专题07 三角形、四边形与几何变换（6大题型，大题专练）（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07三角形、四边形与几何变换 伪宏皖 【命题解码定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题冲高分】精选中考大题十名校模拟题，强化实战能力，得高分 ☑ PART 命题解码•定方向 一、具体考查形式 近三年山东中考对该热点的考查形式多样，且分值占比较高，主要分为以下三类： 1.基础几何证明与计算：通常以中档解答题形式出现，分值在810分左右。主要考查平行四边形的 性质与判定、特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质与判定、三角形的全等与相似、勾股定 理及锐角三角函数的应用等。 2.几何图形变换与综合探究：以压轴题形式出现，分值在10-14分左右。题目常以四边形（特别是 正方形)或三角形为背景，融入图形的平移、旋转、轴对称（翻折）等变换，要求探究图形性质、证 明线段或角的关系、求线段长度或最值。 3.动态几何与最值问题：常融合在综合题中，或在选择题、填空题的压轴位置出现。题目中往往有 点（或线、图形）在运动，需要探究运动过程中线段长度、图形面积的变化规律，并求最值。 二、命题特点 1.基础性：对核心定义、定理（如平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定；三角形全等、 相似的条件；勾股定理)的考查非常扎实，不偏不怪。 2.综合性：将多个知识点融合在一起，例如：全等/相似+特殊四边形十图形变换；勾股定理十方程 十翻折：三角函数十相似十四边形。考查学生综合运用知识的能力。 3.探究性：综合探究题往往设置“问题呈现→类比探究→拓展延伸”或“操作发现→猜想验证→迁 移应用”等环节，引导学生经历探究过程，考查其逻辑推理和归纳概括能力。 4.模型化：很多题目背后都有常见的几何模型，如“手拉手模型”“半角模型”“一线三等角模 型”“将军饮马模型”“胡不归模型”等，识别并应用这些模型是快速解题的关键。 1/20 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 开放性：存在性问题（如探究某点位置使三角形为等腰）和条件开放性问题（如补充条件使四边形为 某种特殊图形)依然常见。 三、核心考查内容与能力要求 1.核心内容： (I)三角形：全等三角形的判定与性质：相似三角形的判定与性质；等腰、直角三角形的性质与判定； 勾股定理及其逆定理；三角形的中位线定理。 (2)四边形：多边形的内角和与外角和：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定；梯形（了 解)。 (3)几何变换：轴对称（翻折）、平移、旋转（含中心对称）的性质；利用变换解决几何问题。 (4)锐角三角函数：解直角三角形及其实际应用。 2.能力要求： ()推理能力：根据已知条件，运用图形性质进行逻辑推理和证明，这是核心能力。 (2)几何直观：能根据文字描述想象或画出几何图形，能从复杂图形中分离出基本图形和模型。 (3)空间观念：理解图形的运动（平移、旋转、轴对称）对图形位置和形状的影响。 (4)运算能力：准确进行几何量的计算（边长、角度、面积、周长）。 (⑤)模型观念：能识别和应用常见的几何模型。 (⑥)分类讨论思想：在存在性问题或图形不确定时，能进行全面、不重不漏的讨论。 四、趋势展望 1.“几何变换”为背景的探究题仍是主流：以正方形、等边三角形等为载体的旋转、折叠类探究题， 将继续作为压轴题的热门选择。 2。模型化思想更加凸显：对“手拉手”、“一线三等角”、“半角”、“弦图”等经典几何模型的 考查会更为直接和深入。 3.与函数知识融合更紧密：在动态几何问题中，建立线段或面积与运动时间的函数关系，并求最值， 这类“几何与函数”的融合题会继续出现。 4.难度与灵活性并重：第一问通常较简单（如直接证明全等），后续问题难度递进，需要学生具备 较强的逻辑分析、图形构造和代数运算能力。 五、备考策略建议 1.回归课本，夯实基础： (I)定理过关：要求学生熟记并理解全等三角形、特殊四边形的所有性质定理和判定定理，能口述证 明过程。 2/20 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)基本图形：熟练掌握等腰三角形“三线合一”、直角三角形“斜边中线等于斜边一半”、中位线 定理、勾股定理等基本图形的性质和结论。 (3)规范书写：几何证明题的书写格式、逻辑链条（因为…所以…）必须规范、严谨。 2.归纳模型，强化训练： ()总结模型：系统总结常见的几何模型（手拉手、半角、一线三等角、中点模型、旋转相似等）， 并配上典型例题，让学生理解模型的特征、构造方法和应用场景。 (2)专项突破：针对“折叠”、“旋转”、“动态最值”等难点，进行专项训练，培养其在复杂图形 中寻找不变数量关系或位置关系的能力。 3.培养能力，提升素养： ()识图与构图：训练学生从复杂图形中分离出基本图形、添加辅助线构造基本图形的能力。例如， 看到中点联想中线、中位线：看到角平分线联想作双垂线：看到线段和差联想截长补短等。 (2)“四步法”解决几何综合题： ① 审题：仔细读题，明确已知条件、待求结论和图形变换。 ② 标图：将所有已知条件（线段相等、角相等、垂直关系等）在图形上标注出来。 ③ 分析：从结论出发，逆向分析需要什么条件；从条件出发，正向推理可以得到什么结论。 ④ 书写：思路清晰后，用几何语言规范、完整地写出证明或计算过程。 4. 关注动态与最值： ()建立函数模型：对于动态几何问题，学会用运动时间或参数表示线段长度、图形面积，并建立函 数关系式进行求解。 (2)掌握最值模型：熟练掌握“将军饮马”（含加权版胡不归、阿氏圆）等求线段和最小值的模型。 PART 02 解题建模•通技法 >题型01几何基础证明<了 折典例建模犁 1.(2026山东青岛一模)已知：如图，在口ABCD中，AC与BD交于点O,AG∥DB交CB的延长线于 G,E为AG中点，连接BE. 3/20 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：△ADO≌△BGE: ∠DAG=2∠ADB,BC=BD (2)若 请判断四边形1OBE 的形状，并证明你的结论， 研考点通技法 考查知识点结合： 三角形全等/相似；平行四边形/特殊平行四边形的判定 通用思路：“条件→判定→性质→目标”。 1. 证明全等：找齐三个条件（边或角），明确判定定理(SSS/SAS/ASA/AAS/HL)。 12. 证明平行四边形：找边的关系（平行或相等），或利用对角线互相平分。 3. 证明特殊平行四边形（矩形菱形正方形）：先证平行四边形，再证一个特殊条件（一个直角→矩 形：一组邻边相等或对角线垂直一菱形：矩形+菱形→正方形)。 关键步骤： 标注已知条件在图上：书写步骤时“因为：所以……”逻辑链完整：对应边角写准确。 破类题提能力、 2.(2026山东青岛一模)如图1，在口ABCD中，E为BC上一点，使BE=BC,过点A作AF∥BE交 CE的延长线于点F,连接DF, 图1 图2 (I)求证：△ABE≌△FDA; 4/20 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，连接AC交BE于点G，,若BG=AF,求证：四边形CDFG是菱形. ABCD 相交于点O,延长C到点E, AC,BD BC 3.(2026山东青岛一模)如图，在平行四边形 中，对角线 使得CE=BC,连接DE,点F是DE的中点，连接CF B (1)求证：四边形ADEC是平行四边形： (2)条件：①四边形ABCD是矩形： ②四边形ABCD是菱形. 请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形ODFC的形状（两个都写以第一个为准）· 4.(2025山东聊城三模)在数学探究课上，老师让同学们画一个Rt△ABC,使∠BAC=90°，点D为 BC的中点，连接AD,然后组织同学们以“操作发现”为活动主线进行探究学习。 动手操作（如图1） 第一步，在线段AD上取一点E(点A和点D除外)； 第二步，以点D为圆心，以DE为半径画弧交CD于点F: 第三步，分别以E,F为圆心，DE长为半径画弧，交于点G,连接EG,GF. 猜想验证 (1)根据图1的操作，填空： ①四边形DEGF的形状为，依据的判定定理是 ②AE与CF的数量关系为： (2)以D为旋转中心，将四边形DEGF按顺时针方向旋转到如图2的位置，请判断AE与CF的数量 关系，并加以证明， 问题解决 (3)如图3，若∠ABC=30°，AB=6,DE=2,以D为旋转中心，将四边形DEGF按顺时针方向旋 转，使点F在BC的下方，连接EF,且点F,E,C在同一条直线上，求CE的长. 5/20 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 >题型02三角形与多边形综合<《 折典例建模理 (2026山东淄博一模)如图，矩形ABCD中，AB=10,AD=17,点E是线段BC上异于点B的一个 动点，连接AE,把△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点P处. 图1 图2 图3 备用图 (I)【初步感知】如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F,求证：FP=FC (2)【深入探究】如图2，点M在线段CD上，CM=3,点E在移动过程中，求PM的最小值」 (3)【拓展运用】如图3，点N在线段AD上，AW=4,点E在移动过程中，点P在矩形内部，当 P、D、N是以DN为斜边的直角三角形时，求BE的长. 研考点通技法✉ 考查知识点结合： 等腰三角形、直角三角形性质；勾股定理；多边形内角和；中位线 通用思路：“设未知数，用勾股或相似建立方程”。 关键步骤： L1,一利用图形性质（全等、等腰、垂直等）找到等量关系。 6/20 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2. 将所求线段设未知数。 3. 将其它线段用含未知数的代数式表示。 4. 在一个直角三角形或一对相似三角形中建立方程（常用勾股定理或对应边成比例）。 a2+b2=c2 核心公式：Rt△ABC(∠C-90°)： 相似三角形：对应边成比例，面积比=相似比的平方。 破类题提能力 2.(2026山东青岛·一模)在解决几何问题中，通常我们可以利用平移变换来解决图形中边与角的相关问 题 E 图1 图2 B A 图3 (I)【问题情境】如图1，在正方形ABCD中，E,F,G分别是边BC,AB,CD上的点，FG⊥AE 于点Q.判断线段AE,FG的数量关系 (2)【尝试应用】如图2，在正方形网格中，点A,B,C,D为格点，AB交CD于点O,则 tan∠AOC= (3)【拓展提升】如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP,BP为边在AB的同侧作正方形APCD 与正方形PBEF,连接DE,分别交线段BC,PC于点M,N.则sin∠DMC= 3.(2025山东青岛三模)矩形ABDC中，AB=8,AC=12,E为BD中点，点P从A点出发，以每秒1 个单位的速度沿AE向E点运动，同时点Q从D点出发，同样以每秒1个单位的速度沿DC向C点运动： 过P作PF垂直于AD于F,过F作FG垂直于AC于G,连接OF、QG.两点同时出发，一点到达终点， 两点同时停止运动，设运动时间为0≤1≤8) G 7/20 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 QF∥BD (1)当 ,求的值？ QFG y (2)设 的面积为，求与的关系式。 3)连接，是否存在某一时刻，使PF平分 PO AP ?如果存在，请求出值：如果不存在，说明理由. 4.(2025山东聊城二模)【问题情境】(1)数学探究课上，某兴趣小组探究含60°角的菱形的性质. B 图1 图2 备用图 如图1，菱形4BCD的边长为45，∠ABC=60,则∠ABD= BD= 【操作发现】(2)如图2，在图1的基础上，小贤在菱形ABCD的对角线BD上任取一点P(点P不与 点B重合)，以AP为边向右侧作菱形APEF,且∠APE=60°，连接DF,求证：△ABP≌△ADF: 【拓展延伸】(3)在(2)中，随着点P位置的改变，∠BDF的度数是否发生变化？若不变，求出 ∠BDF的度数：若变化，请说明理由. 5.(2026山东青岛一模)如图，四边形ABCD中，AB∥CD,∠ADC=90°，对角线AC⊥BC, AB=25cm,BC=20cm,点P从点B出发沿BC方向匀速运动，速度为lcm/s;同时点Q从点A出发 沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s.O为AQ中点，AC与DO交于点E.设运动时间为 解答下列问题： (备用图) (I)t取何值时，点O在AD和BC夹角的平分线上？ 2设五边形P00DC的面积为cm),求s与'之间的函数关系式： 8/20 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)是否存在某一时刻，使五边形PQo0C的面积为I51cm'？若存在求出，的值，若不存在，说明理 由： ∠AEQ (4)取何值时， 是直角？ >题型03矩形与菱形的证明与计算<《 折典例建模翠 1.(2026山东青岛一模)综合与实践 新定义：顶角相等且顶角项点重合的两个等腰三角形互为“哥俩三角形”. 图1 图2 图3 (I)如图1，△ABC和△ADE互为“哥俩三角形”，点A为重合的顶角顶点，则BD与CE之间的大小关 系为 2如图2，在△BC中，8=4C=35,∠1C=90,D,F分别为8C,4C边上的点，且 △FDC和△ADE互为“哥俩三角形”，∠CDF=∠ADE=90°. ①若CD=2,求△ACE的面积；（注意运用(I)的结论） ②如图3，若B,F,E三点在一条直线上，则△AEF的面积为 研考点通技法 考查知识点结合： 矩形/菱形的性质与判定；全等、相似；勾股定理；面积法 通用思路：“设未知数，用勾股或相似建立方程”。 9/20 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 关键步骤： 1. 利用图形性质（全等、等腰、垂直等）找到等量关系。 2. 将所求线段设未知数。 3. 将其它线段用含未知数的代数式表示。 14. 在一个直角三角形或一对相似三角形中建立方程（常用勾股定理或对应边成比例）。 a2+b2=c2 核心公式：Rt△ABC(∠C90°)： 相似三角形：对应边成比例，面积比三相似比的平方。 破类题提能力、 2.(2025山东泰安·一模)如图，已知△ABC. D B ①以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N: ②分别以点M,N为圆心，以大于2MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P: ③作射线AP交BC于点D: ④分别以点A,D为圆心，以大于2AD的长为半径画弧，两弧相交于G,H两点： 作直线GH,分别交AC,B于点E,E,依据以上作图，若E=2'E1,CD: 4 (I)求BD的长： S边形BCE (2)求SABc的值. 3.(2026山东德州一模)综合与实践 【问题情境】 数学兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究.将矩形纸片ABCD先沿EF折叠，折痕与边AD,BC 分别交于点E,F,点C的对应点记为C,点D的对应点记为D 10/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H D R 图1 图2 图3 (1)【特例探究】 角的探究：如图1，连接， 安BC,CD与4D交于点”，当点”，C,D三点共线时，与∠BrC 相等的 角为 (写出一个即可)； (2)线段的探究：如图2，当F为BC的中点时，点C恰好落在AD边上. ①猜想AC',DE,FC三条线段的数量关系，并说明理由： ②延长DC交1B于点G,连接r, GF BC GF BC" ，判断与的位置关系，并说明理由. (3)【深入探究】 如图3，将矩形纸片ABCD更换为平行四边形、∠ABC=60°，AB=2,AD=4,F为BC的中点，当 CD所在直线垂直于平行四边形ABCD的一边所在直线时，直接写出DE的值， 4.(2026山东日照·一模)在∠MON中，点P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥ON,垂足为点 A,过点A作AB⊥OM,垂足为点B,直线AB,OP交于点C,过点P作PD⊥AB,垂足为点D: M M B 图1 图2 (1)观察猜想：如图1，当∠MON为钝角时，用等式表示线段PD,OA,OB的数量关系： (2)类比探究：如图2，当∠MON为锐角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断(1)中的 结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出正确结论，并证明. OA ③拓展应用：当0P<MON<1809,且∠M0N≠90时，若C-3,请求出P4的 >题型04正方形综合探究<《 11/20 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 折典例建模理 1. (2026山东聊城·一模)【模型建立】 图1 图2 (①)如图1，已知△AB 和△BCD,AB⊥BC,AB=BC,CDL BD,AE⊥BD 用等式写出线段 AE,DE,CD的数量关系，并说明理由. 【模型应用】 (2)如图2，在正方形ABCD中，点E,F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF,AE=EF,用等式写出 线段BE,AD,DF的数量关系，并说明理由 研考点通技法 「考查知识点结合： 正方形性质；全等/相似；旋转、翻折：勾股定理；最值 通用思路：“设未知数，用勾股或相似建立方程”。 关键步骤： 11. 利用图形性质（全等、等腰、垂直等）找到等量关系。 2. 将所求线段设未知数。 3 将其它线段用含未知数的代数式表示。 4. 在一个直角三角形或一对相似三角形中建立方程（常用勾股定理或对应边成比例）。 核心公式：RtAABC(∠C-90): a2+b2=c2 相似三角形：对应边成比例，面积比=相似比的平方。 12/20 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 破类题提能力 2.(2026山东枣庄·一模)综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动 【折叠实践】 第一步：如图(I),将矩形纸片ABCD对折，使边AD,BC重合，再展开，折痕与AB交于点F. 第二步：如图(2)，在AD上取一点E,沿EF折叠矩形ABCD,点A的对应点为G,延长EG交BC 于点H,将纸片沿过点H的直线折叠，使点C的对应点落在EH上，折痕与DC交于点M, R D M D(E) 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 备用图1 备用图2 (I)【初步发现】探究图(2)中EF和MH的位置关系. (2)【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图(3)所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤 AB 折叠后发现，点F,G,M共线.请你帮他们求出AD的值。 (3)【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了AB=4dm,BC=8dm的矩形纸片，按步骤进行多次折叠 (选取不同位置的点E),且第二步折叠中，折痕与AD交于点M,把纸片展开后，连接GM(图 (4)是奋进小组的一次折叠样例)·请你解决：当△EGM为直角三角形时，求AE的长. 3.(2025山东聊城三模)我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”. D D G E 图1 图2 ()在我们学过的下列四边形①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，是“神奇四边形”的是 (填序号)； (2)如图I,在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE,过点B作BG⊥AE于点H,交CD于点G, 连AG,EG ①判断四边形ABEG是否为“神奇四边形”，并说明理由； 13/20 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB,AG,GE,EB MNPO ②如图2，点M,N,P,Q分别是， 的中点.判断四边形 是否是“神奇四边 形”，并说明理由. 4.(2025山东枣庄模拟预测)【综合与实践】 如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD,以CD为直角边在 CE CB m CD的右侧构造Rt△CDE,∠DCE=90,连接BE'CDCA 图1 图2 图3 【特例感知】 (1)如图1，当m=1时，BE与AD之间的位置关系是，数量关系是 【类比迁移】 (2)如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想. 【拓展应用】 (3)在(1)的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF,EF,BF,如图3.已知AC=6, BF=2,设AD=X,求AD的长度， 题型05几何图形变换（翻折、旋转）<了 折典例建模型< 1.(2026山东聊城一模)在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动 已知矩形纸片ABCD中，BC=6,三位同学进行如下操作： 14/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B--- 图1 图2 图3 (I)小红的折纸如图1，将纸片折叠，使顶点B落在边CD上的E点处，折痕的一端G点在边AB上，折 痕的另一端F点在边BC上，此时CF=2,则∠BGE= (2)小亮在小红的基础上又做了一次折叠，如图2，将纸片的另一端折叠，使得顶点A落在EG上的点 M处，折痕的另一端N落在边AD上，若CD=55,求DN的长： (3)大刚的折纸如图3，分别将△BCE和△CDF沿CE,CF翻折，点D,B的对应点分别为点G,H, 且C,H,G三点共线，CG平分∠ECF,求∠ECF的度数及BE的长. 研考点通技法 「考查知识点结合： 轴对称、旋转的性质；对应线段相等、对应角相等；勾股定理；方程思想 通用思路：“找对应点，定相等关系”。 1.翻折：折痕为对称轴，对应点连线被折痕垂直平分。翻折前后的图形全等，对应边、对应角相等。 2. 旋转：旋转中心、旋转方向、旋转角度不变。旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等， 对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。 关键步骤： 1. 在图上标出所有相等的线段和角。 2. 通常会在折叠或旋转后形成一个直角三角形（或将已知线段转换到同一个直角三角形中），利用勾股 定理列方程。 核心方程：折叠：AE士（原边一折叠部分）二折叠部分2（常通过构造直角三角形得到） 破类题提能力 2.(2026山东青岛·一模)在数学综合实践课上，数学老师以折叠为主题开展数学活动. 15/20 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A D B 分 G 图1 图2 图3 (I)图形感知：如图1，折叠等边三角形ABC纸片，使点A与BC边中点F重合，折痕为DE,分别交边 AB、边AC于点D、点E. ①求∠ADF的度数： ②求证：△BDF为等边三角形； (2)性质梳理：如图2，将等边三角形ABC沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处，折痕分 AD BD 别交4B’AC于D'E两点.求证： AE CF (3)拓展探究：如图3，将正方形ABCD沿直线EF折叠，点A恰好落在边BC的中点G处，点D落在点 H处，折狼分别交4B,CD于E,F两点，设GH,D交于点'.者4B=8,求G1的长. 3. (2026山东济南·一模)将一副三角板按图1方式摆放在平面直角坐标系x0少中，含30°角的三角板 01B的直角边01落在'轴上，∠B01=30°，含45°角的三角板01C的直角顶点C的坐标为22)，反 比例函数y=k≠0的图象经过点C· B B A 图1 图2 (1)求反比例函数的表达式： 16/20 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)将三角板01B绕点0顺时针旋转0°至△018 D ①如图1，点D为三角板AB边上一点，旋转后点D的对应点恰好落在反比例函数图象上，求旋转 前点D的坐标： ②如图2，若将三角板40C绕点0顺时针旋转至△40G,使点C落在边 8上，请判断点1旋转后的 对应点A是否在反比例函数图象上，并说明理由. 4.(2026山东淄博一模)【问题情境】 某数学兴趣小组在学习了图形旋转的相关知识之后，在等腰三角形纸片上进行了关于旋转的研究性学 习.△ABC中，AB=AC=2.同学们在边BC上取点D,连接AD,将△ACD以点A为中心旋转，由 于同学们所取点D的位置不同，∠BAC的角度大小不同，产生了以下两种方案。 D B(C H B(C∽H 图1 图2 图3 【探究感悟】 小明方案：取∠BAC=90°，旋转△ACD使点D的对应点D落到线段BC上； (I)如图1，小明发现，此时点C的对应点C与点A的连线恰好平分∠BAC,则线段CD的长是一； 【深入探究】 小刚方案：如图2，旋转△ACD使点C的对应点C'落到点B上，折叠△ABC使点B与点D重合，折痕为 EH (2)在图2中找出与∠ADE相等的角，并证明； (日)痴图3.F为线段AD上的点，BF7BC·若EF-E,求CD的长。 >题型06相似三角形的判定与性质<了 析典例建模理 17/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(2025山东滨州二模)【操作】 30 角的三角板1BC,并过直角顶点C作9 C,CF⊥AB 将一副三角板如图1放置，固定含 垂足为F, BC=4,将另一个三角板的直角顶点与点F重合，一条直角边DF与AB重合.将直角三角板DEF绕 点F顺时针旋转C,如图2，在旋转过程中，三角板DEF的直角边DF、EF始终与AC、BC相交， 分别交于点M、N,在活动中三个数学兴趣小组分别提出了以下问题： E E 口 图1 图2 【发现】用数学的眼光观察 (1)“卓越”小组提出问题：当旋转角a=时，四边形CMFV为矩形，则CV:AM= 【探索】用数学的思维思考 (2)“启梦”小组提出问题：在旋转过程中CN:AM的值是否发生变化.如不变，请求比值. 【应用】用数学的语言表达 (3)“博越”小组提出问题：连接MN,在上述旋转过程中，设CW=x,△CMN的面积为y,求y与 x之间的函数关系式，并求出的最值. 研考点通技法 考查知识点结合： 相似判定定理；相似比与面积比；平行线分线段成比例 通用思路：“先找一对相似三角形，再列比例式”。 关键步骤： 11. 找相似：观察图形，寻找已知角或可证明相等的角（对顶角、平行线同位角/内错角、同角的余角/补 角等)，利用“两角对应相等”是最常用的方法。 2. 列比例：找对应对应边，列出比例式。 3.求解：解比例方程，得到未知线段长。 18/20 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 核心图形：“A”型、“X”型（由平行线产生）；“K型（一线三等角） 破类题提能力、 2.(2024山东东营中考真题)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1,BC=3 图1 图2 图3 (1)问题发现 如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到aCDE,连接AD,BE,线段AD与BE的数量关 系是 ,AD与BE的位置关系是 (2)类比探究 将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE,连接AD,BE,线段AD与BE的数量关系、 位置关系与(1)中结论是否一致？若AD交CE于点N,请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE,当点D落到AB边上时，连接BE,求线段BE的长. 3.(2023山东济南·一模)如图1，己知正方形AFEG与正方形ABCD有公共顶点A,点E在正方形 ABCD 的对角线1C上aG<AD) D D E 图1 图2 图3 图4 AFEG (1)如图2，正方形 绕点顺时针方向旋 a0<a<909.DG和BF 的数量关系是 一，位置关系是 CE (2)如图3，正方形AFEG绕4点逆时针方向旋转a(0°<a<90),求DG的值以及直线CE和直线DG 19/20 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所夹锐角的度数： G如图4，B=8,点V在对角线1C上，CN=25,将正方形1PEG绕顺时针方向旋转 .N a(O°<a<360),点M是边CD的中点，过点M作MH∥DG交EC于点H;在旋转过程中，线段 WH的长度是否变化？如果不变，请直接写出H的长度；如果改变，请说明理由， 4.(2025山东济南模拟预测)如图1所示，在正方形ABCD中，将△ABC绕着点A逆时针旋转得到 △AEF,∠ABC=∠AEF=90°，旋转角度为a. 图1 备用图1 备用图2 (I)在图1中，当O°<a≤45°时，AE,AF分别交BD于点M,N MN.MD= )(填写线段名称)，若正方形的边长为4，MN.MD 的最小值是_： ②求证：AMDM AN2 BN (2)将△AEF绕着点A逆时针旋转一周，连接BF,取BF的中点G,连接DG.在旋转过程中，当 DG⊥BF时，求tan∠CBF的值， 20/20 专题07 三角形、四边形与几何变换 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势＋2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题＋名校模拟题，强化实战能力，得高分 一、具体考查形式 近三年山东中考对该热点的考查形式多样，且分值占比较高，主要分为以下三类： 1. 基础几何证明与计算：通常以中档解答题形式出现，分值在8-10分左右。主要考查平行四边形的性质与判定、特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质与判定、三角形的全等与相似、勾股定理及锐角三角函数的应用等。 2. 几何图形变换与综合探究：以压轴题形式出现，分值在10-14分左右。题目常以四边形（特别是正方形）或三角形为背景，融入图形的平移、旋转、轴对称（翻折）等变换，要求探究图形性质、证明线段或角的关系、求线段长度或最值。 3. 动态几何与最值问题：常融合在综合题中，或在选择题、填空题的压轴位置出现。题目中往往有点（或线、图形）在运动，需要探究运动过程中线段长度、图形面积的变化规律，并求最值。 二、命题特点 1. 基础性：对核心定义、定理（如平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定；三角形全等、相似的条件；勾股定理）的考查非常扎实，不偏不怪。 2. 综合性：将多个知识点融合在一起，例如：全等/相似＋特殊四边形＋图形变换；勾股定理＋方程＋翻折；三角函数＋相似＋四边形。考查学生综合运用知识的能力。 3. 探究性：综合探究题往往设置“问题呈现→类比探究→拓展延伸”或“操作发现→猜想验证→迁移应用”等环节，引导学生经历探究过程，考查其逻辑推理和归纳概括能力。 4. 模型化：很多题目背后都有常见的几何模型，如“手拉手模型”“半角模型”“一线三等角模型”“将军饮马模型”“胡不归模型”等，识别并应用这些模型是快速解题的关键。 开放性：存在性问题（如探究某点位置使三角形为等腰）和条件开放性问题（如补充条件使四边形为某种特殊图形）依然常见。 三、核心考查内容与能力要求 1. 核心内容： (1) 三角形：全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；等腰、直角三角形的性质与判定；勾股定理及其逆定理；三角形的中位线定理。 (2) 四边形：多边形的内角和与外角和；平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定；梯形（了解）。 (3) 几何变换：轴对称（翻折）、平移、旋转（含中心对称）的性质；利用变换解决几何问题。 (4) 锐角三角函数：解直角三角形及其实际应用。 2. 能力要求： (1) 推理能力：根据已知条件，运用图形性质进行逻辑推理和证明，这是核心能力。 (2) 几何直观：能根据文字描述想象或画出几何图形，能从复杂图形中分离出基本图形和模型。 (3) 空间观念：理解图形的运动（平移、旋转、轴对称）对图形位置和形状的影响。 (4) 运算能力：准确进行几何量的计算（边长、角度、面积、周长）。 (5) 模型观念：能识别和应用常见的几何模型。 (6) 分类讨论思想：在存在性问题或图形不确定时，能进行全面、不重不漏的讨论。 四、趋势展望 1. “几何变换”为背景的探究题仍是主流：以正方形、等边三角形等为载体的旋转、折叠类探究题，将继续作为压轴题的热门选择。 2. 模型化思想更加凸显：对“手拉手”、“一线三等角”、“半角”、“弦图”等经典几何模型的考查会更为直接和深入。 3. 与函数知识融合更紧密：在动态几何问题中，建立线段或面积与运动时间的函数关系，并求最值，这类“几何与函数”的融合题会继续出现。 4. 难度与灵活性并重：第一问通常较简单（如直接证明全等），后续问题难度递进，需要学生具备较强的逻辑分析、图形构造和代数运算能力。 五、备考策略建议 1. 回归课本，夯实基础： (1) 定理过关：要求学生熟记并理解全等三角形、特殊四边形的所有性质定理和判定定理，能口述证明过程。 (2) 基本图形：熟练掌握等腰三角形“三线合一”、直角三角形“斜边中线等于斜边一半”、中位线定理、勾股定理等基本图形的性质和结论。 (3) 规范书写：几何证明题的书写格式、逻辑链条（因为……所以……）必须规范、严谨。 2. 归纳模型，强化训练： (1) 总结模型：系统总结常见的几何模型（手拉手、半角、一线三等角、中点模型、旋转相似等），并配上典型例题，让学生理解模型的特征、构造方法和应用场景。 (2) 专项突破：针对“折叠”、“旋转”、“动态最值”等难点，进行专项训练，培养其在复杂图形中寻找不变数量关系或位置关系的能力。 3. 培养能力，提升素养： (1) 识图与构图：训练学生从复杂图形中分离出基本图形、添加辅助线构造基本图形的能力。例如，看到中点联想中线、中位线；看到角平分线联想作双垂线；看到线段和差联想截长补短等。 (2) “四步法”解决几何综合题： 1 审题：仔细读题，明确已知条件、待求结论和图形变换。 2 标图：将所有已知条件（线段相等、角相等、垂直关系等）在图形上标注出来。 3 分析：从结论出发，逆向分析需要什么条件；从条件出发，正向推理可以得到什么结论。 4 书写：思路清晰后，用几何语言规范、完整地写出证明或计算过程。 4. 关注动态与最值： (1) 建立函数模型：对于动态几何问题，学会用运动时间或参数表示线段长度、图形面积，并建立函数关系式进行求解。 (2) 掌握最值模型：熟练掌握“将军饮马”（含加权版胡不归、阿氏圆）等求线段和最小值的模型。 题型01 几何基础证明 析典例·建模型 1．（2026·山东青岛·一模）已知：如图，在中，与交于点，交的延长线于，为中点，连接． (1)求证：≌； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析； (2)四边形是矩形，证明见解析 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形得到，，再利用平行线性质得到，即可证明全等； （2）先求出，结合角度关系证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，再证明矩形即可． 【详解】（1）由题意四边形是平行四边形， 则 ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴，， ， ， 又， ， ， 在和中， ． （2）解：四边形是矩形． 证明如下： ， ，，则， ，解得， ，， ，， 是等边三角形， ，， 四边形是平行四边形， ， 为中点， ， ， 在平行四边形中，， ， ， 中，，， ， ， ， ， ， 平分， 是等边三角形， ， ， ，，， 且， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 研考点·通技法 考查知识点结合： 三角形全等/相似；平行四边形/特殊平行四边形的判定 通用思路：“条件→判定→性质→目标”。 1. 证明全等：找齐三个条件（边或角），明确判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）。 2. 证明平行四边形：找边的关系（平行或相等），或利用对角线互相平分。 3. 证明特殊平行四边形（矩形/菱形/正方形）：先证平行四边形，再证一个特殊条件（一个直角→矩形；一组邻边相等或对角线垂直→菱形；矩形+菱形→正方形）。 关键步骤： 标注已知条件在图上；书写步骤时“因为……所以……”逻辑链完整；对应边角写准确。 破类题·提能力 2．（2026·山东青岛·一模）如图1，在中，为上一点，使，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行得到，，由得到，即可证明； （2）先证明四边形是平行四边形．得到，，再由得到，，即可证明四边形是平行四边形．结合得到，即可证明平行四边形是菱形． 【详解】（1）证明：， ， 四边形是平行四边形， ，． ； ， ． ； ， 在和中， ． （2）证明：，， 四边形是平行四边形． ，， 四边形是平行四边形． ，， ， 四边形是平行四边形． ， ， 又， 平行四边形是菱形． 3．（2026·山东青岛·一模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，延长到点，使得，连接，点是的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)条件：①四边形是矩形； ②四边形是菱形． 请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状（两个都写以第一个为准）． 【答案】(1)见解析 (2)选择①：四边形为菱形，证明见解析；选择②：四边形为矩形，证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，再由，可得，即可求证； （2）选择①：根据矩形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到，可得到四边形为平行四边形，即可解答；选择②：根据菱形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到，可得到四边形为平行四边形，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：选择①：四边形为菱形，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 选择②：四边形为矩形，证明如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵，点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 4．（2025·山东聊城·三模）在数学探究课上，老师让同学们画一个，使，点D为的中点，连接，然后组织同学们以“操作发现”为活动主线进行探究学习． 动手操作（如图1） 第一步，在线段上取一点E（点A和点D除外）； 第二步，以点D为圆心，以为半径画弧交于点； 第三步，分别以E，F为圆心，长为半径画弧，交于点G，连接，． 猜想验证 （1）根据图1的操作，填空： ①四边形的形状为______，依据的判定定理是______； ②与的数量关系为______． （2）以D为旋转中心，将四边形按顺时针方向旋转到如图2的位置，请判断与的数量关系，并加以证明． 问题解决 （3）如图3，若，，，以D为旋转中心，将四边形按顺时针方向旋转，使点F在的下方，连接，且点F，E，C在同一条直线上，求的长． 【答案】（1）①菱形，四条边相等的四边形是菱形；②相等（或）（2），见解析（3）2 【分析】（1）①根据作图可知，故根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形的菱形； ②根据直角三角形的性质可得，再结合菱形性质即可解答； （2）根据直角三角形的性质可得，再结合菱形性质证明即可解答； （3）连接，与的交于点H．在中，根据从而得出，，再根据直角三角形性质得出，，根据旋转性质得出，结合菱形性质得出，，在中，算出，即可解答； 【详解】解：（1）①菱形，四条边相等的四边形是菱形； ②相等（或）； 证明：∵在中，点D是的中点， ∴， 由作图知， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； ． （2）证明：∵在中，点D是的中点， ∴， 由图1知， ∴， 即． ∵四边形是菱形， ∴． 在和中， ． ∴， ∴； （3）如图，连接，与的交于点H．    ∵在中，，， ∴，，． ∵在中，D是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 由旋转可知． 又∵四边形是菱形，， ∴，． ∴， ∴，． 在中， ∴． ∴． 【点睛】该题主要考查了直角三角形的性质，菱形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，旋转的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 题型02 三角形与多边形综合 析典例·建模型 1．（2026·山东淄博·一模）如图，矩形中，，，点是线段上异于点的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点落在点处． (1)【初步感知】如图1，当为的中点时，延长交于点，求证：． (2)【深入探究】如图2，点在线段上，，点在移动过程中，求的最小值． (3)【拓展运用】如图3，点在线段上，，点在移动过程中，点在矩形内部，当P、D、N是以为斜边的直角三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由矩形的性质可得，连接，由折叠的性质可得，，结合题意得出，再证明，即可得证； （2）由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，结合题意可得点在以点为圆心，为半径的的弧上，连接、，由，得出当点在线段上时，有最小值，由勾股定理可得，即可得解； （3）过点作于，延长交于点，连接、，则，四边形为矩形，从而可得，，证明，得出，设，则，，由折叠的性质可得，，由勾股定理可得，从而可得，求出，，，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， 如图，连接， ， ∵把沿直线折叠，使点落在点处， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵矩形中，，， ∴，， 由折叠的性质可得：， ∵点在移动过程中，不变， ∴点在以点为圆心，为半径的的弧上， 如图，连接、， ， ∵， ∴当点在线段上时，有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图，过点作于，延长交于点，连接、， ， 则，四边形为矩形， ∴，， ∵P、D、N是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴由折叠的性质可得：，， 由勾股定理可得， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴，， 由勾股定理可得， ∴， ∴， 解得． 研考点·通技法 考查知识点结合： 等腰三角形、直角三角形性质；勾股定理；多边形内角和；中位线 通用思路：“设未知数，用勾股或相似建立方程”。 关键步骤： 1. 利用图形性质（全等、等腰、垂直等）找到等量关系。 2. 将所求线段设未知数。 3. 将其它线段用含未知数的代数式表示。 4. 在一个直角三角形或一对相似三角形中建立方程（常用勾股定理或对应边成比例）。 核心公式：Rt△ABC（∠C=90°）：。 相似三角形：对应边成比例，面积比＝相似比的平方。 破类题·提能力 2．（2026·山东青岛·一模）在解决几何问题中，通常我们可以利用平移变换来解决图形中边与角的相关问题． (1)【问题情境】如图，在正方形中，，，分别是边，，上的点，于点．判断线段，的数量关系____________； (2)【尝试应用】如图，在正方形网格中，点，，，为格点，交于点，则____________； (3)【拓展提升】如图，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接，分别交线段，于点，．则____________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）平移线段至，交于点，证明四边形是平行四边形，得出，证明，得出，即可得出结论； （）将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，根据勾股定理求出，，，可推出，即可得出结果； （）平移线段至处，连接，证明得出，，推出，即可得出结果． 【详解】（1）解：平移线段至，交于点，如图所示， 由平移的性质得：， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，如图所示， ∴， 设正方形网格的边长为单位， 由勾股定理可得：，，， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：平移线段至处，连接，如图所示， 则，四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形与四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·山东青岛·三模）矩形中，，，为中点点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点运动，同时点从点出发，同样以每秒个单位的速度沿向点运动过作垂直于于，过作垂直于于，连接、两点同时出发，一点到达终点，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)当，求的值？ (2)设的面积为，求与的关系式． (3)连接，是否存在某一时刻，使平分？如果存在，请求出值；如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）当时，，得到，求得，根据余弦定义得到，求得； （2）根据余弦定义得到，求出，根据∽，得到，求出，，得到，根据三角形面积公式得到， （3）①当平分时，设与交于点，判定≌，，过点作于点，判定∽，得到，求得，，得到，根据，得到，根据，，得到，得到，解得； 当平分时，根据∽，求出过点作于点，则，得到根据正切定义求出，，根据相似三角形性质得到，得到，即得． 【详解】（1）解：当时， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得； （2），，， ， ，， ， ∽， ， ∴ ，， ； （3）存在．理由： 当平分时，设与交于点， ， ， ， ， ， 过点作于点，则， ， ， ， ，， ， ， ， 由（1）知，，， ， ， ， ； 当平分时， ∽， ∴， 则 过点作于点， 则，，， ， ，， ， ， ， ， 解得． 【点睛】本题主要考查了矩形和相似三角形综合．熟练掌握矩形性质，相似三角形的判断和性质，二次函数性质，线段垂直平分线性质，角平分线性质，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数定义，分类讨论，是解决问题的关键． 4．（2025·山东聊城·二模）【问题情境】（1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质． 如图1，菱形的边长为，，则______，______． 【操作发现】（2）如图2，在图1的基础上，小贤在菱形的对角线上任取一点P（点P不与点B重合），以为边向右侧作菱形，且，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）在（2）中，随着点P位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1），12；（2）见解析；（3）不变，，理由见解析． 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练以上知识点是解题的关键． （1）根据菱形的对角线平分对角，计算，利用菱形的对角线互相垂直且平分，勾股定理计算即可． （2）根据菱形的性质，结合，，得到，继而得到，证明即可． （3）根据菱形的性质，得到，根据，得到，计算得． 【详解】解：（1）连接交于点，如图所示： 菱形的边长为，， ，，，， ， ， ， 故答案为：，； （2）证明：四边形，是菱形， ，，，， ，， ，， ， ， ， ； （3）解：的大小不变，且，理由如下： 四边形是菱形，， ， ， ， ， ． 故的大小不变，且； 5．（2026·山东青岛·一模）如图，四边形中，，，对角线，，，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．为中点，与交于点．设运动时间为，解答下列问题： (1)取何值时，点在和夹角的平分线上？ (2)设五边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在求出的值，若不存在，说明理由； (4)取何值时，是直角？ 【答案】(1) (2) (3)存在，5 (4) 【分析】（1）先求得，过作于点，由点在和夹角的平分线上，可得，由，为中点，可得，再证明，即可求解； （2）过作于点，过点作于点，可求得，再可证明四边形是矩形，可得，再证明，即可求解； （3）利用（2）的结论，将代入即可求解； （4）由是直角，为中点，可得，再证明，可得，则，在中，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 过作于点， ，， ，即， 点在和夹角的平分线上， ， ∵，为中点， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ，即， ， ． （2）解：过作于点，过点作于点， ∵， ∴， ，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ， ， ∴． （3）解：存在． 由题意，得， 解得：（舍去），． （4）解：如图，连接， ∵是直角， ∴， ∵是的中点， ， ∵， ，， ， ∴， ∴， ， ， 在中，， ， 解得． 题型03 矩形与菱形的证明与计算 析典例·建模型 1．（2026·山东青岛·一模）综合与实践 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“哥俩三角形”． (1)如图1，和互为“哥俩三角形”，点为重合的顶角顶点，则与之间的大小关系为__________； (2)如图2，在中，，，，分别为，边上的点，且和互为“哥俩三角形”，． ①若，求的面积；（注意运用（1）的结论） ②如图3，若，，三点在一条直线上，则的面积为__________． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】（1）由“哥俩三角形”的定义可得，，，，可证明，可得； （2）①先可得，可得，，再由，，可得，，即可求解； ②过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接，设，则，，再证明，即可求得，再求得，即可求解． 【详解】（1）解：由“哥俩三角形”的定义可得，，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①∵和互为“哥俩三角形”， 同理（1）可得， ∴，， 由题意可得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②如图，过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接， 同理①可知，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意可知， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 研考点·通技法 考查知识点结合： 矩形/菱形的性质与判定；全等、相似；勾股定理；面积法 通用思路：“设未知数，用勾股或相似建立方程”。 关键步骤： 1. 利用图形性质（全等、等腰、垂直等）找到等量关系。 2. 将所求线段设未知数。 3. 将其它线段用含未知数的代数式表示。 4. 在一个直角三角形或一对相似三角形中建立方程（常用勾股定理或对应边成比例）。 核心公式：Rt△ABC（∠C=90°）：。 相似三角形：对应边成比例，面积比＝相似比的平方。 破类题·提能力 2．（2025·山东泰安·一模）如图，已知．    ①以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点M、N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P； ③作射线交BC于点D； ④分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点； ⑤作直线，分别交，于点E，F，依据以上作图，若，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作图方法得平分，垂直平分，所以，，，再证明四边形为菱形得到，然后利用平行线分线段成比例定理计算的长． （2）根据，得，所以，同理：，设，则，，菱形的面积为，，即可求出答案． 【详解】（1）解：连接，，如图，    由作法得平分，垂直平分， ，，， ， ， ， 同理可得， 四边形为平行四边形， 又∵， 四边形为菱形， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ∴， ， ， 同理：， 设，则，， 菱形的面积为， ， ， ． 【点睛】本题考查了作图复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、平行线分线段成比例定理、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 3．（2026·山东德州·一模）综合与实践 【问题情境】 数学兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠，折痕与边，分别交于点，，点的对应点记为，点的对应点记为． (1)【特例探究】 角的探究：如图1，连接，与交于点，当点，，三点共线时，与相等的角为______（写出一个即可）； (2)线段的探究：如图2，当为的中点时，点恰好落在边上． ①猜想，，三条线段的数量关系，并说明理由； ②延长交于点，连接，，判断与的位置关系，并说明理由． (3)【深入探究】 如图3，将矩形纸片更换为平行四边形、，，，为的中点，当所在直线垂直于平行四边形的一边所在直线时，直接写出的值． 【答案】(1)或； (2)，理由见解析； ，理由见解析； (3)的值为或． 【分析】（1）由矩形的性质，可得，由折叠可得，，，可得，由直角三角形的两个锐角互余，结合同（等）角的余角相等，即可求解； （2）由折叠可得，，，，由矩形的性质，可得，，由平行线的性质，结合等角对等边，可得，结合已知可得，即可得，，三条线段的数量关系；由矩形的性质，可得，由折叠可得，，，可得，证明，可得，，点、在线段的垂直平分线上，即可判断与的位置关系； （3）按照，进行分类讨论，分别画出图形，根据折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 由折叠可得，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵点、、三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相等的角为或． （2）解：，理由： 由折叠可得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴． ，理由： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∴． （3）解：当时，如图，垂足为点，过点作于，连接交于， ∵，四边形是平行四边形， ∴，，，， 由折叠可得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 当时，如图，垂足为点，延长交于点， 由折叠可得，，，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的值为或． 4．（2026·山东日照·一模）在中，点P是的平分线上一点，过点P作，垂足为点A，过点A作，垂足为点B，直线，交于点C，过点P作，垂足为点D． (1)观察猜想：如图1，当为钝角时，用等式表示线段，，的数量关系：______． (2)类比探究：如图2，当为锐角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用：当，且时，若，请求出的值． 【答案】(1) (2)不成立，正确结论为 ；证明见详解； (3)或 【分析】（1）过点P作，垂足为点E，证，得，则； （2）过点P作，垂足为点E，证，得，则； （3）依据前两问的图形分类讨论，利用“一线三等角”相似求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点P作，垂足为点E， ∵，， , ∵平分，， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ； （2）解：补全图形如图， 不成立，正确结论为 ． 如图2，过点 作 ，垂足为点 ， 同理可得 ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ； （3）解：∵， ∴， ①当为钝角时，如图3， 由（1）得，四边形是矩形， ∴ ∴ ∴， 设 ∵ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； ②当为锐角时，如图4， ∵， ∴， 由（1）得，四边形是矩形， ∴ ∴ ∴， 设 ∵ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 综上：的值为或． 题型04 正方形综合探究 析典例·建模型 1．（2026·山东聊城·一模）【模型建立】 (1)如图1，已知和，．用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 (2)如图2，在正方形中，点分别在对角线和边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，结合，即可证明结论； （2）过点作于点，过点作于点，由正方形的性质可得，且平分，进而可知均为等腰直角三角形，易得，进一步可得，再证明，由全等三角形的性质可得；证明四边形是正方形，进而可得，，，即，结合，即可证明结论． 【详解】（1），理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，且平分， ∴，即均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形，是该正方形的对角线， ∴，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 研考点·通技法 考查知识点结合： 正方形性质；全等/相似；旋转、翻折；勾股定理；最值 通用思路：“设未知数，用勾股或相似建立方程”。 关键步骤： 1. 利用图形性质（全等、等腰、垂直等）找到等量关系。 2. 将所求线段设未知数。 3. 将其它线段用含未知数的代数式表示。 4. 在一个直角三角形或一对相似三角形中建立方程（常用勾股定理或对应边成比例）。 核心公式：Rt△ABC（∠C=90°）：。 相似三角形：对应边成比例，面积比＝相似比的平方。 破类题·提能力 2．（2026·山东枣庄·一模）综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点． 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为，延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点． (1)【初步发现】探究图（2）中和的位置关系． (2)【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． (3)【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出，再根据平行线的判定方法即可得到结论； （2）连接，设，，先证明，得到，再证明，得到，根据勾股定理得出，即可得到答案； （3）分两种情况：当时，得出四边形是正方形，得出；当时，过点作于点，则，再证明，得到，，证明，得到． 【详解】（1）解：，理由如下， 矩形， ， ， ，， ， ； （2）解：设，， 如图（3），连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：当时，如备用图（1）， ， ，， 四边形是正方形， 当时， 如图（4），过点作于点， 则， ，，， ， ， ； ， ∴ ， ， ， ， ， ． 3．（2025·山东聊城·三模）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，是“神奇四边形”的是______（填序号）； (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连． ①判断四边形是否为“神奇四边形”，并说明理由； ②如图2，点M，N，P，Q分别是，的中点．判断四边形是否是“神奇四边形”，并说明理由． 【答案】(1)④ (2)①四边形是“神奇四边形”，理由见解析；②四边形是“神奇四边形”，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质及正方形的性质进行判断即可； （2）①根据正方形的性质可得，，利用等量代换可得，证得，可得，即可得证； ②根据三角形中位线定理可得，，，，从而证得四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和等量代换可得，由①可得，，可得，证得四边形是正方形，再根据正方形的性质即可得证； 【详解】（1）解：∵平行四边形的对角线既不互相垂直，也不相等；矩形的对角线相等，但不垂直；菱形的对角线相互垂直，但不相等；正方形的对角线互相垂直且相等， ∴正方形是“神奇四边形”， 故答案为：④； （2）解：①四边形是“神奇四边形”， 理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是“神奇四边形”． ②四边形是“神奇四边形”，理由如下： ∵点M，N，P，Q分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 由①可得，， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，且， ∴四边形是“神奇四边形”． 【点睛】本题考查新定义、正方形的判定与性质、矩形的判定的与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质与全等三角形的判定与性质是解题的关键． 4．（2025·山东枣庄·模拟预测）【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，EF，，如图3．已知，，设，求的长度． 【答案】（1），；（2），，见解析；（3）或. 【分析】（1）根据题意证明，再利用性质得到，，继而得到本题答案； （2）先证明，再利用相似性质得，再得到，即可； （3）连接交于，证明出四边形是正方形，继根据勾股定理而得到关系式，并利用值． 【详解】（1），； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2），， 证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）连接交于 点与点关于对称 垂直平分 ， 又 四边形是正方形 过作于， 则是等腰直角三角形，设， ， ， 连接 为直角三角形斜边中点， ， ， ， ，， ， ， ， 解得或， 或. 【点睛】本题考查全等三角形判定及性质，相似三角形判定及性质，正方形判定及性质，勾股定理，二次函数最值等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 题型05 几何图形变换（翻折、旋转） 析典例·建模型 1．（2026·山东聊城·一模）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 已知矩形纸片中，，三位同学进行如下操作： (1)小红的折纸如图1，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上，折痕的另一端点在边上，此时，则________； (2)小亮在小红的基础上又做了一次折叠，如图2，将纸片的另一端折叠，使得顶点落在上的点处，折痕的另一端落在边上，若，求的长； (3)大刚的折纸如图3，分别将和沿，翻折，点，的对应点分别为点，，且，，三点共线，平分，求的度数及的长． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）由折叠可得，，推出，得到，最后根据折叠的性质和四边形的内角和即可求解； （2）根据三角函数求出，得到，根据折叠可得，由三角函数求出，即可求解； （3）延长，交于点，根据平分和折叠的性质可求出的度数，推出和均为等腰直角三角形，得到，，，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 由折叠可得，，， ， ， ， ； （2），， ， 又， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ； （3）如图，延长，交于点， 平分， ， 由折叠的性质可知，，，． ， ， ， ， 和均为等腰直角三角形， ，，， 即， ． 研考点·通技法 考查知识点结合： 轴对称、旋转的性质；对应线段相等、对应角相等；勾股定理；方程思想 通用思路：“找对应点，定相等关系”。 1. 翻折：折痕为对称轴，对应点连线被折痕垂直平分。翻折前后的图形全等，对应边、对应角相等。 2. 旋转：旋转中心、旋转方向、旋转角度不变。旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。 关键步骤： 1. 在图上标出所有相等的线段和角。 2. 通常会在折叠或旋转后形成一个直角三角形（或将已知线段转换到同一个直角三角形中），利用勾股定理列方程。 核心方程：折叠：AE²＋（原边－折叠部分）²＝折叠部分²（常通过构造直角三角形得到）。 破类题·提能力 2．（2026·山东青岛·一模）在数学综合实践课上，数学老师以折叠为主题开展数学活动． (1)图形感知：如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数； ②求证：为等边三角形； (2)性质梳理：如图2，将等边三角形沿直线折叠，点恰好落在边 上的点处，折痕分别交，于，两点．求证：； (3)拓展探究：如图3，将正方形沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，点落在点处，折痕分别交，于，两点，设，交于点．若，求的长． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）①由等边三角形的性质可得，由折叠的性质可得，则，因此； ②由可得，结合，命题得证； （2）由折叠的性质可得，，，结合等边三角形的性质可得，则，从而证明，因此，由等量代换可得； （3）设，由正方形和折叠的性质可得，，，，在中，利用勾股定理构造方程，解得．容易证明，则，代入数值计算即可． 【详解】（1）解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴； ②证明：由①可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：设， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∵点是的中点， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 3．（2026·山东济南·一模）将一副三角板按图1方式摆放在平面直角坐标系中，含角的三角板的直角边落在轴上，，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将三角板绕点顺时针旋转至， ①如图1，点为三角板边上一点，旋转后点的对应点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标； ②如图2，若将三角板绕点顺时针旋转至，使点落在边上，请判断点旋转后的对应点是否在反比例函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)①，②在反比例函数图象上，理由见解析 【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）①过点作于点，由旋转得，将代入反比例函数表达式，进而即可求解； ②过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，先证明， 结合旋转的性质可得， 再把代入反比例函数表达式进行检验即可 【详解】（1）解：将代入反比例函数表达式得：， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）解：①如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， 由旋转得， 将代入反比例函数表达式，得：， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点， ∴， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 由（1）知，， 由旋转得：，， ∴在中，，， ∴，， ∴， 将代入反比例函数表达式，得：， ∴在反比例函数图象上． 4．（2026·山东淄博·一模）【问题情境】 某数学兴趣小组在学习了图形旋转的相关知识之后，在等腰三角形纸片上进行了关于旋转的研究性学习．中，．同学们在边上取点，连接，将以点为中心旋转，由于同学们所取点的位置不同，的角度大小不同，产生了以下两种方案． 【探究感悟】 小明方案：取，旋转使点的对应点落到线段上； (1)如图1，小明发现，此时点的对应点与点的连线恰好平分，则线段的长是_____； 【深入探究】 小刚方案：如图2，旋转使点的对应点落到点上，折叠使点与点D重合，折痕为； (2)在图2中找出与相等的角，并证明； (3)如图3，F为线段上的点，．若，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）证明，可得，从而得到，进而得到，即可求解； （2）证明，可得，即可求解； （3）证明，可得，再结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵点与点的连线恰好平分， ∴， 由旋转的性质得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 由题意得垂直平分， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得： ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型06 相似三角形的判定与性质 析典例·建模型 1．（2025·山东滨州·二模）【操作】 将一副三角板如图1放置，固定含角的三角板，并过直角顶点作，垂足为，，将另一个三角板的直角顶点与点重合，一条直角边与重合．将直角三角板绕点顺时针旋转，如图2，在旋转过程中，三角板的直角边、始终与、相交，分别交于点、．在活动中三个数学兴趣小组分别提出了以下问题： 【发现】用数学的眼光观察 （1）“卓越”小组提出问题：当旋转角_____时，四边形为矩形，则_____． 【探索】用数学的思维思考 （2）“启梦”小组提出问题：在旋转过程中的值是否发生变化．如不变，请求比值． 【应用】用数学的语言表达 （3）“博越”小组提出问题：连接，在上述旋转过程中，设，的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最值． 【答案】（1），；（2）不变，；（3），最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质： （1）根据矩形的性质可得，旋转角；在中，根据锐角三角函数解答即可； （2）根据，可得到，可证明，可得，即可求解； （3）由（2）得，在中，，从而得到，然后三角形的面积公式可得到y与x的函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 即旋转角； 在中，， ， 即 故答案为：； ； （2）解：不变， 如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ； （3）如图， ， 由（2）得， ， 在中，， ∴， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 研考点·通技法 考查知识点结合： 相似判定定理；相似比与面积比；平行线分线段成比例 通用思路：“先找一对相似三角形，再列比例式”。 关键步骤： 1. 找相似：观察图形，寻找已知角或可证明相等的角（对顶角、平行线同位角/内错角、同角的余角/补角等），利用“两角对应相等”是最常用的方法。 2. 列比例：找对应对应边，列出比例式。 3. 求解：解比例方程，得到未知线段长。 核心图形：“A”型、“X”型（由平行线产生）；“K”型（一线三等角）。 破类题·提能力 2．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)； (2)一致；理由见解析 (3) 【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论； （2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论； （3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出． 【详解】（1）解：延长交于点H，如图所示： ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 又∵，，， ∴， ∴； （3）解：过点C作于点N，如图所示： 根据旋转可知：， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 根据解析（2）可知：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 3．（2023·山东济南·一模）如图1，已知正方形与正方形有公共顶点，点在正方形的对角线上. (1)如图2，正方形绕点顺时针方向旋转，和的数量关系是_____________，位置关系是_______________； (2)如图3，正方形绕点逆时针方向旋转，求的值以及直线和直线所夹锐角的度数； (3)如图4，，点在对角线上，，将正方形绕顺时针方向旋转，点是边的中点，过点作交于点；在旋转过程中，线段的长度是否变化？如果不变，请直接写出的长度；如果改变，请说明理由. 【答案】(1)，； (2)，； (3)不变，线段是一个定值， 【分析】（1）如图所示，过点作交于点，证明，进而得出，，根据平行线的性质得出，进而即可得出结论； （2）连接，证明， 得出，，延长、交于点，根据三角形的内角和定理，即可得出； （3）过点作，得出，即可证明，设，则，连接， 过点作交于点，证明，得出，进而得出，则四点共圆，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点作交于点， ∵正方形与正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴， 和的数量关系是相等，位置关系是垂直， 故答案为：，； （2）连接， 由旋转性质知， 在和中， ，， ∴， ， ， ；     ， ， 延长、交于点， ， （3）∵，点是边的中点，点在对角线上，， ∴,, 过点作， 在中，， ∴ 即点重合， ∴， ∴ 设，则， ∵ ∴， 如图所示，连接， 过点作交于点， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∵,, ∴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴四点共圆， ∴线段是一个定值，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，四点共圆，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．（2025·山东济南·模拟预测）如图1所示，在正方形中，将绕着点A逆时针旋转得到，，旋转角度为． (1)在图1中，当时，，分别交于点M，N． ①（_）（填写线段名称），若正方形的边长为4，的最小值是_； ②求证：； (2)将绕着点A逆时针旋转一周，连接，取的中点G，连接．在旋转过程中，当时，求的值． 【答案】(1)①；8；②见解析 (2)或 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识， 熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； （1）①利用正方形的性质和旋转的性质证明得到， 然后得出当时，有最小值，即有最小值，为； ②由①得，同理可证，，进而求解即可； （2）设，则，表示出，然后分两种情况： 当点F在上方时和当点F在下方时，然后分别解直角三角形求解即可． 【详解】（1）①四边形为正方形，对角线，相交于点， ， 由旋转可知，， ， 又， ， ， ， ， ， 若正方形的边长为4，则，， ，，， ， ，即， 当时，有最小值，即有最小值，为． 故答案为：；8． ②由①得，， 同理可证， ， ， ． （2）设，则， 垂直平分， ， 作于点H， ①当点F在上方时，如图2所示： ， ， 过点F作于点P， 则， 易证四边形为矩形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ，， ， ， ； ②当点F在下方时，如图3所示： 同理可求，， 综上，或． / 学科网（北京）股份有限公司 $