 题型6：正态分布的实际应用 43．（2026高二·广西柳州·期中）某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在之间的考生约有（    ）（参考数据：若，则有， A．1359人 B．1569人 C．2719人 D．3409人 【答案】A 【详解】由成绩近似服从正态分布，得， 则， 则，所以分数在之间的考生约有1359人. 44．（2026高二·浙江台州·期中）某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．6636 B．8186 C．8400 D．9759 【答案】C 【详解】由已知， 所以， 故数学分数介于75到115之间的人数为. 45．（2026高三·全国·一轮复习）某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，随机选择一名该市高二年级的男生，则其身高落在区间内的概率约为（    ）（附：若随机变量X服从正态分布，则，） A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3174 【答案】B 【分析】由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可得. 【详解】由题意知， ． 故选：B. 46．（2026高三·广东广州·专题练习）假设某次考试的成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为，，，四个等级，则等级的分数线约为（若，则，）（   ） A．76 B．88 C．94 D．103 【答案】C 【分析】结合正态分布的对称性，依据已知概率区间确定A等级对应的分位数，计算得分数线. 【详解】已知成绩服从正态分布，则均值，标准差. A等级为成绩由高到低的前， 由，得. 计算，即A等级的分数线约为94. 故选：C 47．（2026高二·福建福州·期末）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车 【答案】C 【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 【详解】对于A，依题意随机变量的均值为，方差为，即，，， 随机变量的均值为，方差为，则，，； 所以，故A错误； 对于C，，， 因为， 所以，故C正确； 对于B，与的密度曲线大致如下， 若某天只有34min可用，由图可知，所以李明应选择公交车，故B错误． 对于D，若某天只有40min可用，由图可知， 所以，所以李明应选择自行车，故D错误． 故选：C． 48．【多选】（2026·重庆渝中·模拟预测）芯片是信息时代的微观基石.国内某企业通过自主创新，其使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，其改进过程如下：部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.智能检测系统运行后，某芯片通过智能检测系统筛选合格的条件下，经人工抽检后合格的概率大于直接进入人工抽检合格的概率.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（   ） （参考数据：，） A． B． C． D．若，则M最有可能的取值为 【答案】ACD 【分析】直接利用题意判断A；利用条件概率、全概率公式等进行转化判断B；利用正态分布的性质判断C；设，由函数的单调性判断D. 【详解】A，由某芯片通过智能检测系统筛选合格的条件下，经人工抽检后合格的概率大于直接进入人工抽检合格的概率， 即，故A正确； B，由，则， 又， 于是，即， 因此，即，则，故B错误； C， ，故C正确； D，， 设， ， 解得，， 由， 解得，即， 所以取得最大值时，的估计值为53，故D正确. 49．【多选】（2026高三·河南·月考）某智能生产线对甲、乙两种型号的工业机器人进行单次标准作业耗时测试（单位：秒），作业时长分别服从正态分布，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】已知甲机器人作业时长，即，， 乙机器人作业时长，即，， ，故A错误； ，则，B正确； 设，则， ， ，故C正确； ， ，故D正确． 50．【多选】（2026高二·黑龙江哈尔滨·月考）已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则（   ）（参考数据： A．该校学生成绩的均值为 B．该校学生成绩的标准差为 C．该校学生成绩的标准差为 D．该校学生成绩及格率超过 【答案】ACD 【分析】直接由正态分布的定义可判断ABC选项，再由正态分布的概率分布计算成绩超过及格线的概率可判断D选项. 【详解】因为学生的成绩服从正态分布，所以，所以AC正确，B错误； 因为， 所以， 又因为，所以 所以，故D正确. 51．（2026高二·江西·期末）某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，规定：分数高于93分为优秀． (1)估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有60000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数． 参考数据： 若，则，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，求得，结合正态分布曲线的对称性，即可求解； （2）由，利用正态分布的对称性，求得的值，进而估计出成绩在内的学生的人数. 【详解】（1）由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布， 可得，则， 所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例, 所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例为. （2）解：由， 则 , 因为全市有60000名考生，所以该区间内的人数人， 所以成绩在内的学生人数大约为人. 题型7：正态分布与其他分布的结合 52．（2026高三·湖南娄底·期末）某企业车载电池LG型有A，B两条生产线，产品质检员随机从A，B两条生产线共抽取50件车载电池进行电量误差检测，误差（单位：kwh）统计的数据如下表： 生产线 抽取件数 平均误差 标准差 A 30 0.2 2.1 B 20 1.1 (1)若两条生产线的车载电池电量的误差X服从正态分布，以抽取样本的误差的平均数作为的估计值，并规定为特等品，其余为一等品或二等品，求两条生产线生产的LG型的件车载电池中特等品的件数的估计值； (2)某小型新能源汽车装配了特等品和一等品车载电池，该车载电池特等品的续航优秀率为60%，为了测试特等品车载电池的续航功能，从装配了特等品的该新能源汽车中随机抽取4辆进行测试，记续航优秀的台数为，求随机变量X的分布列和数学期望. 附：，若，则，，. 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）结合题意先确定，再结合正态分布的性质求出特等品的概率，最后结合题意求解估计值即可. （2）先确定变量服从二项分布，再利用二项分布的概率公式求解概率写出分布列，最后结合二项分布的期望公式求解期望即可. 【详解】（1）设这50件零件尺寸误差的平均数为， 由题意得，则， 而，规定为特等品，则为特等品， 故特等品的概率为， 故两条生产线生产的LG型的件车载电池中特等品的件数约为件. （2）由题意得， 则，， ，，， 则X的分布列如下， 0 1 2 3 4 且. 53．（2026高三·湖北·期中）已知某品牌新能源汽车的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布，其质保政策规定：电池寿命低于年可免费更换. (1)求任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率（精确到）； (2)某出租车公司购买了辆该品牌汽车，记为免费享受更换的车辆数，利用（1）的结果，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， 【分析】（1）由已知得出，结合正态分布可得出任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率； （2）分析可知，由二项分布的期望公式可得出的值，利用二项分布的分布列可得出随机变量的分布列. 【详解】（1）因为，，则， 所以任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率为 . （2）因为每辆车是否更换相互独立，且概率为，由题意可知， 由二项分布的期望公式可得， 分布列为. 54．（2026高三·江西赣州·期中）某药厂生产的一种药品，声称对某疾病的有效率为80%.若该药对患有该疾病的病人有效，病人服用该药一个疗程，有90%的可能性治愈，有10%的可能性没有治愈；若该药对患有该疾病的病人无效，病人服用该药一个疗程，有40%的可能性自愈，有60%的可能性没有自愈. (1)若该药厂声称的有效率是真实的，利用该药治疗3个患有该疾病的病人，记一个疗程内康复的人数为，求随机变量的分布列和期望； (2)一般地，当比较大时，离散型的二项分布可以近似地看成连续型的正态分布，若，则可以近似看成随机变量，，其中，，对整数，（），.现为了检验此药的有效率，任意抽取100个此种病患者进行药物临床试验，如果一个疗程内至少有人康复，则此药通过检验.现要求：若此药的实际有效率为，通过检验的概率不低于0.9772，求整数的最大值.（参考数据：若，则，，） 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为. (2) 【分析】（1）因为，由二项分布的概率公式求出随机变量的分布列，再由二项分布的均值公式求出； （2）康复的人数为随机变量，则，可得出，由正态分布的对称性结合原则求解即可. 【详解】（1）记“一个患有该疾病的病人服用该药一个疗程康复”为事件，则 ， 因此， ，， ， 则的分布列为： 的数学期望. （2）若该药品的有效率为，由（1）得，一个疗程内，使用该药后的康复率也为， 记康复的人数为随机变量，则， 设，设， 所以整数的最大值为    55．（2026高三·山东菏泽·月考）襄阳市某中学一研究性学习小组为了了解襄阳市民每年旅游消费支出费用单位：千元，寒假期间对游览某签约景区的名襄阳市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别 支出费用 频数 (1)从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于元的概率 (2)若襄阳市民的旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数同一组中的数据用该组区间的中间值代表，近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定襄阳市常住人口为万人，试估计襄阳市有多少市民每年旅游费用支出在元以上 （ii）若在襄阳市随机抽取位市民，设其中旅游费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若∽，则，，． 【答案】(1) (2)（i）11.375万；（ii）分布列见解析， 【分析】（1）根据题意可得旅游支出不低于元的有人，结合古典概型概率公式即可求解； （2）  （i）  根据题意可得，，结合正态曲线的对称性即可求解；（ii）根据题意可得所有可能取值为结合二项分布求概率和均值即可求解． 【详解】（1）样本中总共人，其中旅游支出不低于元的有人， 所以从中随机抽取两位市民的旅游支出数据， 两人旅游支出均不低于元的概率为； （2）（i）计算， 所以，，服从正态分布， ， 万， 估计襄阳市有万市民每年旅游费用支出在元以上； （ii）由（i）知，，则， 的所有可能取值为 ， ， ， ； 所以随机变量的分布列为： 均值为 56．（2026高三·河南·专题练习）为了普及传染病防治知识，增强学生的健康意识和疾病防犯意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分分），竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其它学生不得奖.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图. (1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生恰有一名学生获奖的概率. (2)若该校所有参赛学生的成绩近似地服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①若该校共有名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中超过分的学生人数（结果四舍五入到整数）； ②若从所有参赛学生中（参赛学生人数大于）随机抽取名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在分以上的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1) (2)①；②分布列见解析，. 【分析】（1）求出获奖人数，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）求出的值. ①求得，利用原则可求出的值，再乘以可得结果； ②分析可知，，利用二项分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）解：由样本频率分布直方图知，样本中获一等奖的人数为， 获二等奖的人数为， 若三等奖的人数为， 获奖人数共有，人没有获奖， 从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为. 设“抽取两名学生中有一名学生获奖”的事件为，则事件包含的基本事件的个数为， 因为每个基本事件出现的可能性相等，所以， 即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为. （2）解：由样本频率分布直方图得样本平均数估计值为 ， 所有参赛学生的成绩近似地服从正态分布. ①因为， ， 所以，参赛学生中成绩超过分的人数约为； ②由，得， 即从所有学生中随机抽取名学生，该生的成绩在分以上的概率为， 所以随机变量，随机变量的可能值为、、、， 且，， ， 所以随机变量的分布列为 随机变量的数学期望. 57．（2026高三·河北保定·开学考试）2015年5月，国务院印发《中国制造》，是我国由制造业大国转向制造业强国战略的行动纲领.经过多年的发展，我国制造业的水平有了很大的提高，出现了一批在国际上有影响的制造企业.我国的造船业､光伏产业､5G等已经在国际上处于领先地位，我国的精密制造也有了长足发展.已知某精密设备制造企业生产某种零件，根据长期检测结果，得知生产该零件的生产线的产品质量指标值服从正态分布，且质量指标值在内的零件称为优等品. (1)求该企业生产的零件为优等品的概率（结果精确到0.01）； (2)从该生产线生产的零件中随机抽取5件，随机变量表示抽取的5件中优等品的个数，求的分布列､数学期望和方差. 附：0.9973. 【答案】(1)0.82 (2)分布列见解析， 【分析】（1）产品质量指标值服从正态分布，结合原则，求优等品的概率； （2）随机变量的取值，计算相应的概率，列出分布列，利用二项分布求数学期望和方差. 【详解】（1）因为产品质量指标值，则， 所以优等品的概率 ， 所以该企业生产零件为优等品的概率约为0.82. （2）由（1）知产品为优等品的概率为0.82，由题意知， 随机变量的取值为：0，1，2，3，4，5； 故的分布列为，即 0 1 2 3 4 5 所以. 58．（2026高二·江苏盐城·期中）在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即．求： (1)试求考试成绩位于区间的概率． (2)若这次考试共有2000名学生，试估计考试成绩在的人数． (3)若从参加考试的学生中（参与考试的人数超过2000人）随机抽取3名学生进行座谈，设选出的3人中考试成绩在80分以上的学生人数为，求随机变量的分布列与均值． 附：若，，， 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，期望为 【分析】（1）利用题设中给出的参考数据可得所求的概率. （2）可求，从而可求相应区间上的人数. （3）利用二项分布可求分布列，利用公式可求期望. 【详解】（1）因为，故均值为，标准差为， 故. （2）, 故考试成绩在的人数约为， （3）因为，结合题设条件可得， 故，， ，， 故随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 故. 1．（2026·海南·模拟预测）已知随机变量服从正态分布且,则实数 A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】根据正态分布知识可知，对称轴（期望）左右两边的概率相等，各为，所以y由知，对称轴为，可知. 【详解】由题意可得正态曲线的对称轴为X=a, 又因为,所以a=1. 【点睛】本题主要考查了正态分布，属于中档题. 2．（9-10高二·重庆·期末）若设随机变量，且 ，则c的值为（ ） A．0 B． C．－ D． 【答案】B 【分析】根据正态分布的性质，即可求解. 【详解】随机变量，且，，为该随机变量的图象的对称轴，， 故选:. 3．（9-10高二·江苏·期中）设随机变量X服从正态分布N(2,9)若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c等于________． 【答案】2 【详解】∵μ＝2，由正态分布的定义知其图象关于直线x＝2对称，于是＝2，∴c＝2. 4．（2026高二·全国·课堂例题）设，试求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用正态分布曲线的对称性分别求解. 【详解】（1）， （1） （2）， 5．（2026高二·全国·课堂例题）设，试求： (1)； (2)； (3)． 参考数据：， 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，则，从而可求得答案； （2）根据正态分布的对称性可得，从而可求得答案； （3）根据正态分布的对称性可得，从而可求得答案. 【详解】（1）． ． （2）， . （3）， ． 6．（2026高二·全国·专题练习）某厂生产的圆柱形零件的外直径 (单位:cm)服从正态分布,质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查1件,测得它的外直径为5.7cm,试问该厂生产的这批零件是否合格? 【答案】该批零件是不合格的. 【分析】利用3σ原则做决策，即根据是否在3σ区间内作判断. 【详解】由于外直径服从正态分布，故在，即之外取值的概率为0.0026,而,这说明在一次试验中,出现了几乎不可能发生的小概率事件,据此可以认为该批零件是不合格的. 【点睛】本题考查3σ原则，考查基本分析应用能力，属基本题. 7．（2026高二·全国·课堂例题）为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了名，统计出他们竞赛成绩分布如下： 成绩（分） 人数 (1)求抽取的名学生竞赛成绩的方差（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）； (2)以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均分近似为样本方差，若，则参赛学生可获得“参赛纪念证书”；若，则参赛学生可获得“参赛先锋证书”. ①若我校有名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数（结果保留整数）； ②试判断竞赛成绩为分的学生能否获得“参赛先锋证书”. 附：若，则，． 【答案】(1) (2)①；②能 【分析】（1）根据题中表格数据，求出平均数，即可根据方差公式直接求解； （2）①利用正态分布的性质，直接求解特定区间的概率即可；②结合题目，根据正态分布性质，直接判断即可. 【详解】（1）由题表知，抽取的这名学生竞赛成绩的平均分， 所以名学生本次竞赛成绩的方差： ． （2）①由于近似为样本成绩平均分近似为样本成绩方差， 所以，则， 由于竞赛成绩近似地服从正态分布， 因此学生可获得“参赛纪念证书”的概率 ． 又， 所以估计获得“参赛纪念证书”的学生人数为， ②当时，即时， 参赛学生可获得“参赛先锋证书”， 所以竞赛成绩为分的学生能获得“参赛先锋证书”． 8．（2026·山东潍坊·模拟预测）某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)（σ>0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（　　） A．150 B．200 C．300 D．400 【答案】C 【分析】由已知求出进一步求出则可求出答案. 【详解】 此次数学考试成绩在分到分之间得人数约为. 故选:C. 9．（2026高二·全国·课后作业）设随机变量，且，则实数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由已知结合正太分布密度曲线性质即可得解. 【详解】因为，所以正态分布密度曲线的对称轴为， 因为，所以. 故选：B. 10．（2026高二·安徽亳州·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0.2 B．0.24 C．0.28 D．0.32 【答案】C 【分析】依据正态曲线的对称性即可求得 【详解】由随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴为直线 由，可得 则， 故 故选：C 11．（2026高二·河北唐山·月考）设随机变量，若，则___________. 【答案】 【分析】由正态曲线的对称性直接求得. 【详解】因为随机变量， ， 所以由正态曲线的对称性可得：， 所以. 故答案为：. 12．（2026高二·河南许昌·期中）某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 . (3)数学期望为8，方差为7. 【分析】（1）根据全概率公式进行计算； （2）由题可知的可能取值为0，1，2，3，再分别求出对应概率得到分布列并计算期望； （3）由题意得，，利用正态分布得到，再结合二项分布求解． 【详解】（1）设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”，则“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”， 设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，知， 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为； （2）的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 随机变量服从超几何分布，且，，，所以； （3）由题意得，， ， ，，， 所以的数学期望为8，方差为7． 13．（2026·辽宁锦州·模拟预测）高尔顿钉板是英国统计学家高尔顿设计的一种概率模型，其结构如下，在一块竖直木板上钉有若干排等间距的钉子，每排钉子的数量比上一排多一枚，且相邻的两排钉子的位置相互错开，木板底部有若干个等宽的凹槽，用于收集下落的小球，小球从木板顶端的入口处自由下落，在下落过程中，小球每次遇到钉子时，向左或向右下落的概率均为0.5，且每次下落是相互独立的.现有一个高尔顿钉板，其设置排钉子，第排钉子下方有个凹槽.从左至右依次记为凹槽0，凹槽1，…，凹槽，当时，钉板如图所示.进行次独立重复试验，每次试验投放一个小球.设小球从入口下落最终落入凹槽的个数为. (1)若， （ⅰ）当时，求； （ⅱ）当时，求的数学期望与方差； (2)当足够大时，可以认为小球最终落入的凹槽标号服从正态分布，其中为的数学期望，为的方差.若，，试估计落在凹槽15到凹槽21（含15和21）内的小球总数. 参考数据：若随机变量，，，. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）； (2)6827 【分析】（1）（ⅰ）利用二项分布的概率公式计算即可；（ⅱ）利用二项分布的期望和方差公式计算. （2）根据二项分布的期望和方差公式求出和，再结合正态分布性质求解. 【详解】（1）（ⅰ）. （ⅱ）由（ⅰ）知小球落入3号槽的概率为，由题意知， 所以，   . （2）一个小球最终落入的凹槽标号满足， ，， 由题可知小球最终落入的凹槽标号服从正态分布，      所以估计落在凹槽15到凹槽21（含15和21）内的小球总数为6827. 14．（2026·上海·模拟预测）班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布. (1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示） 参考数据:若，则. (2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值 表1 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 手机使用时长 20 18 22 16 14 练习得分 80 88 73 92 m (3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效. 【答案】(1) (2)100 (3)答案见解析 【分析】（1）根据正态分布的性质和概率相关知识计算即可. （2）先求出的平均值，然后代入回归方程即可求出结果. （3）先根据题意列出递推式，然后证明数列是以为公比的等比数列，进而可根据等比数列的通项公式求出，并根据的范围证明结论即可. 【详解】（1）由题意知，因为. 所以任取1人使用手机超过16小时的概率为， 50名同学中有位超过16小时， 那么至少2位同学使用手机超过16小时的概率为. （2）由题意得，. 代入回归方程有，解得. （3）证明：由题意知， 所以 所以是以为公比的等比数列. 所以. 因为时，恒成立，所以. 所以小虹的该复习计划表在寒假每一天均有效. 15．（2026高二·山东滨州·期中）某科技公司生产精密零件，零件质量指标.规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立. 附：若，则. (1)现从该公司生产的零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该公司生产的零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 1 2 3 【分析】（1）先确定，由条件可得从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率，再结合独立重复试验概率公式求结论； （2）先求，由，判断的单调性，确定，再确定的可能取值，并求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1）因为，所以，， 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 所以从该批零件中随机抽取个，恰好有个为优质品的概率为. （2）设随机抽取的个零件中，优质品的个数为. 由题意得，， 所以， 因为， 当时，， 当时，， 所以，概率最大时对应，即. 由题意可得的所有可能取值为1、2、3， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 . 16．（2026·浙江·模拟预测）信息安全是互联网时代最重要的安全之一，我国自主研发的量子通信保密传输系统，依靠量子密钥分发实现信息安全传输，该系统采用量子信道和经典信道协同工作，某量子通信保密传输系统在单次密钥分发过程中，量子信道成功密钥生成的概率为，经典信道完成信息匹配的概率为，且两个信道工作相互独立．只有当量子信道密钥生成成功，且经典信道信息匹配成功，则本次有效密钥分发成功，否则本次有效密钥分发失败． (1)求该系统单次有效密钥分发成功的概率； (2)若该系统独立进行次密钥分发，记为有效分发成功的次数，求的数学期望； (3)科研人员对该系统连续传输的密钥准确率进行检测，发现密钥准确率（单位：）服从正态分布．若准确率不低于为“最优传输”，估算次密钥分发中，可用于“最优传输”的次数． 附：若，则，，． 【答案】(1) (2) (3)次密钥分发中，“最优传输”的次数约为 【分析】（1）根据两个信道工作相互独立，利用独立事件同时发生的概率乘法公式，将量子信道成功概率与经典信道匹配概率相乘，即可得到单次有效密钥分发成功的概率； （2）单次有效密钥分发成功的概率固定，次独立重复试验中成功次数服从二项分布，直接套用二项分布数学期望公式计算即可； （3）先由正态分布参数算出均值与标准差，将 “准确率不低于” 转化为正态分布中的概率，利用正态分布的对称性和，求出对应概率后乘以总次数，估算出“最优传输”的次数． 【详解】（1）设 “量子信道成功密钥生成”为事件，“经典信道完成信息匹配” 为事件， 由题意得，，且与相互独立， 所以该系统单次有效密钥分发成功的概率； （2）由题意得，，所以； （3）由题意得，，则，， 因为“最优传输”要求，即， 所以， ， 所以次密钥分发中，“最优传输”的次数约为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $