第10节函数与方程课件-2027届高三数学一轮复习

第10节　函数与方程 课标解读　1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.会判断函数零点所在区间及零点个数.2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.3.能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性. 1.函数的零点 函数零点的定义:对于一般函数y=f(x),我们把使　　　　的实数x叫做函数y=f(x)的零点.  微点拨 1.函数的零点不是一个点,而是一个实数.该实数是函数图象与x轴交点的横坐标. 2.三个等价关系: f(x)=0 2.函数零点存在定理 3.二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且　　　　　的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在区间　　　　　　,使所得区间的两个端点逐步逼近　　　,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.  f(a)f(b)<0　 一分为二 零点 4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 (1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0,给定精度ε. (2)求区间(a,b)的中点c. (3)计算f(c).若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数f(x)的零点;若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c)).若f(b)·f(c)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)). (4)判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点的近似值为a(或b);否则重复第(2)~(4)步. 常用结论 1.奇函数、偶函数的非零零点成对出现,且互为相反数. 2.周期函数若存在零点,则必有无穷多个零点. [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)=x2-1的两个零点是(-1,0)和(1,0).(　　) (2)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且函数f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)f(b)<0.(　　) (3)用二分法求函数零点的近似值时,可以精确到小数点后的任何一位.(　) (4)只要函数有零点,就可以用二分法求出其近似值.(　　) × 解析 零点是-1和1. × 解析 如函数f(x)=x2-1在区间(-2,2)内有两个零点,但f(-2)f(2)>0. √ × 解析 如函数f(x)=x2的零点就不能用二分法求其近似值. 2.(人A必修一教材习题改编)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,部分对应关系如表所示,则该函数的零点个数至少为(　　) x 1 2 3 y 126.1 15.15 -3.92 x 4 5 6 y 16.78 -45.6 -232.64 A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5 B 解析 由题表可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0,所以函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点.故选B. 3.(2025·天津,7)函数f(x)=0.3x-的零点所在区间是(　　) A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) C.(0.5,1) D.(1,2) B 解析 因为函数y=0.3x在R上单调递减,y=-在[0,+∞)内单调递减,所以f(x)=0.3x-在[0,+∞)内单调递减,显然f(0)=1>0,f(0.3)=0.30.3-0.30.5>0, f(0.5)=0.30.5-0.50.5<0,根据零点存在定理可知f(x)的零点位于(0.3,0.5).故选B. 4.(人A必修一教材习题改编)下列图象所表示的函数中,不能用二分法求零点的是(　　) B 解析 观察函数图象与x轴的交点,若交点附近两侧的函数图象是连续的,且在交点两侧的函数值符号相异,则可用二分法求零点的近似值,故选项B不能用二分法求零点的近似值. 考点一　函数零点所在区间的判定 例1　(1)(2025·湖北十堰模拟)函数f(x)=x+ln x-4的零点所在的区间是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) C 解析 函数f(x)=x+ln x-4的定义域为(0,+∞), 因为函数f(x)在(0,+∞)内的图象是一条连续不断的曲线,且为增函数,又f(2)=-2+ln 2<0,f(3)=-1+ln 3>0,则f(2)·f(3)<0.由零点存在定理可知,函数f(x)=x+ln x-4的零点所在的区间是(2,3).故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)(2025·湖南益阳模拟)若函数f(x)=log2(x+3)-x的零点x0∈(k,k+1),则整数k的取值为　　　　　.  -3或2 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 由题意得f(x)的定义域为(-3,+∞),令log2(x+3)-x=0,即log2(x+3)=x,可得函数f(x)的零点为函数y=log2(x+3)的图象与y=x的图象交点的横坐标, 如图所示,可知交点有两个,其中一个交点的横坐标x0满足x0∈(-3,-2). 而函数f(x)的零点x0∈(k,k+1),解得k=-3. 又f(2)=log25-2>0,f(3)=log26-3<0,所以f(2)·f(3)<0,由零点存在定理得存在x1∈(2,3)作为f(x)的零点,因为该零点满足x1∈(k,k+1),且k为整数,所以k=2. 综上,k=-3或k=2. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　判断函数y=f(x)在某个区间内是否存在零点的方法 (1)利用函数零点存在定理 首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否是一条连续不断的曲线,然后看f(a)f(b)<0是否成立,若成立,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点,若不成立,则不一定有零点. (2)图象法 通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间内是否有交点来判断. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练1]用二分法求函数f(x)=ex-x-2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时,依次计算得到如下数据:f(1)≈-0.28,f(1.5)≈0.98,f(1.25)≈0.24,f(1.125) ≈-0.04,关于下一步的说法正确的是(　　) A.已经达到精确度的要求,可以取1.1作为近似值 B.已经达到精确度的要求,可以取1.125作为近似值 C.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.187 5) D.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.062 5) C 解析 由二分法的定义,可得正零点所在区间不断缩小,(1,1.5)→(1,1.25)→(1.125,1.25), 因为|1.125-1.25|=0.125>0.1,故没有达到精确度的要求,应该接着计算f()=f(1.187 5)的值.故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 考点二　函数零点个数的判定 例2　(1)(2025·湖北武汉模拟)已知函数f(x)=cos 2x-cos x,则函数f(x)在区间[0,2π]上的零点个数为(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 D 解析 f(x)=cos 2x-cos x=2cos2x-cos x-1=(2cos x+1)(cos x-1),由f(x)=0, 得cos x=1或cos x=-,即x=2kπ或x=+2kπ或x=+2kπ,k∈Z. 所以函数f(x)在区间[0,2π]上的零点是0,,2π,共4个.故选D. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)(2025·江西南昌模拟)若偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数g(x)=f(x)-|log6x|有　　　　　个零点.  6 解析 由函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),可得T=2是函数y=f(x)的一个周期.结合y=f(x)(x∈R)是偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=x,作出函数y=f(x)的大致图象,如图所示. 再作出函数y=|log6x|的大致图象,如图所示. 由图象可知两个函数的图象有6个交点, 所以函数g(x)=f(x)-|log6x|有6个零点. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个不同的实数根,则函数f(x)有多少个零点. (2)定理法:利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等. (3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两个函数图象的交点个数得出函数的零点个数. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练2](1)函数f(x)=的零点个数为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 D 解析 当x≤0时,由x2-1=0,解得x=-1;当x>0时,f(x)=x-2+ln x在(0,+∞)内单调递增,且f(1)=1-2+ln 1=-1<0,f(2)=2-2+ln 2=ln 2>0,即f(1)f(2)<0,所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点. 综上,函数f(x)的零点个数为2.故选D. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)(2025·陕西渭南模拟)函数f(x)=3x|log2x|-1的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 C 解析 函数f(x)=3x|log2x|-1的零点,即方程3x|log2x|-1=0的解,即|log2x|=()x的解,即函数y=|log2x|与y=()x图象交点的横坐标, 如图所示. 从函数图象可知,函数y=|log2x|与y=()x的图象有2个交点,即函数f(x)的零点个数为2.故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 考点三　函数零点的应用 考向1　根据函数零点个数求参数 例3　(1)(2025·湖南长沙模拟)已知a∈R,函数f(x)=在R上没有零点,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-1) B.(-∞,-1)∪{0} C.[1,+∞)∪{0} D.(1,+∞)∪{0} B 解析 当x≤0时,0<ex≤1,若关于x的方程ex=-a无解,则a≥0或a<-1; 当x>0时,ln(x+1)>0,若关于x的方程ln(x+1)=a无解,则a≤0. 综上,实数a的取值范围是(-∞,-1)∪{0}.故选B. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)(2025·河南平许济洛四市三模)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数y=f(x)-b恰有三个零点,则实数a的取值范围是　　　　　.  (0,e) 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 由y=x3在(-∞,a]上单调递增,且值域为(-∞,a3],对于y=|ln x-1|, 当a≤0时,则a3≤0,而|ln x-1|≥0,此时y=f(x)-b最多有两个零点; 当0<a<e时,则y=|ln x-1|=此时f(x)的大致图象如图, 由g(a)=a3+ln a-1在a∈(0,e)内单调递增,且g(1)=0,结合图象, 当0<a<1,即a3<1-ln a时,0<b≤a3,y=f(x)-b恰有三个零点; 当1≤a<e,即a3≥1-ln a时,0<b<1-ln a,y=f(x)-b恰有三个零点; 当a≥e时,y=ln x-1在(a,+∞)内单调递增, 此时函数y=f(x)-b最多有两个零点,不符合题意. 综上,a∈(0,e). 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　根据函数零点个数求参数的三种方法 (1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题,再进行求解; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练3](1)(2025·湖南长沙模拟)若函数f(x)=+m-1至少有一个零点,则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,1) B.[1,+∞) C.[0,1) D.[0,1] C 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 若函数f(x)=+m-1有零点,则关于x的方程+m-1=0有解,即关于x的方程=1-m有解, 所以函数y=的图象与直线y=1-m有交点, 而函数y=是R上的偶函数,在[0,+∞)内单调递减,函数y=的值域为(0,1],在同一平面直角坐标系内作出函数y=的大致图象与直线y=1-m,如图. 观察图象知,当且仅当0<1-m≤1,即0≤m<1时,函数y=的图象与直线y=1-m有交点,所以实数m的取值范围是[0,1).故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是(　　) A.[-1,1) B.[0,2] C.[-2,2) D.[-1,2) D 解析 由题意知g(x)= 因为g(x)有三个不同的零点,所以2-x=0在x>a时有一个解,由x=2得a<2; 由x2+3x+2=0得x=-1或x=-2,则由x≤a得a≥-1. 综上,a的取值范围为[-1,2),故选D. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 考向2　根据函数零点的范围求参数 例4　设k为实数,若函数f(x)=x2-2x+k在区间[-1,0]上有零点,则实数k的取值范围是　　　　　.  　 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 (方法一　图象法)因为函数f(x)=x2-2x+k在区间[-1,0]上有零点, 所以关于x的方程x2-2x+k=0在区间[-1,0]上有解,即函数y=x2+k与y=2x的图象在区间[-1,0]上有交点. 在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2+k,y=2x的图象,如图所示. 由图象知,当y=x2+k的图象过点(0,1)时,k=1; 当y=x2+k的图象过点时,k=- 故实数k的取值范围是 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (方法二　定理法)易知函数y=x2和函数y=-2x在区间[-1,0]上单调递减,从而函数f(x)在区间[-1,0]上单调递减.又函数f(x)在区间[-1,0]上有零点, 所以f(-1)f(0)=(-1+k)≤0,解得-k≤1. 故实数k的取值范围是 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　根据零点的取值范围求参数范围的方法 (1)直接法:直接求出函数的零点,将零点用参数表示,解关于参数的不等式即得参数的取值范围; (2)利用函数零点存在定理:分析函数的性质,利用函数零点存在定理求解; (3)数形结合法:针对两个函数,在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,利用数形结合的方法求解. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练4](2025·辽宁抚顺模拟)函数f(x)=kx-4+xlog2x在区间[1,4)内有零点,则实数k的取值范围是(　　) A.[-4,1) B.(-4,1] C.[-1,4) D.(-1,4] D 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 当x∈[1,4)时,由f(x)=kx-4+xlog2x=0,可得k+log2x-=0,令g(x)=k+log2x-, 因为函数y=log2x,y=k-在[1,4)内均单调递增,故函数g(x)=k+log2x-在[1,4)内单调递增. 因为函数f(x)在区间[1,4)内有零点,则函数g(x)在区间[1,4)内有零点, 所以 解得-1<k≤4, 所以实数k的取值范围是(-1,4]. 故选D. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 教材衍展　嵌套函数的零点 形如y=f(f(x))或y=f(g(x))的函数称为嵌套函数.求解嵌套函数的零点涉及内外两层函数,常采用换元法处理.求解时要注意抓住两点:(1)转化换元;(2)充分利用函数的图象与性质. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 典例(1)函数f(x)=则函数y=f(f(x))的所有零点之和为(　　) A.0 B.3 C.10 D.13 D 解析 令t=f(x),由f(t)=0,得解得t=0或t=3,当t=f(x)=0时,解得x=0或x=3;当t=f(x)=3时,则解得x=10,所以函数y=f(f(x))的所有零点之和为0+3+10=13,故选D. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)(2026·湖南衡阳模拟)已知函数f(x)=若有函数g(x)=af2(x)-2f(x)+1-2a有且仅有3个不同的零点,则实数a的取值范围是(　　) A.() B.() C.(] D.(] D 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 作出函数f(x)=的大致图象,如图. 函数g(x)=af2(x)-2f(x)+1-2a的零点等价于关于x的方程af2(x)-2f(x)+1-2a=0的解,当a=0时,此方程化为-2f(x)+1=0,可得f(x)=,由f(x)=,结合图象,可得方程仅有2个解,不满足题意; 考点一 考点二 考点三 教材衍展 当a=时,此方程化为f2(x)-2f(x)=0,可得f(x)=0,或f(x)=4,由f(x)=0,可得方程有一个解为x=1,由f(x)=4,结合图象,可得方程有3个解,不满足题意;设f(x)=t,方程af2(x)-2f(x)+1-2a=0可化为at2-2t+1-2a=0,所以要满足题意,关于t的二次方程at2-2t+1-2a=0的解t1,t2必须满足t1≥3,t2<0.由于Δ=4-4a(1-2a) =4(2a2-a+1)=4[2(a-)2+]>0, 则满足解得<a, 综上,实数a的取值范围为(]. 故选D. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　嵌套型复合函数y=f[g(x)]的零点个数问题的求解思路 (1)确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u); (2)确定外层函数y=f(u)的零点u=ui(i=1,2,3,…,n); (3)确定直线u=ui(i=1,2,3,…,n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1,a2,a3,…,an,则函数y=f[g(x)]的零点个数为a1+a2+a3+…+an. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练](1)已知函数f(x)=则函数g(x)=f[f(x)]-2的零点个数为(　　) A.3 B.4 C.2 D.1 A 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 令u=f(x),g(x)=0,则f(u)-2=0, 当u>1时,则f(u)=ln(u-1), 所以ln(u-1)-2=0,u=e2+1; 当u≤1时,f(u)=-u+1, 则-u+1-2=0,解得u=-1. 作出函数u=f(x)的大致图象如图所示,直线u=-1与函数u=f(x)的图象只有1个交点,直线u=e2+1与函数u=f(x)的图象有2个交点,所以函数g(x)有3个零点.故选A. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)(2025·山东临沂三模)已知函数f(x)=若函数y=f(f(x))有8个零点,则实数a的取值范围是(　　) A.(1,+∞) B.(-∞,0) C.(-1,0) D.(-∞,-1) D 解析 当a≥0,x≤0时,抛物线f(x)=-x2+2ax的对称轴为直线x=a≥0, 所以f(x)在(-∞,0)内单调递增,函数f(x)的大致图象如图所示. 令f(x)=t,y=f(f(x))=f(t)=0,解得t=0或t=1,即f(x)=t=0或 f(x)=t=1,根据图象f(x)=t=0有2个解,f(x)=t=1有1个解, 所以此时y=f(f(x))有3个零点,不符合题意; 考点一 考点二 考点三 教材衍展 当a<0,x≤0时,抛物线f(x)=-x2+2ax的对称轴为直线x=a<0,所以f(x)在(-∞,a)内单调递增,在(a,0)内单调递减,函数f(x)的大致图象如图所示. 令f(x)=t,y=f(f(x))=f(t)=0,解得t=2a,或t=0,或t=1,根据图象关于x的方程f(x)=t=2a<0有2个解,f(x)=t=0有3个解,又y=f(f(x))有8个零点,所以f(x)=t=1要有3个解,即解得a<-1,故实数a的取值范围是(-∞,-1).故选D. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 A. B. C. D. $