河北张家口市第二中学2026届高三下学期适应性测试（三)数学试题

2025一2026学年度高三年级适应性测试（三） 数学 (高中全部) 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅡⅢNVo②③④⑤ ⑥ 档次 系数 1 选择题 5 复数的运算及复数的模 易 0.85 选择题 5 集合的交集，解不等式 易 0.78 3 选择题 椭圆方程 易 0.72 4 选择题 5 概率应用 中 0.68 5 选择题 5 不等式求参 中 0.60 6 选择题 5 解三角形 中 0.55 7 选择题 5 抽象函数解不等式 中 0.40 选择题 5 三角函数的图象与性质 中 0.30 9 选择题 6 样本数据的数字特征 中 0.65 10 选择题 6 三次函数的性质 中 0.50 11 选择题 6 抛物线的性质 难 0.28 正弦型三角函数的最小正 12 填空题 5 0.68 周期 13 填空题 5 由递推公式求数列中的项 中 0.50 14 填空题 5 圆台、圆柱与球的综合 中 0.35 15 解答题 13 等差与等比数列的综合 中 0.68 16 解答题 15 随机变量的数学期望 0.55 翻折问题，证明面面垂直，由 17 解答题 15 中 0.45 线面角的正弦值求参 函数的单调性与零点个数， 18 解答题 17 证明不等式 L 中 0.35 19 解答题 17 双曲线与直线的位置关系 难 0.28 ·%1 参考答案及解析 数学 参考答案及解析 一、选择题 1.A 【解析】由题得-名3》= >>0,则g(m)-g(x)=f)-f(x) X? (3+i)(3-i) f)-f(),因为fx）-f(）<0, x1xg 6=。2-专+子.所以=V(得)+（号） 10 x1-x2>0,所以x1f(x2)-x2f(x1)<0,即 =5故选A x2f(x1)-x1f(x2)>0,所以g(x1)-g(x2)>0, 所以g(x)在(0，十∞)上单调递增.原不等式可化 2.B【解析】由log2(x-1)≤1，得0<x-1≤2，解得 为(x2-4)f(3x)>3xf(x2-4),由 3x>0 1<x≤3，所以A={x|1<x≤3.由 2-40得 (x-3)(x-4)>0,得x<3或x>4,所以B={xx x>2.即求g(3x)>g(x2-4)的解集，因g(x)在 <3,或x>4},所以A∩B={x1<x<3.故选B. (0,十∞)上单调递增，故3x>x2-4,(x-4)(x十1) 3A【解折】由题得e=二-号则 之a,所以= <0,又x>2,故x∈(2,4).故选A. 8.D【解析】因为∫(x)图象的两条相邻对称轴间的 a-=d-d=号a2,所以a=26,结合选项可 距离为号，所以最小正周期T=2红，则@=3，故A错 知只有A选项亏+y=1满足a=26,故选A 误：由f(否)=A+t为最大值，得sim(3×否十9) 4.C【解析】记事件E表示“活动A失误”，事件F表 1,解得9=0，所以f(x)=Asin3x十t,则f(） 示“活动B失误”，由全概率公式得这两个活动有且 仅有-一个失误的概率为P=P(EF)十P(EF)=号 Asin于+t=号A+1=万十1，若取A=后，则：=1， 2 4 此时)=5n8x+1,当xe[-晋]时. 5.A【解析】易知a>0,则Hx∈(0，十oo),ax2-2x ∈[-平，子]，此时f(x)不单调递增，故B错误：当 +1>0等价于yz∈(0，十eo)a>2,则a> x∈[0.]时，3x∈[0,2x],此时f(x)有两个极值 (）令fx)==是-则f 点，故C错误：令f(x)=1,得in3x=0,则x=弩，k =是+是-202.当e01附fx)>0 ∈Z,又x∈[0,2π]，所以f(x)在区间[0,2π]上的 f(x)单调递增；当x∈(1，十o∞)时，f(x)<0, 图象与直线)y=t所有交点的横坐标之和为0十号十 f(x)单调递减，所以f(x)mx=f(1)=1,所以a> 十十暂++2x=7,故D正确，故选D. 1.故选A. 6.C【解析】由题意得AD=2+2c-a 二、选择题 4 9,ABD【解析】将该组数据由小到大排列为5800， 2×9+22-16=1士c=9,则c2=17,所以c 4 2 600,870,1160,1450.对于A,平均数为云=号 √17.故选C. ×(14500+5800十11600+6000+8700)=9320， 故A正确；对于B,由5×30%=1.5，得第30百分位 7.A【解析】设g(x)=fC,x∈(0，十o∞)，任取 数为6000，故B正确：对于C,由5×80%=4，得第 数学 参考答案及解析 80百分位数为山600,14500=13050，故C错误： 2 号，到直线AB:kx-y =0的距离为k2 kp 2√+1 对于D,极差为14500一5800=8700，故D正确.故 选ABD. Vk+ ,不是定值，故D错 10.AB【解析】因为f(x)=x3-6bx十2，所以f'(x) 则比值为D 2k+1 =3.x2-6b,令f(x)=3x2-6b=0,则△=72b>0, 误.故选BC. 得b>0,1=-√25，x2=√2b,则x1x2=-2b,故 三、填空题 A正确；当b=2时，f(x)=x3-12x+2,x∈ [0,3],∫(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),则 12.4【解析】因为f(x)为偶函数，所以。=受十π，k f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增， ∈Z,由。>0，得w>受，所以f(x)的最小正周期T 所以f(x)mm=f(2)=8-24+2=-14,故B正 确；当x∈(m,x)时，(x)<0,∫(x)单调递减， -红<4，当且仅当w=受时等号成立，所以f代)最 所以f(x)<f(x1)=f(-√26)=4b√2b+2,因 小正周期的最大值为4.故答案为4. 此m≥4b√2b+2,故C错误；直线y=kx十2恒过 20 【解析】因为a1=5,a+1= 2"an 13. 11 定点(0,2)，由x3-6bx十2=kx十2，得x3 ,十2m,所以a2= (6b十k)x=0,即x[x2-(6b十k)]=0,因为直线y 2a1 5 22a2 4X =kx十2与曲线y=f(x)有3个交点，所以6b十k a1十20 、三。=气.故答案为： a2十25 >0,则k>-6b,故D错误.故选AB. 1,BC【解析】由题得F(台，0)，则|OF=号，由抛 14,元【解析】由5=24，可知该阀台有内切球。 物线的定义得|AF|=|AA|=xA十号，因为 故当打磨成该圆台的内切球时，球的体积最大，记内 切球半径为R,可得2R=√6-(4一2)严=4√2，R 1AF=3OF,所以十多-老，则x4=p,所以 =2√2.记圆柱的底面半径为r,高为h,易知圆柱体 ⅓=√2p=Ep,所以Saar=|OF·y4 积最大时其外接球为圆台的内切球，所以R=8 9y,放A错误：设准线1与x轴的交点为D,则 户+（合）广则户=8-子2,0<h<4厄，此时圆柱 DM⊥DF,所以点D在以线段MF为直径的圆上， 的体积V=π产h=h(8-子2)=π(8h-子）， 故B正确：由题意知直线AB的斜率存在且不为0， 设F)=8M-子尼，0<h<4厄，则f()=8 设直线AB:y=k(x-号)，k≠0，由|AM 2|BM|,可得|AF|=2|BF|,且k>0,设 子，当∈(0，)时，f()>0,)单调递增： A(x1m),B(),则x十号=2(x十号)，则 当A∈(54v2)时f)<0,单调递诚，所 =2十，联立6(x).得x 9 ,所以该圆柱体积的最 y=2pr (kp+2p)x十 p=0,则十2=十22 大值为，元故答案为45。 9 2 四、解答题 =年p,所以（(2：十号)x=寻，解得x 15,解：(1)因为a2,a1,a7成等比数列，所以a=a2a7, 子p,则=p,所以十=2-年p,解得 则(a1十3d)2=(a1十d)(a1十6d), (2分) k2 即ai+6a1d+9d=a+7a1d+6d,则a1d=3d, k=2√2，故C正确；原点O到直线A1B:的距离为 因为d≠0，所以a1=3d, (4分) ·2· 参考答案及解析 数学 所以S=5a1十10d==25d=25,解得d=1, 则a=3, 当n为奇数时，吾[1-(-号)门的最大值为号× 所以an=a1十(n-1)d=3十n-1=n十2. (6分) (1+3)=1 (2)由(1)得an=n十2， 所以6，=21 1 1 1 当n为偶数时，吾[1-（仁专）门]=吾(1-) aa+1（n十2)(n+3)-n+2n十3' (9分) 则工.=日是+子-号+…+ n+2n+3 所以号[1-(-号）)门的最大值为1，则≥1， =日付 (11分) 所以实数入的最小值为1. (15分) 17.解：(1)在菱形ABCD中，AC⊥BD,O为BD中点， 因为对任意n∈N,Tn<λ，且Tn单调递增， 由题可知PB=PD,所以OP⊥BD, (2分) 所以≥号则入的最小整数值为1. (13分) 因为OC∩OP=O,OC,OPC平面POC, 16.解：(1)由题意得p1=1, (1分) 所以BD⊥平面POC, (4分) 第n十1次在甲盒取球的概率为P1=号么十 又BDC平面BDM,所以平面BDM⊥平面POC. (5分) 1-A)=-+合 (3分) (2)以O为原点，OB,OC所在直线分别为x,y轴，过 点O且垂直于平面BCD的直线为之轴，建立如图所 示的空间直角坐标系， 又-号=0， 所以{。一号}是以号为首项，一吉为公比的等比 数列， 所以-号=子（号）， (6分) 所以E(X,)=公A 二面角P-BD-C的大小为120°，即∠POC=120°， 因为PB=PD=4,∠BPD=60, -2[号+3()门 所以BD=4,OP=OC=25, (7分) 则P(0,-√3,3)，B(2,0,0)D(-2,0,0), 2 1-(-) 1+号 C(0,25,0), 所以P元=(0,33，-3)，Pi=(-2W5,-3), = m+[1-（-号)]： (8分) 设PM=tPC=(0,33t,-3t), (2②由a)得E(X)=号+[1-(-吉》]， 则M(0,3√3t-√5,3-3t), 所以BM=(-2,33t-5,3-3t) (9分) 因为E(X.)<2n2对任意n∈N恒成立。 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), 所以号+[1-（吉）]<2 PC.n=3√3y-3z=0 则 pi·n=-2x十√5y-3x=0 即心[1-（号）门 (11分) 取y=1,得x=-√5，x=√5， ·3· 数学 参考答案及解析 则n=(-√5,13). (11分) 则'(x)=1-1=二1， 设直线BM与平面PCD所成角为A, 则sin日=|cos(BM,n)|= BM.n 当x∈(0,1)时，h'(x)<0,h(x)单调递减； BM X n 当x∈(1，十o∞)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 45 所以h(x)≥h(1)=0, (8分) 42 √/4+(33t-√3)+(3-3t)'·√7 14 易知y=x十lnx十1是增函数， 当x∈(0,1)时，g(x)=x(x2-3)-3lnx<0: 整理得9r一91-4=0，解得1=号或1= 3, (9分) (13分) 所以当x∈(1，十o)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 当1=专时，成号成.则器 4 又g(2)=2-6ln2<0,g(3)=18-9ln3>0, 由零点存在定理可知存在x0∈(2,3)，使得g(x0) 当=子时，P成=元，则兴 =0, 所以g(x)只有一个零点. (11分) 综上兴-4或子 (15分) (3)因为f(x)=x-1-alnx, 18,解：a)因为f)=x-子-alnx,>0, 所以f1)=0x+f(）=0, 所以f=1亭兰-g. (1分) x 可知若f(x)存在零点>1，则号也为其零点. 对于x2-a.x十1=0，A=a2-4, (12分) 当0<a≤2时，△≤0，f(x)≥0，f(x)单调递增； (2分) 由>3，得a十>1， 2 当a>2时，△>0， 因为r3)=号-aln3<0,fa=a-是-alha 由x2-ar十1=0，得x=a±@4>0， 2 >a--a(e-）=1-2>0, 则当x∈(0，a-4)时，f(x)>0,fx)单调 2 所以f(x)在(1，十o∞)上有唯一零点t∈(3，a2). 递增； (14分) 当x∈(a-a4,a+a4)时，f(x)<0, 结合(2)可得T=1什}十1十x, 2 2 f(x)单调递减； 设F)=x子>1.则P)=1->0, 当xe(a+4,+)时，f(x)>0,f(x)单调 所以F(x)在(1，十∞)上单调递增， 2 所以F(3)十1+2<T<F(a2)+1+3, 递增。 (4分) 综上，当0<a≤2时，f(x)在(0，十o∞)上单调递增： 即9<Td+4<a+5, 当a>2时，f()在(0，二)上单调递增， 所以号<T<d+5得证 (17分) 2 在（二三，士）上单调递减. 2 -京1 a 19.解：(1)由题得 在（十，十∞）上单调递增 (5分) e==5 a (2)因为g(x)=x3-3xlnx-3x,x>0, c2=a2+b2 所以g'(x)=3x2-3ln2x-6lnx-3=3(x-lnx 解得a'=3 ,b2=3, 1)(x+lnx+1), (6分) 设h(x)=x-lnx-1,x>0, 所以C的方程为号一苦-1 (3分) 4 参考答案及解析 数学 (②由1得=后中F-2则F(2)小 S:3 (4分) 故受的取值范围为5,1)U1,十∞). (10分) 由题知1的斜率不为0， L 3 设1的方程为x=my十3yE (3)设的方程为y=kx十t,k,t≠0，P(x,M), 2 Q(2y2), x=my+3 |y=kx十t 联立 2, 联立 2x2-y2=31 2x2-y2=3 得(2-k2)x2-2ktx-(十3)=0， 得(2m2-1)y2+6√2my十6=0， 则2-k≠0，△=4kt2十4(2-k)(t+3)=4(2 则2m2-1≠0,41=(6√2m)2-24(2m2-1) 十6-3k2)>0, =24(m2+1)>0, 2kt x1十x2=2-k2y △26(m2+1) 所以AB=V+m·T2二1T -2m2-1 则线段PQ中点的横坐标为十型=，： 2 2-k2 (6分) (12分) C的渐近线方程为y=士√2x, 设R(xa,),S(x1,y1), |y=kx十t 联立 x三my+9, 联立 ,得(2-k2)x2-2ktx-t=0, 2.x2-y2=0 2x2-y2=0 则2-k2≠0，△1=4k2t+4t(2-k2)=8>0, 得(2m2-1)y2十6√2my十9=0， 2kt 则2m2-1≠0，△2=(6√/2m)2-36(2m2-1)=36 x3十x=2-k' >0, 则线段RS中点的横坐标为工=，： 2 2-,14分) √△，6+m 所以1MN=+m·2m-1T=T2m-可' 所以线段PQ与线段RS的中点为同一点，记为M, (8分) 则|PM|=|QM,|RM|=|SM, 由原点O到直线（的距离相等， 所以|PM|-|RM|=|QM|-ISM|, 即|PR|=|QS|, 所--2g /2(m+1) 6 3 又△OPR和△OQS的高均为原点到'的距离d, 由2m2-1≠0，得m≠2， 1 所以S,=号·lPR·d=·Qs·d=S, 又m≥0，所以2mD≥号且2mD≠1. 故S=S1得证. (17分) 3 3 ·%52025一2026学年度高三年级适应性测试（三） 数学 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试 题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的、 1.已知复数之满足(3+i)x=2十2i,则z= A25 B.3⑤ 5 c n35 2.已知集合A={x1og2(x-1)≤1}，B={x(x-3)(x-4)>0},则A∩B= A.{x|1<x≤3} B.{x|1<x<3} C.{x|1<x<4} D.{x|x>4} 3.已知精周C,号+苔-1a>6>0)的离心率为号则C的方是可以为 A若+=1 B苦+苦-1 c+苦=1 D若+-1 4.现要举办A,B两个活动，每个活动进行一次，已知先举办活动A,活动A失误的概率为 司，不失误的概率为号：若活动A没有失误，则活动B失误的概率为}，不失误的概率为 若活动A出现失误，则活动B失误与否的概率均为号，则这两个活动有且仅有一个 3 失误的概率为 A号 B号 c D.6 5.若Hx∈(0，+∞)，ax2一2x十1>0，则实数a的取值范围为 A.（1,+∞) B.[1,+∞) c(合+∞) D.[+∞) 6.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=4,b=3,AD为BC边上的中线， 且AD=3,则c= A.2√J17 B.23 C.√17 D.3 数学第1页（共4页） ▣减▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 7.已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f(x)>0,且对任意x≠x2,都有 f()-fm）<0,则不等式f(3)>3f(x-4)+4f(3的解集为 心1一C2 x2 A.(2,4) B.(4,+∞) C.（-∞，-2) D.(-2,2) 8.已知函数f(x)=Asin(awx十p)十t(A>0,w>0,|p<)图象的两条相邻对称轴间的距 离为5，且f(x)的最大值为f()=A十t,f宠)=3+1，则 A.w=6 B.f(x)在区间[一，]上单调递增 Cf(x)在区间[0，]上只有-个极值点 D.f(x)在区间[0,2π]上的图象与直线y=t所有交点的横坐标之和为7π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某会计统计公司购入材料的实际成本分别为14500,5800,11600,6000,8700，则 A.这组数据的平均数为9320 B.这组数据的第30百分位数为6000 C.这组数据的第80百分位数为11600D.这组数据的极差为8700 10.已知函数f(x)=x3一6bx十2(b∈R),若x1,2是f(x)的两个极值点，且x1<x2,则下 列说法正确的是 A.x1x2=-26b B.若b=2,则f(x)在[0,3]上的最小值为一14 C.若对任意x∈(x,x2),f(x)<m,则m≥46√25+3 D.若直线y=x十2与曲线y=f(x)有3个交点，则的取值范围为 (-∞，-6b)U(0,+∞) 11.已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,准线为1，过点F的直线与C交于A,B两 点(A在第一象限)，与1交于点M,过点A,B分别作l的垂线，垂足为A1,B1,则下列 说法正确的是 A.若|AF=3OF(0为原点)，则SAAo=多 2 B.以线段MF为直径的圆恒过1与x轴的交点 C.若|AM=2BM,则直线AB的斜率为2√2 D.原点O到直线A,B1的距离与到直线AB的距离之比为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若函数f(x)=8sin(wx十w)(w>0)是偶函数，则f(x)最小正周期的最大值 为 数学第2页（共4页） ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 照，已知数列a的首项a1=5,且+1=，120则a与 14.将上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6的一个圆台打磨成一个球，再将此球 打磨成一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 记等差数列{an}的前n项和为Sm,公差d≠0，且a2,a4,a,成等比数列，S5=25. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设b。=,1一，且数列(bn}的前n项和为Tn,若对任意n∈N*,T,<入，求入的最小 anan+l 整数值. 16.（本小题满分15分) 现有甲、乙两个盒子，甲盒中装有3个红球、2个白球，乙盒中装有1个红球、4个白 球，每次从其中一个盒子中有放回地随机取出1个球，若取出红球，则下次仍从该盒取球； 若取出白球，则下次从另一盒子取球.初始时从甲盒开始取球，记第次在甲盒取球的概 率为力n,n∈N*. (1)记前n次取球中在甲盒取球的总次数为Xm,求Xm的数学期望E(Xn)的表达式； (2)若对任意正整数，E(X)≤2十入，求实数入的最小值， 3 17.(本小题满分15分) 在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O,将△ABD 沿BD折起，使得点A到达点P的位置，得到如图所示的三棱锥P一BCD,M为直线PC 上一点. (1)证明：平面BDM⊥平面POC; (2)若二面角P-BD一C的大小为120°，直线BM与平面PCD所成角的正弦值为 得求器的位 数学第3页（共4页） Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣号 18.(本小题满分17分) 已知函数f)=x-是-alnx,g()=-3alnz-3,o心0. (1)讨论f(x)的单调性； (2)求g(x)的零点个数； (3)当a>3时，记f()与g(x)的各零点之和为T,证明：号<T<a+5. 参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099. 19.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系a0y中，双曲线C三-芳-1(a>0,6>0)的离心率为，5，且过点 P(2,1) (1)求C的方程； (2)过C的右焦点F的直线L与C交于A,B两点，与C的两条渐近线分别交于点M, N,记△OAB,△OMN的面积分别为S,S,求受的取值范围， (3)若直线与C交于P,Q两点，与C的两条渐近线分别交于点R,S,且P,R,S,Q 在L'上依次排列，记△OPR,△OQS的面积分别为S3,S4,证明：S3=S4 工T 数学第4页（共4页） Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效