一元二次方程根的分布课件-2027届高三数学一轮复习

素能培优(一)　一元二次方程根的分布 所谓一元二次方程根的分布问题,就是已知一个一元二次方程根的分布情况,确定方程中系数的取值范围问题. 解决一元二次方程根的分布问题,主要根据以下几个方面建立系数变量的不等式(组)进行求解. (1)判别式Δ的符号;(2)根与系数的关系;(3)对应图象的对称轴方程x=-与所给区间的关系;(4)区间端点处函数值的符号. 题型一　已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根的正负情况 例1　已知关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0(a∈R). (1)若方程有两个不同正根,求实数a的取值范围; (2)若方程至少有一个正根,求实数a的取值范围. 题型一 题型二 题型三 解 (1)因为关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0有两个不同正实根, 所以 解得a>10或1<a<2.所以实数a的取值范围是(1,2)∪(10,+∞). 题型一 题型二 题型三 (2)由(1)易知,当1<a≤2或a≥10时,方程有两个正根(a=2或10两根相等),满足题意;当a=1时,方程化为3x-4=0,有一个正根x=,满足题意;若方程有正、负根各一个, 则解得a<1. 综上,实数a的取值范围是(-∞,2]∪[10,+∞). 题型一 题型二 题型三 规律方法　若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则 (1)两个正根⇔ (2)两个负根⇔ (3)一正一负根⇔ 题型一 题型二 题型三 [对点训练1](2025·福建厦门高三检测)若关于x的方程x2-3mx+m=0只有正实根,则m的取值范围是　　　　　.  题型一 题型二 题型三 解析 因为方程x2-3mx+m=0只有正实根, 所以①当两个正实根相等时,有Δ=9m2-4m=0,所以m=或m=0, 当m=时,两个相等的正根为,当m=0时,方程的根均为零,舍; ②当两个正实根不相等时, 设方程x2-3mx+m=0的两根为x1,x2,则解得m> 综上所述,m的取值范围是 题型一 题型二 题型三 题型二　已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根与实数k的大小关系 例2　若一元二次方程x2-(2-a)x+(5-a)=0的两个根都大于2,则实数a的取值范围是　　　　　.  (-5,-4] 解析 因为一元二次方程x2-(2-a)x+(5-a)=0的两个根都大于2, 令f(x)=x2-(2-a)x+(5-a), 所以 解得-5<a≤-4. 故实数a的取值范围为(-5,-4]. 题型一 题型二 题型三 规律方法　 根的分布情况 两根都小于k 两根都大于k 一个根小于k,一个根大于k 图象的大致形状(a>0)       满足的不 等式(组) f(k)<0 题型一 题型二 题型三 根的分 布情况 两根都小于k 两根都大于k 一个根小于k,一个根大于k 图象的大致形状(a<0)       满足的不等式(组) f(k)>0 题型一 题型二 题型三 [对点训练2]已知二次函数f(x)=(m+2)x2-(2m+4)x+3m+3有两个零点,一个大于1,一个小于1,则m的值可能为(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 B 解析 f(1)=m+2-2m-4+3m+3=2m+1,由题可知,(m+2)f(1)<0,即(m+2)(2m+1)<0,解得m∈(-2,-),故所有选项中满足题意的m的值是-1. 题型一 题型二 题型三 题型三　已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根所在的区间 例3　(1)方程x2+2ax-a=0在区间(0,1)和(1,2)各有一个根的充要条件是(　　) A.a∈(-∞,-1) B.a∈ C.a∈ D.a∈(-2,-1) B 题型一 题型二 题型三 解析 因为一元二次方程x2+2ax-a=0在区间(0,1)和(1,2)各有一个根,令f(x)=x2+2ax-a,则由题意可得解得 -<a<-1,则方程x2+2ax-a=0在区间(0,1)和(1,2)各有一个根的充要条件是 a故选B. 题型一 题型二 题型三 (2)(2026·浙江嘉兴模拟)关于x的方程x2+(m-3)x+m=0的两个根均落在(0,2)内,则m的取值范围是(　　) A.<m≤1 B.<m<1 C.<m<3 D.≤m<3 A 题型一 题型二 题型三 解析 设方程x2+(m-3)x+m=0对应的二次函数为f(x)=x2+(m-3)x+m,其图象的对称轴为直线x=-,由方程x2+(m-3)x+m=0的两个根均落在(0,2)内, 得即解得<m≤1.故选A. 题型一 题型二 题型三 规律方法　 根的分布情况 两根都在(m,n)内 有两个不同的实根且仅有一根在(m,n)内 一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内,且m<n<p<q 图象的大致形状 (a>0)       题型一 题型二 题型三 满足的不等式 (组) f(m)f(n)<0,或 或 图象的 大致形状(a<0)       题型一 题型二 题型三 满足的不等式(组) f(m)f(n)<0, 或 或 题型一 题型二 题型三 [对点训练3](2025·河南南阳模拟)关于x的方程ax2-(a+1)x-2a+3=0有两个不相等的实数根x1,x2,若-2<x1<x2<3,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a>1} B. C. D. B 题型一 题型二 题型三 解析 当a=0时,方程-x+3=0只有一个根,显然不符合题意;当a>0时,则 解得a>1; 当a<0时,则解得a<-, 故a∈{a|a>1或a<-}. 题型一 题型二 题型三 $