精品解析：内蒙古包头市第九十三中学（北重三中）2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期高二数学期中考试卷 考试时间：5月8日 考试时长：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某物体的运动路程（单位：）， 时间（单位：）之间的关系，求在时的瞬时速度（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】求导，求出，从而求出时的瞬时速度. 【详解】，故时，， 故在时的瞬时速度为5. 故选：B 2. 已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，不等式对任意的恒成立，结合参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数在区间上为增函数， 所以，不等式对任意的恒成立，即， 当时，，所以，， 即实数的取值范围是. 故选：D. 3. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二项分布的期望和概率性质计算即可. 【详解】，解得，所以. 故选：B. 4. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数和为可得，利用通项公式计算可得结果. 【详解】∵展开式的二项式系数之和为， ∴，故， ∴展开式的第项为， 由得， ∴，即含项的系数为. 故选：B. 5. 已知一道解答题共有两小问，小李有0.6的概率可以解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ ） A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04 【答案】B 【解析】 【分析】令表示第一问解答出来，表示第二问解答出来，应用对立事件的概率求法得、，再应用全概率公式求解答出第二问的概率. 【详解】令表示第一问解答出来，表示第二问解答出来， 则，，，故，， 所以. 故选：B 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据的正负性排除B、D，再根据其单调性排除C. 【详解】或时；时，排除B、D； ，则， 得；得或， 故在上单调递增，在和上单调递减， 排除C. 故选：A 7. 某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会，社团派出甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、跳远、短跑三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，则甲不在短跑场地的不同安排的方法数为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，分甲单独与组队两种情况，利用特殊元素优先法以及分组分配的思想，可得答案. 【详解】当甲单独一人进行现场报道时，甲有种选择，再将乙、丙、丁分配到其他两个地方， 情况数为，则此时总的情况数为； 当甲与人组队进项现场报道时，先从乙、丙、丁中选出一人与甲组队，则情况数为， 再在跳高、跳远选一个去进行现场报道，则情况数， 最后剩下的两人安排去其他两个地方，则情况数为， 所以此时总的情况数为； 综上，符合题意的情况数为. 故选：C. 8. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的单调性奇偶性转化为在上恒成立，再分离参数后，利用导数求出函数的最值即可得解. 【详解】显然函数是上的增函数，也是奇函数， 因为在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 故 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 投资甲，乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示． 表1 股票甲收益的分布列 收益X（元） 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表2 股票乙收益的分布列 收益Y（元） 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 关于两种股票，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 投资股票甲的期望收益较大 D. 投资股票甲比投资股票乙风险高 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算期望以及方差，从而由期望和方差的意义判断CD，由方差和期望的性质判断AB. 【详解】，， ， ， 则投资股票甲的期望收益较大，投资股票甲比投资股票乙风险高. ， ． 故选：ACD 10. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法即可逐一求解. 【详解】令，则，故A正确， 令可得，故，故B错误， 令可得，故，故C正确， 令可得，，故D错误， 故选：AC 11. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数有两个极值点，且点和点关于点对称 B. 若关于的方程有一解，则 C. 若在上有极小值，则 D. 若在上有最大值3，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对求导，令，求出极值点，结合中点坐标公式，判断A；根据单调性和函数值画出简图，结合图象判断BCD. 【详解】对于A，，令，则， 且，对应点为，因为， 所以关于点对称，故A正确； 对于B，因为，所以当时，， 所以在上单调递减，当或时，， 所以在上单调递增，且， 画出简图为 结合图象知，有一解则或，故B错误； 对于C，结合图象，为极小值点，所以在上有极小值，则，故C正确； 对于D，令，则或， 结合图象知，在上有最大值3，则，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某地开展党史知识竞赛活动，以党支部为单位参加比赛，某党支部在5道党史题中（包含3道选择题和2道填空题）不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】方法一采用条件概率的公式，分别算出和；方法二是样本点数法，分别算出和； 方法三是缩小样本空间法 ，第1次抽到选择题后，其样本空间有4个样本点，满足事件的样本点有2个，由此可求得答案. 【详解】方法一：公式法 ，，由条件概率公式可得． 方法二：样本点数法 不放回地依次随机抽取2道题作答，样本空间有个样本点， 则，所以． 方法三：缩小样本空间法 第1次抽到选择题后，第二次再抽一道题，其样本空间有4个样本点，满足事件的样本点有2个， 所以． 故答案为：. 13. 若曲线与曲线在交点处有公切线，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】若曲线与曲线在交点处有公切线，则切点的坐标相等且切线的斜率（切点处的导函数值）均相等，由此构造关于，的方程，解方程可得答案． 【详解】， ， 曲线与曲线在交点处有公切线， 且 即， 故答案为：6 14. 如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（ 4种颜色全部使用 ），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 _______ 种.（用数字作答） 【答案】96 【解析】 【详解】试题分析： 由题意知本题是一个分步计数问题，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法（此前三步已经用去三种颜色）；第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法．所以，不同的涂色种数有4×3×2×（1×1+1×3）=96. 考点：排列组合的应用. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求函数在上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）求出导数，令导数在极值点处为0，得到，在验证在左右两边导函数异号，即可的结论； （2）由（1）中结论得到导数，然后令导数大于0，求得函数的增区间，从而得到函数的减区间，由此知道函数在已知区间上的单调性，由单调性求出最大值与最小值. 【小问1详解】 ， ∵函数在处取得极值， ∴，即， 即， 当时，，当时，，符合题意， ∴. 【小问2详解】 由（1）知， 则， 令，解得或； 令，解得； ∴函数在上单调递增，在上单调递减， 则极大值，而，. 故函数在上的最大值和最小值分别为， ，. 16. 某商场举行有奖促销活动，顾客当日消费金额达366元及以上的均可抽奖.每次抽奖都是从装有2个红球，8个白球的箱子中一次性取出2个小球，若取出2个红球，得200元本商场购物券；若取出1个红球和1个白球，得80元本商场购物券；若取出2个白球，得10元本商场购物券. （1）求顾客抽一次奖获得购物券金额的分布列； （2）为吸引更多的顾客，现在有两种改进方案，甲方案：在原方案上加一个红球和一个白球，其他不变.乙方案：在原方案的购物券上各加10元，其他不变；若你是顾客，你希望采用哪种方案. 【答案】（1）分布列见解析； （2）顾客希望采用方案乙 【解析】 【分析】（1）设获得购物券的金额为，先求得各个取值对应的概率，进而得到其分布列； （2）分别求得甲乙两方案顾客所得购物券金额的数学期望，对二者进行大小比较，选择数学期望较大者即可. 【小问1详解】 设获得购物券的金额为，则可以取200，80，10， ，，. 的分布列为： 200 80 10 【小问2详解】方案甲，设获得购物券的金额为，则可以取200，80，10， ，，. 则. 方案乙，设获得购物券的金额为，. 因，所以顾客希望采用方案乙. 17. 工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：元）与日产量（单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额R（单位：元）与日产量满足函数关系式：，已知每日的利润，且当时． （1）求的值； （2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． 【答案】（1） （2）当日产量为90吨时每日的利润可以达到最大值14300元 【解析】 【分析】（1）由题意列出利润y与日产量满足函数关系式，由当时，求出的值； （2）由利润y与日产量满足函数关系式，利用导数研究函数单调性，求出最大值及取最大值的条件. 【小问1详解】 由题意可得， 因为时，所以． 解得. 【小问2详解】 当时，， ，由可得：，（舍） 所以当时，，原函数是增函数，当时，，原函数是减函数，所以当时，取得最大值14300． 当时，． 所以当日产量为90吨时每日的利润可以达到最大值14300元． 18. 某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗A､B､C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为，引种树苗B､C的自然成活率均为. （1）任取树苗A､B､C各一棵，估计自然成活的棵数为，求的分布列及； （2）将（1）中的取得最大值时的值作为种树苗自然成活的概率.该农户决定引种棵种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为，其余的树苗不能成活. ①求一棵种树苗最终成活概率； ②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种种树苗多少棵？ 【答案】（1）分布列见解析；期望为 （2）①；②700 【解析】 【分析】（1）依题意X的所有可能值为0，1，2，3.求出概率，得到分布列，然后求解期望即可. （2）①当时,取得最大值.然后求解一棵树苗最终成活的概率. ②记为棵树苗的成活棵数，为棵树苗的利润，利用二项分布的概率以及期望求解即可. 【小问1详解】 由题意知，X的所有可能值为0，1，2，3， 则； ； ； . 由此得X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P 所以. 【小问2详解】 根据,由（1）知当时，取得最大值. ①一棵种树苗最终成活的概率为. ②记为棵种树苗的成活株数，为株种树苗的利润，则， 所以，所以， 故，要使，则有. 所以该农户应至少种植700棵种树苗，就可获利不低于20万元. 19. 已知函数且． （1）当时，判断函数零点的个数； （2）讨论函数的单调区间； （3）当时，证明：． 【答案】（1）个 （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （3）当时，将所证不等式变形为，令，求出的取值范围，令，其中，利用导数分析函数的单调性，求出该函数的最小值，证得即可. 【小问1详解】 当时，，该函数的定义域为， 则，令，可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 所以，函数的极大值为，极小值为， 当时，， 当时，，，由零点存在定理可知，存在，使得， 综上所述，当时，函数有且只有一个零点. 【小问2详解】 函数且的定义域为， 且， 当时，由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为、，减区间为. 故当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为. 【小问3详解】 当时，， 要证，即证， 即证， 令，其中，则， 所以，函数上单调递增， 当时，；当时，. 所以，函数的值域为， 要证，即证， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数减区间为，增区间为， 所以，， 因此，对任意的，，故原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期高二数学期中考试卷 考试时间：5月8日 考试时长：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某物体的运动路程（单位：）， 时间（单位：）之间的关系，求在时的瞬时速度（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 2. 已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 3. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一道解答题共有两小问，小李有0.6的概率可以解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ ） A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04 6. 函数的图象大致为（ ） A B. C. D. 7. 某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会，社团派出甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、跳远、短跑三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，则甲不在短跑场地的不同安排的方法数为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 32 8. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 投资甲，乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示． 表1 股票甲收益的分布列 收益X（元） 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表2 股票乙收益的分布列 收益Y（元） 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 关于两种股票，下列结论正确是（ ） A. B. C. 投资股票甲的期望收益较大 D. 投资股票甲比投资股票乙风险高 10. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数有两个极值点，且点和点关于点对称 B. 若关于的方程有一解，则 C. 若上有极小值，则 D. 若在上有最大值3，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某地开展党史知识竞赛活动，以党支部为单位参加比赛，某党支部在5道党史题中（包含3道选择题和2道填空题）不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则______． 13. 若曲线与曲线在交点处有公切线，则__________. 14. 如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（ 4种颜色全部使用 ），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 _______ 种.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求函数在上的最大值和最小值. 16. 某商场举行有奖促销活动，顾客当日消费金额达366元及以上的均可抽奖.每次抽奖都是从装有2个红球，8个白球的箱子中一次性取出2个小球，若取出2个红球，得200元本商场购物券；若取出1个红球和1个白球，得80元本商场购物券；若取出2个白球，得10元本商场购物券. （1）求顾客抽一次奖获得购物券金额的分布列； （2）为吸引更多的顾客，现在有两种改进方案，甲方案：在原方案上加一个红球和一个白球，其他不变.乙方案：在原方案的购物券上各加10元，其他不变；若你是顾客，你希望采用哪种方案. 17. 工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：元）与日产量（单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额R（单位：元）与日产量满足函数关系式：，已知每日的利润，且当时． （1）求的值； （2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． 18. 某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗A､B､C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为，引种树苗B､C的自然成活率均为. （1）任取树苗A､B､C各一棵，估计自然成活的棵数为，求的分布列及； （2）将（1）中的取得最大值时的值作为种树苗自然成活的概率.该农户决定引种棵种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为，其余的树苗不能成活. ①求一棵种树苗最终成活的概率； ②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种种树苗多少棵？ 19 已知函数且． （1）当时，判断函数零点的个数； （2）讨论函数的单调区间； （3）当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$