专题05 三角形综合问题（压轴题专练，12大题型+强化训练）（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 聚焦山东中考三角形综合压轴，以12类高频考法为框架，通过“模型提炼-典例突破-综合应用”构建系统性方法体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |全等三角形综合|3题|旋转/倍长中线/垂线模型|从判定性质到动态几何综合| |相似三角形综合|3题|判定与性质应用/模型迁移|从比例线段到函数结合| |特殊三角形综合|6题|等腰/等边/直角三角形性质|从静态性质到最值探究| |综合应用|12题|勾股定理/函数/圆结合|从单一知识到跨模块整合|

专题05 三角形综合问题 命题预测 三角形作为中考数学的核心板块之一，是山东中考数学的热门考点之一;从去年山东各地区的中考数学来看，三角形的压轴题型考法集中在全等三角形的判定与性质特殊三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等等，同时也会考查常见的辅助线添加问题，三角形中的最值问题等等;预计2026年山东各地区的压轴题型仍会有三角形的一席之地，考生应加以重视。 高频考法 1.全等三角形的判定与性质综合应用 2.相似三角形的判定与性质综合应用 3.等腰三角形的判定与性质综合应用 4.等边三角形的判定与性质综合应用 5.直角三角形的判定与性质综合应用 6.勾股定理压轴问题 7.三角形中的最值问题 8.三角形与函数综合应用 9.三角形与圆综合应用 10.全等三角形模型：倍长中线 11.全等三角形模型：垂线模型 12.全等三角形与旋转综合应用 典例·靶向·突破 题型01 全等三角形的判定与性质综合应用 1．（2026·山东临沂·一模）在平行四边形中，过点作于点，用纸片做一个三角形，使得．将三角形纸片和平行四边形进行如下操作：①将三角形纸片置于平行四边形内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交线段于点，如图1所示；②连接，过点作直线交射线于点，如图2所示；③在边上取一点，分别连接，如图3所示． 请解决下列问题： (1)如图1，求证：； (2)如图2，求证：； (3)如图3，若，求的度数． 2．（2026·山东菏泽·一模）综合与实践 (1)如图①，点分别在正方形的边上，，若把绕点逆时针旋转到的位置，从而发现之间的数量关系是______； 【分析问题】 (2)如图②，在四边形中，，，点分别在边上，当时，（）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【解决问题】 (3)如图③，某公园的四条通道围成了四边形，已知，，，，道路上分别有景点，满足，，为了游客们能更方便的游玩这两个景点，现要在之间修一条笔直的道路，请直接写出这条道路的长为______． 3．（2026·山东聊城·模拟预测）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在线段上选一点，并沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接， 如图1，当点在上时，则______． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． 如图2，当点在上时，求三角形的面积． (3)拓展应用 若正方形纸片的边长为，通过改变点在上的位置（点不与点，重合），当时，求的长． 题型02 相似三角形的判定与性质综合应用 4．（2026·山东济南·二模）在中，（），点D在边上，且．将射线绕点C按顺时针方向旋转得射线，点E在射线上（点E与点C不重合），连接，． (1)如图1，当时，若，与的位置关系为______，与的数量关系为______（用等式表示）； (2)当时，与交于点F，连接． ①如图2，若，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； ②如图3，若，求与的面积比． 5．（2026·山东济宁·二模）【问题情境】数学兴趣小组开展了一次折纸活动．如图，在矩形纸片中，，，点E在边上，且，点P是边上的一个动点（不与点B，C重合）． 小组进行了如下操作：将沿折叠，得到，再将沿折叠，得到． 【操作发现】 (1)如图①，当点恰好落在边上时，求线段的长； 【探究证明】 (2)如图②，在点P的运动过程中，小组成员发现存在特殊位置，使得点P，，恰好落在同一条直线上． ①求证：； ②求此时的长； 【拓展应用】 (3)如图③，连接，．在点P的运动过程中，的形状和大小随之改变，请直接写出面积的最大值． 6．（2026·山东济南·一模）【先导问题】 (1)如图1，中，，，若，则________度； (2)【提炼模型】如图2，在中，，，且满足，求证：； (3)【识别模型、应用模型】如图3，直线上有一定点，，，点为直线上一点，连接，，且满足，求的最小值． 题型03 等腰三角形的判定与性质综合应用 7．（2026·山东济宁·一模）感知、应用、深化模型，利用已知条件进行拓展延伸求值． (1)【感知模型】如图1，已知．求证：； (2)【应用模型】如图2，四边形是正方形，点E和点F分别是边，上的动点，且，过点F作，交边于点G，垂足为O，连接．试判断的形状，并证明你的猜想（方法不唯一）； (3)【深化模型】如图3，在【应用模型】的条件下，过点F作，垂足为P，连接．求的度数； (4)【拓展延伸】如图4，在【深化模型】的条件下，延长交边于点Q，连接．若为等腰直角三角形，请直接写出的值． 8．（2026·山东枣庄·一模）探究解题： (1)如图，等腰直角中，点是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接．判断和数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 (2)如图2，在等腰中，，点是边上任意一点（不与点，重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 (3)在（2）的条件下，若，，点是直线上任意一点，请直接写出当时的长． 9．（2026·山东青岛·一模）问题：某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持上端到屋顶和下端到墙角的距离相等，钢丝绳长度的最小值为多少米？              小明收集了该简易房屋的相关数据，将该问题转化为数学问题：如图②，屋顶是等腰三角形，墙是矩形，其中米，，点M在上，点N在上，钢丝绳始终保持．求的最小值． (1)小明决定从简单情形出发试试看：如图③，在等边三角形中，，点M，N分别在边，上，且，求的最小值．请你在下面小明思路的基础上完成． 解：过点C，M分别作，的平行线，并交于点P，作射线， ∵四边形是平行四边形， ∴，； 经证明当时，最小，此时最小． 请你求出的最小值，写出求解过程． 解决： (2)请你借助小明的探究解决问题，直接写出图②中钢丝绳的最小值． 题型04 等边三角形的判定与性质综合应用 10．（2026·山东泰安·一模）阅读下面材料，解决下列问题： (1)【阅读材料】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图1，在等边中，点P在内部，且，，，求的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找三边之间的数量关系．即能求_____： (2)【学以致用】如图2，在等腰直角中，，P为内一点，，，，求的长； (3)【能力拓展】如图3，等腰三角形中，，D、E是底边上的两点且，若，，求的长． 11．（2026·山东青岛·一模）在数学综合实践课上，数学老师以折叠为主题开展数学活动． (1)图形感知：如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数； ②求证：为等边三角形； (2)性质梳理：如图2，将等边三角形沿直线折叠，点恰好落在边 上的点处，折痕分别交，于，两点．求证：； (3)拓展探究：如图3，将正方形沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，点落在点处，折痕分别交，于，两点，设，交于点．若，求的长． 12．（2025·山东济南·模拟预测）在中，，，点M是线段上一点（点M不与点C重合），点N是射线上一动点，连接，将线段绕点M逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接，，交于点Q． (1)若点M与点A重合， 如图1，当，点N在线段上时， ①线段与的数量关系是_______；②的度数是_________； (2)若点M与点A不重合， ①如图2，当，点N在线段上时，请写出线段与的数量关系，并说明理由； ②当时，若，，，请直接写出的长度． 题型05 直角三角形的判定与性质综合应用 13．（2026·山东青岛·一模）如图，四边形中，，，对角线，，，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．为中点，与交于点．设运动时间为，解答下列问题： (1)取何值时，点在和夹角的平分线上？ (2)设五边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在求出的值，若不存在，说明理由； (4)取何值时，是直角？ 14．（2025·山东临沂·模拟预测）如图1，在正方形中，平分，交于点F，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)如图2，连接、，求证：平分； (3)如图3，连接交于点M，求的值． 15．（2025·山东德州·一模）如图1，已知直线，且和之间的距离为，小明同学制作了两块直角三角形硬纸片和，其中，，，，．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： (1)如图1，点在上，边在上，边在直线上 ①将直角三角形沿射线的方向平移，当点在上时，如图2；求的度数 ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求度数； (2)将直角三角形如图3放置，若点在直线上，点在和之间（不含，上），边和与直线分别交于点，．在绕着点旋转的过程中，设，，则的取值范围为 ． 题型06 勾股定理压轴问题 16．（2026·山东济南·二模）如图，矩形中，，，点为边上的动点（不与、重合），连接，将沿直线折叠，得到，点的对应点为点． (1)当点落在对角线上时，求线段的长； (2)将沿直线折叠，得到，点的对应点为点，连接，，当、、三点共线时，请判断四边形的形状，并证明： (3)连接，，在点的运动过程中，请直接写出的最小值． 17．（2026·山东青岛·一模）综合与实践 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“哥俩三角形”． (1)如图1，和互为“哥俩三角形”，点为重合的顶角顶点，则与之间的大小关系为__________； (2)如图2，在中，，，，分别为，边上的点，且和互为“哥俩三角形”，． ①若，求的面积；（注意运用（1）的结论） ②如图3，若，，三点在一条直线上，则的面积为__________． 18．（2026·山东淄博·一模）如图，矩形中，，，点是线段上异于点的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点落在点处． (1)【初步感知】如图1，当为的中点时，延长交于点，求证：． (2)【深入探究】如图2，点在线段上，，点在移动过程中，求的最小值． (3)【拓展运用】如图3，点在线段上，，点在移动过程中，点在矩形内部，当P、D、N是以为斜边的直角三角形时，求的长． 题型07 三角形中的最值问题 19．（2025·山东临沂·二模）如图，矩形中，，，点E在线段上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接． (1)当点E在上时，作，垂足为M，求证：； (2)连接，点E从点B运动到点C的过程中，试探究是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 20．（2025·山东东营·模拟预测）如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，点P为射线的交点． (1)求证：； (2)若，，把绕点A旋转． ①当时，求的长； ②直接写出旋转过程中线段长的最小值与最大值． 21．（2025·山东济南·二模）（1）已知，，，点D在边上，，，连接，．线段，的数量关系为___________；若，则___________度； （2）如图2，已知，，点B，A，E共线，A点在B，E两点之间，点C，D在直线同侧，若，请判断和的数量关系，并说明理由； （3））如图3，已知等边，，E为中点，D为边上一动点，连接，，F为内一点，连接，，，若，求的最小值．． 题型08 三角形与函数综合应用 22．（2025·山东菏泽·模拟预测）已知二次函数经过点、，与x轴交于另一点A，抛物线的顶点为D． (1)求此二次函数解析式； (2)连接、、，求证：是直角三角形； (3)在x轴是否存在一点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标． 23．（2025·山东聊城·模拟预测）如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴点A． (1)求二次函数的表达式； (2)连接AC，AB，若点P在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点P作PD//AC，交AB于点D，试猜想的面积有最大值还是最小值，并求出此时点P的坐标． (3)连接OD，在（2）的条件下，求出的值． 24．（2026·山东滨州·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点． （1）求出二次函数和所在直线的表达式； （2）在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标； （3）连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 题型09 三角形与圆综合应用 25．（2026·山东聊城·一模）如图，以的边AB为直径作圆，过圆心O作，交BC于点E，交圆O于点F，连接BD，已知，点C为的中点． (1)求证：DB为圆O的切线； (2)若，点P为直径AB上的一个动点，求的最小值？ 26．（2025·山东济宁·模拟预测）如图，在中，，，，点P在上，，点E、F同时从点P出发，分别沿以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也运动到点B时停止．在点E、F运动过程中，以为直径作圆．设点E运动的时间为t秒． (1)当以为直径的圆与的边相切时，求t的值； (2)当时，写出以为直径的圆与的重叠部分的面积S与t的函数表达式． 27．（2026·山东烟台·模拟预测）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 题型10 全等三角形模型：倍长中线 28．（2025·山东济宁·一模）（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____； （2）如图②，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：； （3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 29．（2026·山东日照·模拟预测）（1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 30．（2026·山东临沂·模拟预测）几何探究与实践 (1)【模型认识】如图1所示，已知在中，，分别以为直角边构造等腰直角三角形和，连接，则与的关系是： ； (2)【初步应用】如图2所示，连接，求证：； (3)【深入研究】在（2）的条件下，试判断和的面积有何关系，并加以证明； (4)【拓广探索】如图3，在中，，，，以为直角边构造等腰直角三角形，且，连接，试直接写出的长度． 题型11 全等三角形模型：垂线模型 31．（2026·山东泰安·模拟预测）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 32．（2026·山东济宁·模拟预测）在中，，将线段绕点逆时针旋转一定角度至线段，连接交线段于点． (1)如图1，若，，，求的长． (2)将线段绕点逆时针旋转至线段；点是延长线上一点；连接，交于点，且，连接，交于点； ①如图2，若，请猜想、之间的数量关系并证明； ②如图3，若，，分别是线段上的动点，且满足，连接，，当取得最小值时，直接写出此时的面积． 33．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，在等腰直角中，，，点为的中点，点在边上，以为腰作等腰直角，连接． (1)若，求证：； (2)如图1，当点在边上移动，且点在内部时，探究的大小是否变化？若不变，求的度数；若变化，请说明理由； (3)如图2，当点在外部时，与交于点，若，，求的长． 题型12 全等三角形与旋转综合应用 34．（2025·山东济南·模拟预测）如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点F，G，H分别是BE，CD，BC的中点． (1)观察猜想：图1中，△FGH的形状是　 　； (2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△FGH的形状是否发生改变？并说明理由； (3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝3，AB＝7，请直接写出△FGH的周长的最大值． 35．（2026·山东威海·模拟预测）已知AD是等边△ABC的高，AC=2，点O为直线AD上的动点(不与点A重合)，连接BO，将线段BO绕点O顺时针旋转60°，得到线段OE，连接CE、BE． (1)问题发现： 如图1，当点O在线段AD上时，线段AO与CE的数量关系为　 　，∠ACE的度数是　 　． (2)问题探究： 如图2，当点O在线段AD的延长线上时，(1)中结论是否还成立？请说明理由． (3)问题解决： 当∠AEC=30°时，求出线段BO的长 36．（2026·山东东营·模拟预测）在中，，点P为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接． （1）如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是__________，为______度； （2）如图2，当时，写出线段和线段的数量关系，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，当时，求的最小值． 1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，已知三角形纸片，第一次折叠使点B落在边上的点处，折痕交于点D；第二次折叠使点A落在点D处，折痕交于点G．若，则的值是（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 2．（2026·山东济南·二模）如图，为等腰直角三角形，其中，按如下步骤作图： （1）在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D； （2）以点C为圆心，以的长为半径作弧，交射线于点P，分别以点D和P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点Q，作射线交线段于点E． 有以下结论：①是直角三角形；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026·山东淄博·一模）如图，已知在平行四边形中，，点P为的中点，点Q为的中点，且．记的长为m，的长为n，当平行四边形的形状变化时，m，n的值也随着变化，但代数式的值始终为定值，则这个定值是（    ） A．72 B．81 C．90 D．91 4．（2026·山东泰安·一模）在中，，，，分别在，边上，若，则长的最小值为______ ． 5．（2026·山东临沂·二模）如图，在中，，，点是斜边的中点，点是上一动点，则的最小值为____________． 6．（2026·山东德州·一模）如图，在等腰中，直角边，为的中点，为边上的动点，交于点，为的中点，当点从点运动到点时，点所经过的路线长为__________． 7．（2026·山东青岛·一模）如图，在中，，为边上的高，，．沿方向匀速运动，速度为；同时，沿方向匀速运动，速度为，分别得到，，如图②，连接，，．设运动时间为t（秒）（）． (1)请用含t的代数式表示下列线段的长度：________，________； (2)连接，当t为何值时，点在的垂直平分线上？ (3)是否存在某一时刻，使得与互余？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由； (4)若五边形的面积为S，求出S关于t的函数关系式，并说明是否存在某一时刻t，使得． 8．（2026·山东潍坊·一模）【问题提出】 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，连接，过点D作的垂线交直线于点F．探究、、之间的数量关系． 【特例探究】 (1)如图1，当时，证明：； (2)如图2，当时，数学兴趣小组给出了一种解题思路： 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 易得为等腰直角三角形，由（1）可得，进而由，，推导得、、之间的数量关系是：_________； (3)如图3，当时，探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 (4)当时，写出、、之间的数量关系：_____． 9．（2026·山东日照·一模）在中，点P是的平分线上一点，过点P作，垂足为点A，过点A作，垂足为点B，直线，交于点C，过点P作，垂足为点D． (1)观察猜想：如图1，当为钝角时，用等式表示线段，，的数量关系：______． (2)类比探究：如图2，当为锐角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用：当，且时，若，请求出的值． 10．（2026·山东济南·一模）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)如图，求证：； (2)如图，当，时，求的长； (3)如图，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点，与交于点．求证：． 11．（2026·山东济南·一模）根据题目条件，完成下列各题 (1)【拓展探究】在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在等腰中，，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．试探究线段与，之间的数量关系． 如图2，小明同学解题思路和理由如下： 如图，在BC上截取，连接， 在等腰中，，， ， ∴①______， ∵，， ∴， ∴，∴． ∵，∴②______． 请完成填空：①______；②______； (2)【类比分析】老师发现小明同学通过构造全等三角形，将要证明的线段进行转化．为了帮助学生更好地感悟转化思想，老师将图1进行变换，并提出下面的问题，请你解答． 如图3，在等腰中，，，点D在边上，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接交边于点F．求证：； (3)【学以致用】如图4，在中，，，，点E，F分别在边上，，，求线段的长． 12．（2025·山东东营·模拟预测）一副三角板如图1摆放，，，，点F在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点F顺时针旋转（当点D落在射线上时停止旋转）． (1)当___时，；当____时，；当____时，； (2)在旋转过程中，与的交点记为P，如图2，若有两个内角相等，求的度数； (3)当边与边分别交于点M、N时，如图3，若，比较与的大小，并说明理由． 13．（2025·山东济南·模拟预测）和都是等边三角形． 将绕点A旋转到图①的位置时，连接，并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立（不需证明）； (1)将绕点A旋转到图②的位置时，连接，相交于点P，连接，猜想线段，，之间有怎样的数量关系？并加以证明； (2)将绕点A旋转到图③的位置时，连接，相交于点P，连接，猜想线段，，之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 14．（2025·山东菏泽·模拟预测）【发现问题】 (1)如图1，已知和均为等边三角形，D在上，E在上，易得线段和的数量关系是 ． (2)将图1中的绕点C旋转到图2的位置，直线和直线交于点F． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是 ． 【探究拓展】 (3)如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点F，直接写出的度数和线段、间的数量关系． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形综合问题 命题预测 三角形作为中考数学的核心板块之一，是山东中考数学的热门考点之一;从去年山东各地区的中考数学来看，三角形的压轴题型考法集中在全等三角形的判定与性质特殊三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等等，同时也会考查常见的辅助线添加问题，三角形中的最值问题等等;预计2026年山东各地区的压轴题型仍会有三角形的一席之地，考生应加以重视。 高频考法 1.全等三角形的判定与性质综合应用 2.相似三角形的判定与性质综合应用 3.等腰三角形的判定与性质综合应用 4.等边三角形的判定与性质综合应用 5.直角三角形的判定与性质综合应用 6.勾股定理压轴问题 7.三角形中的最值问题 8.三角形与函数综合应用 9.三角形与圆综合应用 10.全等三角形模型：倍长中线 11.全等三角形模型：垂线模型 12.全等三角形与旋转综合应用 典例·靶向·突破 题型01 全等三角形的判定与性质综合应用 1．（2026·山东临沂·一模）在平行四边形中，过点作于点，用纸片做一个三角形，使得．将三角形纸片和平行四边形进行如下操作：①将三角形纸片置于平行四边形内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交线段于点，如图1所示；②连接，过点作直线交射线于点，如图2所示；③在边上取一点，分别连接，如图3所示． 请解决下列问题： (1)如图1，求证：； (2)如图2，求证：； (3)如图3，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，则可证明，得到，由全等三角形的性质可推出，则可证明，得到，即可证明； （2）先证明，再由全等三角形的性质得到，，即，则可证明，，证明是等腰直角三角形，，则可证明，进而可证明； （3）过点D作于点T，证明，解直角三角形得到，则可求出，；证明，可求出，则，据此可得，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴，，即， ∴，， ∴，； ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点D作于点T， ∴； 由（1）可得，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 2．（2026·山东菏泽·一模）综合与实践 (1)如图①，点分别在正方形的边上，，若把绕点逆时针旋转到的位置，从而发现之间的数量关系是______； 【分析问题】 (2)如图②，在四边形中，，，点分别在边上，当时，（）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【解决问题】 (3)如图③，某公园的四条通道围成了四边形，已知，，，，道路上分别有景点，满足，，为了游客们能更方便的游玩这两个景点，现要在之间修一条笔直的道路，请直接写出这条道路的长为______． 【答案】(1) (2)（）中的结论仍然成立，理由见解析 (3) 【分析】（）由旋转的性质可得，得到，，，进而得到，即得到，得到，据此得到，即可求证； （）延长至，使，连接，证明，得到，，再根据可得，进而证明，即得到，即可求证； （）把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，可得是等边三角形，得到，又由旋转的性质得到，可得，得到点在的延长线上，则可得，由勾股定理求得，进而可得，即可得，得到，，最后得到，根据（）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， 由旋转得，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （2）解：（）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，则， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 由旋转的性质得，， ∵， ∴，即点在的延长线上， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据（）的结论有， 即这条道路的长为． 3．（2026·山东聊城·模拟预测）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在线段上选一点，并沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接， 如图1，当点在上时，则______． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． 如图2，当点在上时，求三角形的面积． (3)拓展应用 若正方形纸片的边长为，通过改变点在上的位置（点不与点，重合），当时，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】（1）根据题意得，再根据直角三角形的性质得，进而得出答案； （2）根据特殊角的三角函数值求出，即可得，再根据正方形和折叠的性质得，，然后根据直角三角形的性质得出，最后根据三角形的面积公式得出答案； （3）当点Q在点F的下方时，求出相应的线段长，再根据全等三角形的性质得，然后设，再根据勾股定理得，进而求出答案；当点Q在点F上方时，求出线段的长， 再设，然后根据勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴. （2）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当点Q在点F的下方时， ∵， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． 根据折叠的性质得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设， ∴， 即， 解得， ∴； 当点Q在点F上方时，如图所示， ∵ ∴． ∵同上得， 设， ∴， 即， 解得， ∴． 综上所述，或． 题型02 相似三角形的判定与性质综合应用 4．（2026·山东济南·二模）在中，（），点D在边上，且．将射线绕点C按顺时针方向旋转得射线，点E在射线上（点E与点C不重合），连接，． (1)如图1，当时，若，与的位置关系为______，与的数量关系为______（用等式表示）； (2)当时，与交于点F，连接． ①如图2，若，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； ②如图3，若，求与的面积比． 【答案】(1)， (2)①（1）中结论仍然成立，理由见解析；②． 【分析】（1）延长交延长线于点，先证，利用平行线性质和，证明，再结合，推导线段与角的数量、位置关系． （2）①延长交延长线于点，先证，由边长比例证明，推出，结合得，进而验证（1）中结论是否成立．②过点作交于，先由平行证得比例；再证，得；设份数表示各三角形面积，依次推导、、的面积关系，最终求出面积比． 【详解】（1）解：延长交的延长线于点． ， ， ． ． ， ． 在和中， ， ． ． ， ， ． ， ． （2）解：①（1）中结论仍然成立，理由如下： 如图，延长交的延长线于点． ，， ， ． ． ， ， ， ． ， ， ． ， ， （1）中结论仍然成立． ②过点作，交于点． ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∴， 设， ， ， ， ， ， 设， ， ∵，与同高，面积比等于底之比： ∴， ， ， ，， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ． 5．（2026·山东济宁·二模）【问题情境】数学兴趣小组开展了一次折纸活动．如图，在矩形纸片中，，，点E在边上，且，点P是边上的一个动点（不与点B，C重合）． 小组进行了如下操作：将沿折叠，得到，再将沿折叠，得到． 【操作发现】 (1)如图①，当点恰好落在边上时，求线段的长； 【探究证明】 (2)如图②，在点P的运动过程中，小组成员发现存在特殊位置，使得点P，，恰好落在同一条直线上． ①求证：； ②求此时的长； 【拓展应用】 (3)如图③，连接，．在点P的运动过程中，的形状和大小随之改变，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)4 (2)①证明见解析；②2或6 (3) 【分析】（1）先证明四边形是正方形，得到，，由折叠的性质得到，再证明三点共线，最后利用线段的和差即可求解； （2）①根据折叠的性质得到，，根据平角的定义得到，则有，再根据垂直的定义即可证明；②证明，得到，设，进而得到关于的方程，求出的值即可解答； （3）过点作于点，根据矩形的性质以及勾股定理求出，根据三角形的面积公式得到，当取得最大值时，有最大值，由垂线段最短得到，分析可知当点与点重合时，有最大值，最大值为2，即可求出面积的最大值． 【详解】（1）解：∵矩形纸片， ∴，， ∵将沿折叠，得到， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴，， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴； （2）解：①证明：∵将沿折叠，得到， ∴， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴， ∴， ∵点P，，恰好落在同一条直线上， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②∵矩形纸片， ∴， ∴， 由①得，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 整理得：， 解得，， ∴的长为2或6； （3）解：如图，过点作于点， 则， ∵矩形纸片， ∴，，， ∴， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴， ∵， ∴当取得最大值时，有最大值， ∵， ∴当点与点重合时，有最大值，最大值为2， 此时， ∴面积的最大值为． 6．（2026·山东济南·一模）【先导问题】 (1)如图1，中，，，若，则________度； (2)【提炼模型】如图2，在中，，，且满足，求证：； (3)【识别模型、应用模型】如图3，直线上有一定点，，，点为直线上一点，连接，，且满足，求的最小值． 【答案】(1)60 (2)见解析 (3)的最小值为 【分析】（1）先证明，进而即可得到答案； （2）先证明，进而即可得到答案； （3）分点C在B的右侧、左侧以及和B重合讨论，过点作，使得，连接，通过证明，可得点的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆，从而得为等腰直角三角形，进而即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点C在点B的右侧时，如图，过点作，使得，连接， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴点的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆的一部分，即优弧， 如图，连接、， ∵． ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴； 当C和B重合时，D和G重合，此时， 当C在B的左侧时，如图，过点作，使得，连接， 同理可证， ∴， ∵，， ∴点的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆的一部分，即劣弧， 如图，连接、，连接交于点， 同理可求， ∴的最小值为， 综上，的最小值为． 题型03 等腰三角形的判定与性质综合应用 7．（2026·山东济宁·一模）感知、应用、深化模型，利用已知条件进行拓展延伸求值． (1)【感知模型】如图1，已知．求证：； (2)【应用模型】如图2，四边形是正方形，点E和点F分别是边，上的动点，且，过点F作，交边于点G，垂足为O，连接．试判断的形状，并证明你的猜想（方法不唯一）； (3)【深化模型】如图3，在【应用模型】的条件下，过点F作，垂足为P，连接．求的度数； (4)【拓展延伸】如图4，在【深化模型】的条件下，延长交边于点Q，连接．若为等腰直角三角形，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)是等腰直角三角形，证明见详解 (3) (4)或 【分析】（1）利用相似三角形的性质得出，，再利用角度和差关系推出，从而证得结论； （2）过点F作交于点H，交于点K，连接，，利用正方形的性质结合直角三角形两锐角互余证明，，，结合已知条件证明是等腰直角三角形，得到，从而证得结论； （3）利用圆内接四边形和圆周角定理即可求得结果； （4）根据已知条件，由定弦定角可知，点B，P，O，F四点共圆，此时分情况讨论：①当点Q在中点时；②当点Q与点D重合时；利用正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理设未知数，表示出相关线段的表达式，最终利用正切的定义即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． （2）解：是等腰直角三角形， 证明：如图，过点F作交于点H，交于点K，连接，， 在正方形中，，， ∵， ∴且， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （3）解：∵， ∴点A，B，O，F四点共圆， ∴为直径， ∵， ∴点P在圆上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （4）解：∵，， ∴， 由定弦定角可知，点B，P，O，F四点共圆， 由题意知，此时分情况讨论： ①如图，当点Q在中点时，过点Q作交于点M， 易证得：四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵点Q为的中点， ∴， ∴， 同理可证得：四边形是正方形， ∵为四边形是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 此时点F，P分别在，的中点， 设正方形的边长为， ∴， 过点O作交于点N， ∵， ∴点O为正方形对角线的中点， ∴， ∴， 在中，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴； ②如图，当点Q与点D重合时，则点E也与点D重合， 此时点F与点A重合，点P与点B重合，点G与点C重合， ∴点O为正方形对角线中点， ∴为等腰直角三角形，即为等腰直角三角形， ∴， 综上所述，或． 8．（2026·山东枣庄·一模）探究解题： (1)如图，等腰直角中，点是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接．判断和数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 (2)如图2，在等腰中，，点是边上任意一点（不与点，重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 (3)在（2）的条件下，若，，点是直线上任意一点，请直接写出当时的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）利用证明，得； （2）根据等腰三角形的性质得到，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）分两种情况，即点在线段上和点在线段的延长线上，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：相等，理由如下： 是等腰直角三角形， ，， ， 即， ， ， ； （2）解：成立，理由： ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （3）解：如图2，当点在线段上， 根据（2）可得， ， ，， ， ． 如图3，当点在线段的延长线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，， ， ． 综上所述，为或． 9．（2026·山东青岛·一模）问题：某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持上端到屋顶和下端到墙角的距离相等，钢丝绳长度的最小值为多少米？              小明收集了该简易房屋的相关数据，将该问题转化为数学问题：如图②，屋顶是等腰三角形，墙是矩形，其中米，，点M在上，点N在上，钢丝绳始终保持．求的最小值． (1)小明决定从简单情形出发试试看：如图③，在等边三角形中，，点M，N分别在边，上，且，求的最小值．请你在下面小明思路的基础上完成． 解：过点C，M分别作，的平行线，并交于点P，作射线， ∵四边形是平行四边形， ∴，； 经证明当时，最小，此时最小． 请你求出的最小值，写出求解过程． 解决： (2)请你借助小明的探究解决问题，直接写出图②中钢丝绳的最小值． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）先证明，得出点P在射线上，根据垂线段最短，得出当时，最小，根据直角三角形性质得出； （2）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，求出，得出点H总是射线上，说明当时，最小，此时最小，作于点R，根据直角三角形的性质和勾股定理，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点C，M分别作，的平行线，并交于点P，作射线， ∵四边形是平行四边形， ∴，； ， ∴， ∴， 在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， ∵在中，， ， 线段长度的最小值为； （2）解：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ， ， ， ∴， 四边形是矩形， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴点H总是射线上， 当时，最小，此时最小， 作于点R， 在中，米，， （米）， （米）， 米， 在中，， ∴为等腰直角三角形， （米）， 线段长度的最小值为米． 题型04 等边三角形的判定与性质综合应用 10．（2026·山东泰安·一模）阅读下面材料，解决下列问题： (1)【阅读材料】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图1，在等边中，点P在内部，且，，，求的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找三边之间的数量关系．即能求_____： (2)【学以致用】如图2，在等腰直角中，，P为内一点，，，，求的长； (3)【能力拓展】如图3，等腰三角形中，，D、E是底边上的两点且，若，，求的长． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，证明为等边三角形，得到，则可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）把绕点C逆时针旋转得到，连接，由旋转性质可知，，，则可证明是等腰直角三角形，可求出，，再利用勾股定理求解即可； （3）将绕点C逆时针旋转得到，连接，作于点H，由旋转的性质可得，，，，证明，得到，求出，得到，则可得到，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，把绕点C逆时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接，作于点H， 由旋转的性质可得，，，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，∵，，， ∴， ∴，， ∴   ∴． 11．（2026·山东青岛·一模）在数学综合实践课上，数学老师以折叠为主题开展数学活动． (1)图形感知：如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数； ②求证：为等边三角形； (2)性质梳理：如图2，将等边三角形沿直线折叠，点恰好落在边 上的点处，折痕分别交，于，两点．求证：； (3)拓展探究：如图3，将正方形沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，点落在点处，折痕分别交，于，两点，设，交于点．若，求的长． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）①由等边三角形的性质可得，由折叠的性质可得，则，因此； ②由可得，结合，命题得证； （2）由折叠的性质可得，，，结合等边三角形的性质可得，则，从而证明，因此，由等量代换可得； （3）设，由正方形和折叠的性质可得，，，，在中，利用勾股定理构造方程，解得．容易证明，则，代入数值计算即可． 【详解】（1）解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴； ②证明：由①可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：设， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∵点是的中点， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 12．（2025·山东济南·模拟预测）在中，，，点M是线段上一点（点M不与点C重合），点N是射线上一动点，连接，将线段绕点M逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接，，交于点Q． (1)若点M与点A重合， 如图1，当，点N在线段上时， ①线段与的数量关系是_______；②的度数是_________； (2)若点M与点A不重合， ①如图2，当，点N在线段上时，请写出线段与的数量关系，并说明理由； ②当时，若，，，请直接写出的长度． 【答案】(1)①；② (2)①，理由见解析；②的长为或 【分析】（1）①证明出，是等边三角形，得到，，证明出，即可得到； ②设和交于点D，由全等三角形的性质得到，利用三角形内角和定理即可得到； （2）①证明出，是等腰直角三角形，得到，证明出，即可得到； ②当点M在线段上时，过点M作于点H，判断出，然后证明出，得到，然后利用平行线分线段成比例得到，然后求出，即可得到；当点N在的延长线上时，同理可得． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； ②如图，设和交于点D， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①结论：． 理由：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由旋转得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点M在线段上时，过点M作于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， 同理可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点N在的延长线上时，同理可得． 综上所述，的长为或． 题型05 直角三角形的判定与性质综合应用 13．（2026·山东青岛·一模）如图，四边形中，，，对角线，，，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．为中点，与交于点．设运动时间为，解答下列问题： (1)取何值时，点在和夹角的平分线上？ (2)设五边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在求出的值，若不存在，说明理由； (4)取何值时，是直角？ 【答案】(1) (2) (3)存在，5 (4) 【分析】（1）先求得，过作于点，由点在和夹角的平分线上，可得，由，为中点，可得，再证明，即可求解； （2）过作于点，过点作于点，可求得，再可证明四边形是矩形，可得，再证明，即可求解； （3）利用（2）的结论，将代入即可求解； （4）由是直角，为中点，可得，再证明，可得，则，在中，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 过作于点， ，， ，即， 点在和夹角的平分线上， ， ∵，为中点， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ，即， ， ． （2）解：过作于点，过点作于点， ∵， ∴， ，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ， ， ∴． （3）解：存在． 由题意，得， 解得：（舍去），． （4）解：如图，连接， ∵是直角， ∴， ∵是的中点， ， ∵， ，， ， ∴， ∴， ， ， 在中，， ， 解得． 14．（2025·山东临沂·模拟预测）如图1，在正方形中，平分，交于点F，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)如图2，连接、，求证：平分； (3)如图3，连接交于点M，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先运用以及正方形的性质，证明，再运用正方形的性质，推导出，最后通过证明，证得； （2）先运用正方形的性质以及平分，求得，再在中，运用三角形内角和定理证得，从而得到，运用“三线合一”定理，证得，结合“斜中半”定理，证得，最后运用正方形的性质，推导出，从而证得平分； （3）先证，再证，从而可得． 【详解】（1）证明：∵过点C作，交的延长线于点G， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在中， ∵，， ∴， 同理，在中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵平分， ∴， 由（1）可知，， 即， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：如图，连接， 由（2）可知，，， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 即， ∵四边形是正方形， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形中，，， ∴， ∴． 15．（2025·山东德州·一模）如图1，已知直线，且和之间的距离为，小明同学制作了两块直角三角形硬纸片和，其中，，，，．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： (1)如图1，点在上，边在上，边在直线上 ①将直角三角形沿射线的方向平移，当点在上时，如图2；求的度数 ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求度数； (2)将直角三角形如图3放置，若点在直线上，点在和之间（不含，上），边和与直线分别交于点，．在绕着点旋转的过程中，设，，则的取值范围为 ． 【答案】(1)；的度数为或 (2) 【分析】（1）根据直角三角形的性质，则，；根据平行线的性质，则，再根据三角形的外角求解； 根据以，，为顶点的三角形是直角三角形，则当，分类讨论求解； （2）先根据四边形的内角和为，则，求出，根据旋转的性质，当点在直线上时，点，，重合，；当点在直线上时，点，，重合，则；点在直线和之间，，综合即可解答． 【详解】（1）∵三角形和三角形是直角三角形，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵以，，为顶点的三角形是直角三角形， 当时， ∵， ∴点A与点E重合， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， 综上所述：的度数为或． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点在直线上时，点，，重合，； 当点在直线上时，点，，重合则； ∵点在直线和之间（不含，上），即， ∴， ∴， ∴的取值范围为：． 题型06 勾股定理压轴问题 16．（2026·山东济南·二模）如图，矩形中，，，点为边上的动点（不与、重合），连接，将沿直线折叠，得到，点的对应点为点． (1)当点落在对角线上时，求线段的长； (2)将沿直线折叠，得到，点的对应点为点，连接，，当、、三点共线时，请判断四边形的形状，并证明： (3)连接，，在点的运动过程中，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)菱形，见解析 (3) 【分析】（1）由勾股定理得，设，则，由折叠得，，由勾股定理列方程可求解； （2）由折叠得，，再证明，可得，从而可得四边形是菱形； （3）由三角形三边关系得，当三点在同一条直线上时，的值最小，最小值为的长，由对称性得，求出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴； 由折叠得， ∴， 设，则，, 在中，， ∴， 解得：， ∴； （2）解：四边形是菱形，证明如下： 由折叠得，， ∵、、三点共线， ∴， ∴， ∴、、三点共线， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：连接，如图1，则， 当三点在同一条直线上时，的值最小，最小值为的长，如图2， ∵点与点关于对称，设与交于点， ∴，； 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的最小值为． 17．（2026·山东青岛·一模）综合与实践 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“哥俩三角形”． (1)如图1，和互为“哥俩三角形”，点为重合的顶角顶点，则与之间的大小关系为__________； (2)如图2，在中，，，，分别为，边上的点，且和互为“哥俩三角形”，． ①若，求的面积；（注意运用（1）的结论） ②如图3，若，，三点在一条直线上，则的面积为__________． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】（1）由“哥俩三角形”的定义可得，，，，可证明，可得； （2）①先可得，可得，，再由，，可得，，即可求解； ②过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接，设，则，，再证明，即可求得，再求得，即可求解． 【详解】（1）解：由“哥俩三角形”的定义可得，，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①∵和互为“哥俩三角形”， 同理（1）可得， ∴，， 由题意可得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②如图，过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接， 同理①可知，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意可知， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 18．（2026·山东淄博·一模）如图，矩形中，，，点是线段上异于点的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点落在点处． (1)【初步感知】如图1，当为的中点时，延长交于点，求证：． (2)【深入探究】如图2，点在线段上，，点在移动过程中，求的最小值． (3)【拓展运用】如图3，点在线段上，，点在移动过程中，点在矩形内部，当P、D、N是以为斜边的直角三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由矩形的性质可得，连接，由折叠的性质可得，，结合题意得出，再证明，即可得证； （2）由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，结合题意可得点在以点为圆心，为半径的的弧上，连接、，由，得出当点在线段上时，有最小值，由勾股定理可得，即可得解； （3）过点作于，延长交于点，连接、，则，四边形为矩形，从而可得，，证明，得出，设，则，，由折叠的性质可得，，由勾股定理可得，从而可得，求出，，，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， 如图，连接， ， ∵把沿直线折叠，使点落在点处， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵矩形中，，， ∴，， 由折叠的性质可得：， ∵点在移动过程中，不变， ∴点在以点为圆心，为半径的的弧上， 如图，连接、， ， ∵， ∴当点在线段上时，有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图，过点作于，延长交于点，连接、， ， 则，四边形为矩形， ∴，， ∵P、D、N是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴由折叠的性质可得：，， 由勾股定理可得， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴，， 由勾股定理可得， ∴， ∴， 解得． 题型07 三角形中的最值问题 19．（2025·山东临沂·二模）如图，矩形中，，，点E在线段上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接． (1)当点E在上时，作，垂足为M，求证：； (2)连接，点E从点B运动到点C的过程中，试探究是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）利用旋转的性质，证明，即可得出结论； （2）过点作于点，于交点为，根据全等和勾股定理，得出，点在射线上运动，当点与点重合时，有最小值，证明，得出，，进而得到，再证明，求出的长，即可得到的最小值． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可知，，， ， 在和中， ， ， （2）解：存在，理由如下： 如图，过点作于点，于交点为， 在矩形中，，， ，， ， ， ， ， 点在射线上运动，当点与点重合时，有最小值， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 即的最小值为． 20．（2025·山东东营·模拟预测）如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，点P为射线的交点． (1)求证：； (2)若，，把绕点A旋转． ①当时，求的长； ②直接写出旋转过程中线段长的最小值与最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①或；②的最小值为，的最大值为 【分析】（1）直接利用证明，即可证明； （2）①分当点在上时，当点E在延长线上时，两种情况讨论求解即可；②先证明，则，故当最小时，最小，当最大时，最大；再证明点E在以A为圆心，半径为1的圆心上运动，则如图3-2所示，当与相切于点E时，最小，即此时最小，如图3-3所示，当与相切于点E时，最大，即此时最大，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵和是有公共顶点的等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，当点在上时， 同理可证明， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ， ∴； 如图所示，当点E在延长线上时，同理可证明， 在中，， ∴； 综上所述，的长为或； ②如图3-1所示，∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，当最大时，最大； ∵不管怎么旋转，的长度始终为1， ∴点E在以A为圆心，半径为1的圆心上运动， ∴如图3-2所示，当与相切于点E时，最小，即此时最小， ∴， 在中，； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理； 如图3-3所示，当与相切于点E时，最大，即此时最大， 同理可得，， ∴， 在中，由勾股定理； 综上所述，的最小值为，的最大值为． 21．（2025·山东济南·二模）（1）已知，，，点D在边上，，，连接，．线段，的数量关系为___________；若，则___________度； （2）如图2，已知，，点B，A，E共线，A点在B，E两点之间，点C，D在直线同侧，若，请判断和的数量关系，并说明理由； （3））如图3，已知等边，，E为中点，D为边上一动点，连接，，F为内一点，连接，，，若，求的最小值．． 【答案】（1）相等，；（2），见解析；（3） 【分析】（1）先根据，，，证明，再结合三角形内角和性质列式计算，即可作答． （2）根据得，证明，结合三角形内角和性质列式整理得， （3）延长至，使得，连接，，运用相似三角形的性质以及E为中点，，证明，结合为等边三角形，得，则是的中位线， ，所以，点F的轨迹为，在的优弧上取点，连接，过点作，运用解直角三角函数进行列式得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：相等，； （2），理由如下： ∵， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）延长至，使得，连接，， ∵， ∴，， ∵E为中点，， ∴，， ∴， ∴， 由（2）得， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 取中点G，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴点F在的劣弧上运动， 在的优弧上取点，连接，过点作， 则四边形是圆内接四边形， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， 则， 则， 即， ∴， ∴， ∴， 当A、F、O共线时，取得最小值． 题型08 三角形与函数综合应用 22．（2025·山东菏泽·模拟预测）已知二次函数经过点、，与x轴交于另一点A，抛物线的顶点为D． (1)求此二次函数解析式； (2)连接、、，求证：是直角三角形； (3)在x轴是否存在一点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)点坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理的应用，利用分类讨论的数学思想是解决问题的关键． （1）将、，代入二次函数，求得、的值即可确定二次函数的解析式； （2）分别求得线段、、的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可； （3）分，，三种情况讨论．根据等腰三角形的性质，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点、， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）证明：由得，点坐标为， 与轴交于另一点， 令，，解得或， ，， ， ， ， ，， ， 是直角三角形； （3）∵点坐标为，点， ∴， 如图，当时，则点或； 当时，过点作轴， ∵， ，， 点； 当时， ， ， ， 点， 综上所述：点坐标为或或或． 23．（2025·山东聊城·模拟预测）如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴点A． (1)求二次函数的表达式； (2)连接AC，AB，若点P在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点P作PD//AC，交AB于点D，试猜想的面积有最大值还是最小值，并求出此时点P的坐标． (3)连接OD，在（2）的条件下，求出的值． 【答案】(1) (2)最大值； (3) 【分析】（1）根据题意，将点B，C坐标代入二次函数，求出a，c，进而求出函数解析式； （2）易证，得出，推出，进而得出，又，得出，进而求出面积有最大值及点P坐标； （3）当时，P为BC边的中点，则，得出，根据勾股定理求出AB的长，进而得出OD的长，最后得出的值． 【详解】（1）解：∵点，在二次函数的图象上， ∴ 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：的面积有最大值，点，理由如下： 设点P的坐标为，则，， ∵，， ∴， 在中，令，解得， ∴点， ∴， ∴， ∵PD//AC， ∴∠BPD=∠BCA，∠BDP=∠BAC ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，即时，的面积存在最大值． （3）解：当时，P为BC边的中点，则， ∴D为AB边的中点， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴． 24．（2026·山东滨州·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点． （1）求出二次函数和所在直线的表达式； （2）在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标； （3）连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，点的坐标是． 【分析】（1）将，代入，解出a，b得值即可；求出C点坐标，将C，B代入线段所在直线的表达式，求解即可； （2）根据题意只要，四边形即为平行四边形，先求出点D坐标，然后求出DE，设点的横坐标为，则，，得出，根据，得，求解即可； （3）由（2）知，，根据与有共同的顶点，且在的内部，只有当时，，利用勾股定理，可得 ，，根据，即，解出t值，即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意，将，代入， 得， 解得， ∴二次函数的表达式， 当时，，得点，又点， 设线段所在直线的表达式， ∴，解得， ∴所在直线的表达式； （2）∵轴，轴， ∴， 只要，此时四边形即为平行四边形， 由二次函数， 得点， 将代入，即，得点， ∴， 设点的横坐标为，则，， 由，得， 解之，得（不合题意舍去），， 当时，， ∴； （3）由（2）知，， ∴， 又与有共同的顶点，且在的内部， ∴， ∴只有当时，， 由，，， 利用勾股定理，可得，， 由（2）以及勾股定理知，， ， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴点的坐标是． 题型09 三角形与圆综合应用 25．（2026·山东聊城·一模）如图，以的边AB为直径作圆，过圆心O作，交BC于点E，交圆O于点F，连接BD，已知，点C为的中点． (1)求证：DB为圆O的切线； (2)若，点P为直径AB上的一个动点，求的最小值？ 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查切线的判定，直角三角形角所对的直角边是斜边的一半，找到点C关于AB的对称点M，推出，，三点共线时，最小，最小值为EM的长为解题关键． （1）由点F是的中点，点C为的中点，推出，结合，得，最后利用切线的判定即可证明． （2）延长DO交于点M，连接PM，由得点C关于AB的对称点为点M，所以，，三点共线时，最小，最小值为EM的长，由， ，，得，算得，再由，算得，最后算出EM的长即可． 【详解】（1）证明：， ∴点F是的中点， 又∵点C为的中点， ． 又， ， ∴DB为圆O的切线． （2）解：如图，延长DO交于点M，连接PM， 由（1）可知， ，， ∴点C关于AB的对称点为点M， ，， ，，三点共线时，最小，最小值为EM的长, ，， ，， ，即， 在直角三角形OBE中，， ， 即的最小值为3． 26．（2025·山东济宁·模拟预测）如图，在中，，，，点P在上，，点E、F同时从点P出发，分别沿以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也运动到点B时停止．在点E、F运动过程中，以为直径作圆．设点E运动的时间为t秒． (1)当以为直径的圆与的边相切时，求t的值； (2)当时，写出以为直径的圆与的重叠部分的面积S与t的函数表达式． 【答案】(1)1或或4； (2) 【分析】（1）分三种情况：当时，由含的直角三角形的性质容易得出t的值； 当时，设的中点为Q，若与相切，切点为M，连接，则，先求出，再求出，即可得出t的值； 当时，设的中点为R，若与相切，切点为N，连接，则，；先证明，得出比例式求出半径，得出，即可求出t的值； （2）设与的交点为D，连接，若的半径为r，则，先证明为等边三角形，得出的面积，由扇形的面积，即可求出S与t的函数关系式． 【详解】（1）当时，如图1所示： 设与相切，切点为H，连接， 则， ， ， 即； 当时，如图2所示： 设的中点为Q， 若与相切，切点为M，连接， 则． ，， ． ∵当时，，此后E、F的距离不变， ∴的半径为2，即， ， ， ， ； 当时，如图3所示： 设的中点为R，若与相切，切点为N， 连接，则，此时； ，， ， ， ， 解得：， ， ； 综上所述：t的值为1或或4； （2）如图4所示： 设与的交点为D，连接， 若的半径为r，， 则， ，， 为等边三角形， 的面积，， ∴． 又扇形的面积， ． 27．（2026·山东烟台·模拟预测）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得出，结合题意可得，再由三角形内角和定理得，最后由圆内接四边形对角互补可求解； （2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵ ∴ 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形，则． ∵平分， ∴． ∵是直径， ∴，则． ∵四边形是圆内接四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是直径， ∴此圆半径的长为． 题型10 全等三角形模型：倍长中线 28．（2025·山东济宁·一模）（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____； （2）如图②，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：； （3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、角的和差等知识点，通过作辅助线，构造两个全等三角形是解题关键． （1）延长至，使，连接，证明，得出，再利用三角形三边关系即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，，同（1）得，，得出再证明，得出，最后再利用三角形三边关系即可得出答案； （3）延长至点，使，连接，证明得出，再证明，得出，即可得证． 【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，，如图所示， 同（1）得，， ，， ∴， 在中，由三角形的三边关系得， ； （3）， 证明如下：延长至点，使，连接，如图所示， ，， 在和中， ， ∴， ， ， ， 在和中， ∴， ． ， ． 29．（2026·山东日照·模拟预测）（1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：（1）如图①，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点，使，连接、，如图②所示． 同（1）得：， ， ，， ， 在中，由三角形的三边关系得： ， ； （3），理由如下： 如图③，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 30．（2026·山东临沂·模拟预测）几何探究与实践 (1)【模型认识】如图1所示，已知在中，，分别以为直角边构造等腰直角三角形和，连接，则与的关系是： ； (2)【初步应用】如图2所示，连接，求证：； (3)【深入研究】在（2）的条件下，试判断和的面积有何关系，并加以证明； (4)【拓广探索】如图3，在中，，，，以为直角边构造等腰直角三角形，且，连接，试直接写出的长度． 【答案】(1)且 (2)见解析 (3)和的面积相等，理由见解析 (4) 【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质证明即可求解； （2）在中，，在中，，再根据，即可求解； （3）如图所示，延长到点，使得，连接，根据题意可证，再根据三角形中线平分三角形面积可求解； （4）如图所示，以为边作等腰直角三角形，连接，设交于点，证明，易得，则可得的长；延长，过点Q作延长线于点T，则可求得的长，在中，由勾股定理可求得的长，从而得到的长． 【详解】（1）解：∵，都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴在中，， ∴，即， 故答案为：且； （2）证明：由（1）可知，且， 在中，， 在中，， ∵， ∴ ， ∴； （3）解：和的面积相等，理由如下， 如图所示，延长到点，使得，连接， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中，点是中点， ∴， ∴， ∴和的面积相等； （4）解：如图所示，以为边作等腰直角三角形，连接，设交于点， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即，垂足为， 在中，， ∴， 如图所示，延长，过点Q作延长线于点T， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴的长度为． 题型11 全等三角形模型：垂线模型 31．（2026·山东泰安·模拟预测）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） (或)；见解析；（3）60 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，连接．证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 32．（2026·山东济宁·模拟预测）在中，，将线段绕点逆时针旋转一定角度至线段，连接交线段于点． (1)如图1，若，，，求的长． (2)将线段绕点逆时针旋转至线段；点是延长线上一点；连接，交于点，且，连接，交于点； ①如图2，若，请猜想、之间的数量关系并证明； ②如图3，若，，分别是线段上的动点，且满足，连接，，当取得最小值时，直接写出此时的面积． 【答案】(1)9 (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）过点作于点，由旋转的性质可得，设，利用等边对等角表示出和，利用角的和差求出，通过解求出、的长，再利用勾股定理求出的长，即可求出的长； （2）①作于点，同理（1）中的方法可得，通过证明得到，设，则，利用等腰直角三角形的性质与判定表示出，得到，再通过证明和得到，，最后利用比例的性质即可证明；②作且，作于点，连接、，由题意得是等边三角形，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理推出，通过证明得到，分析可得当三点共线时，有最小值；作于点，作于点，作于点，利用解直角三角形的知识求出、、的长，利用三角形的面积公式得到，，再利用比例的性质即可求出． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设， ， ， ， 由旋转的性质得，， ， ， ， ， ， 在中，，， ，， ， ． （2）解：①，证明如下： 如图，作于点， 由旋转的性质得，，， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 同理（1）中的方法可得，， ， ， 是等腰直角三角形，，， ， 又， ， ，，， ， ， ， 设，则， ， ，， 是等腰直角三角形，，， ， ， ， ，， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 点是的中点， ． ②作且，作于点，连接、，如图： ， 是等边三角形， ， ， 由①得，，， ， ，， 是等腰直角三角形，，， 又， ， ， ， 在中，， ， ，，， ， ， ， 当三点共线时，有最小值； 作于点，作于点，作于点，如图： ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ，，， ， ， ， ． 33．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，在等腰直角中，，，点为的中点，点在边上，以为腰作等腰直角，连接． (1)若，求证：； (2)如图1，当点在边上移动，且点在内部时，探究的大小是否变化？若不变，求的度数；若变化，请说明理由； (3)如图2，当点在外部时，与交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的大小不会变化，理由见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质； （1）通过推理角度得到，即可证明，得到； （2）过点作于，过点作于，根据一线三垂直模型可证明，得到，，进一步证明，由得到，即可得到； （3）过点作于点，由等腰直角三角形求出，由得到，，进而得到，即可求出，再证明，得到，代入计算即可． 【详解】（1），， ， ，， ， ， ， 又，， ， ． （2）的大小不会变化， 过点作于，过点作于， 则， ， 又∵， ， 又∵， ， ，， ∵， ， ， ， ∵， ， ， ， 故． （3）过点作于点，则， ， ， ， ∴， ∴， ， ，，， ，， 在中，， 在中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 题型12 全等三角形与旋转综合应用 34．（2025·山东济南·模拟预测）如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点F，G，H分别是BE，CD，BC的中点． (1)观察猜想：图1中，△FGH的形状是　 　； (2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△FGH的形状是否发生改变？并说明理由； (3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝3，AB＝7，请直接写出△FGH的周长的最大值． 【答案】(1)等边三角形； (2)△FGH的形状不发生改变，理由见解析； (3)15 【分析】（1）先证BD＝CE，再根据中位线定理可知FHCE，FH＝CE ，GHBD，GH＝BD，可证明FH＝GH，∠FHG＝60°，即可证明； （2）连接CE，BD，通过SAS证明△ABD≌△ACE，得BD＝CE，∠ABD＝ACE，由（1）同理可证FH＝GH，∠FHG＝60°，即可证明； （3）由（2）可知：GH＝BD，则当BD的值最大时，GH的值最大，在△ABD中，利用三角形三边关系可求出BD的最大值． 【详解】（1）解：如图1，∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵AD＝AE， ∴BD＝CE， ∵点F，G，H分别是BE，CD，BC的中点． ∴FHCE，FH＝CE，GHBD，GH＝BD， ∴FH＝GH，∠BHF＝∠BCA＝60°，∠CHG＝∠CBA＝60°， ∴∠FHG＝60°， ∴△FHG为等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2）解：△FGH的形状不发生改变，仍然为等边三角形，理由如下： 如图3，连接CE，BD， ∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝ACE， 与（1）同理可得：FHCE，FH＝CE，GHBD，GH＝BD， ∴FH＝GH，∠BHF＝∠BCE，∠CHG＝∠CBD， ∴∠BHF+∠CHG＝∠BCE+∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+ACE＝60°+60°＝120°， ∴∠FHG＝60°， ∴△FHG为等边三角形； （3）解：由（2）可知：GH＝BD， ∴当BD的值最大时，GH的值最大， ∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B，A，D共线时取等号）， ∴BD的最大值为3+7＝10， ∴GH的最大值为：5， ∴△FGH的周长最大值为：15． 35．（2026·山东威海·模拟预测）已知AD是等边△ABC的高，AC=2，点O为直线AD上的动点(不与点A重合)，连接BO，将线段BO绕点O顺时针旋转60°，得到线段OE，连接CE、BE． (1)问题发现： 如图1，当点O在线段AD上时，线段AO与CE的数量关系为　 　，∠ACE的度数是　 　． (2)问题探究： 如图2，当点O在线段AD的延长线上时，(1)中结论是否还成立？请说明理由． (3)问题解决： 当∠AEC=30°时，求出线段BO的长 【答案】(1)AO=CE，∠ACE=90°； (2)成立，见解析； (3)BO=2或2 【分析】(1)证明△ABO≌△CBE(SAS)，则AO=CE，∠BAO=∠BCE，进而求解； (2)和(1)的方法相同； (3)①当点O1在线段AD的延长线上时，证明点A、B、E1在一条直线上，进而求解；②当点O2在线段DA的延长线上时，通过画图确定BO2为位置，进而求解． 【详解】（1）解：AO=CE，∠ACE=90°， 理由如下： ∵线段BO绕点O顺时针旋转60°，得到线段OE， ∴BO=OE，∠BOE=60°， ∴△BOE为等边三角形， ∴∠OBE=60°，BE=BO， ∴∠OBE=60°=∠OBD+∠DBE， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=60°=∠ABO+∠OBD，AB=AC， ∴∠ABO=∠CBE， 在△ABO和△CBE中， ， ∴△ABO≌△CBE(SAS)， ∴AO=CE，∠BAO=∠BCE， ∵AD是等边三角形ABC的高， ∴∠ACB=60°，AD也是∠BAC的平分线， ∴∠BAO=30°=∠BCE， ∴∠ACE=∠BCE+∠ACB=30°+60°=90°， 故答案为：AO=CE，∠ACE=90°； （2）解：成立，理由如下： 如图：连接BE． ∵线段BO绕点O顺时针旋转了60°得EO， ∴BO=EO，∠BOE=60°， ∴△BOE是等边三角形， ∴BO=BE，∠OBE=60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴BA=BC，∠ABC=60°， ∴∠ABC+∠OBC=∠OBE+∠OBC，即∠ABO=∠CBE， 在△ABO和△CBE中， ∴△ABO≌△CBE(SAS)， ∴AO=CE，∠BAO=∠BCE， ∵AD是等边△ABC的高， ∴∠BCE=∠BAO=30°，∠BCA=60°， ∴∠ACE=∠BCE+∠ACB=30°+60°=90°， ∴AO=CE，∠ACE=90°； （3）解：①当点O1在线段AD的延长线上时， 由(1)和(2)知：△BO1E1是等边三角形，∠ACE1=90°， ∵∠ACE1=90°，∠AE1C=30°， ∴∠E1AC=60°， ∵∠BAC=60°， ∴点A、B、E1在一条直线上， ∵在Rt△ACE1中，AC=2，∠AE1C=30°， ∴A E1=4， ∴BO1=BE1=2； ②当点O2在线段DA的延长线上时， ∵∠ACE2=90°，∠AE2C=30°，AC=2， ∴AE2=4，， ∵△ABO2≌△CBE2(SAS)， ∴， ∵AD是等边△ABC的高，AB=AC=2， ∴BD=1，， 在Rt△O2DB中，BD=1， 而， ∴； 综上，BO=2或． 36．（2026·山东东营·模拟预测）在中，，点P为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接． （1）如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是__________，为______度； （2）如图2，当时，写出线段和线段的数量关系，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，当时，求的最小值． 【答案】（1）PA＝DC，60；（2）CD＝PA．理由见详解；（2）+ 【分析】（1）先证明△ABC，△PBD是等边三角形，再证明△PBA≌△DBC，进而线段与线段的数量关系，利用全等三角形的性质以及三角形内角和等于180°，解决问题即可； （2）证明△CBD∽△ABP，可得，解决问题； （3）过点C作射线CM，使得sin∠ACM=，过点P作PN⊥CM于点N，则PN=PC， 过点B作BG⊥BA于点G，当点B、P、N共线时，BP+PN最小，即最小，由，得，结合勾股定理求出GP，从而得CP，进而即可求解． 【详解】（1）①证明： ∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD， ∴PB＝PD， ∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝60°， ∴△ABC，△PBD是等边三角形， ∴∠ABC＝∠PBD＝60°， ∴∠PBA＝∠DBC， ∵BP＝BD，BA＝BC， ∴△PBA≌△DBC（SAS）， ∴PA＝DC． 设BD交PC于点O，如图1， ∵△PBA≌△DBC， ∴∠BPA＝∠BDC， ∵∠BOP＝∠COD， ∴∠OBP＝∠OCD＝60°，即∠DCP＝60°． 故答案是：PA＝DC，60； （2）解：结论：CD＝PA．理由如下： ∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝120°， ∴BC＝2•AB•cos30°＝BA，BD═2BP•cos30°＝BP， ∴=， ∵∠ABC＝∠PBD＝30°， ∴∠ABP＝∠CBD， ∴△CBD∽△ABP， ∴， ∴CD＝PA； （3） 过点C作射线CM，使得sin∠ACM=，过点P作PN⊥CM于点N，则PN=PC， 过点B作于点G，则BG=AB×sin∠BAG=2×sin60°=3，AG= AB×cos∠BAG=． 当点B、P、N共线时，BP+PN最小，即最小， ∵∠BGP=∠CNP=90°，∠BPG=∠CPN， ∴， ∴， 设GP=x，则AP=-x，BP=3x， ∴，解得：x=， ∴BP=，AP=-， ∴CP=AC+AP=2+-=3-， ∴最小值=+×(3-)=+． 1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，已知三角形纸片，第一次折叠使点B落在边上的点处，折痕交于点D；第二次折叠使点A落在点D处，折痕交于点G．若，则的值是（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】通过折叠可判断，根据平行线分线段成比例可得出，，然后根据三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解：∵三角形纸片，第1次折叠使点B落在边上的点处，折痕交于点D， ∴，， ∵第2次折叠使点A落在点D处，折痕交于点G， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴． 2．（2026·山东济南·二模）如图，为等腰直角三角形，其中，按如下步骤作图： （1）在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D； （2）以点C为圆心，以的长为半径作弧，交射线于点P，分别以点D和P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点Q，作射线交线段于点E． 有以下结论：①是直角三角形；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质，作图的痕迹得到是的角平分线，延长线于点，由角的和差计算可判定①②正确；过点作于点，设，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理得到的值，由相似三角形的判定和性质得到，则可用含a的式子表示出，结合周长的计算，线段的数量关系可判定③④错误，由此即可求解． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，， ∴， 根据作图得到，是的角平分线，延长线于点， ∴， ∴是直角三角形，故①正确； ∴， ∵， ∴，故②正确； 如图所示，过点作于点， ∵是角平分线，， ∴， 设， ∵，， ∴，则， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴，则， ∴，故③错误； ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②，共2个， 故选：B ． 3．（2026·山东淄博·一模）如图，已知在平行四边形中，，点P为的中点，点Q为的中点，且．记的长为m，的长为n，当平行四边形的形状变化时，m，n的值也随着变化，但代数式的值始终为定值，则这个定值是（    ） A．72 B．81 C．90 D．91 【答案】C 【分析】连接，过点作于点，根据线段垂直平分线的性质得出，利用勾股定理和完全平方公式表示出，代入计算即可． 【详解】解：连接，过点作于点，如图， ，为的中点， 垂直平分， ． 四边形是平行四边形， ． 为的中点， ， 设，． 在中，， ，， ； ， ． 4．（2026·山东泰安·一模）在中，，，，分别在，边上，若，则长的最小值为______ ． 【答案】 【分析】设，则，，利用勾股定理，可得出，再利用二次函数的性质，可求出的最小值，进而可得出长的最小值． 【详解】解：设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴长的最小值为． 5．（2026·山东临沂·二模）如图，在中，，，点是斜边的中点，点是上一动点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】由动点最值问题-将军饮马模型解法作图分析求解，再由含直角三角形性质、全等三角形的判定与性质求出相关线段长即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，如图所示： ， ， 由动点最值问题-将军饮马模型可知，当点三点共线时，有最小值，为， 在中，，，则，， 点是斜边的中点， ， 在和中， ， ， ． 6．（2026·山东德州·一模）如图，在等腰中，直角边，为的中点，为边上的动点，交于点，为的中点，当点从点运动到点时，点所经过的路线长为__________． 【答案】 【分析】连接，根据勾股定理得，，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得，即可得点M在线段的垂直平分线上，交于点G，交于点H，则为点M所经过的路线长，然后说明是的中位线，并根据中位线的性质得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，，且，点D是的中点， ∴，． ∵，点M是的中点， ∴，且， 在中，， ∴， ∴点M在线段的垂直平分线上，交于点G，交于点H，，交于点O， ∴为点M所经过的路线长，． ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴． 所以点M所经过的路线长为． 7．（2026·山东青岛·一模）如图，在中，，为边上的高，，．沿方向匀速运动，速度为；同时，沿方向匀速运动，速度为，分别得到，，如图②，连接，，．设运动时间为t（秒）（）． (1)请用含t的代数式表示下列线段的长度：________，________； (2)连接，当t为何值时，点在的垂直平分线上？ (3)是否存在某一时刻，使得与互余？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由； (4)若五边形的面积为S，求出S关于t的函数关系式，并说明是否存在某一时刻t，使得． 【答案】(1)， (2) (3) (4)；存在， 【分析】（1）根据“路程=速度×时间”可得，，由线段的和差关系可得； （2）连接，根据题意得，运用勾股定理可得，根据垂直平分线的性质得，列方程得，求出的值即可； （3）证明，求出，再证明，根据对应边成比例列式求解即可； （4）根据运用平行线分线段成比例定理得，，得出，，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵． ∴； （2）解：由题意得， 连接， ， 点在的垂直平分线上， ， 即， ； （3）解：由题意得，为边上的高 ， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ， ， 由题，， ， ， 又， ， ，即 ； （4）解：如图， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴ ， ， ， 同理， ， ， ， ， 解得，（舍去），， 综上，存在． 8．（2026·山东潍坊·一模）【问题提出】 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，连接，过点D作的垂线交直线于点F．探究、、之间的数量关系． 【特例探究】 (1)如图1，当时，证明：； (2)如图2，当时，数学兴趣小组给出了一种解题思路： 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 易得为等腰直角三角形，由（1）可得，进而由，，推导得、、之间的数量关系是：_________； (3)如图3，当时，探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 (4)当时，写出、、之间的数量关系：_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）当时，，连接，可证明，得出，则，根据勾股定理求出，即可得证； （2）当时，，取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M．则，，得出，，由（1）可得，证明，根据相似三角形的性质求出∴，即可求解 （3）当时，，取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M．类似（2）求解即可； （4）当时，，取的分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M．类似（2）求解即可． 【详解】（1）证明：当时，， ∴， 连接， ∵在中，，， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：当时，， 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 则，， ∴，，即为等腰直角三角形， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴； （3）解： 理由：当时，， 取的三分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M． 则，， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴； （4）解：当时，， 取的分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M． 则，， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴． 9．（2026·山东日照·一模）在中，点P是的平分线上一点，过点P作，垂足为点A，过点A作，垂足为点B，直线，交于点C，过点P作，垂足为点D． (1)观察猜想：如图1，当为钝角时，用等式表示线段，，的数量关系：______． (2)类比探究：如图2，当为锐角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用：当，且时，若，请求出的值． 【答案】(1) (2)不成立，正确结论为 ；证明见详解； (3)或 【分析】（1）过点P作，垂足为点E，证，得，则； （2）过点P作，垂足为点E，证，得，则； （3）依据前两问的图形分类讨论，利用“一线三等角”相似求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点P作，垂足为点E， ∵，， , ∵平分，， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ； （2）解：补全图形如图， 不成立，正确结论为 ． 如图2，过点 作 ，垂足为点 ， 同理可得 ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ； （3）解：∵， ∴， ①当为钝角时，如图3， 由（1）得，四边形是矩形， ∴ ∴ ∴， 设 ∵ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； ②当为锐角时，如图4， ∵， ∴， 由（1）得，四边形是矩形， ∴ ∴ ∴， 设 ∵ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 综上：的值为或． 10．（2026·山东济南·一模）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)如图，求证：； (2)如图，当，时，求的长； (3)如图，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点，与交于点．求证：． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（）由旋转性质可得，，，所以，然后通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由，，则有，过作，，则，在中，，即，则，，通过勾股定理得，又，则，然后代入即可求解； （）设旋转角为，，，，，，再证明，通过全等三角形的性质可得，又，则． 【详解】（1）证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上， ∴，，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， 过作， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：，（舍去）， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：设旋转角为， 则，，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．（2026·山东济南·一模）根据题目条件，完成下列各题 (1)【拓展探究】在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在等腰中，，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．试探究线段与，之间的数量关系． 如图2，小明同学解题思路和理由如下： 如图，在BC上截取，连接， 在等腰中，，， ， ∴①______， ∵，， ∴， ∴，∴． ∵，∴②______． 请完成填空：①______；②______； (2)【类比分析】老师发现小明同学通过构造全等三角形，将要证明的线段进行转化．为了帮助学生更好地感悟转化思想，老师将图1进行变换，并提出下面的问题，请你解答． 如图3，在等腰中，，，点D在边上，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接交边于点F．求证：； (3)【学以致用】如图4，在中，，，，点E，F分别在边上，，，求线段的长． 【答案】(1)①FB；② (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，则．进一步即可证明结论； （2）在上截取，连接．证明，则，，得到，根据即可得到结论； （3）在上截取，连接，在上截取，连接，作于点H，在中，，证明，得到，进一步即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，在BC上截取，连接， 在等腰中，，， ， ∴， ∵，， ∴， ∴≌， ∴． ∵， ∴②． 故答案为：①；② （2）证明：在上截取，连接． ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）在上截取，连接，在上截取，连接，作于点H，在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴． ∵，，，， ∴和是等边三角形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ， ∴， ∴∽， ∴， 设， 则， ∴，解得：， ∴． 12．（2025·山东东营·模拟预测）一副三角板如图1摆放，，，，点F在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点F顺时针旋转（当点D落在射线上时停止旋转）． (1)当___时，；当____时，；当____时，； (2)在旋转过程中，与的交点记为P，如图2，若有两个内角相等，求的度数； (3)当边与边分别交于点M、N时，如图3，若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)15；60；30 (2)或或 (3)，理由见解析 【分析】（1）分别画出对应的图形，根据角平分线以及三角形的内角和定理，再结合平行线的判定求解即可； （2）分三种情况讨论，①；②当；③，然后结合三角形的内角和定理求解即可； （3）由三角形的外角性质可得，，即，那么，故，再由等量代换即可求解． 【详解】（1）解：①时，， 如图： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②时，； 由①知， ∴当时，， ∵ ∴ ∴ ∴； ③当时，，如图： ∵ ∴此时 ∴； （2）解：①当时， 由（1）可得：， ∴， ∴即；    ②当时， ∵， ∴；    ③当时， ∴， 综上所述，的度数为或或； （3）解：． 理由：如图6所示： ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， 是的一个外角， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 13．（2025·山东济南·模拟预测）和都是等边三角形． 将绕点A旋转到图①的位置时，连接，并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立（不需证明）； (1)将绕点A旋转到图②的位置时，连接，相交于点P，连接，猜想线段，，之间有怎样的数量关系？并加以证明； (2)将绕点A旋转到图③的位置时，连接，相交于点P，连接，猜想线段，，之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，得，再证明，得，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论； （2）在上截取，连接，证明，得，再证明，得出，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论：． 【详解】（1）解：图②结论： 证明：在BP上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：图③结论：， 理由：在上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，   ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即． 14．（2025·山东菏泽·模拟预测）【发现问题】 (1)如图1，已知和均为等边三角形，D在上，E在上，易得线段和的数量关系是 ． (2)将图1中的绕点C旋转到图2的位置，直线和直线交于点F． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是 ． 【探究拓展】 (3)如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点F，直接写出的度数和线段、间的数量关系． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；② (3)， 【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得线段和的数量关系； （2）①利用等边三角形的性质可以证明，从而得到线段和的数量关系； ②在①的基础上可得，运用三角形内角和定理可求出的度数； （3）利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，可以求出，运用等量代换可以求出，则．根据相似三角形的性质与三角形内角和定理，可以得出的度数和线段、间的数量关系． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴； （2）①结论：， 证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②由①可知，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， 由勾股定理得，， ∴，     同理，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，， ∴， ∴． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $