重庆市育才中学校2026届高三下学期数学适应性训练（二）试题

1.B 2.C 3.A 7.C 8.A 9.ACD 填空题 12.x+2y+1=0 4.D 5.B 10.ABD 11.AD 1a[o,9) 6.B 15.(1),在△ABC中sin(A-B)=sin(A+C)+sinC, .'sin(A-B)=sinB++sinC=sinB++sin(A+B), sinAcosB-cosAsinB=sinB++sinAcosB+cosAsinB, 可得sinB+2 cosAsinB=0, B∈(0，π)， ∴.sinB≠0， 1+2c0sA=0,即c0sA=-2, 1 又A∈(0，π)， A=2.(5分) 3 (2)在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2一2 bccosA,得b2+c2 +bc=49,(7分) 由边BC上的中线AD=厘 2 又AB+AC=2AD: 则AB+AC+2AB·AC=4A, :2+c2+2 bo写 2x=11,即+c2-bc=11, 解得b2+c2=30,(9分) 令AB,AC的中点分别为M,N,由点O为△ABC的外接 圆圆心，得OM⊥AB,ON⊥AC, ·市=+0·迹=恋=号亦=2， A0.AC=(A衣+NO)·AC-A衣·At=号A衣=， “0.A市=动.号迹+O=2ò.市+号Ad AC=子c+6)-5.13分) 4 16.(1)由题意可知，关注赛事的总人数为84+40=124人， 其中男性84人，女性40人，女性中关注表演的有24人，则 不关注表演的女性有16人. 设在关注赛事的84名男性中，关注表演的有m人，则不关 注表演的男性有84一m人， ∴.不关注表演的共有100-m人， 则P(B1A)=PCB)-124-m P(A) 84 84 124 16 且P(A1B)=P(AB) 124 16 P(B) 100-m100-m 124 由P(B1AP不=方得号·0°m,5分) 16 i.V-me-V-me 解得m=20, :三棱锥A一PDE与三棱锥A一PBC的高相等 ∴.关注表演的男性有20人， ÷3=即=0分剂 即在样本中关注表演的共有44人，在样本中的比例为00 44 ∴.D,E分别为棱PC,PB中点 =0.22, 则D(0,1√3)，E(1.0w3), 由此估计，从平台的所有用户中任意抽取一名用户，该用 Ad=0,33),At=(1,23). 户关注表演的概率约为0.22.(8分) 设平面ADE的法向量n=(x,y,. (2)由题意得列联表如下： 性别关注赛事不关注赛事合计 则小市-3y+5:=0 解得平面ADE的一个法向 n·AE=x+2y+/3e=0 男 84 36 120 女 40 40 量n=(-1,-1√3)， 80 合计 124 76 200 易知平面ABC的一个法向量m=(0,0,1),(12分) 设平面ADE与平面ABC夹角为0， 则K=200X84X40-36X40)≈8.149>7.879. 120×80×124×76 故有99.5%的把握认为是否关注赛事与性别有关.(15分 17.(1)取AC中点O,连接OP.OB. :平面ADE与平面ABC夹角的余弦值为压.15分》 18.(1)由题意得抛物线的方程为x2=2py, 焦点为0，号)，准线方程为y=-台， 点A(2,。)在抛物线上，故2=2%，解得%=号 点A到焦点的距离为2，则有”十专=2， ,△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90° 即子十号=2，解得=2， ∴.BO⊥AC,且由AC=4可得BO=2, 因此抛物线的x2=4y.(4分) :△PAC为等边三角形， (2)由=2，可得%=1，即A(2,1), ∴.POLAC,且由AC=4可得PO=2√5， 设P(y),Q(x1,2),过(0，一1)的直线为y=kx-1, 又：POC平面PAC,BOC平面ABC,平面PAC∩平面 与x2=4y联立得x一4kx十4=0， ABC=AC. (△=16k-16>0 .∠POB即为二面角P一AC一B的平面角 则{+x:=4k,(6分) :PB=4,由勾股定理可得PB=PO+BO。 x1x=4 ∴.OP⊥OB. .∠POB=90°. 二2 又=当二1 4-1 .平面PAC⊥平面ABC.(6分) (2)由(1)可知OB,OC,OP两两垂直 同理=十2 4 分别以OB,OC,OP为x,y,:轴建立如图所示坐标系， x1十x2十4 2 故+=4十2十十2)=4·平)十 =4中8+=2.10分) 4k+4 则A(0,-2,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,23) (3)设M(x,y),N(x4,y) ,BC∥平面ADE,BCC平面PBC,平面PBC∩平面ADE =DE, .BC∥DE,则△PDE∽△PBC, 六=受 :截面ADE将三棱锥P一ABC分成上下两个几何体的体 积之比为1：3， M处切线方程为：y一为=受(x一)， V处切线方程为：y一y=受(x一x), 整理得2y十2y%=xx3,和2y十2y=xx, B(t,一1)代人上述方程， 得-2十2为=z,-2+2y=tx4, 因此直线MN的方程为tx-2y+2=0,(13分) 「由二2+2=0整理得2-2u二40. 易知△=42+16>0， ∴.x1x1=-4,x31十x4=21, MN=Va-+-F=√+气a-l =√++-五=r+ 点B到直线MN的距离为d=l十-=V个+不，15分) +4 Samw=2r+40≥2×4=4， 当且仅当1=0时，S。x取得最小值4，(17分) 19.1):f(x)是R上的偶函数， ∴f(一x)=f(x),等式两边同时求导可得： -(-x)=f(x), ∴f(x)为R上的奇函数，故g(x)为R上的奇函数 f(x)+g(x)=2+1,① .f(-x)+g(-x)=2+1 ∴.f(x)-g(x)=2-+1② 由①②可得：f(x)=2+2,g(x)=2-2.(4分) (2),2[f(x)]-3g(x)≤8 .2(2+2)2-3(2-2-)≤8， 令t=2-2r.则 2(2+4)-31≤8，即22-31≤0， 60<< 2"-2≥0 即。 2-2≤2 ∴.1≤2≤2，解得x∈[0,1].(8分) (3)由已知结合(1)的结论可得， 函数h(x)=xlnx-2x, 定义域为(0，十o∞)，h'(x)=lnx-1, 令h'(x)<0,可得0<x<e,此时，函数h(x)在(0，e)上单 调递减， 令h'(x)>0,可得x>e,此时，函数h(x)在(e,+∞)上单 调递增， ∴.函数h(x)在(0，e)上单调递减，在(e,十o∞)上单调递增. 由题意知h()=h(x)=a, 不妨设x1<x,则0<<e<x· 要证1+x:>2e,即证x>2e-x1>e, 即证h(x2)>h(2e-x1), 又h(x2)=h(x1),即证h(m1)>h(2e-x1), (r)=h(x)-h(2e-r)=zinz-(2e-r)In(2e-z)- 4.r十4e,其中0<x<e, 则'(x)=lnx+ln(2e-x)-2=1n(2ex-x2)-2, 0<x<e,则2ex-x2=-(x-e)2+e2∈(0，e2), ∴.g'(x)=ln(2ex-x2)-2<lne2-2=0, 故函数e(x)在(0，e)上为减函数 又，(e)=0, .p(x)>0对任意的x∈(0，e)恒成立， 则p()=h(x)-h(2e-x1)>0,即h()>h(2e-x1), 故2e<x1+x成立.(12分) 接下来证明x1十x<e, 令要=，则>1， 又h(x1)=h(x2) Inr-2n=x:Inx:-2x2, 1n=℃+2 要证x十x<e2,即证(1十t)x<e2, 不等式(1十)x1<e两边取对数 即证lnr1十ln(t+1)<2, 即证把+2+1a+10<2, 中<兴4分 令m()=xe1,+o 1-1-Int 则m'()=(x-1)产 令F)=1-上-1n,其中x∈1，+)， 则F0=-<0 .m(x)在(1，十∞)上单调递减， 则当x∈(1，十o∞)时，m(x)<m(1)=0, 故当x∈(1，+o∞)时，F(x)<0, 可得函数F(x)在(1，十o∞)上单调递减，可得F(+1)<F(), 即D<兴 .x1+x1<e, 综上，2e<x1+x2<e2.(17分)2026届高三数学适应性训练（二) 本训练共150分，时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的、 1.已知集合A={x|x2<1),B={x|1nx<1},则AUB= A.（-1,0) B.（-1,e) C.(0,1) D.(0,e) 2.已知复数文满足之十2=2+（其中i为虚数单位），则1z= A.1 B.2 C.√2 D.2√2 3.已知函数f(x)=sin2x十acos2x的一个零点是5，为了得到函数y=2cos2x的图象，只需将f(x) 的图象 A.向左平移个单位长度 B.向左平移否个单位长度 C.向右平移器个单位长度 D.向右平移否个单位长度 4.声强级，是指声强x(单位：W/m)和定值a(单位：W/m)比值的常用对数值再乘以10，即声强级 d(x)=101g(单位：dB.已知人与人交谈时的声强级约为45dB,一种火箭发射时的声强和人与 人交谈时的声强的比值约为101，那么这种火箭发射的声强级约为 A.150 dB B.285 dB C.145 dB D.235 dB 5.已知随机变量X~N(1,d2)且P(X≤-2)=P(X≥2a-2),则(ax一1)7展开式中各项系数之和 为 A.64 B.128 C.-64 D.-128 6.已知一圆台的侧面展开图扇环的面积为9π，半径为√2的球O与该圆台的上、下底面及侧面均相 切，则圆台的体积等于 A.n 且4 g D.262 3π 7.在荷花池中，有一只蜻蜓在成品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶 飞到另一叶)，而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示 A 假设现在蜻蜓在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率为 B A品 8后 c品 27 D.64 《高三·数学·训练二》第1页（共4页） 8.椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经 过椭圆的另一个焦点.设椭圆C的两个焦点分别为F1(一2,0)，F2（2,0),如 图，光线由点F1发出射到椭圆C上的点P处，经反射后到点F2,再经过x轴 反射到椭圆C上的点H,最后反射回点F1,若光线经过的总路程为12，且 |PF2=2|HF2|,则直线PF2的斜率为 A.-√3 B.-2 C.-√2 D.-台 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9.已知{an)是各项均为正数的等差数列，且公差d>0,{bn}是各项均为正数的等比数列，且公比q> 1,若项数均为2n一1项(n≥2，n∈N),下列说法正确的有 A.数据a1,a2,a3,…,a2m-1的平均数是an B.数据b1,b2,b3,…,b2m-1的平均数是bn C.若a1=b1,a2m-1=b2m-1,则数据a1,ag,ag,…,a2m-1的中位数大于数据b1,b2,b3,…,b2m-1的中位数 D.若a1=b1,a2m-1=b2m-1,则数据a,a2,ag,…,a2-1的平均数大于数据b1,b2,b3,…,b2m-1的平均数 10.已知点P,Q分别为双曲线C:x2-y2=a2(a>0)的左、右顶点，点A,B是C右支上不同两点，若 Q产+QA+Q克=0且△PAB的面积为12√3，则下列说法正确的是 A.双曲线C的渐近线方程为y=士x B.点Q为△PAB的重心 C.a=4 D.△PAB为等边三角形 11.对于以下结论正确的选项是 A.已知1<b≤lna,则b-lnb≤lna-ln(lna) B.f(x)=xe2-x-lnx的最小值是e-l C.f(x)=xe2一a(x+lnx)有两个零点，则实数a的最小值为e D.若不等式aex一lnx≥0恒成立，则正实数a的最小值为e1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数f(x)=f'(0)e3x十sinx,则函数f(x)在x=0处的切线方程是 13.若直线1：mx一y十m=0与曲线C:√2x一x2-y=0恰有三个不同的公共点，则实数m的取值 范围为 14.定义：[x]是不大于x的最大整数，{x}是不小于x的最小整数，设函数f(x)={x[x]}在定义域 [0,)(n∈N*)上值域为C,记Cn元素个数为am,则上十1十…十上= an 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A-B)=sin(A+C)+sinC. 《高三·数学·训练二》第2页（共4页) (1)求A; 若a=7,边BC上的中线AD=2,设点O为△ABC的外接圆圆心，求AO·A) 16.(本小题满分15分) 为了推动乡村振兴，丰富乡村的体育活动，今年春夏之际各地“村BA”篮球联赛如火如茶的 进行，比赛间隙进行广场舞、民歌等表演，比赛期间某平台对某乡村发起了群众观赛意见反馈调 查，共收回了200份调查问卷. 性别 关注赛事 不关注赛事 男 84 36 女 40 40 (1)通过进一步分析关注赛事群众的调查问卷得知，关注表演的女性用户有24名，现从关注赛 事的群众中抽取一人，设“抽取的一人为男性”为事件A,“抽取的一人关注表演”为事件B,若 P(B1A)·P(AB)一员，则以此次调查的数据为依据，估计从平台用户中任意抽取一名用 户，该用户关注表演的概率为多少； (2)是否有99.5%的把握认为是否关注赛事与性别有关？ n(ad-bc)2 附：K=a+b十adb+dD其中n=a+6+c+d P(K≥k) 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 17.(本小题满分15分) 如图，在三棱锥P一ABC中，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，△PAC为等边三角 形，AC=PB=4,D,E分别为PC,PB上的动点，且BC∥平面ADE. (1)证明：平面PAC⊥平面ABC; (2)若截面ADE将三棱锥P一ABC分成上下两个几何体的体积之比为1： 3,求平面ADE与平面ABC夹角的余弦值. 《高三·数学·训练二》第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 已知抛物线C:x2=2y(p>0)上一点A(2,ya)到焦点的距离为2. (1)求抛物线C的方程； (2)过0，一1)的直线交C于P,Q两点，直线AP,AQ的斜率分别为1和点，证明：后十后为定 值； (3)在直线y=一1上任取一点B(t,一1)，过点B分别作曲线C:x2=4y的两条切线，切点分别 为M和N,设△BMN的面积为S,求S的最小值. 19已知函数是定义镜为R的偶西数，f()是代0的导两数，g(a)=侵，且fa)十 g(x)=2x+1. (1)求函数f(x),g(x)的解析式； (2)求关于x的不等式2[f(x)]2一3g(x)≤8的解集； (3)若五(x)=xlnx十log2[f(2x十1)一g(2x十1)]，方程h(x)=a有两个不相等的实数根x1,x2, 求证：2e<x1十x2<e2, 《高三·数学·训练二》第4页（共4页）