第3节等式性质与不等式的性质课件-2027届高三数学一轮复习

第3节　等式性质与不等式的性质 课标解读　1.梳理等式的性质,理解不等式的概念.2.掌握不等式的性质.3.能够利用不等式的性质解决有关问题. 1.比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 作商比较的两个数是同号的 a>b a-b>0 >1(a,b>0)或<1(a,b<0) a=b a-b=0 =1(b≠0) a<b a-b<0 <1(a,b>0)或>1(a,b<0) 2.等式的性质 性质 内容 对称性 如果a=b,那么　　　  传递性 如果a=b,b=c,那么　　　  可加(减)性 如果a=b,那么a±c=b±c 可乘性 如果a=b,那么ac=bc 可除性 如果a=b,c≠0,那么 b=a a=c 3.不等式的性质 性质 内容 注意 对称性 a>b⇔　　　  可逆 传递性 a>b,b>c⇒　　　  同向 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 可乘性 a>b,c>0⇒　　　　;  a>b,c<0⇒　　　  c的符号 同向可加性 a>b,c>d⇒　 　　  同向 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0⇒　　　  同向、同正 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2) 同正 可开方性 a>b>0⇒(n∈N,n≥2) 同正 b<a a>c　 ac>bc ac<bc a+c>b+d　 ac>bd 常用结论 1.两个不等式倒数性质 (1)a<0<b⇒;(2)ab>0,a>b⇒. 2.(1)糖水不等式:若a>b>0,m>0,则一定有,通俗的理解:a克的不饱和糖水里含有b克糖,往糖水里面加入m克糖,则糖水更甜; (2)糖水不等式的倒数形式:设a>b>0,m>0,则有. [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种.(　　) (2)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数,不等号方向不变.(　　) (3)一个非零实数越大,则其倒数就越小.(　　) (4)若>1,则a>b.(　　) √ × 解析 当a>b,c<0时,ac<bc. × 解析 当b<0<a时, × 解析 当a=-2,b=-1时,a<b,=2>1. 2.(人B必修一教材习题)已知a>b>0,下列不等式中正确的是(　　) A. B.ab<b2 C.-a2<-ab D. C 解析 当c=0时,,故A不正确; 因为ab-b2=b(a-b)>0,所以ab>b2,故B不正确; 因为-a2-(-ab)=-a(a-b)<0,所以-a2<-ab,故C正确; 当a=2,b=时,,故D不正确.故选C. 3.(人A必修一教材习题改编)设a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列结论正确的 是(　　) A.a+c>b+d　　B.a-c>b-d C.ac>bd D. A 解析 因为a>b,c>d,由不等式的加法性质有a+c>b+d,故A正确; 当a=3,b=2,c=2,d=1时,a-c=b-d,故B错误; 当a=0,b=-1,c=-2,d=-3时,ac<bd,故C错误; 当a=0,b=-1,c=-2,d=-3时,,故D错误.故选A. 4.(人A必修一教材例题改编)比较两个式子的大小: (x+3)(x+7)　　　(x+4)(x+6).  <  解析 (x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)=x2+10x+21-(x2+10x+24)=-3<0, 所以(x+3)(x+7)<(x+4)(x+6). 5.(苏教必修一教材例题)已知a>b,c<d,求证:a-c>b-d. 证明 (方法一)由a>b,得a-b>0;由c<d,得d-c>0. 因为(a-c)-(b-d)=(a-b)+(d-c)>0,所以a-c>b-d. (方法二)因为c<d,所以-c>-d. 又因为a>b,所以a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d. 6.(北师必修一教材习题)已知三个不等式: (1);(2)ab<0;(3)bc<ad. 请思考依据其中哪两个不等式可以推出另一个不等式,并说明理由. 解 由(1)(2)⇒(3), 理由如下:因为,所以>0,又ab<0,则bc-ad<0,即bc<ad. 由(1)(3)⇒(2), 理由如下:因为,所以>0,又bc<ad,即bc-ad<0,所以ab<0. 由(2)(3)⇒(1), 理由如下:因为bc<ad,ab<0,所以,所以 考点一　比较数(式)的大小 例1　分别比较下列两组式子的大小: (1)设x>1,M=,N=,比较M,N的大小; (2)设a>b>0,M=,N=,比较M,N的大小. 解 (1)M=,N=,因为>0,所以,即,所以M>N. 考点一 考点二 考点三 (2)(方法一　作差法)M-N= = = =, 因为a>b>0,所以a+b>0,a-b>0,2ab>0,a2+b2>0, 所以>0, 所以M>N. 考点一 考点二 考点三 (方法二　作商法)因为a>b>0, 所以>0,>0, 所以=1+>1, 所以M>N. 考点一 考点二 考点三 规律方法　 考点一 考点二 考点三 [对点训练1]已知c>1,且x=,y=,则x,y之间的大小关系是(　　) A.x>y B.x=y C.x<y D.x,y的关系随c而定 C 解析 (方法一　作商法)由题设,易知x>0,y>0,又<1,所以x<y.故选C. (方法二　构造函数法)设f(x)=,定义域为(1,+∞), 则f(x)=,故f(x)为减函数, 又c+1>c>1,则f(c+1)<f(c),即x<y.故选C. 考点一 考点二 考点三 考点二　不等式的基本性质 例2　(多选题)(2025·河北沧州模拟)下面说法正确的是(　　) A.若a<b,则 B.若a<b,则 C.若a<b,c>d,则a-c<b-d D.若a,b,m>0,则 AC 考点一 考点二 考点三 解析 因为a<b,且>0,由不等式的可乘性,知,故A正确; 若a<0<b,则,故B错误; 因为c>d,所以-c<-d,又因为a<b,由不等式的同向可加性知a-c<b-d,故C正确; 若a>b>0,则ab+am>ab+bm,不等式两边同时除以b(b+m)得,故D错误.故选AC. 考点一 考点二 考点三 规律方法　利用不等式的性质判断不等关系的方法 (1)直接法:对于说法正确的,要利用不等式的相关性质证明;对于说法错误的,只需举出一个反例即可. (2)特殊值检验法:①取值符合题目给定的条件;②尽量简化计算,便于验证;③选取具有代表性的数值. (3)分类讨论法:当变量存在取值范围限制时,需分段讨论不同情况,确保结论的全面性. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](多选题)(2026·广东梅州高三期中)对于任意实数a,b,c,d,有以下四个命题,其中正确的是(　　) A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若ac2>bc2,则a>b C.若a>b,且,则ab>0 D.若a>b>0,则 BD 考点一 考点二 考点三 解析 若a=-1,b=-2,c=-3,d=-4,则a>b,c>d,且ac<bd,故A错误; 若ac2>bc2,显然c≠0,即c2>0,则a>b,故B正确; 因为a>b,则b-a<0,又,即>0,所以ab<0,故C错误; 若a>b>0,则<0,即,故D正确. 故选BD. 考点一 考点二 考点三 考点三　不等式性质的综合应用 例3　(1)(多选题)(2026·山东青岛模拟)已知实数x,y满足1≤x-y≤5, 3≤3x+y≤11,则(　　) A.1≤x≤4 B.-4≤y≤3 C.-1≤x+y≤5 D.1≤2x+y≤8 ACD 考点一 考点二 考点三 解析 对于A,1+3≤(x-y)+(3x+y)≤5+11,即4≤4x≤16,解得1≤x≤4,故A正确; 对于B,∵1≤x-y≤5,∴-5≤y-x≤-1,∴-15≤3(y-x)≤-3, 又3≤3x+y≤11,∴-15+3≤3(y-x)+(3x+y)≤-3+11, 即-12≤4y≤8,解得-3≤y≤2,故B错误; 对于C,∵-5≤y-x≤-1,3≤3x+y≤11,∴-5+3≤(y-x)+(3x+y)≤-1+11, 即-2≤2x+2y≤10,解得-1≤x+y≤5,故C正确; 对于D,∵--(x-y)≤-(3x+y), ∴--(x-y)+(3x+y),即1≤2x+y≤8,故D正确. 故选ACD. 考点一 考点二 考点三 (2)[一题多变](2025·广东揭阳模拟)已知4<a<9,-2<b<-1,则2+b的取值范围是(　　) A.(2,5) B.(6,17) C.(1,3) D.(-3,-1) A 解析 因为4<a<9,-2<b<-1,则2<<3,可得4<2<6, 所以2<2+b<5.故选A. 考点一 考点二 考点三 AI变式 [变式1](改变待求式)本例(2)条件不变,求2a-3b的取值范围. 解 因为4<a<9,-2<b<-1,所以8<2a<18,3<-3b<6,所以11<2a-3b<24,即2a-3b的取值范围为(11,24). [变式2](改变待求式)本例(2)条件不变,求-的取值范围. 解 因为4<a<9,-2<b<-1,所以,2<-2b<4,所以<-<1,即-的取值范围为 考点一 考点二 考点三 规律方法　根据不等式的性质求取值范围的策略 (1)严格运用不等式的性质,注意其成立的条件. (2)同向不等式的两边可以相加,如果在解题过程中多次使用这种转化,就会扩大其取值范围. (3)建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系,最后一次性运用不等式的性质求得取值范围. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](1)(2025·黑龙江哈尔滨模拟)设0<α<,0<β<,则2α-的取值范围是(　　) A.(0,) B.(-) C.(0,π) D.(-,π) D 解析 由已知,得0<2α<π,-<-<0, 所以-<2α-<π.故选D. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·安徽淮南模拟)已知0<x+y<5,2<x-y<3,则z=2x-3y的取值范围是(　) A.(-) B.(-) C.() D.(-) C 考点一 考点二 考点三 解析 (方法一)设2x-3y=m(x+y)+n(x-y),则有2x-3y=(m+n)x+(m-n)y, 即解得由0<x+y<5,2<x-y<3, 可得-<-(x+y)<0,5<(x-y)<, 两同向不等式相加得-+5<-(x+y)+(x-y)<0+, 即<2x-3y<故选C. (方法二)令所以2x-3y=-a+b,由题可知0<a<5,2<b<3,则<-a+b<,即<2x-3y<故选C. 考点一 考点二 考点三 $