2.1 函数的概念及其表示 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦第二章函数专题，依据高考评价体系梳理了函数概念及表示、单调性与最值、奇偶性周期性对称性等核心考点，通过6年考频分析明确奇偶性周期性（9考）、单调性（2考）等高频考点，归纳出解析式逆推、已知单调性求参数等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题示例+方法归纳+素养提升”的备考策略，如以2024新课标Ⅰ奇偶性求参真题为例，详解“定义域求解策略”“分段函数求值三步法”，培养学生逻辑推理和数学运算素养。特设“易错陷阱警示”和“提能训练案”，帮助学生掌握零点问题等答题技巧，教师可据此精准定位学情，实现高效复习。

第二章 函数 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 函数的概念及表示 2024新课标Ⅰ，8 函数解析式的递推 1考 逻辑推理 函数单调性与最值 2023新课标Ⅰ，4 已知单调性求参数范围 2考 数学运算 逻辑推理 2024新课标Ⅰ，6 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 函数奇偶性、周期性和对称性 2023新课标Ⅱ，4 利用奇偶性求参数值 9考 数学运算 逻辑推理 数学抽象 2021新高考Ⅰ，13 2025全国一卷，5 利用奇偶性求函数值 2023新课标Ⅰ，11 2025全国二卷，9 2021新高考Ⅱ，8 2022新高考Ⅰ，12 2022新高考Ⅱ，8 利用周期性求值 2024新课标Ⅰ，18(2) 对称性的证明 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 指对 幂函数 2022新高考Ⅰ，7 指数式、对数式的大小比较 3考 逻辑推理 直观想象 2025全国一卷，8 对数式的大小比较 2021新高考Ⅱ，7 函数的零点与方程的根 2024新课标Ⅱ，6 函数的零点 2考 直观想象 逻辑推理 2024新课标Ⅱ，9 函数模型及应用 2023新课标Ⅰ，10 对数函数的应用 1考 数学运算 数学建模 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 【命题形式】 本章内容一般不会命制单一知识点的考题，常综合函数的单调性、奇偶性、周期性命题，或将函数的性质融入函数的图象进行考查，函数的零点是考查的热点之一，需要结合导数、不等式等知识进行求解． 针对本专题的知识特点，备考时首先将学习重点放在以下几方面：函数的基本性质、二次函数与幂函数、指数函数与对数函数、函数的零点与方程的根、函数模型及综合应用．其次对常见的结论或方法要加强记忆与理解，例如：①基本初等函数的解析式；②常见函数定义域的求法；③函数解析式的求法；④函数图象的变换；⑤周期函数的常用结论；⑥函数零点的常见求法等．最后，要注重函数知识与不等式、方程、导数知识的综合问题，对于函数模型及综合应用，则需掌握解题思路与常见的几类函数模型． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 第一讲　函数的概念及其表示 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[6] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的__________，如果对于集合A中的________________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三 要 素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 ______的取值范围 值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 实数集 任意一个数x 唯一 x 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 知识点二　同一个函数 1．前提条件： (1)定义域________； (2)对应关系________. 2．结论：这两个函数为同一个函数． 知识点三　函数的表示法 表示函数的常用方法有__________、图象法和列表法． 相同 相同 解析法 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 知识点四　分段函数 1．若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 2．分段函数表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的________. 并集 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 归 纳 拓 展 1．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. (4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [延伸]　 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 3．函数f(x)与f(x＋a)(a为常数a≠0)的值域相同． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (2)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数．(　　) (3)y＝ln x2与y＝2ln x表示同一函数．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 题组二　走进教材 2．(必修1习题3.1 T2改编)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 3．(多选题)(必修1P72 T1改编)下列所给图象是函数图象的是(　　) [答案]　CD [解析]　由函数概念知，题图A、B均不是函数图象，C、D是函数图象． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 4．(多选题)(必修1习题3.1 T11改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，则以下描述正确的是(　　) A．函数f(x)的定义域为[－4，4) B．函数f(x)的值域为[0，＋∞) C．此函数在定义域内是增函数 D．对于任意的y∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量x与之对应 [答案]　BD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　由图象得此函数定义域为[－4，0]∪[1，4)，值域为[0，　＋∞)，在定义域内不具备单调性，当y∈(5，＋∞)时都有唯一的x与之对应．因此，A、C不正确．故选BD． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 题组三　走向考场 [答案]　(－∞，0)∪(0，1] 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．0 B．1 C．2 D．3 [答案]　B [解析]　将x＝－1代入,得到f(－1)＝(－1)2＋(－1)＝0，所以f[f(－1)]＝f(0)，将x＝0代入，得到f(0)＝e0＋ln 1＝1.因此，f[f(－1)]＝f(0)＝1.故选B． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 考点突破 · 互动探究 返回导航 求函数的定义域——多维探究 角度1　求具体函数的定义域 A．[1，4] B．[1，4) C．[1，＋∞) D．[2，4) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 角度2　求抽象函数的定义域 1．已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨：函数定义域的求解策略 1．已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． 2．实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解. 3．抽象函数 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 【变式训练】 A．[－2，2] B．(－1，2] C．(－1，0)∪(0，2] D．(－1，1)∪(1，2] [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　[0，2] 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 求函数的解析式——师生共研 已知f(x)满足下列条件，分别求f(x)的解析式． (1)f(1－sin x)＝cos2x； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t， ∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]． 即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 ∴f(x)＝x2－2(x≥2)． (3)(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b， 又f[f(x)]＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨：求函数解析式的四种方法 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．已知一次函数f(x)满足f[f(x)－2x]＝3，则f(x)＝________. [答案]　2x＋1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 3．已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 分段函数及应用——多维探究 角度1　分段函数求值问题 A．－3 B．－2 C．－1 D．0 [答案]　B [解析]　因为f(x)为奇函数，g(－3)＝－g(3)＝－(log33－2)＝1，∴f[g(－3)]＝－2.故选B． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 角度2　分段函数与方程 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 角度3　分段函数与不等式 A．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B．(－∞，－2]∪[0，＋∞) C．[1，＋∞) D．[0，＋∞) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨：分段函数问题的求解策略 1．分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解． 2．分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．－3 B．－1 C．1 D．3 [答案]　A [解析]　∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2，当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3，当a>0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解，综上有a＝－3. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　(1，＋∞) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 函数值域的求法 求函数值域的一般方法：(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 求下列函数的值域． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　(1)解法一：分离常数法 即函数值域为(－1，1]． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 解法二：反解法 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 解法二：复合函数法 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 解法二：判别式法 ∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0. 即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2或y－1≥2. 得y≤－1或y≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 解法三：导数法(单调性法) 得－1<x<0或0<x<1. ∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3； 函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，此时y≤－1. ∴y≤－1或y≥3. 即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (5)三角换元法 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (6)解法一：绝对值不等式法 由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， 所以函数值域为[3，＋∞)． 解法二：数形结合法 画出此分段函数的图象如图，可知值域为[3，＋∞)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨：求函数值域的一般方法 3．配方法：形如y＝af2(x)＋bf(x)＋c(a≠0)的函数；如例(2)． 4．不等式法：如例(3)． 5．单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进而确定值域；如例(4)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 7．数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如例(6)． 8．导数法：如例(3)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 【变式训练】 求下列函数的值域： 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (3)由－x2＋2x>0，解得0<x<2， 所以f(x)的定义域是(0，2)． 设t＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1， 则0<t≤1，所以y＝ln t，t∈(0，1]， 由对数函数的图象和性质可知y∈(－∞，0]， 即函数f(x)的值域为(－∞，0]． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (4)令t＝x－1，∴t>0，x＝t＋1， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 提能训练　练案[6] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 A．[4，＋∞) B．[4，5)∪(5，＋∞) C．(4，5)∪(5，＋∞) D．(－∞，－5)∪(4，5] [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．(2026·山西吕梁调研)下面四组函数中，表示相同函数的一组是(　　) A．f(x)＝eln x，g(x)＝x B．f(x)＝(x－1)2，g(x)＝(x－2)2 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 3．(2025·湖北黄冈二模)已知函数f(x)＝x2的定义域A⊆R，值域B＝{9}，则满足条件的f(x)有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 [答案]　C [解析]　令f(x)＝x2＝9，则x＝±3，则满足条件的f(x)有f(x)＝x2，x∈{3}；f(x)＝x2，x∈{－3}；f(x)＝x2，x∈{－3，3}，故满足条件的f(x)有3个．故选C． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．1 B．6 C．8 D．9 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 5．(2026·山东潍坊阶段练习)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤ x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0 ≤y≤2}，可知A图象定义域不满足条件；B图象不满足函数的定义域和值域；C图象满足题目要求；D图象不是函数的图象．故选C． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．(－2，5] B．(－2，3] C．[－1，3] D．[0，2] [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 7．(2026·江西模拟)已知函数f(x)满足 A．1 B．4 C．5 D．2 024 [答案]　A [解析]　因为f(1)＝3，所以f(2)＝10，f(3)＝5，f(4)＝16，f(5)＝8，f(6)＝4，f(7)＝2，f(8)＝1，f(9)＝4，f(10)＝2，f(11)＝1，f(12)＝4，f(13)＝2，f(14)＝1，f(15)＝4，f(16)＝2，…，发现从第6项开始就是以3为周期的周期函数，2 024－5＝2 019，为3的倍数，则f(2 024)＝1.故选A． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．(－∞，－2)∪(0，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－2，0)∪(0，2) D．(－2，0)∪(2，＋∞) [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　由题意可知，a≠0.当a<0时，f(a)＝a2＋2a，f(－a)＝－a2－2a，所以由f(a)<f(－a)可得a2＋2a<－a2－2a，即a2＋2a<0，解得－2< a<0，当a>0时，f(a)＝－a2＋2a，f(－a)＝a2－2a，所以由f(a)<f(－a)可得－a2＋2a<a2－2a，即a2－2a>0，解得a>2，所以a的取值范围是(－2，0)∪(2，＋∞)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 二、多选题 9．下列说法正确的是(　　) [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 10．记无理数π＝3.1415926…0288…小数点后第a位上的数字是b，则b是a的函数，记作b＝f(a)，定义域为A，值域为B，下列说法正确的是(　　) A．值域B是定义域A的子集 B．函数图象f(a)是一群孤立的点 C．f(6)＝2 D．a也是b的函数，记作a＝f(b) [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　对于A，根据题意可知定义域为A＝{a∈N*|a≥1}，B＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，因为0∈B，0∉A，所以值域B不是定义域A的子集，所以A错误；对于B、C，由题意可知数位a对应的数字依次为1，4，1，5，9，2，6，…，则函数图象f(a)是一群孤立的点，f(6)＝2，所以B、C正确；对于D，因为b＝1时，a＝1和3，不符合函数的定义，所以D错误．故选BC． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　BCD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 三、填空题 [答案]　(－∞，2]　[0，4) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　x2－2x(x≥1) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　4　(－1，1)∪(1，＋∞) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 B组能力提升 A．(1，2] B．[－1，9] C．(1，9] D．[－1，2] [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．(2025·江西萍乡三模)已知定义在R上的函数f(x)满足对于任意实数x，y均有f(xy)＝yf(x)，且2f(2)＝f(1)＋6，则f(2 025)＝(　　) A．675 B．1 350 C．2 025 D．4 050 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 3．(多选题)下列函数中值域为R的有(　　) A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝lg(x2－2) [答案]　ABD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．44 B．45 C．1 009 D．2 019 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 C组拓展应用(选作) f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的定义域为R，则a的取值范围为________，若f(x)的值域为R，则a的取值范围为________________. [答案]　(－2，2)　(－∞，－2]∪[2，＋∞) [解析]　f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的定义域为x2＋ax＋1>0的解集，因此满足Δ<0，∴－2<a<2，而求f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的值域用复合函数法，设f(x)＝lg t，t＝x2＋ax＋1，若使值域为R，t应取到所有正数，因此需求t＝x2＋ax＋1的判别式Δ≥0，解得a≥2或a≤－2. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 谢谢观看 (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为. (3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}． (6)y＝x＋(a>0)的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (7)y＝x－(a>0)的值域为(－∞，＋∞)． (8)y＝(a≠0，ad－bc≠0)的值域为∪. (1)f(x)＝＋是一个函数．(　　) (4)函数y＝定义域为x>1.(　　) A．y＝()2 B．u＝ C．y＝ D．m＝ [解析]　函数y＝()2与函数m＝和y＝x的定义域不同，则不是同一个函数，函数y＝＝|x|与y＝x的解析式不同，也不是同一个函数，故选B． 5．(2022·北京卷)函数f(x)＝＋的定义域是________. [解析]　因为f(x)＝＋，所以x≠0且1－x≥0，解得x∈(－∞，0)∪(0，1]． 6．(2025·山东潍坊模拟)已知函数f(x)＝则f[f(－1)]＝(　　) (2026·重庆质检)函数f(x)＝＋的定义域是(　　) [解析]　由题意知，函数f(x)＝＋有意义，需满足解得1≤x<4，故f(x)＝＋的定义域为[1，4)． A．(－1，1) 　 B． C．(－1，0) D． [解析]　由函数f(x)的定义域为(－1，0)，则使函数f(2x＋1)有意义，需满足－1<2x＋1<0，解得－1<x<－，即所求函数的定义域为. 2．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为(　　) A．[0，2] B．[－1，2] C．[－，] D．[－，2] [解析]　因为y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，所以x∈[－，]，x2－1∈[－1，2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1，2]．故选B． [解析]　∵函数f(2x－1)的定义域是[0，1)，∴－1≤2x－1<1，∴函数f(x)的定义域是[－1，1)，则－1≤1－3x<1，0<x≤，即函数f(1－3x)的定义域是.故选D． 1．(2026·烟台调考)函数y＝的定义域为(　　) [解析]　由已知可得即因此，函数y＝的定义域为(－1，0)∪(0，2]．故选C． 2．已知函数f(x)的定义域是[－1，1]，则f＋f(x－1)的定义域为________. [解析]　由f(x)的定义域为[－1，1]，得解得0≤x≤ 2，即f＋f(x－1)的定义域为[0，2]． 3．(2025·四川南充阆中开学考)已知函数y＝f(x＋1)的定义域为[－2，3]，则y＝的定义域为(　　) A．[－5，5] B．(1，5] C． D． [解析]　由函数y＝f(x＋1)的定义域为[－2，3]得f(x)的定义域为[－1，4]，在函数y＝中，解得1<x≤，故选C． (2)f＝x4＋； (3)已知函数f(x)是一次函数，若f[f(x)]＝4x＋8； (4)f(x)满足2f(x)＋f＝3x－1. (2)(配凑法)f＝x4＋＝2－2， 又x2＋≥2＝2， 当且仅当x2＝，即x＝±1时等号成立． 设t＝x2＋，则t≥2，∴f(t)＝t2－2(t≥2)， 即解得或 所以f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8. (4)(构造法)已知2f(x)＋f＝3x－1，① 以代替①中的x(x≠0)， 得2f＋f(x)＝－1，② ①×2－②，得3f(x)＝6x－－1， 故f(x)＝2x－－(x≠0)． 已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)，如本例(4)． 【变式训练】 1．若f＝，则f(x)＝________. [答案]　(x≠0且x≠1) [解析]　f(x)＝＝(x≠0且x≠1)． [解析]　设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f[f(x)－2x]＝f(kx＋b－2x)＝k(kx＋b－2x)＋b＝(k2－2k)x＋kb＋b＝3，所以解得所以f(x)＝2x＋1. [答案]　－x＋ [解析]　由已知得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1， 解方程组得f(x)＝－x＋. 若函数f(x)＝为奇函数，则f[g(－3)]＝(　　) (2025·江西上饶一模)设f(x)＝若f(m)＝f(m＋1)，则m＝(　　) A．　　 　 B．　　　 C．　　　 D． [解析]　由题意可知m>0，当0<m<1时，m＋1>1，所以由f(m)＝f(m＋1)得＝3m⇒m＝；当m≥1时，m＋1>1，所以由f(m)＝f(m＋1)得3(m－1)＝3m，无解．综上，m＝.故选C． (2026·河北部分地区开学考)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥0的解集为(　　) [解析]　因为f(x)＝所以不等式f(x)≥0等价于或解得x≤－2或x＝0或x>0.所以不等式的解集为(－∞，－2]∪[0，＋∞)．故选B． 【变式训练】 1．(角度1)(2025·湖北武汉武昌区质量检测)已知f(x)＝则f＝(　　) A．2　　　 B．　　　 C．　　　 D．1 [解析]　分段函数求值问题．函数f(x)＝所以f＝2f＝2×＝1.故选D． 2．(角度2)(2026·长春模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　) 3．(角度3)(2026·内蒙古包头调研)设函数f(x)＝　若f[f(1)]>4，则实数a的取值范围为________. [解析]　因为函数f(x)＝所以f(1)＝21＋1＝3，所以f[f(1)]＝f(3)＝log33＋3a＝1＋3a，因为f[f(1)]>4，所以1＋3a>4，即3a>3，解得a>1，即实数a的取值范围为(1，＋∞)． (1)y＝； (2)y＝； (3)y＝； (4)y＝x－； (5)y＝x＋； (6)y＝|x＋1|＋|x－2|. y＝＝－1＋， ∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1，∴0<≤2. ∴－1<－1＋≤1. 由y＝，得|x|＝. ∵|x|≥0，∴≥0，∴－1<y≤1，即函数值域为(－1，1]． (2)解法一：配方法 y＝， ∴0≤y≤，∴值域为. y＝，t＝－2x2＋x＋3， 由t＝－2x2＋x＋3，解得t≤， 又∵y＝有意义，∴0≤t≤， ∴0≤y≤，∴值域为. (3)y＝＝x＋＋1. 解法一：基本不等式法 由y＝x＋＋1(x≠0)，得y－1＝x＋. ∵＝|x|＋≥2＝2， ∴|y－1|≥2，即y≤－1或y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 由y＝，得x2＋(1－y)x＋1＝0. 令y′＝1－＝<0， (4)解法一：换元法 设＝t(t≥0)，得x＝， ∴y＝－t＝－(t＋1)2＋1≤(t≥0)，∴y∈.即函数的值域为. 解法二：单调性法 ∵1－2x≥0，∴x≤，∴定义域为. 又∵函数y＝x，y＝－在上均单调递增，∴y≤－＝，∴y∈. 设x＝sin θ，θ∈， y＝sin θ＋cos θ＝sin， ∵θ∈，∴θ＋∈， ∴sin∈，∴y∈[－1，]． y＝ 1．分离常数法：形如y＝(a≠0)的函数；如例(1)． 2．反解法：形如y＝(a≠0，f(x)值域易求)的函数；如例(1)． 6．换元法：形如y＝ax＋b±(a≠0，c≠0)的函数；如例(4)；形如y＝ax＋b±(a≠0，c≠0)的函数采用三角换元法，如例(5)． (1)y＝x－； (2)y＝； (3)y＝ln(－x2＋2x)； (4)y＝(x>1)． [解析]　(1)令＝t(t≥0)，则y＝t2－t(t≥0)，所以y＝(t－1)2－在[0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以当t＝1，即x＝时，函数f(x)取得最小值，为－.故该函数的值域为. (2)根据题意得－x2＋x＋2≠0，解得x≠－1且x≠2. 因为－x2＋x＋2＝－2＋≤， 且－x2＋x＋2≠0. 所以函数f(x)的值域为(－∞，0)∪. ∴y＝＝＝t＋＋1≥2＋1， 当且仅当t＝即t＝时取等号， ∴函数的值域为[2＋1，＋∞)． 1．(2025·广东一模)函数f(x)＝的定义域为(　　) [解析]　要使函数f(x)＝有意义，则解得x≥4且x≠5，故函数f(x)的定义域为[4，5)∪(5，＋∞)．故选B． C．f(x)＝，g(t)＝|t| D．f(x)＝，g(x)＝ [解析]　判断相同函数．对于A，因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，g(x)的定义域为R，两函数定义域不相同，所以不是相同函数，故A错误；对于B，因为f(x)和g(x)的对应关系不一致，所以不是相同函数，故B错误；对于C，因为f(x)和g(t)的定义域都为R，且f(x)＝＝|x|，g(t)＝|t|，对应关系一致，所以是相同函数，故C正确；对于D，因为f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，两函数定义域不相同，所以不是相同函数，故D错误．故选C． 4．(2026·新疆吐鲁番)已知函数f(x)＝则f[f(3)]＝(　　) [解析]　因为已知函数f(x)＝所以f(3)＝－32＝－9，　则f[f(3)]＝f(－9)＝|－9|＝9，故选D． 6．(2026·四川成都阶段练习)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－1，3]，则y＝的定义域是(　　) [解析]　因为函数y＝f(2x－1)的定义域是[－1，3]，所以x∈[－1，3]，2x－1∈[－3，5]，所以y＝f(x)的定义域为[－3，5]，又因为x＋2>0，即x >－2，所以－2<x≤5，所以函数y＝的定义域为(－2，5].故选A． f(x＋1)＝若f(1)＝3，则f(2 024)＝(　　) 8．已知f(x)＝实数a满足f(a)<f(－a)，则a的取值范围是(　　) A．函数f(x)＝的定义域为(－∞，－2)∪[3，＋∞) B．f(x)＝和g(x)＝x表示同一个函数 C．函数f(x)＝的值域为 D．函数f(x)满足f(x)－2f(－x)＝x－1，则f(x)＝x＋1 [解析]　根据函数的相关定义和运算规则逐项分析．由≥0且x＋2≠0解得x≥3或x<－2，所以函数f(x)＝的定义域为(－∞，　　－2)∪[3，＋∞)，故A正确；f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，g(x)＝x的定义为(－∞，＋∞)，定义域不相同，所以f(x)＝和g(x)＝x不是同一个函数，故B错误；∵x2≥0，∵x2＋3≥3，∴0<≤，故C正确；因为函数f(x)满足f(x)－2f(－x)＝x－1，所以f(－x)－2f(x)＝－x－1，由解得f(x)＝x＋1，故D错误．故选AC． 11．(2026·新疆喀什模拟)已知函数f(x)＝，则(　　) A．f(x)＋f(－x)＝0 B．f(x)≤2 C．f(x)＋f＝2 D．f(3)＋f(2)＋f(1)＋f＋f＝5 [解析]　f(x)＋f(－x)＝＋＝≠0，故A错误；由f(x)＝≤＝2，故B正确；f(x)＋f＝＋＝＝2，故C正确；由选项C知f(x)＋f＝2，且f(1)＝1，∴f(3)＋f(2)＋f(1)＋f＋f＝2＋2＋1＝5，故D正确．故选BCD． 12．函数y＝的定义域为________；值域为________. [解析]　16－4x≥0，4x≤16，∴x≤2，定义域是(－∞，2]．∵0≤16－4x<16，∴0≤<4. 13．若f(＋1)＝x－1，则f(x)＝________. [解析]　令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)，于是有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≥1)⇒f(x)＝x2－2x(x≥1)． 14．已知函数f(x)＝则f＝________；若f(a)>a，则a的取值范围是________. [解析]　因为f＝2×＋1＝2，所以f＝f(2)＝22＝4.当a≥1时，f(a)>a⇔a2>a，解得a>1；当a<1时，f(a)>a⇔2a＋1>a，解得－1<a<1，所以不等式的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)． 15．(2026·南昌模拟)已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝________. [答案]　 [解析]　作出函数f(x)的图象，如图所示．因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3<a＋2，所以即－2<a≤3，此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2)＝，所以a＝，a>0，解得a＝2，则f(a)＝. 1．(2026·福建厦门期中)已知函数y＝f(x＋1)的定义域为[－1,4]，则y＝的定义域为(　　) [解析]　对于函数y＝f(x＋1)，有－1≤x≤4，则0≤x＋1≤5，所以，函数f(x)的定义域为[0，5]，对于函数y＝，则有解得1<x≤2，因此，函数y＝的定义域为(1，2]．故选A． [解析]　用x替换y，y替换x可得f(xy)＝yf(x)＝xf(y)，当x≠0，y≠0时，可知是常函数，于是知当x≠0时，f(x)＝cx，其中c为常数，故4c＝c＋6，解得c＝2，于是f(2 025)＝2×2 025＝4 050.故选D． C．f(x)＝ D．f(x)＝x3－1 [解析]　A项，f(x)＝3x－1为增函数，函数的值域为R，满足条件；B项，由x2－2>0得x>或x<－，此时f(x)＝lg(x2－2)的值域为R，满足条件；C项，f(x)＝当x>2时，f(x)＝2x>4，当0≤x≤ 2时，f(x)＝x2∈[0，4]，所以f(x)≥0，即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件；D项，f(x)＝x3－1是增函数，函数的值域为R，满足条件． 4．(2025·安徽马鞍山第一次教学质量检测)已知函数f(x)＝则f(1)＋f()＋f()＋…＋f()＝(　　) [解析]　由442＝1 936，452＝2 025可得，，，…，中的有理数共有44个，其余均为无理数，所以f(1)＋f()＋f()＋…　　　＋f()＝44. 5．已知函数f(x)＝. (1)求f(2)与f，f(3)与f； (2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f有什么关系？证明你的发现； (3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 027)＋f的值． [解析]　(1)因为f(x)＝＝1－， 所以f(2)＝1－＝，f＝1－＝. f(3)＝1－＝，f＝1－＝. (2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋f＝1. 证明如下：f(x)＋f＝＋＝＋＝1. (3)由(2)知f(x)＋f＝1， 所以f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1， f(4)＋f＝1，…，f(2 027)＋f＝1. 所以f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 027)＋f＝2 026. $