第3节 利用导数研究函数的极值、最值课件-2027届高三数学一轮复习

第3节　利用导数研究函数的极值、最值 课标解读　1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大(小)值、最大(小)值.3.对于多项式函数,能求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大(小)值.4.会用导数研究生活中的最优化问题. 1.函数的极值与导数 函数极值反映的是函数局部的性质　　 　　 条件 f'(x0)=0 x0附近的左侧f'(x)　 　0,右侧f'(x)　0  x0附近的左侧f'(x)　 　0,右侧f'(x)　0  图象   形如山峰  形如山谷 极值 f(x0)为极　　　值  f(x0)为极　　　值  极值点  x0为极　　　值点 　　　 x0为极　　　值点  极值点是一个实数 > < < > 大 小 大 小 微思考 若函数f(x)可导,则当f'(x0)=0时,f(x)一定在x=x0处取得极值吗? 提示 不一定.f'(x0)=0是f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件,例如f(x)=x3,满足f'(0)=0,但f(x)=x3在x=0处没有极值. 2.函数的最值与导数 　 　反映的是函数整体的性质 (1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条　　　　　的曲线,那么它必有最大值和最小值.  (2)一般地,求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: ①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的　　　　;  ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值　　　　比较,其中最大的一个是　　　　　,最小的一个是　　　　　　.  连续不断 极值 f(a),f(b) 最大值 最小值 常用结论 1.对于可导函数f(x),f'(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件. 2.若在区间[a,b]上函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在[a,b]上一定有最大值与最小值. 3.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值. 4.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数在区间(a,b)内的最值点. [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的极值可能不止一个,也可能没有.(　　) (2)函数的极小值一定小于函数的极大值.(　　) (3)函数的极小值一定是函数的最小值.(　　) (4)函数的极大值一定不是函数的最小值.(　　) √ × 解析 同一函数的极小值与极大值没有必然的大小关系. × 解析 如函数f(x)=x3-3x,在x=1处,函数f(x)取得极小值-2,但该函数没有最小值. √ 2.(多选题)(人A选二教材习题改编)如图是函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)在区间(3,5)内单调递减 B.函数f(x)在区间(4,5)内单调递增 C.函数f(x)在x=3处取得极大值 D.函数f(x)在x=4处取得极小值 AC 解析 由题图可知,当x∈(3,5)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(3,5)内单调递减,故A正确,B错误;由题图可知,f'(3)=0,且当x∈(0,3)时,f'(x)>0,当x∈(3,5)时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,3)内单调递增,在(3,5)内单调递减,故函数y=f(x)在x=3处取得极大值,故C正确;由题图可知,f'(4)≠0,故4不是函数f(x)的极值点,故D错误.故选AC. 3.(多选题)(2023·新高考Ⅱ,11)若函数f(x)=aln x+(a≠0)既有极大值也有极小值,则(　　) A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 BCD 解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= 因为函数f(x)既有极大值也有极小值,所以g(x)=ax2-bx-2c在区间(0,+∞)上有两个不同的零点,即一元二次方程ax2-bx-2c=0有两个不同的正实数根,设为x1,x2,所以所以b2+8ac>0,且ab>0,ac<0,bc<0,所以A不正确,B,C,D正确.故选BCD. 4.(人A选二教材例题改编)给定函数f(x)=(x+1)ex,则函数的最小值为　 　.  - 解析 由已知得f'(x)=(x+2)ex,令f'(x)=0,得x=-2,当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,因此f(x)在x=-2处取得极小值f(-2)=-,所以由f(x)的图象(图略)可知,函数的最小值为- 5.(2025·全国2,13)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=　　　　　.  -4 解析 f'(x)=[(x-2)(x-1)(x-a)]'=(x-1)(x-a)+(x-2)[(x-1)(x-a)]',又f'(2)=0,即2-a=0,所以a=2,所以f(0)=-4. 考点一　利用导数求解函数极值问题 考向1　由函数图象判断函数极值情况 例1　(多选题)(2025·山东淄博模拟)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数g(x)=xf'(x)的图象如图所示,则下列结论一定成立的是(　　) A.f(x)有三个极值点 B.f(0)为函数的极大值 C.f(-1)为f(x)的极小值 D.f(x)有两个极小值 ACD 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 由题目中函数g(x)=xf'(x)的图象,可得 当x<-2时,g(x)>0,则f'(x)<0;当-2<x<0时,g(x)<0,则f'(x)>0; 当0<x<1时,g(x)<0,则f'(x)<0;当x>1时,g(x)>0,则f'(x)>0, 所以函数f(x)分别在(-∞,-2),(0,1)内单调递减,分别在(-2,0),(1,+∞)内单调递增,所以当x=-2和x=1时,函数f(x)取得极小值,当x=0时,函数f(x)取得极大值.故选ABD. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　由图象判断函数y=f(x)的极值(点)的两个关键点 (1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能的极值点. (2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性,两者结合可得极值(点). 考点一 考点二 考点三 教材衍展 考向2　求函数的极值或极值点 例2　(2025·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)=2ln x-2(a-1)x-ax2(a>0),讨论f(x)的极值. 解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),求导得f'(x)=-2(a-1)-2ax=-因为a>0,则当x∈(0,)时,f'(x)>0, 当x∈(,+∞)时,f'(x)<0, 所以f(x)在(0,)内单调递增,在(,+∞)内单调递减, 所以当x=时,f(x)取得极大值f()=2ln-2,无极小值. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　求函数f(x)的极值或极值点的步骤 (1)求导数f'(x),不要忽略函数的定义域. (2)求方程f'(x)=0的根. (3)检查f'(x)在方程的根左、右两侧的符号,确定函数的极值或极值点. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练1](1)(多选题)(2025·山东济宁模拟)如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下列说法正确的是(　　) A.函数y=f(x)在区间(x2,x3)内单调递减 B.函数y=f(x)在区间(x4,b)内单调递增 C.函数y=f(x)在x4处取极大值 D.函数y=f(x)在x3,x6处取极小值 AB 解析 由题图知f(x)在(a,x2)和(x4,b)内单调递增,在(x2,x4)内单调递减,所以f(x)在x2处取得极大值,在x4处取得极小值,又(x2,x3)⫋(x2,x4),可知A,B正确,C,D错误.故选AB. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)(2025·天津模拟)函数f(x)=x2-ln x的极值点为　　　　　.  解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=3x- 在(0,)内,f'(x)<0,f(x)单调递减;在(,+∞)内,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以x=是函数f(x)的极小值点,没有其他极值点. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 考点二　利用导数研究函数的最值 例3　(2025·全国1,19节选)求函数f(x)=5cos x-cos 5x在区间[0,]上的最大值. 解 ∵f(x)=5cos x-cos 5x,x∈[0,],∴f'(x)=-5sin x+5sin 5x=5(sin 5x-sin x) =10cos 3xsin 2x,sin 2x≥0,令f'(x)=0,则x= ∴f(x)在区间[0,)上单调递增,在区间(]上单调递减, ∴f(x)max=f()=3 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　1.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值. 2.若所给的闭区间[a,b]含参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练2]已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2(a>0),求函数f(x)在[1,2]上的最小值. 解 函数f(x)=(x-1)ex-ax2,求导得f'(x)=xex-ax=x(ex-a). 若x∈[1,2],则 ①当ln a≥2,即a≥e2时,ex-a≤0,f'(x)≤0,函数f(x)在[1,2]上单调递减,因此函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(2)=e2-2a; ②当1<ln a<2,即e<a<e2时,函数f(x)在[1,ln a)内单调递减,在(ln a,2]上单调递增,因此函数f(x)的最小值为f(ln a)=a(ln a-1)-a(ln a)2; 考点一 考点二 考点三 教材衍展 ③当ln a≤1,即0<a≤e时,ex-a≥0,f'(x)≥0,函数f(x)在[1,2]上单调递增,因此函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)=-a. 综上,当a≥e2时,f(x)在[1,2]上的最小值为e2-2a; 当e<a<e2时,f(x)在[1,2]上的最小值为a(ln a-1)-a(ln a)2; 当0<a≤e时,f(x)在[1,2]上的最小值为-a. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 考点三　函数极值、最值的应用 考向1　已知极值(点)求参数 例4　(1)(2025·江苏南通模拟)已知函数f(x)=x(x-a)2的极大值为,则a=(　　) A.- B.- C. D. D 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 由f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,得f'(x)=3x2-4ax+a2=(3x-a)(x-a), 令f'(x)=0,解得x=或x=a. 若a>0,当x∈(-∞,)或x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,)和(a,+∞)内单调递增;当x∈(,a)时,f'(x)<0,f(x)在(,a)内单调递减,所以f(x)在x=处取得极大值,f()=-a)2=,解得a=;若a<0,当x∈(-∞,a)或x∈(,+∞)时, f'(x)>0,f(x)在(-∞,a)和(,+∞)内单调递增;当x∈(a,)时,f'(x)<0,f(x)在(a,)内单调递减,所以f(x)在x=a处取得极大值,f(a)=0,不符合题意; 若a=0,f'(x)=3x2≥0,f(x)在R上单调递增,无极值,不符合题意. 综上,a=故选D. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)已知函数f(x)的导函数g(x)=(x-1)·(x2-3x+a),若1不是函数f(x)的极值点,则实数a的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 D 解析 由题意f'(x)=g(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是函数f(x)的极值点,设h(x)=x2-3x+a,则h(1)=0,即1-3+a=0⇒a=2,当a=2时,f'(x)=(x-1)(x2-3x+2) =(x-1)2(x-2),故当x>2时,f'(x)>0;当x<2且x≠1时,f'(x)<0,因此x=2是f(x)的极值点,1不是极值点,所以a=2满足题意,故选D. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　已知函数极值点或极值求参数的两个关键点 (1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解. (2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 注意:已知极值情况求参数范围时要注意等价转化思想与数形结合思想的应用. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 考向2　已知最值(点)求参数 例5　(1)(2025·江苏盐城模拟)函数f(x)=x3-x2在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是(　　) A.(-3,2) B.[-3,2) C.[-1,2) D.(-1,2) D 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 由f(x)=x3-x2,得f'(x)=x2-2x=x(x-2). 令f'(x)>0,得x<0或x>2; 令f'(x)<0,得0<x<2, 则f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)内单调递增,在(0,2)内单调递减. 因为f(-1)=f(2),则当f(x)在(a,a+5)内存在最小值时,有 解得-1≤a<2, 则实数a的取值范围是[-1,2).故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)(2025·江苏扬州三模)若函数f(x)=a(ex+a)-x的最小值为2,则实数a的值是　　　　　.  1 解析 因为f'(x)=aex-1,当a>0时,令f'(x)=0,可得x=-ln a,由f'(x)<0,得x<-ln a,由f'(x)>0,得x>-ln a, 所以函数f(x)在(-∞,-ln a)内单调递减,在(-ln a,+∞)内单调递增, 故f(x)min=f(-ln a)=a(+a)+ln a=2,解得a=1; 当a=0时,f(x)=-x,显然函数f(x)在R上单调递减,不符合题意; 当a<0时,f'(x)=aex-1<0,函数f(x)在R上单调递减,故不符合题意. 综上,实数a的值为1. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　已知函数的最值求参数,可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值,通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值,结合已知求出参数,进而使问题得以解决. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练3](2025·广东深圳模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+b,a,b∈R.若当x∈[0,1]时,函数f(x)有最大值为1,最小值为-1,试写出一组满足上述条件的(a,b)=　 .  (1,-1)或(-3,1)(写出其中一组即可) 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 f'(x)=3x2+2ax=x(3x+2a), 若a≥0,则当x∈[0,1]时,f'(x)≥0,易知f(x)在区间[0,1]上单调递增, 故解得故(a,b)=(1,-1); 若-1≤a<0,则由f'(x)<0,得x∈[0,-),由f'(x)>0,得x∈(-,1], 则max{f(0),f(1)}={b,a+b+1}=a+b+1=1,f(-)=(-)3+a(-)2+b=+b=-1, 得4a3-27a+27=0,显然a≠-1. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 设g(a)=4a3-27a+27,则g'(a)=12a2-27.因为-1<a<0,所以g'(a)<0,故g(a)在区间(-1,0)内单调递减, 故在区间(-1,0]内有g(a)>g(0)=27,故g(a)=0在(-1,0)内无解,不满足题意; 若-<a<-1,则由f'(x)<0,得x∈[0,-),由f'(x)>0,得x∈(-,1],则max{f(0),f(1)}={b,a+b+1}=b=1,f(-)=(-)3+a(-)2+b=+1=-1, 得a=-,因为-<a<-1,故不满足题意; 考点一 考点二 考点三 教材衍展 若a≤-,则当x∈[0,1]时,f'(x)<0,故f(x)在区间[0,1]上单调递减, 故 解得故(a,b)=(-3,1). 综上,(a,b)=(1,-1)或(-3,1). 考点一 考点二 考点三 教材衍展 教材衍展　三次函数的对称性 三次函数是一类重要的函数,其规律性强,内容相对独立,且有一些独有的结论和技巧.如果能适当运用三次函数的有关结论,可以大大简化解题过程. 结论1:三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象关于点(-,f(-))中心对称. 结论2:已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象中心对称点的横坐标为x0,两个极值点分别为x1,x2,则f'(x0)=-(x1-x2)2. 结论3:若y=f(x)的图象关于点(m,n)对称,则y=f'(x)的图象关于直线x=m对称,点对称函数的导数是轴对称函数,轴对称函数的导数是点对称函数,奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 典例已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心,若函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且M(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的对称中心,则必有g'(x0)=0(其中函数g(x)=f'(x)).若实数m,n满足则m+n=(　　) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 A 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 令F(x)=x3+6x2+13x,则F'(x)=3x2+12x+13, 令h(x)=3x2+12x+13,h'(x)=6x+12=0,解得x=-2. 又F(-2)=(-2)3+6×(-2)2+13×(-2)=-10,所以函数F(x)的图象关于点(-2,-10)成中心对称. 因为 所以F(m)+F(n)=-20, 又F'(x)=3x2+12x+13=3(x+2)2+1>0,所以函数F(x)=x3+6x2+13x在R上单调递增,所以m+n=2×(-2)=-4.故选A. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练](多选题)(2024·新高考Ⅱ,11)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则(　　) A.当a>1时,f(x)有三个零点 B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b使得直线x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D.存在a使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心 AD 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 由题得,f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a).当a>1时,x∈(-∞,0),函数f(x)单调递增,x∈(0,a),函数f(x)单调递减,x∈(a,+∞),函数f(x)单调递增.又极大值f(0)=1>0,极小值 f(a)=1-a3<0,所以f(x)有三个零点,A正确; 当a<0时,x=0是f(x)的极小值点,B错误; 任何三次函数不存在对称轴,C错误; (方法一)因为f(1)=3-3a,若存在这样的a,使得点(1,3-3a)为曲线f(x)的对称中心, 则f(x)+f(2-x)=6-6a,事实上,f(x)+f(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1 =(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a,于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a,即解得a=2,即存在a=2,使得(1,f(1))是曲线f(x)的对称中心,D正确. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (方法二)任何三次函数的图象都有对称中心,对称中心的横坐标是该三次函数二阶导数的零点,f(x)=2x3-3ax2+1,f'(x)=6x2-6ax,f″(x)=12x-6a,其中f″(x)是f'(x)的导数,称为f(x)的二阶导数. 由f″(x)=0,得x=,于是该三次函数的对称中心为,由题意,点(1,f(1))也是对称中心,故=1,即a=2,即存在a=2,使得点(1,f(1))是曲线f(x)的对称中心,D正确.故选AD. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 $