精品解析：海南海口实验中学2025-2026学年高三下学期数学5月模拟试卷

海南海口实验中学2025-2026学年下学期高三数学5月模拟试卷 一、单选题 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出复数的代数形式，再计算其模长. 【详解】等式两侧同时乘以可得， 则，即. 因为，且， 所以. 2. 若，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助向量模长与数量积的关系以及夹角公式计算即可得. 【详解】由，，， 则， 而，即得， 所以，又， 所以. 故选：A. 3. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，由求出实数的取值范围. 【详解】集合； ，. . 则实数的取值范围是. 故选：D. 4. 已知直线：与圆：相交于、两点，则弦长最短时直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线所过定点，结合弦长最短时直线，求解即可. 【详解】圆：，配方得. 圆心，半径. 直线：，整理为，故直线恒过点. 经验证，点在圆内，当直线时，弦长最短. 又，所以. 此时直线的方程为，即. 故选：B. 5. 现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（ ） A. 120种 B. 96种 C. 72种 D. 60种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分甲在第三个出场和甲不在第一个、第三个和最后一个出场两种情况讨论求解即可. 【详解】若甲在第三个出场，则不同的出场顺序有种； 若甲不在第一个、第三个和最后一个，则不同的出场顺序有种． 根据分类加法计数原理可知，不同的出场顺序共有种． 6. 已知，则、、的大小关系不可能为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，设，，，则、、分别为直线与函数、、图象交点的横坐标，对的取值进行分类讨论，数形结合可得出、、的大小关系. 【详解】设，设，，， 则为直线与函数图象交点的横坐标， 为直线与函数交点的横坐标， 为直线与函数图象交点的横坐标， 当时，如下图所示： 由图可得，D符合题意； 当时，可得，B符合题意； 当时，如下图所示： 由图可得，C符合题意. 故选：A. 7. 设、、、是同一个半径为的球的球面上四点，为等腰直角三角形且面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得外接圆半径，进而可得球心到平面的距离，结合球的性质可知三棱锥的高的最大值，即可得结果． 【详解】不妨设，设，则，所以， 设的外接圆的圆心为，半径为，则， 则球心到平面的距离， 当、、共线且在线段上时，三棱锥的高最大为， 此时三棱锥的体积也最大，最大值为. 故选：D． 8. 已知函数，若且的最大值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】探讨函数的性质，由已知可得，再构造函数，由其最大值为求出值即得. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 由，得，则，， 因此，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，而的最大值为， 于是，解得，此时，符合题意， 所以的值为. 故选：B 二、多选题 9. 某企业积极响应国家节水号召，对污水进行净化再利用，如图是该企业近7年的污水净化量（单位：t）的折线图，则（ ） A. 这组数据的众数是56 B. 这组数据的极差是4 C. 这组数据的60%分位数是55 D. 去掉第5年的数据后，新数据的方差会变小 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意将数据从小到大排列为52，52，53，54，55，56，56，即可得众数与极差，对于C，由百分位数计算方法即可求解，对于D，先求出这组数据的平均数为54，且第5年的数据为54，由方差的计算公式可知，去掉第5年的数据后方差变大，故D错误. 【详解】将数据从小到大排列为52，52，53，54，55，56，56，众数是52和56，A错误；极差是，B正确； 对于C，，所以60%分位数是从小到大排列的第5个数，即为55，C正确； 对于D，该组数据的平均数为，第5年的数据为54，设原始数据的方差为，去掉第5年的数据后的方差为，则 ， ， 即，故D错误. 故选：BC. 10. 若函数在上单调递增，则（ ） A. 曲线关于点对称 B. 的最大值为 C. 的最小值为-2 D. 的最大值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简函数，再结合正弦型函数的对称性、单调性逐一判断每个选项. 【详解】 对于A：因为，所以关于对称，A正确； 对于B：由，得， 因为，所以，即， 所以的最大值为，B正确； 对于C：因为，所以，又在单调递增， 由，可得，, 所以， 所以，即的最小值为，C正确； 对于D：由C分析可知，无最大值，D错误. 11. 已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，与抛物线交于，两点点在第一象限，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由抛物线的方程求得其焦点坐标及准线方程，联立直线与抛物线的方程，求得，两点的坐标，求出，判断A；求出，判断B；计算的斜率乘积，判断C；求出ΔAOB的面积，判断D. 【详解】因为抛物线：，所以，即，准线方程为， 焦点为，设，，直线：， ，可得，所以，， ，， ，所以A正确； ，，可得，所以B正确； ，所以C不正确； 的面积，所以D正确. 故选：ABD． 三、填空题 12. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为____________. 【答案】64 【解析】 【详解】已知随机变量，且， 由正态分布的对称性可得与关于对称， 即，则，解得. 令，展开式中各项系数之和为. 13. 在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在曲线附近波动，经计算，则实数___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用回归直线过样本中心点求解即得. 【详解】依题意，， 则，所以. 故答案为： 14. 已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，其中，若，且存在，使得，则______；______．（用表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据，结合，可得，进而可求出，再根据，求出的表达式，再结合，即可求出，再根据等差数列前项和公式即可得解. 【详解】由题意，， 由，即， 所以， 由，可得， 所以， 所以， 又，所以， 因为存在，使得， 即，所以， 因为，且， 所以，即， 所以， 所以， 所以. 故答案为：；. 四、解答题 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，，． （1）求； （2）若为边上一点，，，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【小问1详解】 由及，得； 由正弦定理，得， 所以，又，所以． 【小问2详解】 由（1）知，因为，所以， 由及， 得， 所以， 所以， 由余弦定理，得，即， 所以，解得， 整理得，又，所以为等边三角形， 又，所以． 16. 如图，已知四棱锥的底面是矩形且棱垂直于其底面．为棱上一点，． （1）若为中点，证明：平面； （2）若为的高，，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）由条件可得，结合（1）中坐标系，利用面面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 四棱锥中，底面是矩形，平面，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令， 则，由，得，设，则， 于是， 则，即， 因此，而平面， 所以平面. 【小问2详解】 在矩形中，，则， 由（1）中空间直角坐标系，，则， 令，则，， 由为的高，得，则，解得， 于是，而，设平面的法向量， 则，令，得，显然平面的法向量， 令二面角的大小为，则， 所以二面角的正弦值. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出导数，分类讨论，利用导数判断单调性； （2）分离参数，求解新函数的最值可得答案. 【小问1详解】 由题意可知，则， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，由解得，由解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）可知不等式，即在上恒成立， 即在上恒成立，只需即可， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，所以. 18. 已知椭圆的离心率为，左､右顶点分别为，，且过点. （1）求的方程； （2）若，为上与点，均不重合的两个动点，且直线，的斜率分别为和. （i）若（为坐标原点），判断直线和的位置关系； （ii）证明：直线经过轴上的定点. 【答案】（1） （2）（i）垂直；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率可得，再代入点可得椭圆方程； （2）（i）设点，可得，可得点坐标，进而确定，并判断位置关系；（ii）设直线方程，联立直线与椭圆，结合韦达定理，可证直线过定点. 【小问1详解】 由已知设椭圆方程为， 又椭圆离心率为，即， 所以椭圆方程为， 又椭圆过点， 所以，则，， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 （i）设，则， 又，， 因为，所以， 即， 解得，则， 即，， 所以， 即直线和垂直； （ii）由椭圆的对称性可知当时，，不成立， 所以直线与轴不平行，设，且，， 联立直线与椭圆， 得，， 则，， 又，即， 即， 即， 化简可得， 则或， 又当时，，， 又因为直线不过点，所以,所以，无解， 综上所述，，直线方程为， 所以恒过轴上的定点. 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 19. 为了高三下学期让学生能够通过体育合格考，一所中学高三年级组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．高三张同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． （1）若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； （2）若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． （3）若该同学在 A 区域投篮n次，投中次数记为；在 B、C 区域各投篮n次，投中次数分别记为​、​，记，​，比较与的大小（直接写出结果即可） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望； （3）由题意可得服从二项分布且相互独立，进而可计算得. 【小问1详解】 设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， “该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， 因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以， 已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是， 所以，，， 所以， 所以该同学投篮命中的概率为； 【小问2详解】 由题意可知，得分的可能取值为，，，， 所以， ， ， ， 所以， 所以，该同学得分的数学期望为. 【小问3详解】 由题意可得，且相互独立， 因为，，由独立性得： ， ， 则有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南海口实验中学2025-2026学年下学期高三数学5月模拟试卷 一、单选题 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线：与圆：相交于、两点，则弦长最短时直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（ ） A. 120种 B. 96种 C. 72种 D. 60种 6. 已知，则、、的大小关系不可能为（   ） A. B. C. D. 7. 设、、、是同一个半径为的球的球面上四点，为等腰直角三角形且面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若且的最大值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 某企业积极响应国家节水号召，对污水进行净化再利用，如图是该企业近7年的污水净化量（单位：t）的折线图，则（ ） A. 这组数据的众数是56 B. 这组数据的极差是4 C. 这组数据的60%分位数是55 D. 去掉第5年的数据后，新数据的方差会变小 10. 若函数在上单调递增，则（ ） A. 曲线关于点对称 B. 的最大值为 C. 的最小值为-2 D. 的最大值为2 11. 已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，与抛物线交于，两点点在第一象限，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为____________. 13. 在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在曲线附近波动，经计算，则实数___________． 14. 已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，其中，若，且存在，使得，则______；______．（用表示） 四、解答题 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，，． （1）求； （2）若为边上一点，，，证明：． 16. 如图，已知四棱锥的底面是矩形且棱垂直于其底面．为棱上一点，． （1）若为中点，证明：平面； （2）若为的高，，求二面角的正弦值． 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知椭圆的离心率为，左､右顶点分别为，，且过点. （1）求的方程； （2）若，为上与点，均不重合的两个动点，且直线，的斜率分别为和. （i）若（为坐标原点），判断直线和的位置关系； （ii）证明：直线经过轴上的定点. 19. 为了高三下学期让学生能够通过体育合格考，一所中学高三年级组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．高三张同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． （1）若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； （2）若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． （3）若该同学在 A 区域投篮n次，投中次数记为；在 B、C 区域各投篮n次，投中次数分别记为​、​，记，​，比较与的大小（直接写出结果即可） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $