精品解析：吉林省实验中学2025-2026学年下学期七年级期中考试数学

2025－2026学年度下学期七年级期中考试 数学学科试卷 本试卷共8页，满分120分，考试时长120分钟．考试结束后．将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共计30分） 1. 用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（） A. 由①得 B. 由①得 C. 由②得 D. 由②得 【答案】B 【解析】 【分析】根据代入消元法解二元一次方程组的变形，利用等式的基本性质对两个方程分别移项变形，对比选项即可得到答案． 【详解】对①移项，得，故A错误，B正确； 对②移项，得，故C，D错误． 2. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．若设该店有房客人，客房间，则下列二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该店有房客人，客房间，依题意列出方程组即可，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：设该店有房客人，客房间，依题意得： ， 故选：C． 3. 一个不等式组的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据题意得：这个不等式组的解集为． 4. 如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，求得选项中的不等式的解集为即为所求． 【详解】解：观察数轴得：不等式的解集为， A、，解得：，故A选项不符合题意； B、，解得：，故B选项符合题意； C、，解得：，故C选项不符合题意； D、，解得：，故D选项不符合题意； 5. 在中国传统文化中，古人常用纹样装饰生活，这些纹样既美观，又承载着中国人的审美与文化．下列纹样分别是“狴犴纹”“双喜纹”“祥云纹”“吉祥纹”，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】明确轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这个图形就是轴对称图形．依次对每个选项中的图形，尝试寻找是否存在这样的一条直线，使得图形沿该直线对折后完全重合．因为要找出不是轴对称图形的选项，所以只需判断出哪个图形不存在这样的对称轴即可． 【详解】选项A：沿图形中间竖直直线折叠，左右部分可以完全重合，是轴对称图形； 选项B：沿图形中间竖直直线折叠，左右部分可以完全重合，是轴对称图形； 选项C：不存在能让图形折叠后完全重合的直线，不是轴对称图形； 选项D：沿图形中间竖直直线折叠，左右部分可以完全重合，是轴对称图形． 6. 画的边上的高，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，从一个顶点到其对边的垂线叫作三角形的高，据此即可求解； 【详解】解：根据三角形的高的定义可知，C选项表示的边上的高， 故选：C 7. 含角的三角板与直尺如图所示叠放在一起，直尺的一边所在直线与三角尺的一直角边所在直线相交，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质， 先根据“两直线平行内错角相等”得，进而求出，再根据三角形内角和定理求出，即可求出，接下来求出，然后根据“两直线平行同位角相等”得出答案． 【详解】解：如图所示，根据题意可知， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 8. 如图，窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 对顶角相等 C. 垂线段最短 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性即可解决问题． 【详解】解：窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：A． 9. 如图，由六个正九边形中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质．根据题意，先求出正九边形每个外角的度数，再求出每个内角的度数即可． 【详解】解：如图， 图中6个都是正九边形 正九边形的每个外角为 正九边形的每个内角为 即 ． 故选：C． 10. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点D，与边相交于点E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）在的内部相交于点F；③连接并延长，与边相交于点G；④以点C为圆心，线段长为半径画弧，与相交于点M；⑤连接并延长，与边相交于点N．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据尺规作图的步骤可知平分，，再根据等边对等角及三角形外角的性质得，即可得出答案． 【详解】解：根据作图步骤可知平分，， ∴． ∵分别是的外角， ∴， ∴，则B正确； 不能确定的数量关系，不能确定的位置关系，不能确定的数量关系，所以A，C，D不正确． 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共计30分） 11. x减去y不大于，用不等式表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式，关键是要抓住题目中的关键词，首先表示x减去y为，再表示“不大于”即为． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 12. 用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有个等边三角形和______ 个正方形． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形的组合能镶嵌成平面的条件可知，位于同一顶点处的几个角之和为如果设用个正三角形，个正四边形，则有，求出此方程的正整数解即可． 【详解】解：设用个正三角形，个正四边形能进行平面镶嵌． 由题意，有， 解得， 当时，． 故在它的每个顶点周围，有个正三角形和个正方形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面镶嵌密铺几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 13. 一个三角形的三边长分别为2、5、，则的取值可以是__________（写出一个即可）． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，掌握相关知识是解决问题的关键．利用三边关系定理求出第三边的取值范围，然后取满足条件的一个数即可． 【详解】解：一个三角形的三边长分别为2、5、， 则， 故答案可为：6（答案不唯一）． 14. 一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是___________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查三角形外角性质，对顶角相等，直角三角形性质，解题的关键是掌握直角三角形性质． 根据三角形内角和定理求出的度数，再利用外角性质求出的度数即可得到结果． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， ∴． 故答案为： 15. 如图，已知所在直线是的对称轴，点E、F是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积的值是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角形的面积等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． 由轴对称的性质可得，易得阴影部分的面积等于三角形ABC面积的一半，据此即可解答． 【详解】解：∵关于直线成轴对称， ∴， ∵E，F是上的两点， ∴与关于直线成轴对称， ∴ ∵， ∴． 故答案为：12． 16. 如图，在五边形中，，，，，是五边形的外角，则__________°． 【答案】##270度 【解析】 【分析】根据，可先求出与的外角的度数，再用五边形的外角和减去前面求出的那个外角的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∴的邻补角， ∴． 17. 如图是一个旋转一定角度能与原图重合的图形，它的最小旋转角度数为________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】根据每旋转角的整数倍都能与原图形重合，则旋转角最小是，即可解答． 【详解】解：由图，可得， ∴每旋转角的整数倍都能与原图形重合， 故旋转角最小是． 18. 如图，△中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、，若△的周长为18，则边的长度是__ ． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：，边的垂直平分线分别交于点，， ，， △的周长为18， ， ， 故答案为：18． 19. 如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，若小路的宽为2m，则绿化面积为___________？ 【答案】560 【解析】 【分析】将小路平移后绿化部分即是长，宽的长方形，根据长方形的面积求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：560． 【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而列式求出答案．． 20. 如图，在中，，为的中点，延长交于．为上一点，于，下面判断正确的有 _______． ①是的角平分线； ②是边上的中线； ③是边上的高； ④是的角平分线和高． 【答案】③④##④③ 【解析】 【分析】本题考查三角形的角平分线，中线和高，关键是掌握三角形的角平分线、中线、高的定义．由三角形的角平分线、中线、高的定义，即可判断． 【详解】解：①，是的角平分线，故①错误，不符合题意； ②是中点，是边上的中线，故②错误，不符合题意； ③，是边上的高，故③正确，符合题意； ③，，是的角子分线和高，故④正确，符合题意． ∴以上判断正确的有③④． 故答案为：③④． 三、解答题（本大题共7个小题，共计60分） 21. 如图，在中，平分，是边上的高．，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线性质求出，最后结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，平分， ． 是边上的高， ， ， ． 22. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都在格点上． （1）将平移，使点A与点是对应点，在图①中画出平移后的； （2）在图②中作，使得与关于直线成轴对称； （3）将绕点顺时针旋转，在图③中画出旋转后的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换、作图-平移变换，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）根据旋转的性质作图即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：如图，即为所求． 23. （1）解一元一次不等式：，小明同学解答过程如下： 解：去分母，得．……第①步 去括号，得．……第②步 移项，得．……第③步 合并同类项，得．……第④步 系数化为1，得．……第⑤步 小明同学开始出现错误在第______步；请写出正确的解答过程． （2）解不等式组，并将解集在数轴上（如图所示）表示出来． 【答案】（1）②；过程见解析；（2）；作图见解析 【解析】 【分析】（1）根据题干中解不等式的步骤进行判断并改正即可； （2）解各不等式得出对应的解集后求得它们的公共部分，然后在数轴上表示出其解集即可． 【详解】解：（1）小明同学开始出现错误在第②步，正确的解答过程如下： 原不等式去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 故答案为：②； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为； 将其解集在数轴上表示如下图所示： ． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握解不等式的方法是解题的关键． 24. 刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． （1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ （2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 【答案】（1）A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元 （2）最多能购买100件A种湘绣作品 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可解题； （2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件，总费用单价数量，结合总费用不超过50000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的值，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买湘绣的数量． 【小问1详解】 设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元． 根据题意，得 ， 解得 答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元． 【小问2详解】 设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件． 根据题意，得， 解得． 答：最多能购买100件A种湘绣作品． 25. 【教材呈现】下面是华师版七年级下册数学教材习题8.1第6题部分内容． 如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点D．试找出与的内角之间的关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的度数，即可求的度数． ①当时，___________度；当时，___________度； ②于是小明猜想与之间的数量关系为___________； （2）以下是小明完成猜想证明的部分过程： 证明：平分， ． 平分， ． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程． 【结论应用】（3）如图，在四边形中，平分平分外角，连结．若，，则___________度． 【答案】（1）①30；60；②；（2）见解析；（3）205 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线定义，关键是灵活应用三角形的外角性质． （1）①当分别是60度和120度时，得到的度数； ②猜想得到； （2）由角平分线定义得到，，由三角形的外角性质推出，即可证明； （3）延长和交于M，延长和交于N，由三角形的外角性质求出，由（2）的结论即可求出，由三角形的外角性质即可求出． 【详解】（1）解：①当时，设，则， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 当时，设，则， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 故答案为：30，60； ②于是小明猜想与之间的数量关系为， 故答案为：； （2）证明：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图，延长和交于M，延长和交于N， ∵平分，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：205． 26. 综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”． （1）【题型解决】如图①，小明将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线、如图②，小明作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明．以下是说明过程： 如图③，在直线上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ________，________ ________＝________． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． （2）【模型应用】如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________． （3）【模型拓展】如图⑤，已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】（1），，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 （2）9 （3） 【解析】 【分析】（1）利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． （2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． （3）设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【小问1详解】 解：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是“两点之间线段最短”，或“三角形两边之和大于第三边”； 【小问2详解】 解：如图，直线m与交于点D，连接 ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称，， ∴ ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 【小问3详解】 解：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， ∴由轴对称的性质可得，，， ∴． 27. 如图，在Rt中，．，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．已知、两点同时出发，设运动时间为秒． （1）如图①，若点在线段上运动，点在线段上运动，用含的式子表示、．并求当时的值； （2）如图②，若点在线段上运动，当为何值时，的面积等于面积的； （3）当点到达点时，、两点都停止运动，直接写出时的值． 【答案】（1），，秒时， （2） （3）2或 【解析】 【分析】（1）当在线段上运动，在线段上运动时，，，则，由，可得方程，解方程即可． （2）当在线段上时，，则，根据三角形的面积等于三角形面积的，列出方程即可解决问题． （3）分三种情形讨论即可①当时，在线段上运动，在线段上运动．②当时，在线段上运动，在线段上运动．③当时，在线段上运动，在线段上运动时，分别列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动． ∴，， ∵ ∴， ， ， ． 即秒时，； 【小问2详解】 解：当在线段上时，， 则， 三角形的面积等于三角形面积的， ， ， 解得：． 即秒时，三角形的面积等于三角形面积的； 【小问3详解】 解：由题意可知，在线段上运动的时间为6秒，在线段上运动时间为4秒， ①当时，在线段上运动，在线段上运动，，， 则，， ， ， 解得； ②当时，在线段上运动，在线段上运动，， 则，， ， ， 解得； ③当时，在线段上运动，在线段上运动时， 则，， ， ， 解得，不合题意舍去 综上所述，为2或时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度下学期七年级期中考试 数学学科试卷 本试卷共8页，满分120分，考试时长120分钟．考试结束后．将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共计30分） 1. 用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（） A. 由①得 B. 由①得 C. 由②得 D. 由②得 2. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．若设该店有房客人，客房间，则下列二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个不等式组的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（ ） A. B. C. D. 5. 在中国传统文化中，古人常用纹样装饰生活，这些纹样既美观，又承载着中国人的审美与文化．下列纹样分别是“狴犴纹”“双喜纹”“祥云纹”“吉祥纹”，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 画的边上的高，正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 含角的三角板与直尺如图所示叠放在一起，直尺的一边所在直线与三角尺的一直角边所在直线相交，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 对顶角相等 C. 垂线段最短 D. 两点之间，线段最短 9. 如图，由六个正九边形中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点D，与边相交于点E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）在的内部相交于点F；③连接并延长，与边相交于点G；④以点C为圆心，线段长为半径画弧，与相交于点M；⑤连接并延长，与边相交于点N．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共计30分） 11. x减去y不大于，用不等式表示为___________． 12. 用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有个等边三角形和______ 个正方形． 13. 一个三角形的三边长分别为2、5、，则的取值可以是__________（写出一个即可）． 14. 一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是___________． 15. 如图，已知所在直线是的对称轴，点E、F是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积的值是______． 16. 如图，在五边形中，，，，，是五边形的外角，则__________°． 17. 如图是一个旋转一定角度能与原图重合的图形，它的最小旋转角度数为________． 18. 如图，△中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、，若△的周长为18，则边的长度是__ ． 19. 如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，若小路的宽为2m，则绿化面积为___________？ 20. 如图，在中，，为的中点，延长交于．为上一点，于，下面判断正确的有 _______． ①是的角平分线； ②是边上的中线； ③是边上的高； ④是的角平分线和高． 三、解答题（本大题共7个小题，共计60分） 21. 如图，在中，平分，是边上的高．，，求的度数． 22. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都在格点上． （1）将平移，使点A与点是对应点，在图①中画出平移后的； （2）在图②中作，使得与关于直线成轴对称； （3）将绕点顺时针旋转，在图③中画出旋转后的． 23. （1）解一元一次不等式：，小明同学解答过程如下： 解：去分母，得．……第①步 去括号，得．……第②步 移项，得．……第③步 合并同类项，得．……第④步 系数化为1，得．……第⑤步 小明同学开始出现错误在第______步；请写出正确的解答过程． （2）解不等式组，并将解集在数轴上（如图所示）表示出来． 24. 刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． （1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ （2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 25. 【教材呈现】下面是华师版七年级下册数学教材习题8.1第6题部分内容． 如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点D．试找出与的内角之间的关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的度数，即可求的度数． ①当时，___________度；当时，___________度； ②于是小明猜想与之间的数量关系为___________； （2）以下是小明完成猜想证明的部分过程： 证明：平分， ． 平分， ． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程． 【结论应用】（3）如图，在四边形中，平分平分外角，连结．若，，则___________度． 26. 综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”． （1）【题型解决】如图①，小明将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线、如图②，小明作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明．以下是说明过程： 如图③，在直线上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ________，________ ________＝________． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． （2）【模型应用】如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________． （3）【模型拓展】如图⑤，已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 27. 如图，在Rt中，．，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．已知、两点同时出发，设运动时间为秒． （1）如图①，若点在线段上运动，点在线段上运动，用含的式子表示、．并求当时的值； （2）如图②，若点在线段上运动，当为何值时，的面积等于面积的； （3）当点到达点时，、两点都停止运动，直接写出时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $