第1节　函数的概念及其表示课件-2027届高三数学一轮复习

第1节　函数的概念及其表示 领航备考路径 核心考点 2021 2022 2023 2024 2025 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 1卷 2卷 1.函数的概念与表示         T11   T6       2.函数的单调性         T4 T6 T6 T8     3.函数的性质及其应用 T13 T8 T12 T8 T11 T4 T8 T6 T5 T10 4.指对幂运算及大小比较   T7 T7           T8   5.指数函数、对数函数、幂函数         T4           6.函数的图象             T18       7.函数与方程     T10               8.函数模型及其应用         T10           考情深度分析 函数模块是高考数学的核心考点,常以基本初等函数或其复合函数为载体,覆盖定义域、值域、性质、图象、零点等知识,并常与导数、不等式、方程等综合命题.考查数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想,难度中等. 综合化趋势明显:函数与基本初等函数的考查会越来越注重与其他知识的综合,如与不等式、方程、导数等知识的结合,形成综合性较强的题目. 抽象函数考查增多:随着新高考题型的变化,抽象函数与函数基本性质的结合将成为重要的命题方向,考查学生对函数概念和性质的深入理解及灵活运用能力. 实际应用问题受到关注:函数的应用问题,特别是函数模型在实际问题中的应用,将会受到更多关注,考查学生运用数学知识解决实际问题的能力. 高效复习策略 1.夯实基础:明确函数核心概念(定义域、值域、单调性、奇偶性等),熟练掌握二次函数、指对幂函数的图象与性质. 2.强化思想方法:重点训练数形结合、函数与方程、分类讨论思想的应用. 3.提升运算能力:加强代数推理、变形化简及数值计算的准确性,确保解题效率. 4.活用教材结论:运用教材中函数性质的拓展结论,简化问题解决流程. 5.抽象函数处理:通过寻找函数原型(如指数、对数函数模型)辅助分析抽象问题. 关键点是以基础为本,强化思想与运算,注重综合应用能力. 课标解读　1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.2.理解函数的三种表示方法:图象法、列表法、解析法.会根据不同的需要选择恰当的方法.3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 1.函数的概念 概念 一般地,设A,B是非空的　　　　　　,如果对于集合A中的　　　　　　　,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有　　　　确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数  三要素 对应关系 y=f(x),x∈A 定义域 　　　的取值范围A  值域 与x的值对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 同一个函数 如果两个函数的　　　　　　相同,　　　　　　完全一致,那么这两个函数是同一个函数  实数集 任意一个数x 唯一 x 定义域 对应关系 微点拨 函数概念中的两个允许,两个不允许: (1)不允许“一对多”,允许“多对一”. (2)不允许A中存在“闲置”的元素,允许B中有“闲置”的元素. 微思考 定义域与值域相同的两个函数是同一个函数吗?值域与对应关系相同的两个函数是同一个函数吗? 提示 定义域与值域相同的两个函数不一定是同一个函数,例如f(x)=2x与g(x)=-2x;值域与对应关系相同的两个函数不一定是同一个函数,例如f(x)=x2(x≥0)与g(x)=x2(x≤0). 2.函数的表示法 表示函数的常用方法有　　　　　　、图象法和　　　　　　.  微点拨 直线x=a(a为常数)与函数f(x)的图象至多有一个交点. 3.分段函数 如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数. 微点拨 分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,其值域等于各段函数值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是同一个函数. 解析法 列表法 [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f:A→B,其值域是集合B.(　　) (2)分段函数定义域的各段区间的交集一定是空集.(　　) (3)直线y=a与函数y=f(x)的图象可能有多个交点.(　　) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的.(　　) × 解析 函数值域是集合B的子集. √ √ × 解析 分段函数是一个函数. 2.(人A必修一例题改编)下列函数中与函数y=x(x∈R)是同一个函数的 是( 　) A.y=()2　　B.y= C.y= D.y= B 解析 函数y=()2的定义域为[0,+∞),函数y=x的定义域为R,定义域不同,所以不是同一个函数,A不符合题意; 函数y==x与y=x的定义域与对应关系都相同,所以是同一个函数,B符合题意; 函数y==|x|与y=x的对应关系不同,所以不是同一个函数,C不符合题意; 函数y==x(x≠0)与y=x的定义域不相同,所以不是同一个函数,D不符合题意.故选B. 3.(2024·上海,2)已知函数f(x)=则f(3)=　 .  解析 ∵3>0,又当x>0时,f(x)=,∴f(3)= 4.(人B必修一教材习题)已知函数f(x+1)=2x-3,则f(4)=　　　,f(x)=　　　.  3 2x-5 解析 令x+1=4,得x=3,代入得f(4)=3;设x+1=t,则x=t-1,代入得f(t)=2t-5,因此f(x)=2x-5. 5.(2022·北京,11)函数f(x)=的定义域是　 　　　　.  (-∞,0)∪(0,1] 解析 因为f(x)=,所以解得x≤1且x≠0,故函数的定义域为(-∞,0)∪(0,1]. 考点一　函数的定义域 例1　(1)(2025·内蒙古呼和浩特模拟)函数f(x)=的定义域为(　　) A.(1,5) B.(-∞,1)∪(5,+∞) C.(-∞,1]∪(5,+∞) D.(-∞,1]∪[5,+∞) C 解析 由题意得解得x≤1或x>5, 所以函数f(x)的定义域为(-∞,1]∪(5,+∞).故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)[一题多变]若函数f(x)的定义域为[-2,3],则函数f(2x-4)的定义域为(　　) A. B.[-8,2] C. D. C 解析 函数f(x)的定义域为[-2,3],要使函数f(2x-4)有意义,需满足-2≤2x-4≤3,解得1≤x,即函数f(2x-4)的定义域为故选C. 考点一 考点二 考点三 AI变式 [变式](改变抽象函数形式)本例(2)将条件中“函数f(x)的定义域为[-2,3]”改为“函数f(x-1)的定义域为[-2,3]”,求函数f(2x-4)的定义域. 解 因为函数f(x-1)的定义域为[-2,3],所以-2≤x≤3,则-3≤x-1≤2,所以f(x)的定义域为[-3,2]. 则函数f(2x-4)的自变量x需满足-3≤2x-4≤2,解得x≤3, 即函数f(2x-4)的定义域为 考点一 考点二 考点三 规律方法　1.求具体函数的定义域时,只需根据解析式列出关于自变量的不等式(组),然后求其解集即可. 2.求抽象函数的定义域的策略: (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出; (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域. 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)(2026·广东江门模拟)已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=f()+f(x-1)的定义域为　　　　　.  (0,2)　 解析 ∵函数f(x)的定义域为(-1,1), ∴ ∴0<x<2,∴g(x)=f()+f(x-1)的定义域为(0,2). 考点一 考点二 考点三 (2)(原创题)已知函数f(2x-3)的定义域为[0,4],则函数g(x)=f(+1)+的定义域为　　　　 　.  [0,1)∪(1,16] 解析 由f(2x-3)的定义域为x∈[0,4],得-3≤2x-3≤5,故f(x)的定义域为[-3,5].则有解得x∈[0,1)∪(1,16]. 考点一 考点二 考点三 考点二　函数的解析式 例2　(1)已知f(x2+)=x4+,求f(x)的解析式; (2)已知f(1-sin x)=cos2x,求f(x)的解析式; (3)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式; (4)若对任意实数x,均有f(x)-2f(-x)=9x+2,求f(x)的解析式. 考点一 考点二 考点三 解 (1)(配凑法)f(x2+)=x4+=(x2+)2-2, 又x2+2=2,当且仅当x2=,即x=±1时,等号成立. 设t=x2+,则t≥2,所以f(t)=t2-2(t≥2),所以f(x)=x2-2(x≥2). (2)(换元法)设1-sin x=t,t∈[0,2],则sin x=1-t, 因为f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x, 所以f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2],即f(x)=2x-x2(0≤x≤2). 考点一 考点二 考点三 (3)(待定系数法)因为f(x)是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0), 所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17,即ax+(5a+b)=2x+17, 所以解得 所以f(x)=2x+7(x∈R). (4)(解方程组法)因为f(x)-2f(-x)=9x+2,① 所以f(-x)-2f(x)=9(-x)+2,② 由①+2×②得-3f(x)=-9x+6, 所以f(x)=3x-2(x∈R). 考点一 考点二 考点三 规律方法　求函数解析式的四种方法 考点一 考点二 考点三 [对点训练2]求下列函数的解析式: (1)已知f(x)=x2+2x,求f(2x+1); (2)已知f(-1)=x+2,求f(x); (3)已知f(x)-2f()=3x+2,求f(x). 考点一 考点二 考点三 解 (1)(代入法)因为f(x)=x2+2x,所以f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)=4x2+8x+3. (2)(方法一　配凑法)因为f(-1)=(-1)2+4(-1)+3,且-1≥-1,所以函数的解析式为f(x)=x2+4x+3(x≥-1). (方法二　换元法)令t=-1,则t≥-1,且=t+1,所以f(t)=(t+1)2+2(t+1)=t2+4t+3(t≥-1), 故函数的解析式为f(x)=x2+4x+3(x≥-1). (3)(解方程组法)f(x)-2f()=3x+2,① 用代换①式中的x,得f()-2f(x)=+2,② 由①②联立消去f(),得f(x)=-x--2, 故函数的解析式为f(x)=-x--2. 考点一 考点二 考点三 考点三　分段函数 考向1　分段函数求值问题 例3　(1)(2025·山东潍坊一模)已知函数f(x)= 则f(f(-1))=(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 B 解析 因为f(-1)=(-1)2+(-1)=0,所以f(f(-1))=f(0),因为f(0)=e0+ln 1=1, 所以f(f(-1))=f(0)=1.故选B. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·安徽黄山二模)已知函数f(x)= 则f(-5)=　　　　　.  0 解析 由f(x)= 可得f(-5)=f(-5+3)=f(-2)=f(-2+3)=f(1)=log31=0. 考点一 考点二 考点三 规律方法　分段函数求值问题的求解策略 (1)单层函数求值:确定x所属的区间范围,选择对应的分段解析式计算f(x). (2)复合函数求值:对于f(f(a))这类嵌套函数,采用由内到外的求解顺序计算. (3)周期函数处理:当某段解析式满足f(x)=f(x+m)(m≠0)时,利用周期性将自变量的值转化到定义域范围内,再代入计算. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](2025·山东日照一模)已知函数f(x)=则f(1)+f(-1)=　　　　　.  　 解析 因为f(1)=log3(1+8)=log39=2,f(-1)=3-1=, 所以f(1)+f(-1)=2+ 考点一 考点二 考点三 考向2　分段函数与方程、不等式 例4　(1)(2025·福建厦门三模)已知函数f(x)=若f(a)+f(-1)=2,则a=　　　　　.  8 解析 因为f(-1)=-(-1)2=-1,所以f(a)=3, 因为x≤0时,f(x)=-x2≤0, 所以a>0,f(a)=log2a=3,解得a=8. 考点一 考点二 考点三 (2)[一题多变]设函数f(x)=若f(a)≥0,则实数a的取值范围是　　　　 　.  (-∞,-2]∪[0,+∞) 解析 当a≤0时,f(a)=a2+2a,由f(a)≥0,得a2+2a≥0,解得a≥0或a≤-2,又a≤0,所以可得a=0或a≤-2;当a>0时,f(a)=lg(a2+1),由f(a)≥0,得lg(a2+1)≥0,解得a∈R,又a>0,所以可得a>0. 综上,实数a的取值范围是(-∞,-2]∪[0,+∞). 考点一 考点二 考点三 AI变式 [变式1](改变不等式结构)本例(2)中,函数解析式不变,将“f(a)≥0”改为“ f(a-1)≤3”,则实数a的取值范围是　 　　　　.  [-2,1+3] 解析 当a-1≤0,即a≤1时,f(a-1)=(a-1)2+2(a-1),由f(a-1)≤3,得(a-1)2+2(a-1)≤3,解得-2≤a≤2, 又a≤1,所以得-2≤a≤1; 当a-1>0,即a>1时,f(a-1)=lg[(a-1)2+1],由f(a-1)≤3,得lg[(a-1)2+1]≤3,解得 1-3a≤1+3,又a>1,所以得1<a≤1+3综上,实数a的取值范围是[-2,1+3]. 考点一 考点二 考点三 [变式2](将不等式改为嵌套形式)本例(2)中,函数解析式不变,将“f(a)≥0”改为“f(f(m))<0”,则实数m的取值范围是　　　　　.  (-2,0) 解析 令f(m)=t,则f(f(m))<0即为f(t)<0. 当t≤0时,f(t)=t2+2t,由f(t)<0,得t2+2t<0,解得-2<t<0,又t≤0,所以得-2<t<0;当t>0时,f(t)=lg(t2+1),由f(t)<0,得lg(t2+1)<0,此不等式无解. 综上可得-2<t<0,于是有-2<f(m)<0. 当m≤0时,f(m)=m2+2m,由-2<f(m)<0,得-2<m2+2m<0,解得-2<m<0,又m≤0,所以得-2<m<0;当m>0时,f(m)=lg(m2+1),由-2<f(m)<0,得-2<lg(m2+1)<0,此不等式无解. 综上,实数m的取值范围是(-2,0). 考点一 考点二 考点三 规律方法　与分段函数有关的方程、不等式的解法 当未知数的取值范围不确定时,分类讨论求解;当未知数的取值范围确定,且含有参数时,依据未知数的情况,直接代入相应的解析式求解. 注意:求解与分段函数有关的方程(不等式)的问题时,按不同范围求解后合并结果. 考点一 考点二 考点三 $