3.5一次函数与二元一次方程的关系 同步练习题 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

2025-2026学年湘教版八年级数学下册《3.5一次函数与二元一次方程的关系》 同步练习题（附答案） 一、单选题 1．若方程组没有解，则一次函数与的图象必定（    ） A．重合 B．平行 C．相交 D．无法确定 2．已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，一次函数（是常数且）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．方程的解是 D．不等式的解集是 4．如图，直线、的交点坐标可以看作哪一个方程组的解（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知一次函数（k，b是常数，且）的图象与x轴、y轴分别交于点和，下列结论正确的是（    ） A．关于x的方程的解为 B．关于x的方程的解为 C．关于x的不等式的解集为 D．关于x的不等式的解集为 6．已知一次函数和一次函数的自变量x与因变量，的部分对应数值如表所示，则关于x，y的二元一次方程组的解为（    ） x … 0 1 2 … … 0 1 2 3 … … 1 3 … A． B． C． D． 二、填空题 7．一次函数，当时，________，这条直线与x轴的交点的坐标是________，因此，方程的解是________． 8．一次函数的图象与两坐标轴围成图形的面积是___________． 9．一次函数与的图象交点坐标是______，它可以看作是二元一次方程组______的解． 10．已知关于的方程组的解是则直线与直线的交点坐标是_______． 11．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则方程组的解为___________． 12．若方程组有无穷多组解，则直线不经过第_____象限． 13．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象如图所示，则不等式的解集为__________． 14．如图，一次函数（，为常数，且）与（，为常数，且）相交于点，则关于x的不等式的解集是________． 三、解答题 15．（1）在同一平面直角坐标系中，作出函数与的图象； （2）利用图象法求方程组的解． 16．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围． 17．已知直线经过点． (1)求直线的解析式； (2)若直线与轴交于点D，与直线相交于点C，求的面积； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 18．如图，直线的表达式为，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过点，直线，交于点． (1)求直线的表达式； (2)写出关于，的二元一次方程组的解； (3)求的面积． 19．如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线经过点、，直线，交于点． (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)求的面积； (4)在直线上存在异于点的另一点，使得是的面积的倍，求点的坐标． 20．【材料阅读】二元一次方程有无数组解，如：，，，．如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）请在图1中画出二元一次方程组 中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程组 无解，请在图2中画出符合题意的两条直线，设方程①图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程②图象与x，y轴的交点分别是C、D，计算的度数，并直接写出k的值． 【拓展应用】 （3）图3中包含关于x，y的二元一次方程组 的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解及m的值； 参考答案 1．解：将方程组中的两个方程转化为一次函数形式：第一个方程 可化为 ；第二个方程 两边除以2，得 ，即 ． ∵方程组没有解， ∴一次函数与的图象无交点， ∴一次函数与的图象必定平行． 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解与对应的两条一次函数图象交点坐标的关系，解题的关键是理解二元一次方程组的解就是其对应的两条直线的交点坐标． 确认直线方程与方程组中方程的对应关系，根据“方程组的解是两直线交点坐标”直接得出结果． 【详解】解析：二元一次方程组的解是其对应的两条一次函数图象交点的坐标． 已知方程组的解为，而直线 是方程的变形，直线是方程的变形，因此两直线的交点坐标即为方程组的解． 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程，根据函数图象逐项判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意； 、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意； 、由函数图象可知，当时，，所以方程的解是，该选项说法正确，符合题意； 、由函数图象可知，当时，，所以不等式的解集是，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 4．A 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二元一次方程组的解与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用待定系数法求得两个一次函数的解析式，即可求得答案． 【详解】解：不妨设、为，， 不妨设过，将代入，得到 ， 解得， 为，即， 由题意可知，过，将代入，得到 ， 解得， 为，即， 直线、的交点坐标可以看做方程组的解， 故选：A． 5．D 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键．根据函数的图象判断即可． 【详解】解：如图，直线（和是常数且）交轴，轴分别于点， ， ， ∴直线的解析式为， 当时，则， 解得，故B错误，不合题意； 由图象可知方程的解是，故A错误，不合题意； 不等式的解集是，故 C 错误，不合题意； 当时，则， 解得， 等式的解集是，故D正确，符合题意； 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了一次函数图象交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题． 【详解】解：由表格可知，一次函数和一次函数的图象都经过点， ∴一次函数与的图象的交点坐标为， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为． 故选：C． 7． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．代入求出的值，进而可得出这条直线与轴的交点坐标，于是得到方程的解． 【详解】解：当时，， 解得：， 这条直线与轴的交点是． 方程的解是， 故答案为：；，． 8． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．求线段的长的问题一般是转化为求点的坐标解决． 求得函数与坐标轴的交点，然后根据三角形的面积公式即可求得三角形的面积． 【详解】解：一次函数的关系式是，当 时，；当时，，解得：， ∴其图象与坐标轴围成的三角形面积是：． 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，属于基础题，关键是掌握两个一次函数的交点即为方程组的解． 解，即可得出交点坐标，把一次函数化为方程的形式即可得出要求的方程组． 【详解】解：由题意得：，解得：， 故其可看成的解， 故答案为，． 10． 【分析】先明确方程组的解与两直线交点坐标的关系，再利用已知方程组的解得出交点坐标．本题主要考查一次函数与二元一次方程组的关系，知道方程组的解对应两直线交点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程组可变形为，方程组的解是， ∴ 直线与直线的交点坐标是． 故答案为： ． 11． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系． 两条直线的交点坐标就是两条直线的解析式构成的方程组的解． 【详解】解：方程组可化为：， 即坐标系中直线与直线的交点坐标， ∴方程组的解为． 故答案为：． 12．四 【分析】本题主要考查了一次函数图象所经过的象限，方程组的解， 根据方程组有无穷组解可得，求出解可得一次函数关系式，即可得出答案. 【详解】解：∵方程组有无穷组解， ∴， 解得， 一次函数关系式为， 则一次函数经过第一，二，三象限， 所以不经过第四象限. 故答案为：四. 13． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是根据函数图象的位置关系确定自变量的取值范围． 观察图象，函数图象都位于轴上方且函数的图象位于函数的图象上方时，自变量的取值即为不等式的解集． 【详解】解：由图象知，两函数图象的交点的纵坐标为2， 将代入中，得， ∴两函数图象的交点坐标为， 观察图象，当时，函数的图象位于函数的图象上方，且都位于x轴的上方， 故不等式的解集为． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了图象法解一元一次不等式，由图象得当时，，即可求解． 【详解】解：由图象得 当时，， ， ， 不等式的解集是， 故答案为：． 15．（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了一次函数图象的绘制以及一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数图象的绘制方法和 “一次函数图象的交点坐标是对应的二元一次方程组的解” 是解题的关键． （1）通过找两个函数上的点来绘制图象； （2）依据一次函数图象交点与二元一次方程组解的关系，利用图象交点求方程组的解． 【详解】解：（1）如图所示． （2）由图可知函数与交点为， 所以方程组的解为 16．(1)， (2) 【分析】本题考查两直线相交或平行问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）把点代入先求出a的值，然后再代入求出b值即可； （2）设直线与交于点D，求出，代入，得，根据时，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，得． 【详解】（1）解：∵函数与的图象交于点， ∴， 解得， ∴点， 代入， 得， 解得， （2）解：设直线与直线交于点D， 由（1）知，， 代入， 得， 当时，， ∴， 代入， 得， 当直线与直线平行时， 得， ∵时，函数的值小于函数的值，且大于函数的值， ∴． 17．(1) (2)3 (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）分别求出C、D两点的坐标，即可求得的面积； （3）观察图象知，当时，直线在直线的上方，即可得不等式的解集． 【详解】（1）解：把坐标代入中， 得：，解得：， ∴， 即直线的解析式为； （2）解：解，得：， 即； 令，得， 即， ∵， ∴； （3）解：当时，表明直线在直线的上方， 由图象知，此时， ∴的解集为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线的交点坐标，一次函数与一元一次不等式，求直线围成的三角形的面积等知识，注意数形结合思想的应用． 18．(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把点代入，得，求出点，根据点，，利用待定系数法即可求出直线解析式； （）根据两条直线交点坐标为，即可确定方程组的解； （）两个直线解析式分别令，即可求出点和点，即可求出，结合点的坐标利用三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， ∴点， 把点，代入，得 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：∵直线与的交点的坐标为， ∴的解为； （3）解：在中，令，得， 解得， ∴点， 在中，令，得， 解得， ∴点， ∴， ∴． 19．(1) (2) (3) (4)的坐标为或 【分析】本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式是解题关键． （1）已知的解析式，令求出的值即可； （2）设的解析式为，由图联立方程组求出，的值； （3）联立方程组，求出交点的坐标，继而可求出； （4）与底边都是，根据的面积是面积的倍，可得点的坐标． 【详解】（1）解：由，令，得， ， ； （2）解：设直线的解析式表达式为， 把，；， 代入表达式得， 解得， 直线的解析式表达式为； （3）解：由， 解得， ， ， ； （4）解：与底边都是，的面积是面积的倍， 高就是点到直线的距离的倍， 即纵坐标的绝对值，则到距离， 点纵坐标是， ，， ， 解得， ， ，， ， 解得， ， 综上所述，的坐标为或． 20．（1）见解析，；（2）见解析，，；（3）， 【分析】此题考查了一次函数与二元一次方程组． （1）首先画出图象，然后根据两条直线的交点坐标求解即可； （2）根据关于，的二元一次方程无解得到两条直线平行，然后得到直线经过点，然后画出图象即可；然后根据平行线的性质求解即可； （3）首先得到直线为直线，直线为直线，进而得到直线与直线的交点坐标为，可知的解，最后将代入计算即可． 【详解】解：（1）在方程中，当时，；当时，， 如图所示， 由图象可知，直线与直线交于点， ∴同时是方程和方程的解， ∴是方程组的解， 故答案为：； （2）∵方程组无解， ∴直线与直线没有交点， ∴直线与直线平行，即 在方程中，当时，， ∴直线经过点， 如图所示，直线和直线即为所求； ∵， ∴， ∵， ∴； 由图可知经过点， ∴， 解得 （3）如图所示， 在方程中，当时，，解得， 当时，，解得， ∴直线为直线，，是方程的解， 在方程中，当时，则，即此时， ∴是方程的解，即直线经过点； ∴直线为直线， 由图可知直线与直线的交点横坐标为， ∴直线与直线的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解为， 将代入得， 解得： 学科网（北京）股份有限公司 $